EXERCICIOS DE CALCULO II LISTA 7

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EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II – LISTA 7 
 
 
Integração por Partes 
∫ f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) − ∫ g(x)f ′(x)dx 
Fazendo u = f(x) e v = g(x), tem-se du = f ′(x)dx e dv = g′(x)dx. Substituindo na igualdade 
acima, vem a fórmula da integração por partes 
∫ u dv = uv − ∫ v du 
Integração por Partes para Integral Definida. 
∫ u
b
a
dv = uv|a
b − ∫ v
b
a
du 
 
Método Tabular para Integração por Partes 
Integrais da forma ∫ p(x)h(x)dx em que p pode ser derivada rapidamente até se tornar zero e h 
pode ser integrada rapidamente sem dificuldade, são candidatas naturais à aplicação do método 
tabular, que consiste no seguinte: 
1. Derivar p(x) repetidamente até obter zero e, em seguida, listar os resultados na 1ª coluna. 
2. Integrar h(x) repetidamente e listar os resultados na 2ª coluna até igualar ao zero da 1ª. 
3. Traçar uma seta de cada entrada da 1ª coluna para a entrada uma linha abaixo na 2ª coluna. 
4.Identificar as setas com os sinais + e – alternadamente, começando com o sinal +. 
5. Para cada seta, formar o produto das expressões nos extremos inicial e final da seta e 
multiplicá-lo por +1 ou − 1, de acordo com o sinal na seta. Somando esses resultados, tem-se o 
valor da integral. 
Ex. Calcular ∫(x² − 2x) cos x dx 
x² - 2x + cos x 
2x -2 − sen x 
 2 + − cos x 
 0 − sen x 
∫(x² − 2x) cos x dx = (x² − 2x) sen x + (2x − 2) cos x − 2 sen x + C 
∫(x² − 2x) cos x dx = (x² − 2x − 2) sen x + (2x − 2) cos x + C 
 
Integração por Substituição Trigonométrica 
Se no integrando há uma expressão do tipo √𝑎² − 𝑢², √𝑎² + 𝑢² 𝑜𝑢 √𝑢² − 𝑎², onde a > 0. 
Caso 1. O integrando tem uma expressão do tipo √𝑎² − 𝑢², com a > 0. 
Neste caso, introduz-se uma nova variável 𝜃, fazendo 𝑢 = 𝑎 sen 𝜃, onde 
 0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
, 𝑠𝑒 𝑢 ≥ 0 𝑒 −
𝜋
2
≤ 𝜃 < 0, 𝑠𝑒 𝑢 < 0. 
Caso 2. O integrando tem uma expressão do tipo √𝑎² + 𝑢², com a > 0. 
Neste caso, introduz-se uma nova variável 𝜃, fazendo 𝑢 = 𝑎 tg 𝜃, onde 
 0 ≤ 𝜃 <
𝜋
2
, 𝑠𝑒 𝑢 ≥ 0 𝑒 −
𝜋
2
< 𝜃 < 0, 𝑠𝑒 𝑢 < 0. 
Caso 3. O integrando tem uma expressão do tipo √𝑢² − 𝑎², com a > 0. 
Neste caso, introduz-se uma nova variável 𝜃, fazendo 𝑢 = 𝑎 sec 𝜃, onde 
 0 ≤ 𝜃 <
𝜋
2
, 𝑠𝑒 𝑢 ≥ 𝑎 𝑒 𝜋 ≤ 𝜃 <
3𝜋
2
, 𝑠𝑒 𝑢 ≤ −𝑎. 
Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 
Convém lembrar que uma função racional é uma razão de dois polinômios da forma 
P(x)
Q(x)
. Se o 
grau do polinômio de numerador for maior ou igual que o grau do polinômio do denominador, 
tem-se uma fração imprópria. A ideia é dividir o numerador pelo denominador, decompondo a 
função racional numa soma de funções racionais mais simples, visto que, aqui interessa calcular 
integrais do tipo abaixo, onde o grau de P(x) é menor que o grau de Q(x). 
∫
P(x)
Q(x)
dx 
 Para efetuar o cálculo da integral acima, é necessário escrever a fração 
P(x)
Q(x)
 como uma soma de 
frações, cujos denominadores são fatores de Q(x). Essas frações são chamadas frações parciais. 
Daí, tem-se quatro casos a considerar. 
Caso 1. Os fatores de Q(x) são todos lineares, da forma ax + b, e nenhum é repetido. Isto é, 
Q(x) = (𝑎1𝑥 + 𝑏1)(𝑎2𝑥 + 𝑏2) … (𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛), onde não há fatores idênticos. Neste caso 
escreve-se 
P(x)
Q(x)
=
A1
𝑎1𝑥 + 𝑏1
+
A2
𝑎2𝑥 + 𝑏2
+ . . . +
An
𝑎𝑛𝑥 + 𝑏𝑛
 
