Raciocínio Lógico

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Raciocínio Lógico 
LINGUAGEM FORMAL: SENTENÇAS, PROPOSIÇÕES 
SIMPLES E COMPOSTAS E LINGUAGEM NATURAL 
LÓGICA SENTENCIAL 
“SENTENÇA”: é a expressão de um pensamento completo. 
São compostas por um sujeito (algo que se declara) e por um 
predicado (aquilo que se declara sobre o sujeito). 
Vejamos alguns exemplos do que vem a ser uma sentença. 
a) O mundo precisa de paz. 
 Sujeito/ Predicado 
b) Os políticos não se preocupam com as reais necessidades 
do povo. 
c) Que dia você contribuirá com seus conhecimentos para 
ajudar o próximo? 
- Sentença interrogativa 
d) Que matéria mais agradável! 
- Sentença exclamativa 
e) Faça com os outros aquilo que gostaria que fizessem com 
você, seja caridoso. 
Exemplos de cada tipo de sentença a seguir: 
• Afirmativas 
Ex.: Eu serei aprovado no concurso. 
• Negativas 
Ex.: Não gosto de ficar em casa 
• Imperativas 
Ex.: Estude bastante para seu concurso. 
• Exclamativas 
Ex.: Que belo dia! 
• Interrogativas 
Ex.: Qual o seu nome? 
 
É importante ressaltar que o pensamento será uma sentença 
quando o mesmo tiver sentido completo, 
independentemente do seu tipo. 
SENTENÇAS ABERTAS 
São aquelas que não podemos determinar o sujeito da 
sentença. Uma forma mais simples de identificar sentença 
aberta é quando esta não pode ser nem V (verdadeiro) nem 
F (falso). Dica: falta informação 
Dentro da lógica, as sentenças ou pensamentos terão duas 
interpretações, ou será verdadeiro, ou será falso. Uma 
sentença de sentido aberto não é passível de interpretação. 
Iremos observar que são chamadas de sentenças abertas 
porque não são passíveis de interpretação. 
“O sujeito é uma variável que pode ser substituído por um 
elemento arbitrário, transformando a expressão em uma 
proposição que pode ser valorada como V ou F.” 
• Observe o exemplo a seguir: 
Ex.: Ela foi a mulher que demonstrou maior dedicação 
àquela família. 
Nesse exemplo não é possível determinar o sujeito, visto que 
não há referência anterior. 
Na lógica bivalente, os pensamentos devem ser 
interpretados de 2 (duas) formas, ou seja, podem ser 
valorados como (VERDADEIRO) ou (FALSO), conforme os 
Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional. 
Na lógica trivalente, os pensamentos podem ser valorados 
como Verdadeiros, Falsos ou Incertos. 
AS TRÊS “LEIS DO PENSAMENTO” OU PRINCÍPIOS 
FUNDAMENTAIS DA LÓGICA PROPOSICIONAL 
 
Os que definiram a Lógica como a ciência das leis do 
pensamento sustentaram, frequentemente, que existem 
exatamente três leis fundamentais do pensamento, as quais 
são necessárias e suficientes para que o pensar desenvolva-
se de maneira “correta”. Essas leis do pensamento 
receberam, tradicionalmente, os nomes de: 
• Princípio de Identidade; 
• Princípio de Contradição (por vezes, Princípio da Não 
Contradição); e 
• Princípio do Terceiro Excluído. 
Há formulações alternativas desses princípios, apropriadas a 
diferentes contextos. No nosso caso, as formulações 
apropriadas são as seguintes: 
• O Princípio de Identidade afirma que se qualquer 
enunciado é verdadeiro, então ele é verdadeiro. 
• O Princípio da Não contradição afirma que nenhum 
enunciado pode ser verdadeiro e falso. 
• O Princípio do Terceiro Excluído afirma que um enunciado 
ou é verdadeiro ou é falso. Ou seja, não há um terceiro valor. 
Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico 
V ou F, observe atentamente os exemplos a seguir e as 
considerações realizadas: 
a. “Aquele é juiz do TRT da 1ª Região” 
• Refere-se a uma sentença aberta, visto que não é possível 
saber quem é o sujeito. 
b. “x + 5 = 10”. 
• Quem é o x? É número? É objeto? O que é x? 
• Caso o enunciado definisse, anteriormente, o “x” como 
pertencente aos números naturais, a sentença seria fechada 
(x E N / x + 5 = 10). 
c.“ {x E R/ x > 2}” 
• Qual o valor de x? 
• x pode ter inúmeros valores 
d. Que prova mais difícil! 
• Frase exclamativa. 
• Sentenças exclamativas são pensamentos subjetivos e, 
neste momento, não servem. 
Obs.: Frases exclamativas são consideradas como sentenças 
abertas, pois expressam pensamentos subjetivos, aos quais 
não temos interpretação formal. 
e. Você não vai tirar férias este ano de novo? 
• Frase interrogativa. 
• Não é possível interpretar uma pergunta. 
