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São proposições lógicas sentido completo declarativas sujeito verbo x Ele consideradas : a) Frases com ou Frases ( + ). Exs.: Pelé jogou no Santos. A Terra é conhecida como planeta verde. Viajo. consideradas : a) Frases que possuem . Ex.: Ninguém é de ninguém. b) Frases . Ex.: Sou feliz? c) Frases .. Ex.: Passei no concurso! d) Frases . Ex.: Escute minhas palavras, meu filho. e) Sentenças representasdas por variáveis. Exs.: + 3 = 8 / foi o melhor presidente do Brasil. Não são proposições lógicas não sentido completo interrogativas exclamativas imperativas abertas Número de linhas da tabela-verdade Em relação às possíveis combinações entre os valores lógicos que as n proposições simples podem assunir, teremos um total de 2 linhas, onde representa o número de . Ex.: Quantas linas possui a proposição composta A B (C D)? n = 4 proposições simples (A, B, C e D) 4 Nº de linhas = 2 = 16 linhas “n” proposições simples l ç ma p s u s Em re a ão ao de u pro o ição simples o a olução u o ão o a, d s c :de ma prop siç comp st efinine- e omo se r sult o o ç f n s ar me t a) : o e ad ou a s lu ão i al apre ent so n e açvalor ão . ) s o s u a s ão l e t b : e re ultado o oluç fina apres n ar me t l açso n e va or ão . ) : iz mo ue ma umac d e s q u é o ua o n ut g u u , q nd ão for uma ta olo ia o nt .co radição o gval r ló ico p si cropo ção omposta T o giaut lo a v d rer adei a çãoContradi falsa C t aon igênci nti nd naçãoco gência i etermi A B ~A ~B A ~A A ~A A ~B V V F F V F F V F F V V F V F V V F V F V F F V V V F V tautologia contradição contigência Duas proposições compostas são equivalentes, quando ambas possuem a mesma solução da tabela-verdade. As principais equivalências são: A)](~[BB)](~[AB)(A~ B)(~AB)(A~ BAB)(A~ B)(~A)(~B)(A~ B)(~A)(~B)(A~ MorgandeLeis Negação da conjunção:.......... Negação da disjunção:........... Negação da disj. exclusiva:.... Negação da condicional:........ Negação da bicondicional:..... Exemplo da de uma : Paulo padre Carlos corredor. Paulo padre Carlos corredor. Exemplo da de uma : Rose não ri ou Cátia não chora. Rose ri e Cátia chora. Exemplo da de uma : Beto estuda Lia dorme. Beto estuda se e somente se Lia dorme. Exemplo da de uma : Se Rute beija, então Marcelo não estuda. Rute beija e Marcelo estuda. Exemplo da de uma : Rita viaja se e somente se Bia trabalhar. Rita viaja e Bia não trabalha ou Bia trabalha e Rita não viaja. Exemplo de pela : Se Leo não ama, então Ana sorri. Léo ama ou Ana sorri. Exemplo da pela : Se Leo não ama, então Ana sorri. Se Ana não sorri, então Leo ama. negação conjunção é e não é Negação: não é ou é negação disjunção Negação: negação disjunção exclusiva Ou ou Negação: negação condicional Negação: negação bicondicional Negação: equivalência Teoria da Involução Equivalência: equivalência Contrapositiva Equivalência: Afirmação: Afirmação: Afirmação: Afirmação: Afirmação: Afirmação: Afirmação: Uma do tipo pode ser expressa (dita) de várias formas. Eis algumas: Se , Quando , implica em , Se somente se é condição suficiente para É suficiente que , para que é condição necessária para É necessário que , para que Todo é Seja a seguinte proposição condicional: Se então Se Quando implica em se somente se é condição suficiente É suficiente que é condição necessária É necessário que para que Toda vez que proposição condicional “Se A, então B” A B A B A B B A A B A B A B B A B A A B Zeca é gentil, Teresa não reclama. Zeca é gentil, Teresa não reclama. Zeca é gentil, Teresa não reclama. Zeca ser gentil Teresa não reclamar. Teresa não reclama, Zeca for gentil. Zeca é gentil Teresa não reclama. Zeca ser gentil para Teresa não reclamar. Zeca seja gentil para que Teresa não reclame. Teresa não reclamar para Zeca ser gentil. Teresa não reclame Zeca seja gentil. Zeca é gentil, Teresa reclama. 1ª representação: 2ª representação: 3ª representação: 4ª representação: 5ª representação: 6ª representação: 7ª representação: 8ª representação: 9ª representação: 10ª representação: Pela teoria da involução: Pela Contrapositiva: A)(~B)(BA BA)(~BA ~ b .: t o s a u e p r m e da s f as s O s r e q e x i m p ns me n de ã e a to e t o o ple o s n i d c m t s o o s e a d s ! c n id r a rop s õ ló s p o iç es gic a Tautologia - Contradição - Contingência o u sã fiç ci ied nn to eC C onai dr iá çs ãs oe n c e Dupla negação (Teoria da Involução) Seja “A” uma proposição verdadeira. Logo: A = V ~A = F A ~(~A) ~(~A) = V “A dupla negação, gera uma afirmação” Uma afirmação formada por um número finito de , , ..., , que tem como consequência outra , , é denominada , quando as proposições , , ..., são as e é a . Se, em um , a for uma das de suas , então, dizemos que este é ( ) Sejam as premissas , e e a conclusão . Pedro é pedreiro Paulo não