Trabalho de cálculo utilizando softwares (Maxima e Winplot)

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RAFAEL JOSÉ GINUINO DA SILVA 
MOACIR JUNIOR OMIZZOLLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 2015/2 
Parte 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SINOP 
2015 
 
 
RAFAEL JOSÉ GINUINO DA SILVA 
MOACIR JUNIOR OMIZZOLLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DA DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 2015/2 
Parte 2 
 
 
Trabalho apresentado a Disciplina de Cálculo 
diferencial e integral II do Curso de Engenharia 
Elétrica – UNEMAT, Campus Universitário de Sinop no 
formato de relatório como requisito de obtenção de 
nota na disciplina. 
 
 
Professora: 
Drª. Vera Lúcia Vieira de Camargo 
 
 
 
 
 
SINOP 
2015 
Introdução: 
 
Na continuação do trabalho utilizando softwares gráficos e matemáticos Winplot 
e Maxima foi aprofundado a utilização em diversas áreas dessas ferramentas que 
podem interagir com questões diversificadas de maneiras interessantes. 
Foram desenvolvidas várias atividades, entre elas uma experimental onde foi 
necessário a escolha de um objeto que tornaria possível obter uma representação de 
sua revolução graficamente, ou medir a área de uma cúpula assim como seu volume, 
houve também questões inusitadas como utilizar integral para medir o comprimento 
do espiral de um caderno, foi desenvolvido graficamente diversos campos vetoriais, 
trabalhado suas funções e analisando cada um deles o que é algo bem útil em âmbitos 
que representam partes abstratas como por exemplo um campo magnético. 
Buscou-se desenvolver o trabalho de forma clara e suscita, com o intuito de 
obter fácil compreensão, apresentando ao final conclusões obtidas a respeito dos 
diversos temas tratados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento: 
A representação gráfica de um sólido de revolução. 
“Para que o trabalho seja seguido de forma clara colocaremos as 
questões a serem tratadas e sua respectiva resolução. ” 
 Objetos que podem sofrer revolução são encontrados em diversidade, e nesse 
trabalho foi representada uma garrafa de refrigerante. 
O objeto selecionado teve o seu formato copiado através do arame, depois ele 
foi transcrito para o papel milimetrado onde se tornou possível localizar os postos e 
posteriormente utilizá-los para achar respectivas funções que esse sólido possuía. ” 
 
Figura 1 Garrafa plotada 
Marque alguns pontos no gráfico da curva C e descreva as funções que compõe a 
curva C, ao dividir por trechos. 
Para essa tarefa foi utilizado o software excel, onde foi possível observar a 
dispersão dos pontos e a partir dela encontrar funções tanto de curvas como de retas 
que faziam parte do objeto que ia ser revolucionado. 
 
Figura 2 Exemplo da plotagem de pontos. 
“Transferindo para o software winplot as funções em seus determinados 
intervalos travados no eixo x.” 
 
Figura 3 Gráfico no Winplot. 
“Rotacionando a figura obtida através da função superfície de revolução 
no próprio software foi gerado o seguinte gráfico. ” 
 
 
Figura 4 Modelo 3D do Plot 2D no Winplot. 
Para estimar o volume do sólido foi utilizado um recipiente cujo volume já se 
tinha conhecimento e com um volume de água previamente estabelecido. O objeto 
então foi mergulhado no recipiente e a variação de volume gerada foi calculada. 
Utilizando um princípio variado da ideia de Arquimedes para medir a densidade 
de sólidos, foi submergida a garrafa e observou-se a variação de volume aparente, 
para isso foi utilizado: 
1 garrafa do sólido a ser calculado; 
1 um vasilhame em forma cilíndrica; 
1 medidor de volume com margem de erro de 8%. 
Como parâmetro inicial dos cálculos foi nossa margem de erro foi 8% 
do medidor no fim da medição foi necessário realizar um cálculo para 
obtenção do valor aproximado. 
Em 3 medições foi obtido uma média de volume com o valor de 340 ml, 
aplicando a margem de erro para menos a variação foi de 367,2 ml o 
que foi algo realmente positivo. 
 
