Lista completa de limites Calculo Instrumental 2020 1

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Última atualização: 2018.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O conceito de Limite é o pilar do Cálculo Diferencial e Integral desenvolvido 
 por Isaac Newton(1642-1727) 
 e Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716). 
 
A ferramenta básica usada no Cálculo Diferencial é a Derivada de uma função, 
 que por sua vez, é baseada no conceito mais fundamental, o de Limites. 
 
 Questão 1. Considere o gráfico da função f abaixo definida no domínio ℝ − {−
𝜋
2
,
𝜋
2
}. 
 
 
 
Analisando o gráfico de f, responda, justificando: 
 
(a) ( )
x 0
lim f x
→
 (f) ( )
x
lim f x
−→
 (k) ( )
3
x
2
lim f x

→
 (p) ( )
x
lim f x
→+
 (u) f é contínua em x0 = 0? 
(b) ( )
x
2
lim f x
+

→
 (g) ( )
x
lim f x
→
 (l) ( )
x
lim f x
−→−
 (q) ( )f − (v) f é contínua em x0 = − ? 
(c) ( )
x
2
lim f x
−

→
 (h) ( )
x
2
lim f x

→−
 (m) ( )
x
lim f x
+→−
 (r) ( )f 0 (w) f é contínua em x0 = 3 2 ? 
(d) ( )
x
2
lim f x

→
 (i) ( )
3
x
2
lim f x
+

→
 (n) ( )
x
lim f x
→−
 (s) ( )f  (x) f é contínua em x0 =  ? 
(e) ( )
x
lim f x
+→
 (j) ( )
3
x
2
lim f x
−

→
 (o) ( )
x
lim f x
→−
 (t) ( )f 3 2 (y) ( )
x
2
lim f x
+

→−
 
ÁREA 1 - FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
Cursos de Engenharia 
Disciplina: Cálculo Instrumental 
Professor(a): _______________________________ Data: ___ / ___ / ______ 
Estudante: ______________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1ª Lista de Exercícios 
Cálculo Instrumental – Limites 
_______________________________________________________________________________ 
 2 
 
Questão 2. Esboce o gráfico das funções abaixo e determine ( )
−→x a
lim f x , ( )
x a
lim f x
+→
 e, caso exista, ( )
x a
lim f x
→
: 
Obs.: Use o Winplot para visualizar os gráficos. 
 
 
( )
2x , x 1
(a) f x (a 1)
2x 1, x 1

= =
+ 
 
 
 
( )
x
x
2 , x 0
(b) f x 2, x 0 (a 0)
2 , x 0−


= = =
 
 
 
 
( ) 2
2
4x 12, x 2
(c) f x x , 2 x 1 (a 2)
x 3, x 1
 +  −

= −   = −

− + 
 
 
( )
x
2
2 , x 0
1 x, 0 x 1
(d) f x (a 1)
x 1, x 1
2 x, x 1


−  
= =
− 
 − =
 
Questão 3. Considere as funções do exercício 2. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique a sua resposta. 
 
Questão 4. Observe abaixo o gráfico da função f(x) e classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). 
 
 
 
a) ( ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑓(𝑥) = +∞ b) ( ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = −∞ c) ( ) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→9
𝑓(𝑥) = −4 
 
d) ( ) 𝑓(𝑥) é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑥0 = −1 e) ( ) 𝑓(𝑥) 𝑛ã𝑜 é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑥0 = 3 f) ( ) 𝑓(𝑥) é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 𝑥0 = 6. 
 
Questão 5. Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça, simultaneamente, a todas às condições indicadas abaixo: 
 
A) 𝐷(𝑓) = ℝ; ∄ lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) não é continua em x = 0 lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 0 
 
 
B) 𝐷(𝑓) = ℝ lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = 2 ∃ lim
x→1
f(x), mas f não é contínua em x = 1; 
 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = −∞ 
Questão 6. Calcule os seguintes limites: 
 
(a) 
2
2x 2
x 4
lim 
x 2x→
−
−
 (b) 
2
2x 2
2x 8
lim 
3x 4x 4→
−
− −
 (c) 
2
3x 1
x 2x 1
lim 
x 1→
− +
−
 