• Frases interrogativas serão sempre sentenças abertas. 
f. Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu 
conselho. 
• Frase imperativa. 
• Frases imperativas serão sempre sentenças abertas. 
SENTENÇAS FECHADAS 
Depois de entendermos o que são sentenças abertas, 
podemos, de uma forma excludente, entender de forma 
simples o que são as sentenças fechadas. Bem, pode-se dizer 
que se trata de pensamentos completos, aos quais podemos 
determinar o sujeito. Ao determinar o sujeito, é possível 
interpretar e atribuir Verdadeiro ou Falso. 
Ex.: Marcelo foi aprovado no concurso para delegado de 
polícia. (V ou F) 
 Sujeito 
Ex.: O prefeito do Rio de Janeiro participou do esquema de 
corrupção. (V ou F) 
 
PROPOSIÇÕES – LÓGICA PROPOSICIONAL 
Dá-se o nome de proposição a uma sentença (afirmativa ou 
negativa) formada por palavras ou símbolos que expressam 
pensamento de sentido completo, as quais se podem 
atribuir valor lógico, ou seja, valoração (verdadeiro ou falso). 
Esta valoração também é chamada de valor-lógico ou valor-
verdade. Dica: tem presença de verbo e sentindo completo 
DIAGRAMA INTERPRETATIVO 
Tudo que está dentro do conjunto “sentenças” deve possuir 
sentido completo. Aquilo que não possuir sentido completo 
será considerado “expressões”. 
Se os pensamentos com sentido completo puderem ser 
valorados, eles passarão para o subconjunto chamado de 
“proposições”. Esses pensamentos poderão ser valorados 
em Verdadeiro ou Falso. 
Uma questão que deixa clara a relação entre proposições e 
sentenças é uma questão do concurso para o cargo de 
analista do SEBRAE realizada pelo CESPE em 2008, para o 
qual a banca realizou a seguinte afirmação a ser julgada: 
“A seguinte proposição ‘Ninguém ensina ninguém’ é um 
exemplo de sentença aberta.” 
• Uma proposição, por natureza, é uma sentença fechada. 
Assim, a afirmação está errada. 
• A sentença “Ninguém ensina ninguém” pode ser valorada. 
• Quantificadores lógicos. 
– São responsáveis por transformar as sentenças abertas em 
sentenças fechadas (proposições). 
– Os quantificadores são: 
- Todo (tudo, qualquer que seja etc. [tudo o que dá ideia de 
universalidade afirmativa]) 
- Algum (existe, alguém, ao menos um, pelo menos um etc. 
[tudo o que dá ideia de particularidade]) 
- Nenhum (ninguém, não há, não existe etc. [universalidade 
negativa]) 
REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES 
As proposições podem ser representadas por letras 
maiúsculas ou minúsculas. 
p: O estado do Espírito Santo é produtor de Petróleo. 
q: O mundo precisa de Paz. 
r: Renato é um aluno dedicado. 
PROPOSIÇÕES SIMPLES, BÁSICAS, PRIMITIVAS OU 
ATÔMICAS: 
São as proposições que expressam apenas um pensamento. 
Ex.: Guarapari tem lindas praias. 
Ex.: José passou no concurso. 
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS, MOLECULARES OU 
FÓRMULAS PROPOSICIONAIS: 
São as proposições que expressam mais de um pensamento. 
As proposições compostas costumam ser chamadas de 
fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. 
Ex.: José passou no concurso e Guarapari tem lindas praias. 
As proposições compostas são ligadas por conectivos. 
LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL E TABELAS 
VERDADE 
Este assunto tem sido explorado por lógicos e matemáticos 
desde os tempos de Aristóteles, mas tomou rumos 
fascinantes principalmente a partir dos escritos de Frege no 
século XIX. Quando surgiram as primeiras linguagens formais 
(Frege, Peano, Russell, Carnap), o ponto de vista dos 
estudiosos era basicamente “realista” e “normativo”. 
• Linguagem da Lógica Formal. 
• Construção e aplicações das tabelas-verdade dos 
operadores: 
– conjunção; 
– disjunção inclusiva; 
– disjunção exclusiva; 
– condicional; 
– bicondicional;e 
– negação. 
As tabelas-verdade apresentam as possíveis interpretações 
para uma proposição simples ou composta, sabe-se que na 
lógica bivalente as valorações possíveis, valores lógicos, que 
se tem são: 
(V): verdade ou ( F): falso 
OPERADORES OU CONECTIVOS LÓGICOS 
CONJUNÇÃO 
“e, mas, tanto como” símbolo: ˄ 
Proposição composta formada por duas proposições 
quaisquer que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo 
“e”. 
Exemplo: A prova foi fácil e raciocínio lógico é difícil. 
OBS: O “tanto como” não deve ser confundido com “tanto 
quanto”. 
DISJUNÇÃO INCLUSIVA (OU DISJUNÇÃO) 
“OU” símbolo: ˅ 
Disjunção inclusiva, que é uma proposição composta 
formada por duas proposições simples que estejam ligadas 
(operadas) pelo conectivo “ou”. 
