fis2 152 sc gabarito

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Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de Fí-
si
a
Físi
a II� 2015.2 � Segunda Chamada: 16/03/2016
Versão: A
Seção 1. Múltipla es
olha (9× 0,7= 6,3 pontos)
1. Um sistema é levado do estado termodinâmi
o
i para o estado termodinâmi
o f . Considere
que este pro
esso seja realizado de maneira re-
versível e que o trabalho realizado pelo gás
seja WR e o 
alor re
ebido pelo gás seja QR.
Um pro
esso irreversível liga os mesmos es-
tados ini
ial e �nal porém o gás realiza um
trabalho menor dado por W . Quanto 
alor o
gás re
ebeu neste pro
esso irreversível?
(a) Q =WR −W +QR.
(b) Q = −WR +W −QR.
(
) Q = −WR +W +QR.
(d) Q =WR −W +QR.
2. Um grande re
ipiente está 
heio de água em
seu interior. Um objeto é mantido 
ompleta-
mente submerso na água a uma profundidade
h1 abaixo da superfí
ie horizontal da água.
O objeto é deslo
ado para uma profundidade
maior h2, onde h2 = 2h1. Comparando o valor
da força F1 ne
essária para manter o objeto
na profundidade h1 
om a força F2 ne
essá-
ria para manter o objeto na profundidade h2,
onsiderando a água in
ompressível e em equi-
líbrio, podemos a�rmar que:
(a) F1 > 2F2
(b) F1 = F2
(
) 2F2 > F1 > F2
(d) F1 = 2F2
(e) F1 = F2/2
3. O diâmetro de um tudo horizontal sofre au-
mento para o dobro de seu valor ini
ial. Se
um �uido ideal estiver es
oando de forma es-
ta
ionária da seção estreita para a larga, en-
tão:
(a) A velo
idade e a pressão diminuirão.
(b) A velo
idade diminuirá mas a pressão
aumentará.
(
) A velo
idade aumentará mas a pressão
diminuirá.
(d) A velo
idade e a pressão aumentarão.
(e) A velo
idade OU a pressão se modi�-
ará, mas N�O ambas.
4. Numa 
orda de 60 cm de 
omprimento 
om
ambas as extremidades �xas observa-se a for-
mação de modos normais 
onse
utivos de
frequên
ias 400 Hz e 500 Hz. A velo
idade
das ondas nesta 
orda é:
(a) 120 m/s
(b) 60 m/s
(
) 480 m/s
(d) 340 m/s
(e) 100 m/s
5. Considere um tanque 
ompletamente 
heio de
um �uido in
ompressível, em repouso. O for-
mato do tanque é mostrado na �gura. Ordene
as superfí
ies indi
adas de a
ordo 
om a força
que o �uido exer
e sobre elas, 
omeçando pela
maior.
(a) Fe > Fb = Fd > Fa = Fc
(b) Fa = Fd > Fc > Fb > Fe
(
) Fe > Fb > Fc > Fa = Fd
(d) Fe > Fb > Fc > Fa = Fd
6. Um trem de ondas passa por um 
erto ponto
de observação e o intervalo entre as 
ristas é
de 0, 2 s. Qual das seguintes a�rmativas é 
or-
reta?
(a) O 
omprimento de onda é de 5 m.
(b) A frequên
ia é de 5 Hz.
(
) A velo
idade de propagação é de 5 m/s.
(d) O 
omprimento de onda é de 0, 2 m.
(e) Não há informação su�
iente para jus-
ti�
ar nenhuma das a�rmações anterio-
res.
7. Considere dois tubos de mesmo 
omprimento,
um aberto em ambas as extremidades, e o ou-
tro, fe
hado em uma extremidade. Seja λ1a o
omprimento de onda do primeiro modo nor-
mal de vibração do ar no tubo aberto e λ1f o
omprimento de onda do primeiro modo nor-
mal de vibração do ar no tubo 
om uma ex-
tremidade fe
hada. Considere as a�rmações:
I. λ1a > λ1f .
II. λ1a = λ1f .
III. λ1a < λ1f .
IV. A pressão é 
onstante nos extremos do
tubo aberto e o deslo
amento das molé-
ulas de ar, portanto, é nulo.
V. A pressão é 
onstante nos extremos do
tubo aberto e o deslo
amento das molé-
ulas de ar, portanto, é máximo.
Qual(is) das a�rmações a
ima é(são) verda-
deira(s)?
(a) I.
