Aula8 Equivalencia Logica (Part 2)

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR 
Departamento Acadêmico de Informática – DAINF 
Curso de Engenharia de Computação 
Disciplina de Lógica para Computação 
 
"Você não gosta de Matemática porque não gosta, ou não gosta porque 
não entende. Aprenda um pouquinho, goste um pouquinho mais... Assim, 
cada vez será mais fácil dar o próximo passo (...)". 
 
 
Aula 8 - Proposições Associadas a uma condicional 
Definição: Dada a condicional p  q, chamam-se proposições associadas a p  q as 
três seguintes proposições condicionais que contêm p e q: 
a) Proposição recíproca de p  q: q  p 
b) Proposição contrária de p  q: p  q 
c) Proposição contrapositiva de p  q: q  p 
Às tabelas-verdade destas quatro proposições são: 
 
p q p  q q  p p  q q  p 
V V V V V V 
V F F V V F 
F V V F F V 
F F V V V V 
e demonstram as duas importantes propriedades: 
 
I. A condicional p  q e a sua contrapositiva q  p são equivalentes, isto é, 
simbolicamente: 
 
p  q  q  p 
 
II. A recíproca q  p e a sua contrária p  q da condicional p  q são 
equivalentes, isto é, simbolicamente: 
 
q  p  p  q 
 
 As mesmas tabelas-verdade também demonstram que a condicional p  q e a 
sua recíproca q  p ou a sua contrária p  q não são equivalentes. 
 A contrária p  q também é denominada a inversa de p  q e a contrapositiva 
de p  q. 
 
Exemplos: 
 
1) Seja a condicional relativa a um triângulo T: 
p  q: Se T é equilátero, então T é isósceles 
 
A recíproca desta proposição é: 
 
q  p: Se T é isósceles, então T é equilátero 
 
Aqui, a condicional p  q é verdadeira (V) mas a sua recíproca q  p é falsa(F). 
 
2) A contrapositiva da condicional: 
 
p  q: Se Carlos é professor, então é pobre 
é 
q  p: Se Carlos não é pobre, então não é professor 
 
3) Seja achar a contrapositiva da condicional: 
 
Se x é menor que zero, então x não é positivo 
 
representando por p a proposição x é menor que zero e por q a proposição x é 
positivo, a condicional dada sob forma simbólica excreve-se: p  q, e por 
conseguinte a sua contrapositiva é: 
 
q  p  q  p 
 
isto é, em linguagem corrente: Se x é positivo, então x não é menor que zero. 
 
4) Seja demonstrar a proposição condicional: 
 
p  q: Se x2 é impar, então x é ímpar 
 
a contrapositiva desta condicional é: 
 
q  p: Se x é par, então x2 é par 
 
5) Vamos determinar as seguintes condicionais: 
 
a) A contrapositiva da contrapositiva de p  q 
b) A contrapositiva da recíproca de p  q 
c) A contrapositiva da contrária de p  q 
 
Resolução: 
a) A contrapositiva de p  q é q  p. E a contrapositiva de q  p 
é: p  q  p  q. 
b) A recíproca de p  q é q  p. E a contrapositiva de q  p é: p  q 
é: q  p  q  p. 
c) A contrária de p  q é p  q. E a contrapositiva de p  q é: 
q  p  q  p. 
 
Observe que a recíproca e a contrária são cada uma a contrapositiva da outra e que 
a condicional e a contrapositiva são cada uma a contrapositiva da outra. 
 
 
6) Vamos determinar as seguintes condicionais: 
 
a) A contrapositiva de p  q 
b) A contrapositiva de p  q 
c) A contrapositiva da recíproca de p  q 
d) A recíproca da contrapositiva de p  q 
 
Resolução: 
a) A contrapositiva de p  q é: 
 
 q  p  q  p 
 
b) A contrapositiva de p  q é 
 
 q  p  q  p 
 
c) A recíproca de p  q é q p. E a contrapositiva de q  p é: 
 
 p  q  p  q 
 
d) A contrapositiva de p  q é: 
 
 q  p  p  q 
 
e a recíproca de q  p é p  q. 
 
Negações Conjunta de duas Proposições 
 
Definição: Chama-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição 
"não p e não q", isto é, simbolicamente "p  q". 
 A negação conjunta de duas proposições p e q também se indica pela notação 
"p  q". Portanto, temos: 
 
p  q  p  q 
 
 Como a proposição "p  q" é verdadeira somente no caso em que p e q são 
ambas falsas, então, a tabela-verdade de "p  q" é a seguinte: 
 
p q p  q 
V 
V F 
V 
F F 
F 
V F 
F 
F V 
 
Negações Disjunta de duas Proposições 
 
Definição: Chama-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição "não 
p ou não q", isto é, simbolicamente "p  q". 
 A negação disjunta de duas proposições p e q também se indica pela notação "p 
 q". Portanto, temos: 
 
p  q  p  q 
 
Como a proposição "p  q" é falsa somente no caso em que p e q são ambas 
verdadeiras, então, a tabela-verdade de "p  q" é a seguinte: 
 
p 
q p  q 
V 
V F 
V 
F V 
F 
V V 
F 
F V 
 
Os símbolos "" e "" são chamados conectivos de SCHEFFER. 
 
Exercícios: 
1. Demonstrar por tabelas-verdade que os três conectivos ,  e  exprimem-se em função 
do conectivo "" de SCHEFFER do seguinte modo: 
a) p  p  p 
b) p q  (p  p)  (q  q) 
c) p  q  (p  q)  (p  q) 
2. Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição e r é falsa, 
determinar o valor lógico (V ou F) das seguintes proposições: 
a) (p  q)  (q  r) -- F 
b) ((p  q)  (q  r))  (r  p) -- V 
c) (p  q)  ((q  r)  p) -- F 
3. Demonstrar que o conectivo "" ("ou" exclusivo) exprime-se em função dos três 
conectivos ,  e  do seguinte modo: 
p  q  (p  q)  (p  q) 
4. Demonstrar que os três conectivos ,  e  exprimem-se em função do conectivo "" 
de SCHEFFER do seguinte modo: 
a) p  p  p 
b) p  q  (p  q)  (p  q) 
c) p  q  (p  p)  (q  q)