Potencia Em Circuitos Senoidais CPMA.comunidades.net

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84
CAPÍTULO VIII 
POTÊNCIA EM CIRCUITOS 
SENOIDAIS
85
1. Potência instantânea
( ) ( ) ( )p t v t i t 
2. Potência média
0
0
1
( )
t T
t
P p t dt
T
� ³
3. Valores eficazes de corrente e tensão
Método para comparar a potência média dissipada num resistor 
alimentada por forma de onda diferente. 
 
0
I
R
( ) cos( )
p
I t I tZ M �
R
2
1 0
P RI P2 = P1 se ( ) cos( )pi t I tZ M �
 
0
2
p
I I 
Verificação: 
 Potência no resistor alimentado por CC 
rede
linear
( )i t
( )v t
( )p t
T ( )t s0t
86
2
1 0
P R I 
 Potência no resistor alimentado por CA 
> @
2 2 2 2
2
1
( ) ( ) cos ( ) cos (1 cos 2 )
2
1 cos2( )
2
p
p
p t Ri t R I t ora A A
R I
t
Z M
Z M
 � �
 � �
1 2
P P œ 22
0
2
p
R I
R I 
 
0 0
2
2
p
p
I
I I I o 
Conclusão: Uma senoide com amplitude de pico igual a 
p
I dissipa a mesma 
potência que uma corrente constante de valor 
2
pI sobre um resistor. 
Método genérico para determinar o valor eficaz de uma grandeza 
0
0
0
0
2
2 2
2
1
( )
2
1
( )
t Tp
rms t
t T
rms t
I
P R R I R i t dt
T
I i t dt
T
�
�
§ · ¨ ¸© ¹
 
³
³
Obs.: para senoide 
2
p
rms
I
I ,
2
p
rms
V
V 
87
4. Potência em elementos passivos
4.1. Caso geral (impedância qualquer)
 
v i
M T T �
 ( ) cos
p
v t V tZ 
 
0
p p
p
V VV
I I
Z ZZ
I IM
qq � �
 ( ) cos( )
p
i t I tZ M �
( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )
p p
p t v t i t V t I tZ Z M �
1 1
( ) cos( ) cos(2 )
2 2
p p
p t V I t t tZ Z M Z Mª º � � � �« »¬ ¼ ,ora> @1cos cos cos( ) cos( )
2
A B A B A B � � �
1 1
( ) cos( ) cos(2 )
2 2
p p p p
p t V I V I tM Z M � �
( ) cos( ) cos(2 )
rms rms rms rms
p t V I V I tM Z M � � ,ora
cos( ) cos cos sin sinA B A B A B� � > @( ) cos( ) cos(2 )cos( ) sin(2 )sin( )rms rms rms rmsp t V I V I t tM Z M Z M � �> @( ) cos( ) 1 cos(2 ) sin( )sin(2 )rms rms rms rmsp t V I t V I tM Z M Z � � ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀
 potência instantânea na potência instantânea na 
 parte resistiva de Z parte reativa de Z
x� Potência média: 
0
1
( ) cos( )
T
rms rms
P p t dt V I
T
M ³ , [ W ] 
V
R
I
R
Z Z I 
88
x� Potência reativa: 
Valor de pico da potência instantânea da parte reativa. 
sin( )
rms rms
Q V I M 
 4.2. Circuito resistivo
 Tensão e corrente em fase. 
0
v i
T T M Ÿ .> @( ) 1 cos(2 )rms rmsp t V I tZ �> @
0
1
1 cos(2 )
T
R rms rms
P V I t dt
T
Z �³
2
2 rms
R rms rms rms
V
P V I RI
R
 
0
R
Q 
 4.3. Circuito exclusivamente indutivo
0 90 90
v i
T T M � q Ÿ q
( ) sin(2 )
rms rms
p t V I tZ 
0
L
P 
2
2 rms
L rms rms L rms
L
V
Q V I X I
X
 