 
(d) 
2
3x 3
x 4x 3
lim 
x 27→
− +
−
 
 
(e) 
3
6
x 2
3x 24
lim log
x 2→
 −
 
− 
 
 
(f) 
3 2
3 2x 1
3x 4x x 2
lim 
2x 3x 1→
− − +
− +
 
 
(g) 
3
2x 5
2x 250
lim 
x 6x 5→
−
− +
 
 
(h) 
( )( )
1
4 3x 16 x 8
x 2
lim 2
−
− −
→
 
 
(i) 
2
2x 2
x 4
lim 
3x 4x 4→−
−
+ −
 
 
− − − − − −                
−
−
−
−









x
y
Cálculo Instrumental – Limites 
_______________________________________________________________________________ 
 3 
 
Questão 7. Calcule os seguintes limites: 
 
(a) 
x 1
x 1
lim 
x 1→
−
−
 (b) 
x 0
x 1 1 x
lim 
3x→
+ − −
 (c) 
2
x 1
1 x
lim 
x 2 x→−
−
+ +
 
 
(d) 
x
x
x
24
lim
0
−−
→
 (e) 
x 16
x 4
lim 
2x 32→
−
−
 (f) 
x 3
3x 3
lim 
4x 12→
−
−
 
 
Questão 8. Observe a resolução do limite abaixo. 
 
( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
→ → → →
→ →
− − − − − − − +
= = =  − − − + − − + − 
− −
= =
− + −
+ −
+ −
2
x 7 x 7 x 7 x 7
x 7 x 7
2 x 32 x 3 2 x 3 4 x 3
lim lim . lim lim
x 7 x 7 x 7 2 x 3 x 7 2 x 3
7 x 7 x
lim lim
x
2 x
x
x
3
2
3
3
7 2 ( )−x 7 ( ) →
= = =
+ − + −+ − x 7
1 1 1
lim
42 x 3 2 7 32 x 3
 
 
a) A resolução está incorreta. Identifique quais foram os erros cometidos. 
b) Resolva o limite 
→
− −
−x 7
2 x 3
lim
x 7
, corrigindo os erros que você identificou na letra (a) . 
 
Questão 9. Calcule os seguintes limites: 
 
(a) 
( )
2x 4
x 5
lim 
x 4→
−
−
 (b) 
x 3
3x 11
lim 
x 3→
−
−
 (c) 
2x 1
x 5
lim 
x 5x 4→
+
− +
 
 
Questão 10. Calcule os limites a seguir: 
 
(a) 
2
3 2x
2x 4x 25
lim 
18x 9x→+
− −
−
 (b) 
252
234
lim
2
2
−+
+−
−→ xx
xx
x
 
(c) 
5
3x
3x x 1
lim 
4x 2x→−
− − +
−
 (d) ( ) ( )
1
3 2x . x 1
x
lim 1 
−
−
→+
 
(e) 
583
14
lim
2 −+
−
+→ xx
x
x
 (f)
32
45
lim
4
4
−
−
−→ x
x
x
 
 
Questão 11. O departamento de capacitação de novos funcionários da empresa C&V Confecções estima-se que um 
novo funcionário com pouca experiência na confecção da sua linha de produção produzirá 
t
9Q(t) 30 10e
−
= − novas 
unidades em t dias após receber treinamento. Pergunta-se 
 
(a) Qual a produção do funcionário quando terminar o treinamento? 
(b) O que acontece com o nível de produção a longo prazo ? 
 
 
Questão 12. Uma determinada notícia numa cidade foi propagada de tal maneira que o número de pessoas que 
tomaram conhecimento é dado por
0,5t
600
N(t)
1 24e−
=
+
, onde t representa o número de dias após ocorrer a notícia. 
Pergunta-se 
 
(a) Quantas pessoas souberam a notícia de imediato? 
(b) Determine 
t
lim N(t)
→+
 e explique o seu resultado. 
 
Cálculo Instrumental – Limites 
_______________________________________________________________________________ 
 4 
 
Derivada 
 
Questão 13. Usando a definição de derivada, verifique se as funções a seguir são deriváveis em ox e, em caso 
afirmativo, determine ( )og' x : 
 
(a) ( ) ( )og x 3x 5 x 2= + = (b) ( ) ( )
2
og x x 3 x 4= + = (c) ( ) ( )o
3x, x 2
g x x 2
x 8, x 2
− 
= =
− 
 
 
Questão 14. Usando as regras operacionais, determine as derivadas das funções a seguir: 
(a) 4 2y 2x 3x x 3= − + − (b) 6 4y 5x 3x 2x 2= − + − + 
(c) ( )2
1
y 3x 6 2x
4
 