(b) II.
(
) III.
(d) I e IV.
(e) I e V.
(f) II e IV.
(g) II e V.
(h) III e V.
8. Um mol de gás ideal o
upa um re
ipiente de
volume V . Esquenta-se o gás até sua tem-
peratura (medida em Kelvin) dobrar. Con-
siderando que a pressão não varia neste pro-
esso, quantos mols sobram no re
ipiente e o
que a
onte
e 
om a energia interna do gás pre-
sente no re
ipiente?
(a) 2 mols e a energia interna não varia.
(b) 1 mol e a energia interna dobra.
(
) 0,5 mols e a energia interna não varia.
(d) 0,5 mols e a energia interna dobra.
(e) 1 mol e a energia interna não varia.
9. Um dado sistema sofre um pro
esso termodi-
nâmi
o IRREVERSÍVEL entre os estados A e
B. SEMPRE é possível 
al
ular:
(a) ∆SAB e ∆UAB, pois S e U são funções
de estado.
(b) ∆SAB, W =
∫
P dV e ∆UAB.
(
) ∆SAB, ∆UAB, QAB e WAB, pois estas
grandezas são rela
ionadas pelas 1a e 2a
Leis.
(d) ∆SAB, ∆UAB e QAB =
∫
mc(T ) dT .
Seção 2. Questão dis
ursiva
1. [3,7 pontos℄ Um sistema me
âni
o sofre deslo
amentos, dados por z, tal que sua energia me
âni
a
é dada por
EM = a v
2
z + b z
2
− bc z , (1)
onde a, b e c são 
onstantes positivas e vz =
dz
dt
.
a) [0,7 pontos℄Use a 
onservação da energia me
âni
a, dEM/dt = 0, para mostrar que a equação
de movimento para z é da forma
d2z
dt2
+ ω2 z =
1
2
ω2 c (2)
e en
ontre ω em termos de a, b e c.
b) [1,0 pontos℄ A partir da equação de movimento (2), dada no item a), en
ontre o deslo
amento
z0 para o qual o sistema �
a em equilíbrio. Esbo
e um grá�
o da energia poten
ial U(z) e
indique o deslo
amento z0 no seu grá�
o.
) [1,0 pontos℄ En
ontre a equação diferen
ial de movimento satisfeita pelo deslo
amento em
relação ao equilíbrio, y = z− z0 (o deslo
amento original z não deve apare
er nesta equação).
Utilize a resposta ao item b) e z = y + z0.
d) [1,0 pontos℄ Qual a solução geral y(t) da equação en
ontrada no item 
)? O sistema os
ila
om que período? Em torno de que posição?
(Não é ne
essário realizar 
ál
ulos, mas vo
ê ainda deve justi�
ar sua resposta.)
FIM
Gabarito para Versão A
Seção 1. Múltipla es
olha (9× 0,7= 6,3 pontos)
1. (
)
2. (b)
3. (b)
4. (a)
5. (a)
6. (b)
7. (h)
8. (
)
9. (a)
Seção 2. Questão dis
ursiva
1. Resolução:
a) Derivando a equação (2) em relação ao tempo e usando dEM/dt = 0 (
onservação da energia me
âni
a),
en
ontramos
2 a vz
dv
dt
+ 2 b z
dz
dt
− bc
dz
dt
= 0 . (1)
Dividindo por vz =
dz
dt
(�
ortando�),
2 a
d2z
dt2
+ 2 b z − bc = 0 , (2)
ou
d2z
dt2
+ ω2 z =
1
2
ω2 c (3)
om ω =
√
b/a .
b) Na posição de equilíbrio z = z0, a força resultante e, portanto, a a
eleração
d2z
dt2
devem ser nulas. Logo,
ω2 z0 =
1
2
ω2 c , (4)
ou seja,
z0 =
1
2
c . (5)
A energia poten
ial U(z) pode ser identi�
ada 
omo b z2−bc z, sendo a parte da energia me
âni
a que não depende
da velo
idade. Seu grá�
o é uma parábola e a posição de equilíbrio deve ser seu mínimo.