4.4 Circuito exclusivamente capacitivo
0 90 90
v i
T T M q Ÿ � q
( ) sin(2 )
rms rms
p t V I tZ �
0
C
P 
2
2 rms
C rms rms C rms
C
V
Q V I X I
X
 � � �
89
5. Potência aparente e fator de potência
a) Potência aparente: 
rms rms
S V I , [VA] potência desenvolvida pela fonte. 
b) Fator de potência: 
Fator de potência: coseno do ângulo da carga, ou coseno da defasagem 
entre a tensão e a corrente. 
cos( ) cos( )
p v i
F M T T � [adimensional] 
Como a função coseno é uma função par, cos( ) cos( )
v i i v
T T T T� � .
Acrescenta-se “atrasado” ou “indutivo” se a corrente da carga é atrasada 
em relação à tensão nos seus terminais, e “adiantado” ou “capacitivo” se 
a corrente da carga é adiantada em relação à tensão. 
x� Fluxo da potência num circuito: 
F
o
n
t
e
R
L
C
Carga
x� Relações adicionais: 
cos( )P S M 
sin( )Q S M 
2 2S P Q �
tan( )
Q
P
M 
90
6. Potência complexa
 
v
iI T T �
cos( ) cos( )
rms rms rms rms v i
P V I V II T T �^ `cos( ) sin( )rms rms v i rms rms v iP V I jV IT T T T ƒ � � �^ `( )v ijrms rmsP V I e T T� ƒ^ `v ij jrms rmsP V e I eT T� ƒ^ `*P V Iq q ƒ^ `P S ƒ
Definindo a potência complexa 
*
S V I S Iq q 
 Portanto ^ `P S ƒ
 ^ `ImQ S S P jQ �
 S S 
 cos( )
p
F I 
rms iI I Tq 
rmsV V vTq Z Z I 
91
x� Conservação da potência complexa: 
*
S V I
q q � �* *1 2S V I Iq q q �
* *
1 2
S V I V I
q q q q �
1 2
S S S �Ÿ Não importa como os elementos estão conectados entre eles, para 
determinar a potência complexa desenvolvida pela fonte, basta somar 
todas as potências complexas de cada elemento. 
x� Triângulos de potência (interpretação geométrica da potência 
complexa): 
0M ! o carga indutiva 
x� Relações adicionais: 
V Z I
q q 
2
* *
2 rms
rms
I
S V I Z I I S Z I
Y
q q q q Ÿ 
* 2
*
2
* *
rms
rms
VV
V S Y V
Z Z
qq Ÿ 
I
q
V
q
1I
q
2I
q
S
P
Q
M
92
7. Correção do fator de potência
Objetivo: Minimizar a troca de energia reativa entre a fonte e a carga, sem 
alterar a energia útil absorvida pela carga. 
S
P
Q
M
'M Q'
S'
Exemplo: Uma carga de 500 kVA com fator de potência igual a 0,6 
atrasado, é alimentado sob uma tensão de 13,8 kVrms. f = 60 Hz 
a) Determinar a corrente da carga 
b) Deseja-se corrigir o fator de potência para 0,9 atrasado, através da 
ligação de capacitores em paralelo com a carga. Determine o valor da 
capacitância requerida. 
c) Calcular a nova corrente da carga. 
Solução:
a)
3
3
500 10
36,2
13,8 10
rms
S
I A
V
u u
b)
3
1 500 10 53,13 cos( ) 0,6 53,13S VA M Mq u q Ÿ q
 300 400k j k �
 300P kW ' cos(0,9) 25,84Q arc q
 400Q kVAR ' 333,33
cos( ')
P
S kVAM 
 ' 'sin( ') 145,3Q S kVARM 
S
P
Q
M
'M Q'
S'
93
Potência reativa do capacitor: 
' 254,7
C
Q Q Q kVAR � �
Potência complexa no capacitor: 
*
CC CS V I P
q q q 0C CjQ�
V
q C
*
CC
C
V I jQ
q q 
* 2
* *
C C
C
C C
CC
VV
V jQ jQ
ZZ
qq Ÿ 
*1 1
C C
Z Z
jc jcZ Z Ÿ � 22 C
C
Q
C
f VS �
3
3
254,7 10
3,55
2 60 13,8 10
C FPS u � u u� u
 c) 
3
3
' 333,33 10
' 24,15
13,8 10
S
I A
V
u u
94
8. Transferência máxima de potência
 Objetivo: obter 
L
Z de modo que a potência ativa na carga seja máxima. 
SV
q
L L LZ R jX �
S S SZ R jX �
A
B
8.1 Carga puramente resistiva o
L L
Z R 
SV
q
LR
SZ
LI
q
S S
L
S S LS L
V V
I
R jX RZ R
q qq � ��
2 2( )
S
L
S L S
V
I
R R X
 � �
 Potência na carga: 
2
2
2 2( )
L S
L L L
S L S
R V
P R I
R R X
 � � max 0LL
L
dP
P se
dR
 
