MECÂNICA CENTRÓIDES

Prévia do material em texto

Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
1
 
 
1 
CENTRÓIDES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste capítulo pretende-se introduzir o conceito de centróide, em especial quando aplicado 
para o caso de superfícies planas.♣ 
 
♣ Este documento, constitui apenas um instrumento de apoio às aulas de Física Aplicada à Engenharia Civil II. 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
2
CENTRÓIDES 
Pode-se definir centróide, como o centro geométrico de um corpo, de uma superfície, ou de 
uma linha. Para formas relativamente simples a determinação de centróides é extremamente 
fácil e objectiva, por vezes até é intuitiva, no entanto quando se trata de formas mais 
complexas, para determinar centróides é necessário recorrer a alguns conceitos de base, os 
quais se apresentam de seguida. 
1.1 CENTRO DE FORÇAS PARALELAS 
Considere-se um sistema de forças paralelas, de expressão geral: 
 
i iF F u= ⋅
G G 
 
 
a) 
 
b) 
Figura 1. a) Sistema de forças paralelas; b) Resultante do sistema de forças paralelas. 
 
A resultante das forças paralelas R
G
 e o momento resultante 0M
G
 em relação a 0 são dados 
pelas seguintes expressões: 
 
1
n
i
i
R F
=
= ∑G G 0
1
n
i i
i
M r F
=
= ∧∑G GG 
 
em que ir
G representa o vector de posição do ponto de aplicação de cada uma das forças em 
relação à origem. Considerando uG como um vector unitário paralelo às forças representadas, 
as expressões anteriores também podem ser representadas do seguinte modo: 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
3
1
n
i
i
R F u
=
= ⋅∑G G 0
1
n
i i
i
M r F u
=
= ∧ ⋅∑G G G 
 
em que 0M
G
 também pode tomar a seguinte forma 
 
0
1
n
i i
i
M r F u
=
= ⋅ ∧∑G G G 
 
Como já se viu, este sistema pode ser representado por uma força única R
G
, considerando cr
G 
como o vector de posição do ponto de aplicação de R
G
 em relação à origem 0, pode-se 
escrever a expressão de 0M
G
 na seguinte forma: 
 
0 cM r R= ∧
G GG 
 
igualando as expressões de 0M
G
, obtém-se a seguinte igualdade 
 
1
n
i i c
i
r F u r R
=
⋅ ∧ = ∧∑ GG G G em que 
1
n
i
i
R F
=
= ∑G G então 
 
1 1
1 1
1 1
n n
i i c i
i i
n n
i i c i
i i
n n
i i c i
i i
r F u r F
r F u r F u
r F u r F u
= =
= =
= =
⋅ ∧ = ∧ ⇔
⎛ ⎞⇔ ⋅ ∧ = ∧ ⋅ ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⇔ ⋅ ∧ = ⋅ ∧⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
GG G G
G G G G
G G G G
 
 
igualando os primeiros termos obtém-se 
 
1 1
n n
i i c i
i i
r F r F
= =
⎛ ⎞⋅ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑
G G que se pode expressar da seguinte forma 1
1
n
i i
i
c n
i
i
r F
r
F
=
=
⋅
=
∑
∑
G
G 
 
O vector cr
G , assim definido, representa o centro de forças paralelas, sendo o ponto de 
aplicação da resultante deste sistema. 
 
Considerando c c c cr x i y j z k= ⋅ + ⋅ + ⋅
GG GG , as coordenadas do centro de forças paralelas são dadas 
por: 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
4
1
1
n
i i
i
c n
i
i
x F
x
F
=
=
⋅
=
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
c n
i
i
y F
y
F
=
=
⋅
=
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
c n
i
i
z F
z
F
=
=
⋅
=
∑
∑
 
1.2 CENTRO DE GRAVIDADE 
O peso de um corpo é definido como a força com que a Terra atrai o corpo. O ponto de 
aplicação do peso de um corpo é denominado por centro de gravidade (CG ). Considerando 
um corpo como um sistema material, de massa total M , verifica-se que cada ponto material 
de massa im , está sujeito a uma força gravítica iP∆ . 
 