onde A1, A2, . . . An são constantes a serem determinadas. 
Caso 2. Os fatores de Q(x) são todos lineares, da forma ax + b, e alguns repetidos. Supor que 
(𝑎𝑖𝑥 + 𝑏𝑖) seja o fator que se repete p vezes. Então, correspondendo a esse fator escreve-se uma 
soma de p frações parciais 
A1
(𝑎𝑖𝑥 + 𝑏𝑖)𝑝
+
A2
(𝑎𝑖𝑥 + 𝑏𝑖)𝑝−1
+ . . . +
Ap−1
(𝑎𝑖𝑥 + 𝑏𝑖)2
+
Ap
𝑎𝑖𝑥 + 𝑏𝑖
 
onde A1, A2, . . . An são constantes a serem determinadas. 
 
Caso 3. Os fatores de Q(x) são lineares da forma ax + b e quadráticos da forma ax² + bx + c e 
nenhum fator quadrático é repetido. Neste caso, correspondendo ao fator quadrático ax² + bx + c 
no denominador, escreve-se uma fração parcial da forma 
Ax + B
ax² + bx + c
 
Caso 4. Os fatores de Q(x) são lineares da forma ax + b e quadráticos da forma ax² + bx + c e 
alguns fatores quadrático são repetidos. Supor que ax² + bx + c seja o fator que se repete p 
vezes. Então, correspondendo a esse fator escreve-se uma soma de p frações parciais 
A1x + B1
(𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑝
+
A2x + B2
(𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑝−1
+ . . . +
Ap−1x + Bp−1
(𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐)2
+
Apx + Bp
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
 
onde Ai e Bi são constantes a serem determinadas. 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Calcular a integral indefinida. 
a) ∫ x sin
x
2
dx b) ∫ x² cos x dx c) ∫ x ln xdx d) ∫ tan−1 xdx 
e) ∫ x³exdx f) ∫(x² − 5x)exdx g) ∫(ln x)²dx h) ∫ ln(3x − 2)dx 
i) ∫ ex sin x dx j) ∫ e−2x sin 2x dx k) ∫ e√3x+9dx l) ∫ sin(ln x)dx 
02. Calcular a integral definida. 
a) ∫ θ2 sin 2θ dθ
π
2
0
 b) ∫ x sec−1 x dx
2
2 √3⁄
 c) ∫ xtan²x
π 3⁄
0
dx d) ∫ xe2x
2
0
dx 
e) ∫ x² ln x dx
e
1
 f) ∫ ln(x + 2)dx
1
−1
 g) ∫ sec−1 √x
4
2
dx h) ∫ √x tan−1 √x
3
1
dx 
03. Determinar a área da região limitada pela curva y = x sin x e pelo eixo x, para 
 π ≤ x ≤ 2π. 
04. Determinar a área da região limitada pela curva y = x cos x e pelo eixo x, para 
 