é músico. Patrícia é médica, Paulo é Músico. Ana é pintora, Patrícia é médica. Lembrando que, para que esse forme um , essas deverão ser . Sendo a premissa uma , suas que a compõe serão, , ambas, , portanto, e . Sendo a premissa uma , e conhecendo-se o valor de sua como , então sua deverá ser, necessariamente, , caso contrário a premissa será . Portanto, . Por último, tem-se que a premissa , representada por uma se uma de suas partes for e a outra, . Sabendo-se que sua é , logo, sua deverá ser, , , por conseguinte, concluímos que . : ; ; e . proposições proposição argumento premissas conclusão argumento conclusão verdades premissas argumento válido Dedução para as conclusões: conjunção necessariamente Pedro é pedreiro Paulo não é músico condicional Patrícia não é médica disjunção exclusiva necessariamente Ana é pintora Pedro é pedreiro Paulo não é músico Patrícia não é médica Ana é pintora A A 1 2 A B n A A A 1 2 n B consequência obrigatria tautologia Exemplo: A A A B 1 2 3 A : e 1 A : Se então 2 A : Ou ou 3 conjunto de premissas argumento válido todas premissas verdadeiras A proposições simples 1 verdadeiras A 2 2ª premissa simples falsa 1ª premissa simples falsa A 2 falsa A 3 verdadeira falsa 2ª premissa simples falsa 1ª premissa simples verdadeira B: (conclusões) Proposições Categóricas Tipos de formadas com os seguintes termos: , e . São chamadas de . Tais proposições afirmam que o conjunto A está contido no conjunto B, ou seja, todo e qualquer elemento de A, também é elemento de B. Observação: Dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. São as seguintes expressões: Todo homem racional é pensador. Qualquer homem racional é pensador. Cada homem racional é pensador. Tais proposições afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, A e B não possuem elementos em comum. Dizer que Nenhum A é B é a dizer que: Nenhum flamenguista é vascaíno. Nenhum vascaíno é flamenguista.De maneira geral, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, presumimos que nem todo A é B. proposições proposições categóricas Todo é Nenhum é Algum é Algum não é Todo A é B equivalentes Nenhum A é B logicamente equivalente Algum A é B todo algum nenhum Universais: Particulares: a) Afirmativa Universal: b) Negativa Universal: c) Afirmativa particular: São classificadas em: A B (afirmativa universal) A B (negativa universal) A B (afirmativa particular) A B (negativa particular) Representação em diagrama: Representação em diagrama: Dizer que é a dizer que Algum B é A. Também, são as expressões seguintes: Algum brasileiro é adotado. Pelo menos um brasileiro é adotado. Existe um brasileiro que é adotado. Proposições na forma estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Dizer que Algum A não é B é logicamente equivalente a dizer que: Algum policial não é honesto Algum policial é não honesto Algum não honesto é policial. é o . O , usado para transformar em , é indicado pelo símbolo “ ” que se lê: “qualquer que seja”, “para todo”, “para cada”. Daremos alguns exemplos: 1º) ( )(x + 5 = 9): lê-se “qualquer que seja x, temos que x + 5 = 9” (falsa) 2 2 2º) ( )(x + 2x 6 = 0): lê-se “para todo x, x + 2x 6 = 0” (falsa) 3º) ( )(x 1 > 7): lê-se “para cada valor de x, temos que x 1 > 7” (falsa) O é indicado pelo símbolo: “ ” que se lê: “existe”, “existe pelo menos um” e “existe um”. Daremos alguns exemplos: 1º) ( )(x + 5 = 9): lê-se “existe um número x, tal que x + 5 = 9” (verdadeira) 2 2º) ( )(x + 4x 9 = 0): lê-se “existe pelo menos um número x, tal 2 que x + 4x 9 = 0” (verdadeira) 3º) ( )(3x + 4 > 8): lê-se “existe um número x, tal que 3x + 4 > 8” (verdadeira) I) Seja uma , do tipo ( )(A(x)), sua negação será dada da seguinte forma: substitui o pelo e nega-se A(x), obtendo: ( )(¬A(x)). Exemplo: sentença: ( )(x + 4 = 13) negação: ( )(x + 4 ≠ 13) II) Seja uma , do tipo ( )(B(x)), sua negação será dada da seguinte forma: substitui o pelo e nega-se B(x), obtendo: ( )(¬B(x)). 2 Exemplo: sentença: ( )(2x = x ) 2 negação: ( )(2x ≠ x ) Algum A é B Algum A não é B Nem todo policial h nesto logicamente equivalente equivalentes Algum A não é B proposições abertas proposições fechadas quantificador universal existencial quantificador existencial universal Representação em diagrama: Representação em diagrama: d) Negativa particular: Negação de uma proposição categórica Pela recíprocra da negação, teremos: O quantificador universal quantificador universal O quantificador existencial quantificador existencial Negação das proposições quantificadas sentença quantificada sentença quantificada Proposições quantificadas ou funcionais BéAAlgumB) é A(Nenhum~ BénãoAAlgumB) é A(Todo~ B é ANenhumB)éA(Algum~ B é ATodoB)énãoA(Algum~ x x x x x x x x x x x x x x Página 1 Página 2
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