Se o sistema for de pequenas dimensões, o conjunto destas forças iP∆ , constituem um sistema 
de forças paralelas, cuja resultante fica aplicada no ponto CG . 
 
Considerando i iP m g∆ = ⋅ , em que g representa a aceleração da gravidade, pode-se 
representar o peso total de um corpo como sendo: 
 
1
n
i
i
P P
=
= ∆∑ 
 
Desta forma e por analogia com o que foi apresentado na secção anterior, pode-se representar 
o vector de posição de um centro de gravidade (CG ), como: 
 
1
1
n
i i
i
CG n
i
i
r P
r
P
=
=
⋅∆
=
∆
∑
∑
G
G 
 
tal como na secção anterior também se podem representar as coordenadas do centro de 
gravidade, as quais se podem escrever como: 
 
1
1
n
i i
i
CG n
i
i
x P
x
P
=
=
⋅∆
=
∆
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
CG n
i
i
y P
y
P
=
=
⋅∆
=
∆
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
CG n
i
i
z P
z
P
=
=
⋅∆
=
∆
∑
∑
 
 
Considerando agora que o número de elementos em que se divide um determinado corpo é 
infinito, e que esses elementos apresentam simultaneamente dimensões menores, a 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
5
determinação do seu centro de gravidade só será possível recorrendo ao conceito de cálculo 
integral. Desta forma o peso do corpo será determinado recorrendo à seguinte expressão: 
 
P dP= ∫ 
 
Desta forma o vector de posição do centro de gravidade (CG ), será dado da seguinte forma: 
 
CG
rdP
r
dP
= ∫∫
G 
 
e em que as coordenadas do centro de gravidade serão agora escritas da seguinte forma: 
 
CG
xdP
x
dP
= ∫∫ ; CG
ydP
y
dP
= ∫∫ ; CG
zdP
z
dP
= ∫∫ 
1.3 CENTRO DE MASSA 
O conceito relativo à obtenção de centro de massa (CM ) baseia-se no exposto para o caso de 
centros de gravidade, baseando-se no facto de se considerar a aceleração da gravidade g 
como sendo constante, obtendo-se como se apresenta: 
 
11 1 1
1 1 11
nn n n
i ii i i i i i
ii i i
CM n n nn
i i ii
i i ii
g r mr P r m g r m
r
P m g mg m
== = =
= = ==
⎛ ⎞⋅ ⋅⋅∆ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠= = = =⎛ ⎞∆ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
∑∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑∑
GG G G
G 
 
o qual se pode escrever também em função de um sistema de coordenadas: 
 
1
1
n
i i
i
CM n
i
i
x m
x
m
=
=
⋅
=
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
CM n
i
i
y m
y
m
=
=
⋅
=
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
CM n
i
i
z m
z
m
=
=
⋅
=
∑
∑
 
 
Considerando agora que se está perante um sistema material, com um grande número de 
partículas e uma distribuição contínua de matéria não decomponível em partes finitas. A 
determinação das coordenadas de centro de massa (CM ) será feita com base nas seguintes 
expressões: 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
6
CM
xdm
x
dm
= ∫∫ ; CM
ydm
y
dm
= ∫∫ ; CM
zdm
z
dm
= ∫∫ 
 
Porém, o cálculo destes integrais não é directo, é necessário introduzir alguns conceitos, por 
forma a torná-los resolúveis. Como seja a passagem de elementos de massa para elementos de 
volume, pelo conceito de massa volúmica ρ , em que: 
 
dm dm dv
dv
ρ ρ= ⇔ = 
 
quando se está perante corpos com material homogéneo .constρ = , então as coordenadas de 
centro de massa (CM ), passam a escrever-se da seguinte forma: 
 
CM
xdv
x
dv
= ∫∫ ; CM
ydv
y
dv
= ∫∫ ; CM
zdv
z
dv
= ∫∫ 
 
Dependendo neste caso, só das dimensões do corpo. O ponto determinado por estas 
expressões, será para corpos homogéneos, designado por baricentro, uma vez que coincide 
com o centro geométrico (centróide) do corpo e com o seu centro de massa. 
1.4 CENTRÓIDES DE SUPERFÍCIES E LINHAS 
Relativamente às superfícies, o cálculo dos seus centróides é definido por analogia com que já 
foi apresentado para o caso de volumes. Assim sendo definem-se duas situações: 
 
i) Superfície decomponível em partes finitas de dimensões conhecidas iA , cujos 
centróides sãoconhecidos ( );i i iC x y . 
 