Exemplo: A prova foi fácil ou raciocínio lógico é difícil. 
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA 
“OU… OU…” símbolo: ˅ 
Temos agora o nosso terceiro operador lógico denominado 
de disjunção exclusiva. A proposição composta formada por 
duas proposições simples que estejam ligadas (operadas) 
pelo conectivo “ou… ou…” 
Exemplo: Ou a prova foi fácil ou lógica é fácil. 
Obs.: A afirmativa “a prova foi fácil ou lógica é fácil, mas não 
ambas” possuem o mesmo significado. 
Obs.: A banca VUNESP já utilizou um losango como símbolo 
de disjunção exclusiva 
CONDICIONAL 
“SE…, ENTÃO…” símbolo: → 
Esse é o principal dos operadores lógicos, isso se dá pela 
incidência em questões de concursos públicos e também 
pela sua complexidade. Denomina-se condicional a 
proposição composta formada por duas proposições que 
estejam ligadas (operadas) pelo conectivo 
“Se…, então…”; “Quando”; “Como” etc. 
Exemplo: Se a prova foi difícil, então lógica foi fácil. 
Também pode ser escrita das seguintes formas: 
• Se a prova foi difícil, lógica foi fácil. 
• A prova foi difícil, então lógica foi fácil. 
• Quando a prova foi difícil, lógica é fácil 
OBS: O condicional é o conectivo que mais costuma cair em 
prova 
A → B: o elemento que está antes é chamado de 
antecedente. O termo que está depois é chamado de 
consequente. 
Ex.: A prova foi difícil, consequentemente lógica foi fácil. 
A = A prova foi difícil 
B = Lógica foi fácil. 
Assim, pode-se dizer que lógica ser fácil é uma consequência 
de a prova ser difícil. 
OBS: Deve haver dois pensamentos ligados pelo conectivo 
Com os conectivos “e”, “ou”, “ou… ou”, os elementos podem 
ser comutados. Afirmar que “A prova foi fácil e raciocínio 
lógico é difícil.” é o mesmo que afirmar “Raciocínio lógico é 
difícil e a prova foi fácil”. O conectivo “se… então” é o único 
que não pode ser comutado. 
 BICONDICIONAL 
“SE, E SOMENTE SE” símbolo: ↔ 
Tem-se agora o operador bicondicional, que será 
identificado pelo termo “se, e somente se”. A proposição 
composta é formada por duas proposições que estejam 
ligadas por esse conectivo. 
Exemplo: A prova foi difícil se, e somente se, lógica foi fácil. 
Obs.: O conectivo bicondicional pode ser comutado. Afirmar 
que “a prova foi difícil se, e somente se, lógica foi fácil” é o 
mesmo que afirmar “lógica foi fácil se, e somente se, a prova 
foi difícil”. 
NEGAÇÃO OU MODIFICADOR LÓGICO 
Símbolo: ¬ OU ~ 
Exemplo: A prova não foi fácil 
Não é verdade que a prova foi difícil 
É falso que a prova foi difícil. 
LINGUAGEM PROPOSICIONAL – TABELA-VERDADE 
LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL E T ABELAS-
VERDADE 
Construindo as Tabelas-Verdade 
As tabelas-verdade nada mais são do que axiomas, são 
verdades absolutas e, por essa razão, muitas vezes não é 
preciso provar as tabelas-verdade. 
É interessante entender a interpretação delas, porque 
muitas questões que a princípio seriam “resolvidas” só por 
meio de tabelas-verdade podem ser resolvidas aplicando-se 
a teoria de conjuntos. 
Partindo desse pressuposto de que um pensamento pode 
ser ou verdadeiro ou falso, vamos aprender a construir as 
tabelas-verdade. 
O primeiro passo é sabermos quantas linhas temos para cada 
tabela; pois bem, para isso temos que saber se temos 
proposição simples ou composta. 
Em uma proposição composta formada por n variáveis 
proposicionais, ou seja, “n” pensamentos simples, a sua 
tabela-verdade terá 2n linhas. A base é o número 2 por se 
tratar da lógica bivalente e “n” significa o número de 
proposições simples. 
O “n” significa o número de proposições simples, 
pensamentos simples. É bivalente, porque uma proposição 
pode ser verdadeira ou falsa. O número de valorações 
possíveis é dado por 2 elevado a n. 
N. de linhas = 2n (proposições) 
Ex: Se trabalho e estudo matemática, então canso, mas não 
desisto ou não estudo matemática (não entra na contagem 
porque se repete) Logo, são 4 preposições 
2n=2 elevado a 4= 2X2X2X2= 16 
A preposição terá 16 linhas 
OBS: Nunca se conta preposições repetidas 
Quantas linhas possui a tabela-verdade da proposição P? 
Uma tabela-verdade para uma proposição simples é 2n = 2x1 
= 2. A proposição P pode ser verdadeira ou falsa. Para um só 
pensamento, ele é verdadeiro ou falso. 