Figura 5 Teste do volume 
 
Para uma suposição da área da superfície utilizamos papel 
laminado sendo a envolto na garrafa para ter uma média da área da 
superfície, produzindo uma capa que foi retirada e dividida em vários 
retângulos para que assim fizéssemos a soma de várias áreas em que 
a soma nos indicasse um valor aproximado da área total de 322,89 
mm. 
 
 
 
“Para calcular o volume usando o software Maxima foi utilizado o seguinte 
código: 
integrate(%pi*(-2.881*x^2+2.2924*x +1.2009)^2,x,0,0.5) = 3.724203824232442; 
integrate(%pi*(1.6531*x^2-2.9789*x+2.7079)^2,x,0.5,1.2) = 4.556107325666503 ; 
integrate(%pi*(-1.9099*x^2+5.0001*x-1.7343)^2,x,1,1.5) = 3.499485255876809 ; 
integrate(%pi*(1.0205*x^2-3.7696*x+4.8209)^2,x,1.5,2.1) = 3.553531290039455 ; 
integrate(%pi*(0.0086*x^2+0.212*x+0.9167)^2,x,2.1,6.3) = 52.8512215771617 ; 
integrate(%pi*(-0.063*x^2+1.0975*x-1.8201)^2,x,6.3,10.8) = 115.1081641060596 ; 
integrate(%pi*(0.0494*x^2-1.1864*x+9.7329)^2,x,10.8,14.293) = 78.53220870723 ; 
integrate(%pi*(-0.1196*x^2+3.7651*x-26.514)^2,x,14.293,18) = 102.43201454620 ; 
Total = 364.2569366324726 U.V.” 
“Para calcular a área da superfície gerada: ” 
integrate(2*%pi*(-2.881*x^2+2.2924*x+1.2009)*sqrt(1+(diff(-
2.881*x^2+2.2924*x+1.2009,x))^2),x,0,0.5),numer= 6.948235698902159; 
integrate(2*%pi*(1.6531*x^2-2.9789*x+2.7079)*sqrt*(1+(diff(1.6531*x^2-
2.9789*x+2.7079,x))^2),x,0.5,1.2),numer= 9.465340097572527; 
integrate(2*%pi*(-1.9099*x^2+5.0001*x-1.7343)*sqrt(1+(diff(-1.9099*x^2+5.0001*x-
1.7343,x))^2),x,1,1.5),numer= 5.387055888474866; 
integrate(2*%pi*(1.0205*x^2 - 3.7696*x + 4.8209)*sqrt(1+(diff(1.0205*x^2 - 3.7696*x + 
4.8209,x))^2),x,1.5,2.1),numer = 5.50947002090272; 
integrate(2*%pi*(0.0086*x^2 + 0.212*x + 0.9167)*sqrt(1+(diff(0.0086*x^2 + 0.212*x + 
0.9167,x))^2),x,2.1,6.3), numer = 54.14799372270599; 
integrate(2*%pi*( -0.063*x^2 + 1.0975*x - 1.8201)*sqrt(1+(diff( -0.063*x^2 + 1.0975*x 
- 1.8201,x))^2),x,6.3,10.8), numer = 81.68067250265933; 
integrate(2*%pi*(0.0494*x^2-1.1864*x+9.7329)*sqrt(1+(diff(0.0494*x^2-1.1864*x+ 
9.7329,x))^2),x,10.8,14.293), numer = 59.07433805711481; 
integrate(2*%pi*(-0.1196*x^2+3.7651*x-26.514)*sqrt(1+(diff(-0.1196*x^2+3.7651*x-
26.514,x))^2),x,14.293,18), numer = 71.33389348292636; 
Total = 293.5469994712588. U.A 
“Calculando o comprimento da curva geradora: ” 
integrate(sqrt(1+(diff(-2.881*x^2+2.2924*x+1.2009,x))^2),x,0,0.5),numer= 
0.7412875120373927 
integrate(sqrt(1+(diff(1.6531*x^2-2.9789*x+2.7079,x))^2),x,0.5,1.2),numer= 
0.8406985106274143 
integrate(sqrt(1+(diff(-1.9099*x^2+5.0001*x-1.7343,x))^2),x,1,1.5),numer= 
0.5771350818613037 
integrate(sqrt(1+(diff(1.0205*x^2-3.7696*x+4.8209,x))^2),x,1.5,2.1),numer= 
0.6379678006768099 
integrate(sqrt(1+(diff(0.0086*x^2+0.212*x+0.9167,x))^2),x,2.1,6.3),numer= 
4.367181620602071 
integrate(sqrt(1+(diff(-0.063*x^2+1.0975*x-1.8201,x))^2),x,6.3,10.8),numer= 
4.560455755169509 
integrate(sqrt(1+(diff(0.0494*x^2-1.1864*x+9.7329,x))^2),x,10.8,14.293),numer= 
3.515124100428135 
integrate(sqrt(1+(diff(-0.1196*x^2+3.7651*x-26.514,x))^2),x,14.293,18),numer = 
3.841057378557508 
Total: 19.08090775996014 U.M. 
Equações paramétricas. 
A equação paramétrica base de uma circunferência de raio 2 é: 
𝐹(𝑡) = (2cos(𝑡) , 2𝑠𝑒𝑛(𝑡)) 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
 