 
Figura 2. Superfície decomposta em figuras conhecidas de centróides conhecidos. 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
7
1
1
n
i i
i
C n
i
i
A x
x
A
=
=
⋅
=
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
C n
i
i
A y
y
A
=
=
⋅
=
∑
∑
 
 
ii) Superfície só decomponível em partes infinitesimais, recorrendo a áreas elementares 
dA , cuja posição é definida pelas coordenadas x e y . 
 
 
Figura 3. Superfície decomponível em áreas elementares. 
 
C
xdA
x
dA
= ∫∫ ; C
ydA
y
dA
= ∫∫ 
 
Associada à definição dos centróides de superfícies surge também a dos centróides de linhas, 
a qual se define da mesma maneira. Definem-se igualmente duas situações: 
 
i) Linha decomponível em partes finitas de dimensões conhecidas iL , cujos centróides 
são conhecidos ( );i i iC x y . 
 
1
1
n
i i
i
C n
i
i
L x
x
L
=
=
⋅
=
∑
∑
; 1
1
n
i i
i
C n
i
i
L y
y
L
=
=
⋅
=
∑
∑
 
 
ii) Linha só decomponível em partes infinitesimais, recorrendo a troços elementares dL , 
cuja posição é definida pelas coordenadas x e y . 
 
C
xdL
x
dL
= ∫∫ ; C
ydL
y
dL
= ∫∫ 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
8
1.5 PROPRIEDADES DE BARICENTROS E CENTRÓIDES 
Relativamente aos baricentros e/ou centróides existem algumas propriedades, as quais estão 
relacionadas com elementos de simetria, particularmente eixos e pontos de simetria, os quais 
importa definir em primeiro lugar: 
 
i) Eixo de simetria, é um eixo que divide uma superfície ou um corpo em duas partes 
exactamente iguais. A simetria axial não é forçosamente ortogonal, podendo 
manifestar-se paralelamente a uma qualquer recta não perpendicular ao eixo de 
simetria. 
 
ii) Centro de simetria, a uma transformação geométrica que a cada ponto A do plano faz 
corresponder outro ponto A’ desse plano de tal forma que ambos estejam alinhados 
com um determinado ponto fixo C, à mesma distância deste (não podendo ser 
coincidentes, A e A’ localizam-se em lados opostos relativamente a C) dá-se o nome 
de simetria central. O ponto C recebe o nome de centro de simetria e A e A’ dizem-se 
pontos simétricos. Também se pode designar esta transformação geométrica por 
simetria pontual. A simetria central pode entender-se como sendo um caso particular 
de uma rotação de 180º. 
 
 
a) 
 
b) 
Figura 4. a) Eixo de simetria; b) Centro de simetria. 
 
Apresentam-se em seguida as principais propriedades, relativas aos baricentros e centróides: 
 
• Se uma superfície apresenta um elemento de simetria, o centroíde está 
necessariamente contido nesse elemento; 
• Se a superfície tem um centro de simetria, esse ponto é o baricentro ou o centróide; 
• Se a superfície admite dois eixos de simetria o centróide ou baricentro é o ponto de 
encontro dos dois eixos; 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
9
• Nem sempre o centróide está localizado no interior de uma superfície, poderá ser 
encontrado fora dela. 
 
 
a) 
 
b) 
Figura 5. a) Figuras com dois eixos de simetria; b) Centróide fora da superfície. 
 
Para um corpo de forma irregular, constituído por materiais diferentes o centro de gravidade 
estará mais próximo da zona mais “pesada”. 
1.6 MOMENTO ESTÁTICO 
Em primeiro lugar convém abordar o conceito geral de momento de uma força. O momento 
estático de uma força em relação a um plano, eixo ou ponto, é igual ao produto da força pela 
distância do seu ponto de aplicação à base de referência. 
 