 
P 
V 
F 
 
Quantas linhas possuem a tabela-verdade da proposição 
composta P ˄ Q? 
Dentro da lógica bivalente: 2n , portanto 2x2 = 4 linhas 
Se há dois pensamentos, quais as possibilidades para dois 
pensamentos, simultaneamente? 
• As duas podem ser verdadeiras; 
• A primeira pode ser verdadeira, a segunda falsa; 
• A primeira pode ser falsa e a segunda verdadeira; e 
• As duas serem falsas. 
Cada linha corresponde a uma valoração. 
Quantas interpretações para P ˄ Q? 
Quatro interpretações, quatro valorações, quatro linhas. 
P Q 
V V 
V F 
F V 
F F 
É obrigado ser V-V; V-F; F-V e F-F? 
Não, desde que existam as quatro valorações possíveis, as 
quatro possibilidades. 
Monta-se uma coluna para P e uma coluna para Q. 
Quantas linhas terá essa tabela-verdade? 4 linhas, porque 2 
elevado ao quadrado é igual a 4. 
Esse 4 deve ser dividido por 2 porque existem dois valores 
lógicos (V ou F) – 4 dividido por 2 = 2. 
Na coluna A devem ser colocados os valores lógicos de 2 em 
2, até completar 4 linhas. (V, V, F, F) 
Na coluna B, 4 dividido por 2 = 2, que deve ser novamente 
dividido por 2 = 1. Os valores lógicos devem ser colocados de 
1 em 1 (V, F, V, F) 
Quantas linhas possuem a tabela-verdade da proposição 
composta (P ˄ Q) ˅ R? 
Resolução 
Quantas linhas podem existir para esta valoração composta? 
2n = 2x3 = 8 linhas 
Com duas linhas: metade de 2 = 1: 1V e 1 F; 
Com quatro linhas: metade de 4 = 2: 2 V e 2F. Metade de 2 = 
1: 1V e 1 F. 
Com oito linhas: metade 8 = 4: 4 V e 4 F. Metade de 4 = 2: 
2V, 2F, 2V e 2F; Metade de 2= 1: 1V, 1F, 1V, 1F, 1V, 1F, 1V, 
1F. 
P Q R 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
Num segundo exemplo: 3 proposições simples para formar 
uma proposição composta, P, Q e R. 
Essa tabela-verdade terá 8 linhas (2 elevado a 3= 2x2x2= 8) 
e uma coluna para P, outra para Q e outra para R 
O critério é o mesmo utilizado no exemplo anterior: 
Na coluna A, 8 dividido por 2, porque há dois valores lógicos 
(verdadeiro e falso) = 4, portanto, os valores lógicos devem 
ser colocados de 4 em 4. 
Na coluna B, 4 dividido por 2 = 2, portanto, os valores lógicos 
(verdadeiro e falso) devem ser colocados de 2 em 2. 
Na coluna C, 2 dividido por 2 = 1, portanto, os valores lógicos 
(verdadeiro e falso) devem ser colocados de 1 em 1. 
Quantas linhas possuem a tabela-verdade da proposição 
composta (P˄Q) ˅ (R˄S)? 
Resolução 
2n = 2x4= 16 linhas 
Metade de 16 = 8: 8 V e 8 F; Metade de 8 = 4: 4V, 4F, 4V e 
4F; Metade de 4 = 2: 2V, 2F, 2V, 2F, 2V, 2F, 2V e 2F 
Metade de 2 = 1 : 1V, 1F, 1V, 1F, 1V, 1F, 1V, 1F, 1V, 1F, 1V, 
1F, 1V, 1F, 1V, 1F 
TABELAS VERDADE 
CONJUNÇÃO 
A conjunção é simbolizada por ^. O exemplo "João é alto e 
Maria é baixa" será simbolizado por "p^q" e a tabela verdade 
será: 
A conjunção sugere uma ideia de acumulação, portanto, se 
uma das proposições simples for falsa, é impossível que a 
proposição composta seja verdadeira.Conclusão: as proposições compostas conjuntivas (que 
contenham o conectivo e) só serão verdadeiras quando 
todos os seus elementos forem verdadeiros. 
Exemplo: 
"Paulo, Renato e Túlio são gentis e Carolina é engraçada." 
- Se Paulo, Renato ou Túlio não forem gentis ou Carolina não 
for engraçada, a proposição será FALSA. É necessário que 
todas as informações sejam verdadeiras para que a 
proposição composta seja VERDADEIRA. 
Macete pra ficar fácil de montar: 
A ideia agora é chegar ao resultado P ^ Q, ao efeito que o 
conectivo terá para a proposição composta. Para se 
descobrir o valor lógico da proposição composta são 
necessários dois passos: 
• O valor lógico das proposições simples. 
• O efeito do conectivo. 
No dia do aniversário do filho o pai vai lhe dar uma bola E 
uma bicicleta: duas proposições com o conectivo E. 