Figura 6 Circunferência de raio 2 
 
 
 O desenho de um cilindro cuja altura fosse 3 ficou representado da seguinte 
maneira: 
 
 
 A função tratada nada mais é um paraboloide elíptico centrada na origem e 
sua equação paramétrica é: 
𝑓(x,y,x)=(ucos(t),usen(t),u2) , com 0 ≤ t ≤ 2π e 0 ≤ u ≤ π . 
 
Figura4 Paraboloide Elíptico 
A equação paramétrica obtida sobre uma esfera de raio 2 foi: 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑠𝑒𝑛(𝑢) cos(𝑡) , 2𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑠𝑒𝑛(𝑡), 2 cos(𝑢)), 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 𝑒 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝜋. 
O gráfico da esfera em questão foi: 
 
Figura 5 Esfera de Raio 2 
Análises e aplicações de funções curvas. 
O domínio da função 𝑓: ℝ → ℝ3 definida por 𝑓(𝑡) = (cos𝑡, 𝑠𝑒𝑛 𝑡,𝑡) que tem como 
imagem a hélice 𝑥2 +𝑦2 = 1, com z livre possui o seguinte domínio: 
{𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3} 
 
 Figura 6 Passo π Figura 7 Passo 1 
 
 
 “A função que representa as espirais de um caderno é: ” 
𝐹(𝑡) = (𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝑡),
𝑏
2𝜋
𝑡) 
Para calcular o comprimento total da espiral do caderno foi utilizado uma 
integral para cálculo de curva geradora, o passo adotado no caderno foi de 5 e a 
quantidade de espiras foi 98. 
integrate ((1/(2*%pi))*sqrt(25*4*%pi^2+25),x,0,98*%pi) = 1558.754957233995. 
 
O comprimento então da espiral do caderno é de aproximadamente 1,558 m. 
Função com restrição. 
 A equação paramétrica da função: 𝑓(𝑥,𝑦) = (𝑥 +2)2 +3(𝑦−3)2+3 restrita a curva 
{(𝑥,𝑦) ∈ ℝ2|(𝑥 +1)2 +(𝑦 −1)2 −9} é: 
𝑓(𝑡) = (3𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 1,3𝑠𝑖𝑛(𝑡) + 1, (3𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 1 + 2)2 + 3(3𝑠𝑖𝑛(𝑡) + 1 − 3)2 + 3) 
 𝑐𝑜𝑚 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
O comando utilizado no Maxima para a plotagem da curva foi: 
x:3*cos(t)-1; 
y:3*sin(t)+1; 
z:(x+2)^2+3*(y-3)^2+3; 
plot3d([x,y,z],[u,0,3], 
 [t,0,2*%pi],[mesh_lines_color,blue],same_xyz, 
 [grid,25,25]); 
 
 
 
 
 
Para encontrar a área interna a Curva C foi utilizado o Maxima, seus códigos foram: 
x:3*cos(t)-1; 
y:3*sin(t)+1; 
z:(x+2)^2+3*(y-3)^2+3; 
plot3d([x,y,z],[u,0,3], 
 [t,0,2*%pi],[mesh_lines_color,blue],same_xyz, 
 [grid,25,25]); 
 
 
 
 
 
 
 
Intersecção de cilindros. 
A seguir serão construídos dois cilindros de mesmo raio, de forma que seus 
eixos de simetria estão nos eixos “x” e “y”: 
 