M F d= ⋅ 
 
1.6.1 Momento estático de uma superfície plana 
O momento estático de uma superfície plana difere do conceito geral de momento estático 
anteriormente definido em dois aspectos: 
 
i) A força F é substituída pela área A da superfície; 
ii) Relativamente às forças considera-se d como a distância do ponto de aplicação destas 
à base de referência, enquanto que para as superfícies se considera d como a distância 
do centróide da superfície à base de referência. 
 
Em seguida apresenta-se a definição de momento estático de acordo com o tipo de superfície 
considerada. Consideram-se as seguintes duas situações: 
 
i) Superfície decomponível em partes finitas (superfícies conhecidas como sejam 
rectângulos, triângulos, círculos, etc.) de área iA , tendo como coordenadas do seu 
ponto de aplicação (centróide) ( );i i iC x y 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
10
1
n
X i i
i
M A y
=
= ⋅∑ ; 
1
n
Y i i
i
M A x
=
= ⋅∑ 
 
ii) Superfície só decomponível em parcelas infinitesimais, de área elementar dA , cuja 
posição é dada pelas coordenadas x e y 
 
XM ydA= ∫ ; YM xdA= ∫ 
 
O conceito de momento estático de linhas pode ser obtido por analogia com o de superfícies, 
no entanto, devido à sua pouca aplicabilidade, não será exposto. 
1.7 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDINUS 
A formulação destes teoremas remonta ao século III a. C., os quais foram inicialmente 
abordados pelo geómetra grego Pappus e mais tarde retomados pelo matemático suíço 
Guldinus (1577-1643), resultando da combinação dos nomes destes dois autores a sua 
designação. Estudam superfícies e corpos de revolução, permitindo o cálculo das suas áreas e 
volumes. 
 
Antes de introduzir estes teoremas proceder-se-á à definição de superfície de revolução e 
corpo de revolução. 
 
Uma superfície de revolução é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma linha 
plana em torno de um eixo fixo, tal como se apresenta nas figuras seguintes. 
 
 
Superfície cónica 
 
Superfície esférica 
Figura 6. Superfícies de revolução. 
 
Um corpo de revolução é um corpo que pode ser gerado pela rotação de uma superfície plana 
em torno de um eixo fixo, tal como se apresenta nas figuras seguintes. 
 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
11
 
Cone 
 
Esfera 
Figura 7. Corpos de revolução. 
 
1º TEOREMA (linhas planas → superfícies): A área de uma superfície de revolução é 
obtida multiplicando o comprimento da linha geratriz, pelo percurso do centróide da linha, 
durante o movimento de rotação que gera a superfície. 
 
A d Lθ= ⋅ ⋅ 
 
em que: 
 
A - é a área da superfície de revolução; 
θ - é o ângulo de revolução, em radianos; 
d - é a distância do centróide da linha ao eixo de rotação; 
L - é comprimento da linha. 
 
 
2º TEOREMA (superfícies planas → corpos): O volume de um corpo de revolução é obtido 
multiplicando a área da superfície geradora, pelo percurso do centróide desta, durante o 
movimento de rotação que gera o volume. 
 
sV d Aθ= ⋅ ⋅ 
 
em que: 
 
V - é o volume de revolução; 
θ - é o ângulo de revolução, em radianos; 
d - é a distância do centróide da superfície plana ao eixo de rotação; 
sA - é a área da superfície plana. 
 
 
 
 
 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
12
1.8 OUTRAS APLICAÇÕES 
O conceito de centróide pode também ser utilizado em outras aplicações, como seja no caso 
de cargas distribuídas em vigas, nas quais este conceito é aplicado para determinar a 
localização do ponto da viga em que deverá ser aplicada uma única carga concentrada (que 
representa a resultante das cargas distribuídas). 
 
 
a) 
 
b) 
Figura 8. a) Carga distribuída numa viga; b) Ponto de aplicação da carga concentrada. 
 