−2z0 -z0 0 z0 2 z0 3 z0 4 z0
U
(z
)
z
) Temos, de (5), que y = z − c/2. Logo, z = y + c/2
dz
dt
=
dy
dt
,
d2z
dt2
=
d2y
dt2
. (6)
Então,
d2y
dt2
+ ω2
(
y +
c
2
)
=
1
2
ω2 c , (7)
ou ainda
d2y
dt2
+ ω2 z = 0 . (8)
d) A equação (8) é a equação de movimento de um os
ilador harm�ni
o simples. Portanto, sua solução geral é da
forma
y(t) = A cos(ωt+ φ) , (9)
onde podemos interpretar ω 
omo a freqüên
ia angular de os
ilação e, portanto,
T =
2pi
ω
. (10)
Como z = y + z0,
z = z0 + A cos(ωt+ φ) (11)
e vemos que o sistema os
ila em torno de sua posição de equilíbrio.
�
Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de Fí-
si
a
Físi
a II� 2015.2 � Segunda Chamada: 16/03/2016
Versão: B
Seção 1. Múltipla es
olha (9× 0,7= 6,3 pontos)
1. Considere um tanque 
ompletamente 
heio de
um �uido in
ompressível, em repouso. O for-
mato do tanque é mostrado na �gura. Ordene
as superfí
ies indi
adas de a
ordo 
om a força
que o �uido exer
e sobre elas, 
omeçando pela
maior.
(a) Fe > Fb = Fd > Fa = Fc
(b) Fa = Fd > Fc > Fb > Fe
(
) Fe >Fb > Fc > Fa = Fd
(d) Fe > Fb > Fc > Fa = Fd
2. Um sistema é levado do estado termodinâmi
o
i para o estado termodinâmi
o f . Considere
que este pro
esso seja realizado de maneira re-
versível e que o trabalho realizado pelo gás
seja WR e o 
alor re
ebido pelo gás seja QR.
Um pro
esso irreversível liga os mesmos es-
tados ini
ial e �nal porém o gás realiza um
trabalho menor dado por W . Quanto 
alor o
gás re
ebeu neste pro
esso irreversível?
(a) Q =WR −W +QR.
(b) Q = −WR +W −QR.
(
) Q = −WR +W +QR.
(d) Q =WR −W +QR.
3. O diâmetro de um tudo horizontal sofre au-
mento para o dobro de seu valor ini
ial. Se
um �uido ideal estiver es
oando de forma es-
ta
ionária da seção estreita para a larga, en-
tão:
(a) A velo
idade e a pressão diminuirão.
(b) A velo
idade diminuirá mas a pressão
aumentará.
(
) A velo
idade aumentará mas a pressão
diminuirá.
(d) A velo
idade e a pressão aumentarão.
(e) A velo
idade OU a pressão se modi�-
ará, mas N�O ambas.
4. Considere dois tubos de mesmo 
omprimento,
um aberto em ambas as extremidades, e o ou-
tro, fe
hado em uma extremidade. Seja λ1a o
omprimento de onda do primeiro modo nor-
mal de vibração do ar no tubo aberto e λ1f o
omprimento de onda do primeiro modo nor-
mal de vibração do ar no tubo 
om uma ex-
tremidade fe
hada. Considere as a�rmações:
I. λ1a > λ1f .
II. λ1a = λ1f .
III. λ1a < λ1f .
IV. A pressão é 
onstante nos extremos do
tubo aberto e o deslo
amento das molé-
ulas de ar, portanto, é nulo.
V. A pressão é 
onstante nos extremos do
tubo aberto e o deslo
amento das molé-
ulas de ar, portanto, é máximo.
Qual(is) das a�rmações a
ima é(são) verda-
deira(s)?
(a) I.
(b) II.
(
) III.
(d) I e IV.
(e) I e V.
(f) II e IV.
(g) II e V.
(h) III e V.
5. Um grande re
ipiente está 
heio de água em
seu interior. Um objeto é mantido 
ompleta-
mente submerso na água a uma profundidade
h1 abaixo da superfí
ie horizontal da água.
O objeto é deslo
ado para uma profundidade
maior h2, onde h2 = 2h1. Comparando o valor
da força F1 ne
essária para manter o objeto
na profundidade h1 
om a força F2 ne
essá-
ria para manter o objeto na profundidade h2,
onsiderando a água in
ompressível e em equi-
líbrio, podemos a�rmar que:
(a) F1 > 2F2
(b) F1 = F2
(
) 2F2 > F1 > F2
(d) F1 = 2F2
(e) F1 = F2/2
6. Numa 
orda de 60 cm de 
omprimento 
om
ambas as extremidades �xas observa-se a for-
mação de modos normais 
onse
utivos de
frequên
ias 400 Hz e 500 Hz. A velo
idade
das ondas nesta 
orda é:
(a) 120 m/s
(b) 60 m/s
(
) 480 m/s
(d) 340 m/s
(e) 100 m/s
7. Um trem de ondas passa por um 
erto ponto
de observação e o intervalo entre as 
ristas é
de 0, 2 s. Qual das seguintes a�rmativas é 
or-
reta?