2 2
L S S S
R R X Z � 
95
8.2 Carga com RL fixo e XL variável
SV
q
LR
SZ
LI
qA
B
LjX
( ) ( )
S
L
S L S L
V
I
R R j X X
qq � � �
2 2( ) ( )
S
L
S L S L
V
I
R R X X
q
q � � �
 Potência na carga: 
2
2
2 2
max
( ) ( )
L S
L L L L S L
S L S L
R V
P R I P se X X
R R X X
 �� � �
2
max 2( )
L S
L
S L
R V
P
R R
 �
8.3 Carga com RL variável e XL fixo
SV
LR
SZ
A
B
LjX
96
� � � �2 2SL S L S LVI R R X X � � �
� � � �22 2L SL S L S LR VP R R X X � � � ; max 0LL LdPP se dR 
 então � �22L S S LR R X X � �
8.4 Carga com RL variável e XL variável 
� � � �22 2L SL S L L SR VP R R X X � � �
 Fazendo 
L
X variar:
maxL
P para
L S
X X � .
 Então: � �2 2' L SL S LR VP R R � .
 Em seguida, fazendo 
L
R variar:
max
'
0L
L L S
L
dP
P se R RdR
 œ .
 Então: 
*
L S S S
Z R jX Z � .
SV
q
LR
SZ
LjX
97
CAPÍTULO IX 
CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
98
1. Tensões trifásicas equilibradasx� Um sistema de tensões trifásicas equilibradas é um conjunto de 3 
tensões senoidais com mesma a mesma amplitude, a mesma 
freqüência mas defasadas entre si de 120º. 
x� As tensões são chamadas tensões de fase a, b, c.
x� Seqüência de fases (defasagem entre as tensões de fase): 
Seqüência abc, positiva ou direta 
0an PV V
q q 120bn PV Vq � q 120cn PV Vq � q
bnV
q
cnV
q
anV
q
Seqüência acb, negativa ou indireta 
0an PV V
q q 120bn PV Vq q 120cn PV Vq � q
0an bn cnV V V
q q q� � 
bnV
q
cnV
q
anV
q
99
x� Tipos de ligações possíveis de um gerador 3I ideal: 
caV
q
bcV
q
abV
q
a
c
b
 tipo Y tipo '
2. Análise do circuito Y-Y (equilibrado)
anV
q
cnV
q
bnV
q
a
c b
A
C
B
n N
NnI
q
aAI
q
bBI
q
cCI
q
Z
Z Z
x� Tensões nas fases: 
Tensões entre o neutro e cada uma das linhas, ou tensões nos 
terminais de cada elemento. 
Na fonte: anV
q
, bnV
q
, cnV
q
Na carga: ANV
q
, BNV
q
, CNV
q
anV
q
cnV
q
bnV
q
a
c
b
100
x� Tensões de linhas: 
Tensões entre as linhas
Na fonte = na carga : abV
q
, bcV
q
, caV
q
.
x� Corrente no neutro: 
Nn aA bB cCI I I I
q q q q � �
1
0an bn cnNn an bn cn
V V V
I V V V
Z Z Z Z
q q qq q q q§ · � � � � ¨ ¸© ¹
Portanto, não existe corrente circulando no neutro num sistema 
equilibrado. Então: 
Ÿ� Quando existe impedância de linha no neutro, o mesmo pode 
ser considerado como um curto circuito. 
Ÿ� Quando o neutro não está disponível, o mesmo pode ser 
colocado no circuito para efeito de cálculo. 
x� Relação entre as tensões de fase e de linha: 
Supondo seqüência † então: 
 0an PV V
q q
 120bn PV V
q � q
 120cn PV V
q q
 Sabendo que ab an nbV V V
q q q �
0 120an bn P PV V V V
q q � q� � q
 