1.9 EXERCÍCIOS 
Apresentam-se agora alguns exercícios para melhor compreender e colocar em prática os 
conceitos atrás enunciados. 
1.9.1 Exercício 
Considere a chapa indicada na figura. Para as unidades dadas em [cm], determine: 
 
a) As coordenadas do centróide. 
b) O momento estáticorelativamente ao eixo y = - 2. 
 
0
Y
X
1
23
 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
13
R: A superfície aparece já dividida em figuras e com o sistema de eixos indicado. 
 
a) Para determinar as coordenadas do centróide basta aplicar as seguintes expressões: 
 
( )
( )
2
1
2
1
2 6 2 2 4 23 6 1,5 3
2 3 4 3
2,22 
2 6 23 6
2 4
n
i i
i
C n
i
i
A x
x cm
A
π
π
π
=
=
⎛ ⎞⎛ × ⎞ × ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × + × + − ×⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = ≈⎛ ⎞× ×⎛ ⎞× + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑
∑
 
 
( )
( )
2
1
2
1
2 6 2 6 2 4 23 6 3 6
2 3 4 3
2,96 
2 6 23 6
2 4
n
i i
i
C n
i
i
A y
y cm
A
π
π
π
=
=
⎛ ⎞⎛ × × ⎞ × ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × + × − × −⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = ≈⎛ ⎞× ×⎛ ⎞× + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑
∑
 
 
b) Relativamente ao momento estático, basta aplicar a expressão M A d= ⋅ , tem-se 
então: 
 
( ) ( ) 32 20,86 2 2,96 103,47 yM A d cm=− = ⋅ ≈ × + ≈ 
1.9.2 Exercício 
A figura indicada é constituída pela secção transversal de dois perfis UNP, com iguais 
dimensões. Determine e indique na figura o centro de gravidade do conjunto. (Considere as 
unidades em cm) 
 
 
 
R: Em primeiro lugar deverá indicar-se o sistema de eixos a utilizar para a resolução do 
problema, de seguida procede-se à divisão da secção transversal (superfície) em figuras das 
quais se conhece perfeitamente os centróides (como sejam rectângulos, triângulos, círculos, 
etc.). Convém utilizar o menor numero de figuras possível, por forma a simplificar em termos 
de cálculo, na figura seguinte apresentam-se as opções tomadas, que podem ser outras. 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
14
0
Y
X
12
3
4
 
 
Trata-se portanto de uma superfície decomponível em figuras, aplicando-se as seguintes 
expressões: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1
7 14 3,5 5,5 11 2,75 14 7 14 11 5,5 14
9,355 
7 14 5,5 11 14 7 11 5,5
n
i i
i
C n
i
i
A x
x cm
A
=
=
⋅ × × − × × + × × − × ×= = ≈× − × + × − ×
∑
∑
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1
7 14 7 5,5 11 7 14 7 10,5 11 5,5 9,75
9,355 
7 14 5,5 11 14 7 11 5,5
n
i i
i
C n
i
i
A y
y cm
A
=
=
⋅ × × − × × + × × − × ×= = ≈× − × + × − ×
∑
∑
 
 
em que os valores de ix representam as distâncias dos centróides das figuras ao eixo dos YY 
medidas no eixo dos XX e os valores de iy representam as distâncias dos centróides das 
figuras ao eixo dos XX medidas no eixo dos YY. 
1.9.3 Exercício 
As figuras que se apresentam em seguida contém a planta e a secção transversal de uma 
pequena barragem de betão, com as dimensões indicadas em metros. Determine: 
 
a) A área de cofragem necessária para a betonagem das faces laterais AB e CD. 
b) O volume total de betão necessário para a construção da barragem. 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
15
 
 
R: Em primeiro lugar convém compreender bem a figura, à esquerda encontra-se a planta e à 
direita um corte. 
 