3π
2
≤ x ≤
5π
2
. 
05. Encontrar a área da região delimitada por y = ln x, pelo eixo x e pela reta x = e. 
06. Encontrar a área da região entre y = x sin x e y = x, para 0 ≤ x ≤
π
2
. 
07. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado quando a região delimitada por 
 y = ln x, pelo eixo x e pela reta x = e girar em torno do eixo x. 
08. Encontrar o volume do sólido de revolução obtido quando a região entre y = sin x e 
 y = 0, para 0≤ x ≤ π, girar em torno do eixo y. 
09. Encontrar o volume do sólido de revolução obtido quando a região entre y = cos x e 
 y = 0, para 0≤ x ≤
π
2
, girar em torno do eixo y. 
10. Encontrar o volume do sólido de revolução obtido quando a região, do primeiro 
 quadrante, delimitada pelos eixos coordenados, pela curva y = ex e pela reta x = ln 2 
 for rotacionada em torno da reta x = ln 2. 
11. Encontrar o volume do sólido de revolução obtido quando a região, do primeiro 
 quadrante, delimitada pelos eixos coordenados, pela curva y = cos x, pelas retas 
 x = 0, x = 
π
2
 for rotacionada em torno do eixo y. 
12. Uma partícula se move ao longo do eixo x com uma função velocidade 
 v(t) = t³sin t. Quão longe viaja a partícula do tempo t = 0 a t = π. 
 13. Calcular a integral. 
𝑎) ∫
𝑑𝑥
4 + 𝑥²
2
−2
 𝑏) ∫
𝑑𝑥
√9 − 𝑥2
 𝑐) ∫
𝑑𝑥
√4𝑥2 − 49
 
3 2⁄
0
 
𝑑) ∫
√𝑥² − 49
𝑥
 𝑑𝑥 𝑒) ∫
𝑑𝑥
𝑥²√𝑥² − 1
 𝑓) ∫
𝑥³𝑑𝑥
√𝑥² + 4
 
𝑔) ∫
4𝑥2𝑑𝑥
(1 − 𝑥2)3 2⁄
 ℎ) ∫
𝑑𝑥
(𝑥² − 1)3 2⁄
 𝑖) ∫
8𝑑𝑥
(4𝑥² + 1)²
 
√3 2⁄
0
 
𝑗) ∫
𝑒𝑥𝑑𝑥
√𝑒2𝑥 + 9
ln 4
0
 𝑘) ∫
𝑒𝑥𝑑𝑥
(1 + 𝑒2𝑥)3 2⁄
ln(4 3⁄ )
ln(3 4⁄ )
 𝑙) ∫
2𝑑𝑥
√𝑥 + 4𝑥√𝑥
1 4⁄
1 12⁄
 
14. Determinar a área da região limitada pelo eixo eixo x, a curva y = 
√𝑥²−9
𝑥²
 e a reta x = 5. 
15. Determinar a área da região limitada pela circunferência x² + y² = r². 
16. Determinar a área da região limitada pela elipse4x² + 9y² = 36. 
17. Encontrar o volume do sólido obtido quando a região limitada pela curva y = ln 𝑥, o eixo x e 
as retas x = 1 e x = 2 girar em torno do: 
 i) eixo x 
 ii) eixo y 
18. Encontrar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região à direita do 
eixo y, delimitada pela curva y = x√9 − 𝑥²
4
 e pelo eixo x. 
19. Achar o comprimento do arco da curva y = ln 𝑥 entre x = 1 e x = 3. 
20. Achar o comprimento do arco da parábola y = 
1
2
𝑥² da origem ao ponto de abscissa x = 1. 
21. Calcular a área da superfície de revolução gerada quando a parte da curva y = x², entre 
x = 0 e x = 1, for rotacionada em torno do eixo x. 
22. Decompor, em frações parciais, os quocientes. 
 a) 
5x−13
(x−3)(x−2)
 b) 
5x−7
x²−3x+2
 c) 
x+4
(x+1)²
 d) 
2x+2
x²−2x+1
 