3 3
(cos( 120 ) sin( 120 ))
2 2
P P PV V j V j
ª º � � q � � q �« »« »¬ ¼
Logo
3 30ab PV V
q q
3 90bc PV V
q � q da forma mais geral fase PV V Mq 
3 150ca PV V
q q 3 30linha PV V Iq � q
101
bnV
q
cnV
q
anV
q30q
abV
q
x� Circuito monofásico equivalente (válido somente para sistema 
equilibrado):
anV
q
Z
bnV
q
cnV
q
a,b,c A,B,C
n N
102
3. Análise do circuito Y-' (equilibrado)
anV
q
cnV
q
bnV
q
a
c
b
A
C
B
n
aAI
q
bBI
q
cCI
q
Z '
ABI
q
BCI
q
CAI
q
Z'
Z '
 Correntes de fase: 
Na carga: , ,AB BC CAI I I
q q q§ ·¨ ¸© ¹
Na fonte: , ,aA bB cCI I I
q q q§ ·¨ ¸© ¹
 Correntes de linhas: 
Na carga = na fonte: , ,aA bB cCI I I
q q q§ ·¨ ¸© ¹
x� Determinação das correntes de linhas: 
 
Ex.: anaA
Y
V
I
Z
qq cncC
Y
V
I
Z
qq 
 
bn
bB
Y
V
I
Z
qq 
Circuito monofásico equivalente 
aAI
q
3
Y
Z
Z ฀
a,b,c A,B,C
n N
cCI
q bB
I
q
103
x� Determinação das correntes de fases nas cargas pela relação entre 
correntes de linhas e correntes de fase: 
aA AB CAI I I
q q q �
Supondo seqüência †: 0AB pI Iq q q
 120BC pI I
q � q
 120CA pI I
q q
0 120aA p pI I I
q q � q
(cos(120 ) sin(120 ))aA p pI I I j
q � q � q
3 3
2 2
aA pI I j
q § · �¨ ¸¨ ¸© ¹
3 30aA pI I
q � q
3 150bB pI I
q � q
3 90cC pI I
q q
da forma mais geral, 
0fase pI I
q q
3 30linha pI I Iq � q
 Observação: se o gerador estiver ligado em ', substitui-se o mesmo por 
um gerador equivalente ligado em Y tal que a tensão de linha senha a mesma. 
a
c
b
220
90
3
q
220
30
3
� q
220
150
3
� q
 seqüência †
3 30 30
3
linha
linha fase fase
V
V V V q Ÿ � q
220120q
a
c
b
220 0q
220 120� q
104
4. Circuitos 3I desequilibrados
4.1. Carga desequilibrada em Y com neutro
A
C
B
N
NI
q
AI
q
BI
q
CI
q
AZ
BZ
CZ
 3 circuitos independentes. 
0N A B CI I I I
q q q q � � z
 Neste caso ANA
A
V
I
Z
qq 
BN
B
B
V
I
Z
qq 
CN
C
C
V
I
Z
qq 
 4.2. Carga desequilibrada em Y sem neutro
anV
q
cnV
q
bnV
q
AI
q
BI
q
CI
q
BZ
AZ
CZ
1I
2I
 Utiliza-se o método das malhas ou análise nodal. 
105
 4.3. Carga desequilibrada em '
x� Caso não se conhece as tensões de linha na carga, substitui-se o 
circuito ' por seu equivalente em Y, e utiliza-se o método das malhas. 
œ
x� Conhece-se as tensões de linha na carga: 
anV
q
cnV
q
bnV
q
A
C
B
aI
q
1Z
ABI
q
2Z
3Z
1
AB
AB
V
I
Z
qq 
2
CA
CA
V
I
Z
qq => a CA ABI I Iq q q �
gZ
gZ
gZ
1Z 2Z
3Z
106
5. Potência em sistema 3I
A A AZ Z I 
B B BZ Z I 
C C CZ Z I 
, , , ,, , A B C A B CA B C v i
I T T �
 Tensões de fase 
instantâneas:
 Correntes de fase 
instantâneas:
( ) cos( )