DANDO a bola e a bicicleta, no dia do aniversário, a promessa 
está cumprida. 
Se der a bola e NÃO DER a bicicleta, a promessa não foi 
cumprida. 
Se NÃO DER a bola e DER a bicicleta, não cumpriu com o 
prometido porque a promessa era de dar a bola e a bicicleta. 
Se NÃO DER nem a bola nem a bicicleta, a promessa não foi 
cumprida na totalidade. 
DISJUNÇÃO 
A disjunção é simbolizada por v. Trocando o conectivo do 
exemplo acima para ou teremos "João é alto ou Maria é 
baixa". Nesse caso, a frase será simbolizada por "pvq" e a 
tabela verdade será: 
A disjunção implica uma ideia de alternância, portanto, basta 
que uma das proposições simples seja verdadeira para que a 
composta também seja. 
Conclusão: as proposições compostas disjuntivas (que 
contenham o conectivo ou) só serão falsas quando todos os 
seus elementos forem falsos. 
Exemplo: 
"Minha mãe, meu pai ou meu tio me darão um presente." 
- Para que a afirmação seja VERDADEIRA, basta que apenas 
um entre a mãe, pai ou tio dê o presente. A proposição só 
será FALSA caso nenhum deles o dê. 
Macete pra ficar fácil de montar: 
Para o aniversário do filho, um pai promete dar uma bola 
OU uma bicicleta, sendo a bola a ideia da 1ª proposição e a 
bicicleta a ideia da 2ª proposição, utilizando o conectivo OU 
para ligar as duas proposições. 
• Se DER a bola e a bicicleta, a promessa foi cumprida porque 
é a bola OU a bicicleta. 
• Se DER a bola e NÃO DER a bicicleta, a promessa está 
cumprida. 
• Se NÃO DER a bola, mas DER a bicicleta, a promessa está 
cumprida. 
• Se NÃO DER nem bola, nem bicicleta, a promessa não foi 
cumprida. 
CONDICIONAL 
A condicional é simbolizada por →. É expressa pelos 
conectivos se e então, que interligam as proposições simples 
em uma relação de causalidade. O exemplo "Se Paulo é 
carioca, então ele é brasileiro" se torna "p→q" e a tabela 
verdade será: 
 
As condicionais possuem uma proposição antecedente e 
outra consequente, separadas pelo conectivo então. Na 
análise das condicionais, é necessário avaliar quais os casos 
em que a proposição pode ser possível, considerando a 
relação de implicação entre a antecedente e a consequente. 
Conclusão: As proposições compostas condicionais (que 
contenham os conectivos se e então) só serão falsas se a 
primeira proposição for verdadeira e a segunda falsa. 
Exemplo: 
"Se Paulo é carioca, então ele é brasileiro." 
- Para que esta proposição seja considerada VERDADEIRA, é 
necessário avaliar os casos em que ela é POSSÍVEL. De 
acordo com a tabela verdade acima, temos: 
1. Paulo é carioca / Paulo é brasileiro = POSSÍVEL 
(verdadeira) 
2. Paulo é carioca / Paulo não é brasileiro = IMPOSSÍVEL 
(Falsa) 
3. Paulo não é carioca / Paulo é brasileiro = POSSÍVEL 
(Verdadeira) 
4. Paulo não é carioca / Paulo não é brasileiro = POSSÍVEL 
(verdadeira) 
BICONDICIONAL 
A bicondicional é simbolizada por ↔. É lida através dos 
conectivos se e somente se, que interligam as proposições 
simples em uma relação de equivalência. O exemplo "João 
fica feliz se e somente se Maria sorri." se torna "p↔q" e a 
tabela verdade será: 
As bicondicionais sugerem uma ideia de interdependência. 
Como o próprio nome demonstra, a bicondicional é 
composta por duas condicionais: uma que parte de p para q 
(p→q) e outra no sentido contrário (q→p). 
Conclusão: As proposições compostas bicondicionais (que 
contenham os conectivos se e somente se) só serão 
verdadeiras quando todas as proposições forem 
verdadeiras, ou todas as proposições forem falsas. 
Exemplo: 
"João fica feliz se e somente se Maria sorri." 
- Significa dizer que: 
1. Se João fica feliz, Maria sorri e se Maria sorri, João fica feliz 
= VERDADEIRO 
2. Se João não fica feliz, Maria não sorri e se Maria não sorri, 
João não fica feliz = VERDADEIRO 
3. Se João fica feliz, Maria não sorri = FALSO 
4. Se João não fica feliz, Maria sorri = FALSO 
Macete pra ficar fácil de montar: 
Para o dia do aniversário, um pai promete ao filho que dará 
uma bola SE E SOMENTE SE der a bicicleta. 
O que isso quer dizer? 
Quer dizer que se der a bola também terá que dar a bicicleta, 
porém, se não der a bola, ele não poderá dar a bicicleta. 
Traduzindo para a Tabela Verdade: 
Se DER a bola TERÁ QUE DAR a bicicleta (bicondicional 
verdadeiro). 