= + − 
 
 
(d) 
2x 4
y
3x 1
+
=
−
 (e) 
2
2
2x 8
y
x 16
−
=
−
 (f) 3ln
4
1 4 −+= xxy 
(g) 𝑦 = √𝑥
3
+ √𝑥
4
 (h) 𝑦 = 𝑒𝑥 − 3
𝑥 + 2𝑙𝑛𝑥 (i) 𝑦 = 𝑒𝑥(2𝑥3 − 3𝑥 + 1) 
(j) ( ) ( )xsec9xsen
5
2
y +−= 
(k) ( ) ( )xcosxsenxy += (l) ( ) ( ) ( )xxtgxf sec8= 
(m) 𝑓(𝑥) = 𝑥². 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝑥) (n) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) (o) 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥2). 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(𝑥) 
 
Questão 15. Sendo )34)(1()( 4 +−= xxxf . Determine f ’(−1). 
Questão 16. Sendo 
5
12
)(
3 −
−
=
x
x
xf . Determine f ’(2). 
Questão 17. Sendo 𝑦 =
1
𝑥³
−
2
𝑥²
−
1
𝑥
+ 2. Determine f ’(1). 
Questão 18. Sendo 𝑦 = 3√𝑥 + 5√𝑥
3
+ √3
3
. Determine f ’(1). 
Questão 19. Determine as constantes 𝑎 e 𝑏 em cada caso: 
 
(a) ( ) 2f x ax x 1= + + , sendo ( )f ' 1 9= − . 
 
(b) ( ) 2f x x ax b= + + , sendo ( )f 1 8= e f '(2) = 4. 
 
Questão 20. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa xo : 
 
(a) ( ) ( )1 ,132 3 =−+= oxxxxf (b) 𝑓(𝑥) = 𝑥³, (𝑥𝑜 = −1). 
 
Questão 21. Calcule as abscissas dos pontos do gráfico de y x x x= + −3 22 4 nos quais a reta tangente é: 
 
(a) Horizontal. (b) Paralela a reta 2 8 5 0y x+ − = . 
 
Questão 22. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ( )f x x x= −2 3 e que seja perpendicular à reta 
2 3y x+ = . 
 
 
 
Cálculo Instrumental – Limites 
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 5 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de revisão! 
 
Questão 23. Com relação à função f, cujo gráfico é dado abaixo, pode-se afirmarque: 
 
 
 
a) 
x 0
lim f(x) 0
→
= , mas f não é contínua em 0. Além disso, 
x 2
lim f(x) 3
−→
= . 
b) Não existe 
x 0
lim f(x)
→
 e 
x 2
lim f(x) 2
→
= . 
c) A função f é contínua em 0 e 
x 2
lim f(x)
+→
= + . 
d) Existe 
x 0
lim f(x)
→
, mas f não é contínua em 0. Além disso, 
x
lim f(x) 2
→+
= . 
e) A função não é contínua em 2 e 
x 0
lim f(x) 1
→
= . 
 
Questão 24. Classifique as afirmações em verdadeiro (V) ou (F). 
 
A) ( ) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) ⇒ ∄ lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) 
B) ( ) A existência do limite em um determinado ponto depende do valor numérico da função neste ponto. 
C) ( ) O limite da função f(x), quando 𝑥 → 𝑎, é necessariamente igual a f(a). 
D) ( ) ∃ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ⇔ lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) 
E) ( ) Se f(x) não é continua em x = a, podemos afirmar que não existe o limite de f(x), quando 𝑥 → 𝑎. 
 
 
Questão 25. Calcule e assinale a alternativa que corresponde ao 
 
a) −1 b) 0 c) – 1/6 d) 2 e) 3 
 
 
 Questão 26. Calcule e assinale a alternativa que corresponde ao 
 
a) – 1/24 b) 1/18 c) 1/24 d) – 1/18 e) 1/3 
 
 
Questão 27. Calcule e assinale a alternativa que corresponde ao 
 
a) 8/5 b) 0 c) − ∞ d) +∞ e) 2/5 
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −       
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−






x
y
lim
𝑥→+∞
 
(2𝑥 − 1)³
5𝑥3 + 2𝑥 − 3
 
 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
2 − √𝑥 + 1
𝑥² − 9
 
 lim
 𝑥→1
(
𝑥2 − 2𝑥 + 1
2𝑥3 + 6𝑥 − 8
) 
Cálculo Instrumental – Limites 
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 6 
 
 
2
0, se 0 x a
E(x) .1
, se x a
x
 

= 


 
 Questão 28. Considere e assinale a alternativa verdadeira. 
 
a) Este limite existe e é igual a 0. b) Este limite existe e é igual a +∞. 
c) d) 
 
e) Este limite existe e é igual a 1. 
 