 
Para que possamos encontrar o volume será necessário integral iteradas assim 
como a área de sua superfície. 
Montando a integral: 
Eixo “x” temos 𝑥² + 𝑧² = 𝑟² Eixo “y” temos 𝑦² + 𝑧² = 𝑟² 
Sendo assim a intersecção de ambos nos dará o volume do solido. 
𝑥² + 𝑧² ∩ 𝑦2 + 𝑧² 
𝐸 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∕ 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟, −𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥, 0 ≤ 𝑧 ≤ √𝑟2 − 𝑥2 } 
8 ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√𝑟²−𝑥²
0
𝑥
−𝑥
0
𝑟
 
“O código no Maxima foi: ” 
 
Através dessa integral tripla podemos obter o volume do solido. 
Para podermos calcular a área também foi necessário a interpretação para 
montar uma integral. 
Para área temos 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∕ 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟, −𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥} 
Montando a integral dupla para área no objeto. 
8 ∫ ∫ √1 + (
𝜕√𝑟2 − 𝑥2
𝜕𝑥
)
2
𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥
−𝑥
𝑟
0
 
 
A intersecção de vários cilindros nos remete a uma geometria muito utilizada 
na arquitetura, temos como exemplos algumas catedrais que possuem esse tipo de 
formato. 
 
Figura 7 Cobertura com formato da Intersecção de 4 cilindros. 
 
 
“O gráfico de um sólido delimitado por a função z= 
𝟏𝟐
𝟑+𝒙𝟐+𝒚𝟐
 e 𝑧 = 𝟑√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 é:” 
Basta transformar a equação em coordenadas cilíndrica e plotar cada gráfico 
com raio 1 no Winplot. 
 
 
A intersecção é uma circunferência cujo raio é um, o raio foi possível de se 
localizar usando o Maxima pela seguinte fórmula: 
 
{f(r,∅,z) ∈ R/ 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ∅ ≤ 2π, 3r ≤ z ≤ 12 3 + 𝑟2⁄ } 
∫ ∫ ∫ 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃
12
3+𝑟2
3𝑟
1
0
2𝜋
0
 
“No Maxima a integral encontrada foi: ” 
integrate(integrate(integrate(r,z,3*r,12/(3+r^2)),r,0,1),t,0,2*%pi)= 
4.562173317428427U.V . 
Campo vetorial. 
“Utilizando o winplot para montar gráficos. ” 
A seguir temos o campo vetorial 𝑓(𝑥, 𝑦) =< 𝑦, 𝑥 > 
 
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝑦 𝒊 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝒋 
 
 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦 𝐢 + z𝐣 + x 𝐤 
 
 
 
Campo Gradiente e as Curvas de Nível. 
O gráfico a seguir nos remete ao campo vetorial gradiente da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥² − 𝑦² 
 
Agora junto ao campo vetorial temos as função F (x,y) = 𝑥² − 𝑦2 = 𝑎 no winplot 
utilizamos a ferramenta família para variar o “a”, desse modo foi obtido esse resultado: 
 
 
Quando analisamos o campo vetorial obtido através do gradiente da função 
interagindo com sua própria função vemos que em cada vetor observado do gradiente 
esta ortogonal a função, também vemos que o campo vetorial mostra o sentido na 
função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão 
 
 Através desse trabalho foi possível desenvolver várias atividades na área do 
cálculo utilizando o winplot e Maxima que durante o desenvolvimento foram de 
fundamental importância. Apesar das limitações encontradas o trabalho foi 
desenvolvido com sucesso. 
A plotagem de uma garrafa, a forma do gráfico da intersecção do cilindro, assim 
como as espirais do caderno ou até os campos vetoriais mostram como o conceito de 
cálculo pode ser aplicado no dia a dia, o que traz a uma reflexão interessante pois a 
se percebe o quanto o universo pode ser explicado e estudado quando se utiliza 
modelagem matemática. 
 Tais ferramentas já são utilizadas nas indústrias e indispensáveis, de tal 
maneira ao causar entusiasmos e inspiração para continuarmos em busca do 
conhecimento, e novas ideias para que para que as próximas gerações se sintam da 
mesma forma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
Stewart, James, Cálculo. Vol. 2, Editora Thomson, 7ª edição, 2013.