AN Ap vA
v t V tZ T � ( ) cos( )
AN Ap iA
i t I tZ T �
( ) cos( )
BN Bp vB
v t V tZ T � ( ) cos( )
BN Bp iB
i t I tZ T � 
( ) cos( )
CN Cp vC
v t V tZ T � ( ) cos( )
CN Cp iC
i t I tZ T �
 Sabendo que > @1cos cos cos( ) cos( )
2
A B A B A B � � �
Potências instantâneas em cada fase: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos 2
A
B
C
A AN A A rms A rms A A rms A rms v A
B B B B B B B B B
C C C C C C C C C
P t v t i t V t I t V t I t tI Z T Iª º§ ·« »¨ ¸ � � �« »¨ ¸¨ ¸« »© ¹¬ ¼
Potência instantânea total: ( ) ( ) ( ) ( )A B Cp t p t p t p t � �
Potência ativa total: 
cos cos cos
rms rms rms rms rms rmsA B C A A A B B B C C C
P P P P V I V I V II I I � � � �
 5.1. Para um sistema equilibrado
rms rms rmsA B C rms
V V V V 
A B C A B CZ Z Z Z I I I I Ÿ 
rms rms rmsA B C rms
I I I I 
x� Potência instantânea: ( ) 3 cosrms rmsp t V I M 
A
C
B
( )AI t
( )BI t
( )CI t
AZ
BZ
CZ
107
x� Potência média: 3 cosrms rmsP V I M 
o Para carga ligada em Y 
fase linhaI I 
3 fase linhaV V 
3 cos 3 cos
3
linha
Y linha Y linha linha
V
P I P V IM M Ÿ 
o Para carga ligada em '
fase linhaV V 
3 fase linhaI I 
3 cos 3 cos
3
linha
linha linha linha
I
P V P I VM M Ÿ ฀ ฀
YP P ฀
Resumo: V e I em valores eficazes. 
Por fase Total
Potência ativa cosf f fP V I M 3 cos 3 cosT f f L LP V I V IM M 
Potência reativa sinf f fQ V I M 3 sin 3 sinT f f L LQ V I V IM M 
Potência aparente f f fS V I 3 3T f f L LS V I V I 
Potência complexa *
ff fS V I
q q q *3T f fS V Iqq q 
Fator de potência cospF M cospF M 
5.2. Para um sistema desequilibrado
 Potência ativa total: T A B CP P P P � �
 Potência reativa total: T A B CQ Q Q Q � �
 Potência aparente total: 2 2T T TS P Q �
 Fator de potência: cos TT
T
P
S
M 
 Potência complexa total: T A B CS S S S
q q q q � �
108
6. Medida da potência média em um circuito 3I
 6.1. O Wattímetro
I
V
C
A
R
G
A
bobina da tensão
(resistência alta)
bobina da corrente
(resistência baixa)
 Observação: Bobina da corrente em série com a carga 
 Bobina da tensão em paralelo com a carga. 
cos( )v iW V I T T �
 6.2. O método dos dois Wattímetros
 
1 cos( )ac aac a v IW V I T T �
2 cos( )bc bbc b v IW V I T T �
1 2P W W �
฀
ou
Y
a
c
b
1W
2W
109
Exemplo: Se a carga estiver ligada em Y, e o gerador ligado em Y: 
 Seqüência †
0anV V q
120bnV V � q
120cnV V q
Z Z M 
3 30linha faseV V q
3 30bc bnV V
q q
3 120 30bcV V
q � q q
3 90bcV V
q � q
ac caV V
q q �
3 30ca cnV V
q q
3 30 120caV V
q q q
3 150caVV
q q
 
