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do observador ou uma falha no equipamento. Cabe ao 
observador cercar-se de cuidados para evitar a sua ocorrência ou 
detectar a sua presença. A repetição de leituras é uma forma de evitar 
erros grosseiros. 
Alguns exemplos de erros grosseiros: 
 
• Anotar 196 ao invés de 169; 
• Engano na contagem de lances durante a medição de uma 
distância com trena. 
 
1.4.2 - Erros Sistemáticos 
 
São aqueles erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser 
determinados, seguindo leis matemáticas ou físicas. Pelo fato de serem 
produzidos por causas conhecidas podem ser evitados através de 
técnicas particulares de observação ou mesmo eliminados mediante a 
aplicação de fórmulas específicas. São erros que se acumulam ao longo 
do trabalho. 
 
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Exemplo de erros sistemáticos, que podem ser corrigidos 
através de fórmulas específicas: 
 
• Efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com 
medidor eletrônico de distância; 
• Correção do efeito de dilatação de uma trena em função da 
temperatura. 
 
Um exemplo clássico apresentado na literatura, referente a 
diferentes formas de eliminar e ou minimizar erros sistemáticos é o 
posicionamento do nível a igual distância entre as miras durante o 
nivelamento geométrico pelo método das visadas iguais, o que 
proporciona a minimização do efeito da curvatura terrestre no 
nivelamento e falta de paralelismo entre a linha de visada e eixo do nível 
tubular. 
 
1.4.3 - Erros Acidentais ou Aleatórios 
 
São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem 
sido eliminados. São erros que não seguem nenhum tipo de lei e ora 
ocorrem num sentido ora noutro, tendendo a se neutralizar quando o 
número de observações é grande. 
 
De acordo com GEMAEL (1991, p.63), quando o tamanho de 
uma amostra é elevado, os erros acidentais apresentam uma distribuição 
de freqüência que muito se aproxima da distribuição normal. 
 
1.4.3.1 - Peculiaridade dos Erros Acidentais 
 
• Erros pequenos ocorrem mais freqüentemente do que os 
grandes, sendo mais prováveis; 
• Erros positivos e negativos do mesmo tamanho acontecem com 
igual freqüência, ou são igualmente prováveis; 
• A média dos resíduos é aproximadamente nula; 
• Aumentando o número de observações, aumenta a 
probabilidade de se chegar próximo ao valor real. 
 
Exemplo de erros acidentais: 
 
• Inclinação da baliza na hora de realizar a medida; 
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• Erro de pontaria na leitura de direções horizontais. 
 
 
1.4.4 - Precisão e Acurácia 
 
A precisão está ligada a repetibilidade de medidas sucessivas 
feitas em condições semelhantes, estando vinculada somente a efeitos 
aleatórios. 
 
A acurácia expressa o grau de aderência das observações em 
relação ao seu valor verdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatórios e 
sistemáticos. A figura 1.15 ilustra estes conceitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.15 - Precisão e acurácia. 
 
O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferença 
entre eles: um jogador de futebol está treinando cobranças de pênalti. 
Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta a trave do lado direito do 
goleiro. Este jogador foi extremamente preciso. Seus resultados não 
apresentaram nenhuma variação em torno do valor que se repetiu 10 
vezes. Em compensação sua acurácia foi nula. Ele não conseguiu acertar 
o gol, “verdadeiro valor”, nenhuma vez. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 - REVISÃO MATEMÁTICA 
 
 
 
Neste capítulo é realizada uma revisão de unidades e 
trigonometria, necessária para o estudo dos próximos temas a serem 
abordados. 
 
2.1 - Unidades de Medida 
 
2.1.1 - Medida de Comprimento (metro) 
 
A origem do metro ocorreu em 1791 quando a Academia de 
Ciências de Paris o definiu como unidade padrão de comprimento. Sua 
dimensão era representada por 1/10.000.000 de um arco de meridiano da 
Terra. 
Em 1983, a Conferência Geral de Pesos e Medidas estabeleceu 
a definição atual do “metro” como a distância percorrida pela luz no 
vácuo durante o intervalo de tempo de 1/299.792.458 s. 
O metro é uma unidade básica para a representação de medidas 
de comprimento no sistema internacional (SI). 
 