 e) f) 
z
z³−z²−6z
 g) 
t²+8
t²−5t+6
 h) 
t4+9
t4+9t²
 i) 
−2𝑥+4
(𝑥2+1)(𝑥−1)²
 
 j) 
𝑥²+𝑥−2
3𝑥³−𝑥²+3𝑥−1
 
23. Calcular as integrais. 
 a) ∫
dx
1 − x²
 b) ∫
x + 4
x² + 5x − 6
dx c) ∫
xdx
x² − 2x − 3
8
4
 d) ∫
dx
x³ + x² − 2x
 
 e) ∫
x3dx
x2 + 2x + 1
dx
1
0
 f) ∫
dx
(x2 − 1)2
 g) ∫
x3dx
x2 − 2x + 1
0
−1
 h) ∫
x2dx
(x2 − 1)(x + 1)
 
 i) ∫
dx
(x + 1)(x² + 1)
1
0
 j) ∫
x² + 2x + 1
(x² + 1)²
d k) ∫
2x + 2
(x² + 1)(x − 1)³
dx 
 l) ∫
x4 + 81
x(x² + 9)²
dx m) ∫
2x³ − 2x² + 1
x² − x
dx n) ∫
9x³ − 3x + 1
x³ − x²
dx 
 0) ∫
etdt
e2t + 3et + 2
dt p) ∫
cos x dx
sen2x + senx − 6
 q) ∫
(x − 2)2 tg−1(2x) − 12x³ − 3x
(4x2 + 1)(x − 2)²
dx 
24. Achar a área da região limitada pelo eixo x, pela curva y = 
𝑥−1
𝑥²−5𝑥+6
 e pelas retas 
 x = 4 e x = 6. 
25. Achar a área da região limitada pela curva y(𝑥² + 1)3 = 𝑥³, pelo eixo x, pelo eixo y 
 e pela reta x = 1. 
26. Achar o volume do sólido de revolução obtido quando a região limitada pela curva 
 y(x³ + 8) = 4, pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x = 1 for rotacionada em torno do 
 eixo y. 
27. Achar o volume do sólido de revolução obtido quando a região limitada pela curva 
 y(x² -5x + 6) = x - 1, pelo eixo x e pelas retas x = 4 e x = 6 for rotacionada em torno 
 do eixo y. 
28. Uma partícula move-se ao longo de uma reta de forma que v cm/s seja a velocidade da 
 partícula, decorridos t s; então v = 
𝑡²−𝑡+1
(𝑡+2 )²(𝑡2+ 1)
 
 Achar a distância percorrida pela partícula do instante t = 0 ao instante t = 1. 
 
RESPOSTAS 
01. a) -2xcos
x
2
+ 4 sin
x
2
+ C b) x² sin x + 2x cos x − 2 sin x + C 
 c) 
1
2
x² ln x −
1
4
x² + C d) xtan−1 x − ln √1 + x² + C 
 e) (x³ − 3x² + 6x − 6)ex + C f) (x² − 7x + 7)ex + C 
 g) x(ln x)² − 2x ln x + 2x + C h) x ln(3x − 2) − x −
2
3
ln(3x − 2) + C 
 i) 
1
2
ex(sin x − cos x) + C j) −
1
4
e−2x(sin 2x + cos 2x) + C 
 k) 
2
3
(√3x + 9e√3x+9 − e√3x+9) + C l) 
1
2
x[sin(ln x) − cos(ln x)] + C 
02. a) 
𝜋2−4
8
 b) 
5𝜋−3√3
9
 c) 
√3
3
𝜋 − ln 2 −
1
18
𝜋² d) 
3𝑒4+1
4
 