3 150 3 330 3 30V V V V
qŸ � q q � q
0an
a
V V
I I
ZZ
MM
qq q �
120
120bnb
V V
I I
ZZ
MM
qq � q � � q
1 3 cos( 30 ( ))W V I M � q� � 2 3 cos( 90 ( 120 ))W V I M � q � � q
1 cos( 30 )L LW V I M � q 2 cos( 30 )L LW V I M � q
Obs.: Para o sistema equilibrado é possível determinar o fator de potência 
da carga. > @1 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I M M q � q> @2 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I M M q � q
110
2 1( ) 2 cos( ) cos(30 )L LW W V I M� q 2 1
2 1
cos(30 ) cos( )
sin( ) cos(30 )
W W
W W
MM� q �� q
2 1( ) 2 sin( ) sin(30 )L LW W V I M� � q
2 1
2 1
3
cos( )
32
1 tan( )
sin( )
2
W W
W W
M MM� � � �
1 2
1 2
tan( ) 3
W W
W W
M � �
Ÿ 1 2 tan( ) 0 0 cos( ) 1W W M M M Ÿ Ÿ Ÿ carga resistiva 
1 2W W com sinais apostos o carga reativa pura 
1 2 0W W M! Ÿ ! Ÿcarga indutiva 
1 2 0W W M� Ÿ � Ÿ carga capacitiva 
111
CAPÍTULO X 
INTRODUÇÃO AOS 
CIRCUITOS DE SELEÇÃO 
DE FREQÜÊNCIAS 
112
1. Introdução
Até agora, em nossas análises de circuitos com fontes senoidais, supomos 
que a freqüência da fonte era constante. Neste capitulo, vamos estudar o 
efeito da variação da freqüência sobre as tensões e correntes do circuito Ÿ
resposta em freqüência do circuito.
jLZ
seZ f œ0seZ œ
1
jCZ
seZ f œ0seZ œ
Escolhendo adequadamente os valores das componentes e a forma de 
ligação entre eles, podemos montar circuitos que deixam passar apenas 
sinais cujas freqüências estejam dentro de uma certa faixa Ÿ circuitos de 
seleção de freqüência ou Filtros.
Exemplos de aplicação: telefone, televisão, satélites, rádios, equalizadores, 
etc.
Principais tipos de filtro: filtro passa-baixas, filtro passa-altas, filtro de banda 
de passagem, filtro de banda de rejeição. 
Estes filtros são chamados filtros passivos, pois são construídos a partir de 
componentes passivos. 
113
2. Filtros passa-baixas
iV o
V
R
C
Para identificar o tipo de filtro, examina-se o gráfico da resposta de 
freqüência no domínio da freqüência. 
iV
q
oV
q
R
jLZ
( )i oo
i
RV V R
V H j
R jL R jL
V
ZZ Z
q qq q q Ÿ � �
2
2
( ) ( )
R R
L LH j H j
R
Rj
L
L
Z ZZ Z
q Ÿ � § ·� ¨ ¸© ¹
( ) arctan
L
j
R
ZT Z �
Gráfico de amplitude: 
Para freqüências 
altas o circuito deixa passar 
pouco sinal. 
iV oVR
L
0
1
1
2
( )H jZ
ZcZ
Banda
rejeitada
Banda
passante
114
Gráfico de fase: 
Tensão de saída 
atrasada de 90º em 
relação à tensão de 
entrada.
A freqüência limite 
entre a banda rejeitada e 
a banda passante é 
chamada freqüência de 
corte cZ . Ela corresponde 
à freqüência pela qual 
max
1
( )
2
cH j HZ .œ
Amplitude da função de saída é igual a pelo menos 70,7% do valor máximo 
possível.
Razão da escolha de max
2
H
para definir cZ :
x� Potência máxima na saída: 
2
max1
2
R
R
V
P
R
 
x� Potência na saída quando cZ Z :
max max
1 1
( ) ( )
2 2
c o R c RH j H V V j VZ Z Ÿ Ÿ 
2
2 2max
max
1
( )1 1 12
2 2 2 2c
R
R
RR c
P
V
VV j
P
R R R
Z Z
§ ·¨ ¸© ¹ 
	