Tabela 2.1 - Prefixos. 
Nome Valor Numérico Símbolo Nome 
Valor 
Numérico Símbolo 
Deca 101 da deci 10-1 d 
Hecto 102 H centi 10-2 c 
Kilo 103 K mili 10-3 m 
Mega 106 M micro 10-6 µ 
Giga 109 G nano 10-9 n 
Tera 1012 T pico 10-12 p 
 
 
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2.1.2 - Medida Angular 
 
2.1.2.1 - Radiano 
Um radiano é o ângulo central que subentende um arco de 
circunferência de comprimento igual ao raio da mesma. É uma unidade 
suplementar do SI para ângulos planos. 
2piR — 360º arco = R = raio (2.1) 
Raio
Ra
io
θ
Arco
 
Figura 2.1 - Representação de um arco de ângulo. 
 
 
2.1.2.2 - Unidade Sexagesimal 
Grau 
1 grau = 1/360 da circunferência 
grau ° 1° = (pi /180) rad 
minuto ’ 1’ = 1°/60= (pi/10800) rad 
segundo ” 1” = 1°/3600 = (pi/648000) rad 
 
 
2.1.2.3 - Unidade Decimal 
Grado 
1 grado =1/400 da circunferência 
Um grado é dividido em 100’ e cada minuto tem 100”. 
 
 
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2.1.2.4 - Exercícios 
 
1) Transformação de ângulos: 
 
Transforme os seguintes ângulos em graus, minutos e segundos 
para graus e frações decimais de grau. 
a) 32º 28’ 59” = 32, 48305556º 
b) 17º 34’ 18,3” = 17,57175º 
c) 125º 59’ 57” = 125,9991667º 
d) 200º 08’ 06” = 200,135º 
 
2) Soma e subtração de ângulos: 
 
30º20’ + 20º 52’ = 
 
 30º20’ 
+20º52’ → 51º 12’ 
 50º72’ 
 
 
28º41’ + 39°39’ = 
 
 28º41’ 
+39º39’ → 68º 20’ 
 67º80’ 
 
 
42º30’ - 20°40’ = 
 
 
 42º30’ 41º 90’ 
- 20º40’ → - 20º 40’ → 21º 50’ 
 21º 50’ 
 
 
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OBS: é comum, utilizando a calculadora, obter resultados 
com várias casas decimais, neste caso, recomenda-se o arredondamento. 
Por exemplo: 
 
 30º20’ 30,33333333º 
 - 20º52’ → - 20,86666666º → 
 21º 50’ 9,56666666º 
 
 = 9º 27’ 59,999999’’ = 9º 28’ 
 
Já para a transformação de graus decimais para graus, 
minutos e segundos, é necessário manter um mínimo de 6 casas 
decimais para obter o décimo do segundo com segurança. 
 
3) Cálculo de funções trigonométricas utilizando uma calculadora 
Ao aplicar as funções trigonométricas (seno, cosseno e 
tangente), com uma calculadora, o ângulo deve estar em graus e frações 
de graus ou radianos, sendo que neste último caso, a calculadora deve 
estar configurada para radianos. Por exemplo: 
 
Para o ângulo 22º 09’ 04”, calcular o valor do seno, cosseno e 
tangente: 
1º) transformar para graus decimais ou radianos: 
22º 09’ 04” = 22,1511111º = 0,386609821864 rad 
 
2º) aplicar a função trigonométrica desejada: 
sen(22,1511111º) = sen(0,386609821864 rad) = 0,377050629 
cos(22,1511111º) = cos(0,386609821864 rad) = 0,926192648 
tg(22,1511111º) = tg(0,386609821864 rad) = 0,407097411 
 
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