Se NÃO DER a bola NÃO PODERÁ DAR A BICICLETA 
(bicondicional verdadeiro) 
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA 
(v) (OU...OU) 
Duas proposições P, Q em DISJUNÇÃO EXCLUSIVA, P v Q 
Na DISJUNÇÃO EXCLUSIVA só será VERDADEIRA quando os 
valores lógicos forem DIFERENTES. 
 
Macete pra ficar fácil de montar: 
No dia do aniversário do filho, o pai OU dá a bola OU dá a 
bicicleta, OU uma OU outra. 
O que isso quer dizer? 
Que o pai vai cumprir a promessa se DER uma e NÃO DER a 
outra. 
O pai pode dar as duas? Não, não pode dar as duas. 
O pai pode não dar nada? Também não. 
Para haver DISJUNÇÃO EXCLUSIVA, OU UMA OU OUTRA: OU 
dá a bola e não dá a bicicleta OU não dá a bola e dá a 
bicicleta. 
NEGAÇÃO 
A negação é simbolizada por ~. A operação lógica da negação 
é a mais simples e muitas vezes dispensa o uso da tabela 
verdade. Seguindo o mesmo exemplo, se João é alto (p) dizer 
que João não é alto (~p) é FALSO, e vice-versa. 
RESUMO GERAL 
É comum que os estudiosos da tabela verdade memorizem 
as conclusões de cada uma das operações lógicas. Para 
economizar tempo na resolução de questões, tenha sempre 
em mente que: 
Proposições Conjuntivas: Só serão verdadeiras quando 
todos os elementos forem verdadeiros. 
Proposições Disjuntivas: Só serão falsas quando todos os 
elementos forem falsos. 
Proposições Condicionais: Só serão falsas quando a primeira 
proposição for verdadeira e a segunda falsa. 
Proposições Bicondicionais: Só serão verdadeiras quando 
todos os elementos forem verdadeiros, ou todos os 
elementos forem falsos. 
PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES 
Duas proposições são logicamente equivalentes quando: 
(1) Forem formadas pelas mesmas proposições simples; 
(2) Tiverem a mesma tabela-verdade. 
Guarde bem isso: no estudo de proposições equivalentes, 
todas as questões podem (mas, não devem) ser resolvidas 
por tabela-verdade. 
Além disso, a ideia é que a tabela-verdade sempre será um 
plano B. 
EQUIVALÊNCIAS BÁSICAS (PROPRIEDADES) 
Os dois primeiros itens trazem uma proposição composta do 
tipo “ou” e do tipo “e”, mas formada pelas mesmas 
proposições simples. Essas propriedades são chamadas de 
idempotentes. A ideia é que uma proposição composta 
formada pela mesma proposição simples é equivalente a ela 
própria. 
1ª) p ^ p = p 
2ª) p v p = p 
Ex.: estudo ou estudo. 
Trata-se de uma proposição composta do tipo “disjunção”. 
Isso é logicamente equivalente a dizer: estudo. 
A próxima propriedade é a propriedade comutativa (a ordem 
não importa): 
3ª) p ^ q = q ^ p 
4ª) p v q = q v p 
5ª) p ↔ q = q ↔ p 
Isso também vale para a disjunção exclusiva (⊻). 
Para esses quatro conectivos, é possível trocar a ordem das 
proposições simples e a proposição continuará sendo 
equivalente. 
Ex.: “estudo e passo” é equivalente a “passo e estudo”. 
Ex.: “estudose e somente se passo” é equivalente a “passo 
se e somente se estudo”. 
O conectivo “se e somente se” pode ser trocado por “e”, 
“ou” e, até mesmo, “ou...ou”. 
Exceção: essa regra só não vale para a condicional. 
Propriedade associativa: 
6ª) (p ^ q) ^ r = p ^ (q ^ r) 
7ª) (p v q) v r = p v (q v r) 
Se houver uma determinada proposição composta formada 
por várias proposições simples e todas elas forem conjunção 
ou disjunção, não haverá ordem para elas. 
Propriedade da bicondicional (duas condicionais): 
8ª) p ↔ q = (p → q) ^ (q → p) 
Trata-se da formação de duas condicionais. 
Com base nessas equivalências básicas e no conceito inicial 
de proposições equivalentes, vamos colocar uma coisa em 
prática: 
(p ↔ q) é logicamente equivalente a (p → q) ^ (q → p)? 
• Duas proposições são equivalentes quando são formadas 
pelas mesmas proposições simples; 
• Possuem a mesma tabela-verdade? Vejamos: 
 
Ao trocar a ordem das proposições, as tabelas-verdade não 
são iguais. Desse modo, observe que as tabelas-verdade 
são diferentes; portanto, não são equivalentes. 
Por fim: 
Essa tabela-verdade é a mesma da bicondicional. Então, fica 
provado, nessa situação, que as duas proposições são 
equivalentes. 