Questão 29. Determine o valor da constante k de modo que 𝑓(𝑥) seja contínua em 𝑥 = 2 e assinale a alternativa 
correta, sendo 





=+

−
+−
=
2 x se 4 
2 x se 
8
26
)( 3
3
k
x
xx
xf . 
 
 A) 1/8 B) – 3 C) 1/6 D) – 7/2 E) – 4 
 
Questão 30. A administração de um hospital vai implementar um novo sistema que pretende reduzir o tempo de 
espera para cirurgias. O seguinte modelo foi experimentalmente determinado para prever que em t meses o 
percentual de pacientes que podem ser operados sem entrar em lista de espera. 
ℎ(𝑡) = {
𝑡2 − 8𝑡 + 50 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑡 ≤ 10
36𝑡 − 100
0,4𝑡
 𝑠𝑒 𝑡 > 10
 
 
Em relação a continuidade da função h quando t = 10 meses, podemos afirmar que: 
 
 a) A função é contínua em t = 10. 
 b) A função não é continua em t = 10, pois, seu limite é diferente da imagem da função no ponto. 
 c) A função não é continua em t = 10, pois, seus limites laterais não são iguais. 
 d) Nada podemos afirmar sobre a continuidade da função em t = 10. 
 e) Nenhuma das afirmações acima está correta. 
Questão 31. Considerando que a arrecadação mundial total pela exibição de um determinado filme de grande 
sucesso de bilheteira é aproximado pela função
2
2
120x
A(x)
x 4
=
+
, onde A(x) é medido em milhões de dólares e x é o 
número de meses do filme em cartaz. Assinale a alternativa correta. 
 
(a) A arrecadação de bilheteria após o primeiro mês foi de 25 milhões de dólares. 
(b) A arrecadação de bilheteria após o primeiro mês foi maior que 30 milhões de dólares. 
(c) A arrecadação de bilheteria após o segundo mês foi menor que 50 milhões de dólares. 
(d) A arrecadação do filme a longo do prazo é de 120 milhões de dólares. 
(e) Não é possível informar a arrecadação a longo prazo. 
 
Questão 32. Se uma esfera oca de raio cm2a = é carregada com unidade de eletricidade estática, a intensidade de 
campo elétrico E no ponto P depende da distância x do centro da esfera até P pela seguinte lei: 
 
 Estude a continuidade do campo na superfície da esfera e assinale a alternativa correta. 
 
lim 
𝑥→−4
 
𝑥² + 3𝑥 − 2
|𝑥² − 16|
 
lim 
𝑥→−4−
 
𝑥² + 3𝑥 − 2
|𝑥2 − 16|
= −∞ lim 
𝑥→−4+
 
𝑥² + 3𝑥 − 2
|𝑥2 − 16|
= −∞ 
Cálculo Instrumental – Limites 
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 7 
A) E(x) não é continua na superfície da esfera, pois o limite de E(x), quando 𝑥 → 2, é diferente de E(2). 
B) E(x) não é continua na superfície da esfera pois não existe o limite de E(x), quando 𝑥 → 2. 
C) E(x) é continua na superfície da esfera. 
D) E(x) é continua na superfície da esfera, mas os limites laterais não são iguais. 
E) Nada podemos afirmar sobre a continuidade na superfície da esfera. 
 
Questão 33. A derivada da função 𝑓: ℝ+∗ → ℝ, dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥. ln (𝑥), no ponto 𝒙 = 𝒆 é: 
 
 A) −1. B) 0. C) 1. D) 1,5. E) 2. 
 
Questão 34. Sejam F e G as derivadas das funções reais, de variáveis reais, f e g, respectivamente. Sabe-se que 
3𝑓(𝑥) + 10𝑥 = 𝑔(𝑥) + 𝑥² + 8, para todo x real, f(3) = 2 e F(–1) = 1. Assinale a alternativa que corresponde à 
diferença 𝒈(𝟑) − 𝑮(−𝟏). 
 