�
1
2c
RP PZ 
No limite entre a banda rejeitada e a banda passante a potência média 
fornecida à carga = 50% da potência média máxima. 
cZ = freqüência de meia potência. 
Ÿ Dentro da banda passante, a potência fornecida a uma carga é pelo 
menos 50% da potência média máxima. 
0
( )jT Z
90� q Z
115
3. Filtros de banda de passagem
 Circuitos que deixam passar sinais cujas freqüências estejam dentro de 
uma certa faixa e rejeitam sinais cujas freqüências estejam fora desta faixa. 
Exemplo:
 No domínio da freqüência: 
iV
q
R
1
jCZjLZ
i
q
1
V
I
R j L
C
Z Z
qq § ·� �¨ ¸© ¹
2
2
1
1 1
( ) tan
1
1
L
I CH j arc
R
V R j L
R LC
C
Z ZZ Z ZZ Z
q
q
§ ·�¨ ¸ � ¨ ¸§ · ¨ ¸§ ·� � ¨ ¸¨ ¸ � � © ¹¨ ¸© ¹ © ¹
� �
2
2
1
1
H j
R L
C
Z Z Z
 § ·� �¨ ¸© ¹
iV o
VR
CL
i
iV o
V
R
C L
116
1
( ) arctan
L
Cj
R
Z ZT Z § ·�¨ ¸ � ¨ ¸¨ ¸¨ ¸© ¹
x� Freqüência de ressonância 0Z :
Freqüência pela qual ( )H jZ é máxima. max 1 IH
R V
 .
Na freqüência de ressonância a impedância equivalente do circuito é 
um resistor puro. As impedâncias do capacitor e do indutor têm 
módulos iguais e de sinais opostos. Ÿ a tensão de entrada e a 
corrente estão em fase. 
1
eqZ R j L
C
Z Z§ · � �¨ ¸© ¹ , como na ressonância 0( )eqZ RZ 
117
Ÿ 0 0
0
1 1
0L
C LC
Z ZZ� Ÿ 
x� Freqüências de cortes 1Z e 2Z
Potência máxima = Potência na freqüência de ressonância 
2
0 max
1
2
pP R I .
Freqüências de cortes = Freqüência para 
max
2
pI
I =freqüência ½ 
potência.
1 2
2 2
max max
0
1 1 1
2 2 2 22
p pI I
P P R R PZ Z § · ¨ ¸¨ ¸© ¹
max
1 2
2 2 2
( ) ( )
2 2 2
p p p pI V V V
I I
R R R R
Z Z �
2
2 1
pV
I
R L
C
Z Z
 § ·� �¨ ¸© ¹
2
2 1 1R L R L
C C
Z ZZ Z§ · § · � Ÿ r �¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹
a) 22 2 2
2
1 1
0R L L R
C C
Z Z ZZ � Ÿ � � 
2
2
4
2
L
R R
C
L
Z r � 
2
2
4
2
L
R R
C
L
Z � � 
 b) 21 1 1
1
1 1
0R L L R
C C
Z Z ZZ � Ÿ � � 
 
2
1
4
2
L
R R
C
L
Z � r � 
 
2
1
4
2
L
R R
C
L
Z � � � 
x� Banda passante Z'
Largura de banda da passagem: 
118
2 1
R
L
Z Z Z' � 
0 1 2Z Z Z 
x� Fator de qualidade Q 
0 0LQ
R
Z ZZ '
Q maior, circuito mais seletivo. 
119
Bibliografia
1) Electric Circuits, James W. Nilsson, Susan A. Riedel. Ed. Prentice 
Hall, Sixth Edition, 1999. ISBN 0-201-43653-1. 
2) Fundamentos de análise de Circuitos Elétricos, David E. Johnson, 
John L. Hilburn, Johnny R. Johnson. Ed. Prentice Hall do Brasil, 
Quarta Edição, 1994. ISBN 85-7054-047-7. 
3) Linear Circuit analysis, Artice M. Davis. Ed. PWS Publisching 
Company, 1998. ISBN 0-534-95095-7. 
4) Introdução à Analise de Circuitos, Robert L. Boylestad. Ed. 
Prentice Hall do Brasil, 8a Edição, 1998. ISBN 85-7054-078-7. 
5) Análise de Circuitos em Engenharia, J. David Irwin. Ed. Pearson 
Education, 4a Edição, 2000. ISBN 85-346-0693-5. 
6) Análise de Circuitos em Engenharia, William H. Hayt Jr., Jack E. 
Kemmerly. Ed. McGraw-Hill, 1973. 
7) Circuitos Elétricos, Joseph A. Edminster. Ed. McGraw-Hill, 1980.