Macete para condicional 
Primeiro caminho: “inverte e nega”. 
P → Q 
~Q → ~P 
Em todo caso em que essa regra for aplicada, deve-se 
preservar o condicional. Desse modo: “se não passo, então 
não estudo”. 
Segundo caminho: “troca pelo ou”. 
P → Q 
~P v Q 
“Não estudo ou passo” 
Desse modo, as seguintes proposições são logicamente 
equivalentes: “se estudo, então passo”, “se não passo, 
então não estudo” e “não estudo ou passo”. 
Exemplos: 
“Se o minério é raro, então ele é valioso” é equivalente a: 
a. “Se um minério é abundante, então ele é valioso”. 
b. “Se o minério não é raro, então ele não é valioso”. 
c. “Se o minério é valioso, então ele é raro”. 
d. “Se o minério não é valioso então ele não é raro” 
e. “Se um minério é abundante, então ele não tem valor”. 
Se o veículo ultrapassar os 50 km/h, então seu motorista 
será multado. Uma afirmação equivalente à afirmação 
anterior é: 
a. Se o motorista não foi multado, então seu veículo 
ultrapassou os 50 km/h. 
b. O veículo não ultrapassou os 50 km/h e seu motorista não 
será multado. 
c. O veículo não ultrapassa os 50 km/h ou seu motorista é 
multado. 
d. Se o motorista foi multado, então seu veículo ultrapassou 
os 50 km/h. 
e. O motorista só será multado se o veículo ultrapassar os 50 
km/h. 
Enquanto alternativa, existe uma situação chamada de troca 
pelo “se então”, tratando-se de uma adaptação da própria 
troca pelo “ou”. No exemplo de troca pelo “ou”, inicia-se por 
uma condicional e se encerra em uma disjunção, negando a 
primeira e mantendo a segunda: 
Condicional: p → q 
Disjunção: ~p V q 
Por outro lado, na regra do “se então”, ao invés de iniciar o 
processo por uma condicional, ele começará por uma 
disjunção e terminará em uma condicional, negando a 
primeira e mantendo a segunda: 
Disjunção: p V q 
Condicional: ~p → q 
Exemplo: 
A frase “O atleta venceu a corrida ou a prova foi cancelada” 
de acordo com a lógica proposicional é equivalente à frase: 
a. Se o atleta não venceu a corrida, então a prova foi 
cancelada 
b. Se o atleta venceu a corrida, então a prova foi cancelada 
c. Se o atleta venceu a corrida, então a prova não foi 
cancelada 
d. Se o atleta não venceu a corrida, então a prova não foi 
cancelada 
e. Se a prova não foi cancelada, então o atleta não venceu a 
corrida 
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
 É UM TIPO ESPECÍFICO DE EQUIVALÊNCIA. 
1. Equivalência: o “plano B” também é válido, ou seja, é 
possível a aplicação da tabela verdade em uma questão de 
negação, visto que se trata se um tipo específico de 
equivalência. 
2. Específico: para que se possa trabalhar com a negação, 
uma das proposições deve estar sendo “negada” ou 
negativada. 
Exemplos de questões: 
1. ~ ou ¬ 
~(P^Q) 
2. Apresentação de forma explícita: “qual a negação da 
proposição?” ou “a negação da proposição é logicamente 
equivalente a...” 
Em determinados enunciados de questões, é possível que 
haja uma abordagem simultânea a proposição equivalente e 
a negação. 
3. Termos “não é verdade”, “é falso”, é mentira” etc. 
inseridos de forma prévia a uma proposição composta. 
 Negação da Conjunção e Disjunção 
~(P^Q) 
~(PvQ) 
Para ambos os casos, será necessário negar a primeira 
proposição e também a segunda. 
Após, deve ocorrer a troca do “e” pelo “ou” e vice-versa: 
~(P^Q) = ~Pv~Q 
~(PvQ) = ~P^~Q 
Obs.: A tabela verdade de ~(P^Q) e ~Pv~Q será a mesma para 
ambos os casos. O mesmo ocorre para ~(PvQ) e ~P^~Q. 
Exemplo: “PH é professor e nico é danado”. Qual é a negação 
da proposição? 
Resposta: “PH não é professor ou Nico não é danado” 
Exemplo: 
Observe a disjunção: “Marcelo não gosta de futebol ou 
Bruno não gosta de natação”, assinale a alternativa correta 
que apresenta a negação dessa disjunção. 
a. Marcelo gosta de futebol e Bruno não gosta de natação 
b. Marcelo gosta de futebol se e somente se Bruno gosta de 
natação 
c. Ou Marcelo gosta de futebol ou Bruno gosta de natação 
d. Marcelo gosta de futebol e Bruno gosta de natação 
e. Marcelo não gosta de futebol e Bruno não gosta de 
natação 
 Negação da Condicional 
~(p→q) 
p^~q 
Aplicação do procedimento “MANÉ”: 
• Manter a primeira proposição; 
• Negar a segunda proposição; 
• Troca do “Se então” para o “E”. 