 A) 5. B) – 2. C) 4. D) – 1. E) 0. 
 
Questão 35. Considere a função ( ) 2f x x ax b= + + , sabendo que ( )f 1 8= e f '(2) = 4, assinale a alternativa que 
corresponde a 𝑎 + 𝑏. 
 
 A) −1. B) 0. C) 2. D) 4. E) 5. 
 
Questão 36. Assinale a alternativa que corresponde à função que tem a maior taxa de crescimento em 𝑥 = 0. 
A) 𝑦 = 5𝑥² + 2𝑥 + 100 B) 𝑦 = 𝑥³ + 2𝑥² + 𝑥 + 400 C) 𝑦 = 4𝑥 + 70 
 
D) 𝑦 = 4𝑥³ + 3𝑥 + 10 E) 𝑦 = 7𝑥² + 2𝑥 
 
Questão 37. Considere a função y x x x= + −3 22 4 , podemos afirmar que a equação da reta tangente a essa curva o 
ponto de abscissa 𝑥0 = 1 é perpendicular a reta: 
 
A) 2𝑦 + 𝑥 + 1 = 0 B) 𝑦 − 𝑥 + 2 = 0 C) 𝑦 + 𝑥 − 1 = 0 
 
D) 𝑦 − 4𝑥 − 1 = 0 E) 3𝑦 + 𝑥 − 3 = 0 
 
Questão 38. Determine a equação da reta tangente à parábola 𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 3 que é paralela à reta 𝑦 = −4𝑥 + 3 e 
assinale a alternativa correta. 
A) 𝑦 = −4𝑥 + 1 B) 𝑦 = −𝑥 + 4 C) 𝑦 = −4𝑥 − 1 
 
D) 𝑦 = 4𝑥 − 1 E) 𝑦 = 𝑥 − 4 
 
Questão 39. A derivada de uma função em um ponto de abscissa 𝑥o nos dá a declividade (coeficiente angular) da reta 
tangente neste ponto, ou seja, a derivada é a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo 𝑂𝑥. 
Logo, no gráfico abaixo, o valor da derivada da função no ponto de abscissa 𝑥o é: 
 
A) −1. 
B) 0. 
C) 1. 
D) 1,5. 
E) 2. 
 
 
 
 
 
Cálculo Instrumental – Limites 
_______________________________________________________________________________ 
 8 
 
Questão 40. Seja f uma função definida num domínio D; sejam xo e (xo + x) dois pontos de D. Quando a variável x 
passa do valor xo para o valor (xo + x) sofrendo uma variação  x, o correspondente valor da função passa de 
f(xo) para o valor f(xo +  x) sofrendo, portanto, uma variação  y = f(xo +  x) – f(xo). Assinale a alternativa que 
corresponde ao quociente que recebe o nome de taxa média de variação da função. 
 
A) 
x
xfxxf
x
y oo

+−
=

 )()(
 
B) 
x
xfxxf
x
y oo

−−
=

 )()(
 
C) 
0
)()(
xx
xfxxf
x
y oo
−
−+
=


 
D) 
xx
xfxxf
x
y oo
+
−+
=


0
)()(
 
E) 
x
xfxxf
x
y oo

−+
=

 )()(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 1. 
(a) 2 (f) 2 (k) 3 (p) + (u) não, pois (a) (r) 
(b) − (g) não existe (l) 2 (q) 1 (v) não, pois (n) (q) 
(c) + (h) − (m) 2 (r) 1 (w) sim, pois (k) = (t) 
(d) não existe (i) 3 (n) 2 (s) 2 (x) não por (g) 
(e) 3 (j) 3 (o) 1 (t) 3 (y) − 
 
Questão 2. 
 
(a) 
 
 
( ) ( )
x 1 x 1
lim f x 1, lim f x 3
− +→ →
= = , não existe ( )
x 1
lim f x
→
 
 
 
 
(b) 
 
 
( ) ( ) ( )
x 0x 0 x 0
lim f x lim f x lim f x 1
− + →→ →
= = = 
− − − −     
−
−






y = joinx (2^x|0,2^-x)
Respostas 
 
Cálculo Instrumental –Limites 
_______________________________________________________________________________ 
 9 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )
x 2x 2 x 2
lim f x lim f x lim f x 4
− + →−→− →−
= = = 
 
 
(d) 
 
 
 