a) Relativamente a esta alínea, resolve-se aplicando o 1º teorema de Pappus-Guldinus, 
que se baseia na aplicação da seguinte expressão A d Lθ= ⋅ ⋅ . Uma vez que o que se 
pretende é a superfície gerada pela rotação das linhas AB e CD (que se podem ver no 
corte AA’). O ângulo de rotação θ está indicado na planta da figura, em que o valor 
de 45º deverá obrigatoriamente ser convertido em radianos / 4π ou 0,785≈ . 
Relativamente à distância d , para a face lateral AB corresponde à distância do centro 
de rotação ao centróide da linha AB medida em planta, ou seja, aos 100 m 
correspondentes ao raio R deverão somar-se 1,5 m que corresponde à distância do 
centróide da linha AB até A, quando esta é projectada em planta. Para a face lateral 
CD, aos 100 m correspondentes ao raio R deverão somar-se 7 m , que corresponde à 
distãncia de A a D (a projecção em planta do centróide da linha CD corresponde ao 
próprio ponto D e também ao ponto C). Relativamente aos comprimentos das linhas 
L , para a linha AB aplica-se o teorema de Pitágoras, enquanto que o comprimento da 
linha CD é dado directamente. Assim sendo: 
 
2 210 3 10,44 ABL m= + = 
 
2101,5 10,44 832,26 
4AB
A mπ= × × ≈ 
 
2107 10 840,38 
4CD
A mπ= × × ≈ 
 
21672,64 total AB CDA A A m= + ≈ 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
16
b) A resolução desta alínea baseia-se na aplicação do 2º teorema de Pappus-Guldinus, 
que consiste na aplicação da expressão sV d Aθ= ⋅ ⋅ . O ângulo de rotação θ é 45º, 
deverá obrigatoriamente ser convertido em radianos / 4π ou 0,785≈ . A distância d , 
vai do centro de rotação até à projecção em planta do centróide da secção AA’. E sA 
corresponde à área da secção transversal do corte AA’. Considere-se a secção 
transversal como se mostra em seguida. 
 
0
Y
X
1
2
 
 
( )
( )
1
1
3 10 2 4 10 5
2 4,18 
3 10 4 10
2
n
i i
i
C n
i
i
A x
x m
A
=
=
×⎛ ⎞× + × ×⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠= = ≈×⎛ ⎞ + ×⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
∑
 
 
100 4,18 104,18 d m= + = 
 
( ) 23 10 4 10 55 
2s
A m×⎛ ⎞= + × =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
3104,18 55 4500,25 
4
V mπ= × × = 
1.9.4 Exercício 
Uma chapa metálica foi cortada ao longo da curva y = x2, da recta y = 0 e x = 2 (unidades SI), 
determine por integração: 
 
a) A sua área. 
b) As coordenadas do baricentro. 
c) Determine o volume do sólido gerado pela rotação completa da referida chapa em 
torno do eixo x = 6. 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
17
R: Em primeiro lugar convém “desenhar” a superfície: 
 
 
 
Uma vez “desenhada” a superfície a resposta às várias alíneas é quase imediata (é necessário 
proceder à resolução dos integrais). 
 
a) A área de uma superfície é dada pelo seguinte integral: 
 
( )2 23 32 2 2 2
0 0 0
0
2 2,67 
3 3
x xA dA dydx x dx m
⎡ ⎤= = = = = ≈⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ 
 
b) Para determinar as coordenadas do baricentro ou centróide é necessário calcular os 
momentos estáticos relativamente aos eixos X e Y: 
 
( )
2
2
22 4 52 2 2 3
0 0 0 0
0 0
3, 2 
2 2 10
x
x
X
y x xM ydA y dydx dx dx m
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = = ≈⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( ) [ ] 22
242 2 2 3 3
0 0 0 0
0
4,0 
4
xx
Y o
xM xdA x dydx x y dx x dx m
⎡ ⎤= = = = = =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
as coordenadas dos centróide são dadas por: 
 
4,0 1,50 
2,67
Y
C
xdAMx m
A dA
= = = ≈∫∫ 
 
3, 2 1, 20 
2,67
X
C
ydAMy m
A dA
= = = ≈∫∫ 
 
c) Relativamente ao cálculo deste volume, consiste na aplicação do 2º teorema de 
Pappus-Guldinus, que se baseia na seguinte expressão sV d Aθ= ⋅ ⋅ , em que θ é o 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
18
ângulo de revolução, que neste caso como é uma rotação completa corresponde a 2π 
(este valor é sempre considerado em radianos). O parâmetro d , representa a distância 
que vai do centro de rotação (neste caso o eixo x = 6) até ao centróide da figura. E sA 
corresponde à área da figura. Tem-se então: 
 