Existe também na negação da condicional uma adaptação 
que precisa ser feita. O procedimento visto considera uma 
condicional que após aplicação do procedimento “MANÉ” 
resulta em uma conjunção. Pensado em uma adaptação, se 
por acaso houver a negação do “E” – ~(P^Q) –, é possível 
chegar em uma condicional (processo reverso): ~(P^Q) 
P → ~Q (Conjunção → Condicional) 
Obs.: É disparadamente mais comum que se trabalhe a 
negação do “e” para o “ou”. Ainda 
assim, caso não seja possível atingir o resultado, é possível 
que haja a necessidade 
de aplicação do procedimento “MANÉ”. 
Bicondicional x Disjunção Exclusiva 
Bicondicional onde tem-se o: Se e somente se versus a 
disjunção exclusiva que é o “ou, ou”, observando a tabela 
verdade de ambos. 
1º É necessário compreender que, se tem duas proposições, 
A e B e nega-se, utilizando o conectivo da bicondicional:~ 
(A↔ B). 
Neste caso, repete-se o A, repete-se o B e se troca pelo “ou, 
ou”: A v B. Desta maneira, vai retirar da negação e ficará na 
afirmação, com as mesmas proposições simples. 
2º A mesma situação ao contrário: Se a questão solicitar a ~ 
(A v B). Mantém-se a proposição A, mantém-se a proposição 
B trocando o conectivo “Se, somente se”: A↔B. 
Na bicondicional, só será verdadeiro quando os valores 
lógicos forem iguais, se não essa proposição composta será 
falsa. E no “OU” só será verdadeiro quando os valores lógicos 
forem diferentes, em qualquer outro caso será falso. 
• Analisando essas duas tabelas verdades, consegue-se 
concluir que quando uma é V a outra é F, quando uma é F a 
outra é V. Ou seja, um é a negação do outro. 
Por isso não se necessita fazer nada com a proposição, 
mantendo a proposição simples, trocando apenas o 
conectivo, sempre lembrando que tem que ter a negação (~). 
A negação da bicondicional ↔ é a disjunção exclusiva v, 
negação da disjunção exclusiva v é a bicondicional ↔. 
Exemplo: 
Analise a proposição composta a seguir: “Maria viaja para 
o Rio de Janeiro se e somente se Fernando viaja para São 
Paulo”. Assinale a alternativa que apresenta a negação 
dessa proposição composta. 
a. Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não 
viaja para São Paulo. 
b. Maria não viaja para o Rio de Janeiro e Fernando não viaja 
para São Paulo. 
c. Ou Maria viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja 
para São Paulo. 
d. Ou Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não 
viaja para São Paulo. 
e. Maria não viaja parao Rio de Janeiro ou Fernando viaja 
para São Paulo. 
Ao comentar a respeito da instabilidade cambial de 
determinado país, um jornalista fez a seguinte colocação: 
“Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dólar”. 
Acerca desse comentário, que constitui uma disjunção 
exclusiva, julgue o item seguinte. 
A negação da colocação do jornalista é equivalente a “Cai o 
ministro da Fazenda se, e somente se, cai o dólar”. (Certo) 
 
 
 
	LINGUAGEM FORMAL: SENTENÇAS, PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS E LINGUAGEM NATURAL
	LÓGICA SENTENCIAL
	SENTENÇAS ABERTAS
	AS TRÊS “LEIS DO PENSAMENTO” OU PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA PROPOSICIONAL
	SENTENÇAS FECHADAS
	PROPOSIÇÕES – LÓGICA PROPOSICIONAL
	diagrama interpretativo
	Tudo que está dentro do conjunto “sentenças” deve possuir sentido completo. Aquilo que não possuir sentido completo será considerado “expressões”.
	Se os pensamentos com sentido completo puderem ser valorados, eles passarão para o subconjunto chamado de “proposições”. Esses pensamentos poderão ser valorados em Verdadeiro ou Falso.
	Uma questão que deixa clara a relação entre proposições e sentenças é uma questão do concurso para o cargo de analista do SEBRAE realizada pelo CESPE em 2008, para o qual a banca realizou a seguinte afirmação a ser julgada:
	“A seguinte proposição ‘Ninguém ensina ninguém’ é um exemplo de sentença aberta.”
	• Uma proposição, por natureza, é uma sentença fechada. Assim, a afirmação está errada.
	• A sentença “Ninguém ensina ninguém” pode ser valorada.
	REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES
	LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL E TABELAS VERDADE
	OPERADORES OU CONECTIVOS LÓGICOS
	LINGUAGEM PROPOSICIONAL – TABELA-VERDADE
	LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL E TABELAS-VERDADE
	tabelas verdade
	Conjunção
	DISJUNÇÃO
	CONDICIONAL
	BICONDICIONAL
	DISJUNÇÃO EXCLUSIVA
	NEGAÇÃO
	Resumo geral
	PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES
	Negação de Proposições Compostas
	É um tipo específico de equivalência.