 e) 
2𝑒³+1
9
 f) 3ln 3 − 2 g) 
5
6
𝜋 − √3 + 1 h) 
1
3
(2√3𝜋 −
1
2
𝜋 − 2 + ln 2) 
03. 3𝜋 u.a. 04. 4𝜋 u.a. 05. 1 u.a. 06. 
𝜋²−8
8
 u.a. 07. 𝜋(𝑒 − 2) 𝑢. 𝑐 08. 2𝜋² u.c. 
09. 𝜋² − 2𝜋 u.c. 10. 2π(1 − ln 2) 11. (𝜋² − 2𝜋) u.c. 12. 𝜋³ − 6𝜋 
13. a) 
π
4
 b) 
π
6
 c) 
1
2
ln |
2
7
x +
√4x²−49
7
| + C d) 7[
√𝑥²−49
7
− sec−1 (
𝑥
7
)] + C 
 e) 
√𝑥²−1
𝑥
+ 𝐶 f) 
1
3
(x² + 4)3 2⁄ − 4√x² + 4 + C g) 4√3 −
4
3
π 
 h) 
−x
√x²−1
+ C i) 2tg−12x +
4x
4x²+1
+ C j) ln 9 − ln(1 + √10) 
 k) 
1
5
 l) 
𝜋
6
 
 14. A = ln 3 −
4
5
 u.a. 15. A = 𝜋𝑟² u.a. 16. A = 6𝜋 u.a. 17. a) V = 2𝜋(ln 2 − 1)² u.c. 
b) V = 𝜋(4 ln 2 −
3
2
) u.c 
18.V = 
81
16
𝜋² u.c. 19. L = ln (
√10−1
3√2−3
) + √10 − √2 20. L = 
1
2
[√2 + ln(√2 + 1)] 
21. S = 
𝜋
32
[18√5 − ln(2 + √5)] 
22. a) 
2
x−3
+
3
x−2
 b) 
3
x−2
+
2
x−1
 c) 
1
x+1
+
3
(x+1)2
 d) 
2
x−1
+
4
(x−1)2
 
 e) 
−2
z
+
−1
z²
+
2
z−1
 f) 
1
5
z−3
+
−1
5
z+2
 g) 1 +
17
t−3
+
−12
t−2
 
 h) 1 +
1
t²
+
−10
t²+9
 i) 
2x+1
x²+1
−
2
x−1
+
1
(x−1)²
 j) 
−
7
5
3x−1
+
4
5
x+
3
5
x²+1
 
23. a) 
1
2
ln |
1 + x
1 − x
| + C b) 
1
7
ln|(x + 6)²(x − 1)5| + C c) 
ln 15
2
 
 d) −
1
2
ln|x| +
1
6
ln|t + 2|
1
3
ln|t − 1| + C e) 3 ln 2 − 2 
 f)
1
4
ln |
x + 1
x − 1
| −
x
2(x2 − 1)
+ C g) 2 − 3 ln 2 
 h) 
1
4
ln|(x − 1)(x + 1)3| +
1
2(x + 1)
+ C i) 
1
8
(π + 2 ln 2) 
 j) tg−1x −
1
x2 + 1
+ C k) 
−1
(x − 1)2
+
1
x − 1
+ tg−1x + C 
 l)ln|x| +
9
x² + 9
+ C m) x² + ln |
x − 1
x
| + C 
 n) 9x + ln|x²(x − 1)7| +
1
x
+ C o) ln (
et + 1
et + 2
) + C 
 p) 
1
5
ln |
senx − 2
senx + 3
| + C q) 
1
4
(tg−12x)2 − 3 ln|x − 2| +
6
x − 2
+ C 
 
24. A = ln 4,5 u.q. 25. A = 
1
16
 u.q. 26. V = 
2
9
√3π² −
2
3
π ln 3 u.c. 
27. V = 2π(2 + 6 ln 3 − 2 ln 2) u.c. 28. s = 
3
5
ln
9
8
−
1
25
π − 
7
30
 cm