( ) 32 6 1,5 2,67 75, 49 sV d A mθ π= ⋅ ⋅ = × − × ≈ 
1.9.5 Exercício 
Considere uma superfície limitada pelas seguintes linhas, y = 2; y = 4; y = x2; e y = x/2, com 
unidades dadas em [m]. Determine: 
 
a) O momento estático relativamente ao eixo y = -5. 
b) Qual a rotação necessária para originar um volume de 20 m3 em torno do eixo x = 10. 
 
R: Em primeiro lugar convém “desenhar” a superfície: 
 
 
 
a) A determinação do momento estático não é directa, em primeiro lugar determina-se 
por intergração a área da figura e o centróide Cy : 
 
[ ] ( ) 4324 2 4 4 12 2 222 2 2
2
2 8,55 3
2
y y
yy
yA dA dxdy x dy y y dy y m
⎡ ⎤⎢ ⎥= = = =− = − ≈⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( ) [ ] ( ) 4532 24 2 4 4 32 322 2 2
2
22 26,80 53 2
yy
X y y
y yM ydA y dxdy xy dy y y dy m
⎡ ⎤⎢ ⎥= = = = − = − ≈⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
26,80 3,13 
8,55
X
C
ydAMy m
A dA
= = = ≈∫∫ 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
19
Uma vez determinada a área da superfície e o seu centróide relativamente ao eixo dos XX, 
basta aplicar a definição do conceito de momento estático, ou seja M A d= ⋅ , tem-se então: 
 
( ) ( ) 35 8,55 5 3,13 69,51 yM A d cm=− = ⋅ ≈ × + ≈ 
 
b) Em primeiro lugar é necessário determinar o centróide Cx , 
 
( )
2 42 2 3 24 2 4 4 3
2 2 2
2
4 4 34,33 
2 2 2 6 4
y
y
Y y
y
x y y y yM xdA x dxdy dy dy m
⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = = = − = − ≈⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
34,33 4,02 
8,55
Y
C
xdAMx m
A dA
= = = ≈∫∫ 
 
agora basta aplicar o 2º teorema de Pappus-Guldinus, ou seja, a expressão sV d Aθ= ⋅ ⋅ : 
 
( )20 10 4,02 8,55 0,39 sV d A radθ θ θ= ⋅ ⋅ ⇔ = × − × ⇔ ≈ 
 
 
1.10 BIBLIOGRAFIA 
Beer, F.; Johnston, E. “Mecânica Vectorial para Engenheiros – Estática (sexta edição)”, 
MacGrawHill, 1998. 
Meriam, J.; Kraige, L. “Engineering Mechanics – Statics (fourth edition)”, John Willey & 
Sons, INC, 1998. 
Brazão Farinha, J. “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E. T. L. L.da, 1998. 
 
 
 
 
 
Física Aplicada à Engenharia Civil II Paulo Mendes 
 
 
 
20
FORMULÁRIOS DE CENTRÓIDES 
 
 
 
LINHAS 
 
FORMA X Y 
Arco
de 
Circun-
ferência
R
α G
X
0 X
Y
 
2
2
sen
R
α
α
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 
0 
Quarto
de 
Circun-
ferência
Y
X
G
R
X
Y
0
 
2R
π 
2R
π
 
Meia
Circunferência
Y
X
G
0 R
Y
 
0 
2R
π
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
 
FORMA X Y 
Sector
Circular
Y
X0
X
Gα
R
 
2 2
3 2
sen
R
α
α
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 0 
Quarto
de 
Círculo
0
Y
X
R
G
X
Y
 
4
3
R
π 
4
3
R
π
Meio Círculo
Y
R0
G
X
Y
 
0 
4
3
R
π
Quarto
de 
Elipse
X
Y
X
Gb
Y
0 a
 
4
3
a
π 
4
3
b
π
Y
Triângulo
0
G
X
Y
h
b
 
- 
3
h