( ) ( ) ( )
x 1x 1 x 1
lim f x lim f x lim f x 0
− + →→ →
= = = 
Questão 3. 
(a) Não é contínua em 1, pois não existe ( )
x 1
lim f x
→
. 
 (b) Não é contínua em 0, pois ( ) ( )
x 0
lim f x f 0
→
 . 
(c) É contínua em -2 , pois ( ) ( )
x 2
lim f x f 2 4
→−
= − = . 
(d) Não é contínua em 1, pois ( ) ( )
x 1
lim f x f 1
→
 . 
Questão 4. 
a) V b) F c) V d) F e) F f) F 
Questão 6. 
(a) 2 (b) 1 (c) 0 (d) 2/27 (e) 2 (f) 5/3 
(g) 75/2 (h) 28/3 
(i) 2 2/ 
 
Questão 7. 
(a) ½ (b) 1/3 (c) 4/3 (d) - 1/4 (e) 1/16 (f) 1/8 
 
Questão 8. 
b) 
 
 
Questão 9. 
(a) − 
(b) Não existe, pois 
x 3
3x 11
lim 
x 3−→
−
= +
−
 e 
x 3
3x 11
lim 
x 3+→
−
= −
−
. 
 
(c) Não existe, pois 
2
x 1
x 5
lim 
x 5x 4−→
+
= +
− +
 e 
2
x 1
x 5
lim 
x 5x 4+→
+
= −
− +
. 
Questão 10. 
(a) 0 (b) 2 (c) − (d) 0 (e) 0 (f) - 2 
 
 
 
− −  
−
−


x
y
− − − −     
−
−
−
−




x
y
Cálculo Instrumental – Limites 
_______________________________________________________________________________ 
 10 
 
Questão 11. 
(a) 20 unidades (b) se aproxima de 30 unidades 
 
Questão 12. 
(a) 24 unidades (b) 
t
lim N(t) 600
→+
= ; 
Questão 13. 
(a) 3 (b) 8 (c) não existe (derivadas laterais distintas) 
 
Questão 14. 
(a) 
3y ' 8x 6x 1= − + (b) 5 3y' 30x 12x 2= − + − (c) 𝑦′ = 18𝑥² − (
3
2
) 𝑥 + 12 
 (d) 
( )
2
14
y '
3x 1
= −
−
 (e) 
2 2
48x
y '
(x 16)
−
=
−
 (f) 𝑦′ = 𝑥³ + 1 
(g) 𝑦′ =
1
3 √𝑥²
3 +
1
4 √𝑥³
4 (h) 𝑦′ = 𝑒𝑥 − 3𝑥. 𝑙𝑛3 +
2
𝑥
 (i) 𝑦′ = 𝑒𝑥(2𝑥3 + 6𝑥2 − 3𝑥 − 2) 
(j) ( ) ( ) ( ) ( )xtg.xsecxcos'y 952 +−= (k) ( )xcos.x'y = (l) 𝑦′ = 8 sec(𝑥) [𝑠𝑒𝑐2(𝑥) + 𝑡𝑔²(𝑥)] 
(m) 𝑓′(𝑥) = 2𝑥. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) +
𝑥²
√1−𝑥²
 (n) 𝑓′(𝑥) =
−1
1+𝑥²
 (o) 𝑓′(𝑥) = 2𝑥. 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔(𝑥) + 1 
 
Questão 15. 𝑓′(−1) = 4 Questão 16. 𝑓′(2) = −10/3 
 
Questão 17. 𝑓′(1) = 2 Questão 18. 𝑓′(1) = 19/6 
 
Questão 19. 
(a) a = -5 (b) a = 0 e b = 7 
 
Questão 20. 
(a) 0379 :normal e 059 :tangente =−+=−− yxyx . 
(b) tangente: 𝑦 − 3𝑥 − 2 = 0 e normal: 3𝑦 + 𝑥 + 4 = 0 
 
Questão 21. 
 (a) x x= − =2 2 3, . (b) x x= = −0 4 3, . 
 
Questão 22. 
( )4252 :e tangentreta −= xy . 
 
Questão 23. 
D 
 
Questão 24. 
a) V b) F c) F d) V e) F 
 
Questão 25 B Questão 26 A Questão 27 A Questão 28 B 
Questão 29 D Questão 30 C Questão 31 D Questão 32 B 
Questão 33 E Questão 34 C Questão 35 D Questão 36 C 
Questão 37 E Questão 38 A Questão 39 E Questão 40 E