(a) O 
omprimento de onda é de 5 m.
(b) A frequên
ia é de 5 Hz.
(
) A velo
idade de propagação é de 5 m/s.
(d) O 
omprimento de onda é de 0, 2 m.
(e) Não há informação su�
iente para jus-
ti�
ar nenhuma das a�rmações anterio-
res.
8. Um mol de gás ideal o
upa um re
ipiente de
volume V . Esquenta-se o gás até sua tem-
peratura (medida em Kelvin) dobrar. Con-
siderando que a pressão não varia neste pro-
esso, quantos mols sobram no re
ipiente e o
que a
onte
e 
om a energia interna do gás pre-
sente no re
ipiente?
(a) 2 mols e a energia interna não varia.
(b) 1 mol e a energia interna dobra.
(
) 0,5 mols e a energia interna não varia.
(d) 0,5 mols e a energia interna dobra.
(e) 1 mol e a energia interna não varia.
9. Um dado sistema sofre um pro
esso termodi-
nâmi
o IRREVERSÍVEL entre os estados A e
B. SEMPRE é possível 
al
ular:
(a) ∆SAB e ∆UAB, pois S e U são funções
de estado.
(b) ∆SAB, W =
∫
P dV e ∆UAB.
(
) ∆SAB, ∆UAB, QAB e WAB, pois estas
grandezas são rela
ionadas pelas 1a e 2a
Leis.
(d) ∆SAB, ∆UAB e QAB =
∫
mc(T ) dT .
Seção 2. Questão dis
ursiva
1. [3,7 pontos℄ Um sistema me
âni
o sofre deslo
amentos, dados por z, tal que sua energia me
âni
a
é dada por
EM = a v
2
z + b z
2
− bc z , (1)
onde a, b e c são 
onstantes positivas e vz =
dz
dt
.
a) [0,7 pontos℄Use a 
onservação da energia me
âni
a, dEM/dt = 0, para mostrar que a equação
de movimento para z é da forma
d2z
dt2
+ ω2 z =
1
2
ω2 c (2)
e en
ontre ω em termos de a, b e c.
b) [1,0 pontos℄ A partir da equação de movimento (2), dada no item a), en
ontre o deslo
amento
z0 para o qual o sistema �
a em equilíbrio. Esbo
e um grá�
o da energia poten
ial U(z) e
indique o deslo
amento z0 no seu grá�
o.
) [1,0 pontos℄ En
ontre a equação diferen
ial de movimento satisfeita pelo deslo
amento em
relação ao equilíbrio, y = z− z0 (o deslo
amento original z não deve apare
er nesta equação).
Utilize a resposta ao item b) e z = y + z0.
d) [1,0 pontos℄ Qual a solução geral y(t) da equação en
ontrada no item 
)? O sistema os
ila
om que período? Em torno de que posição?
(Não é ne
essário realizar 
ál
ulos, mas vo
ê ainda deve justi�
ar sua resposta.)
FIM
Gabarito para Versão B
Seção 1. Múltipla es
olha (9× 0,7= 6,3 pontos)
1. (a)
2. (
)
3. (b)
4. (h)
5. (b)
6. (a)
7. (b)
8. (
)
9. (a)
Seção 2. Questão dis
ursiva
1. Resolução:
a) Derivando a equação (2) em relação ao tempo e usando dEM/dt = 0 (
onservação da energia me
âni
a),
en
ontramos
2 a vz
dv
dt
+ 2 b z
dz
dt
− bc
dz
dt
= 0 . (1)
Dividindo por vz =
dz
dt
(�
ortando�),
2 a
d2z
dt2
+ 2 b z − bc = 0 , (2)
ou
d2z
dt2
+ ω2 z =
1
2
ω2 c (3)
om ω =
√
b/a .
b) Na posição de equilíbrio z = z0, a força resultante e, portanto, a a
eleração
d2z
dt2
devem ser nulas. Logo,
ω2 z0 =
1
2
ω2 c , (4)
ou seja,
z0 =
1
2
c . (5)
A energia poten
ial U(z) pode ser identi�
ada 
omo b z2−bc z, sendo a parte da energia me
âni
a que não depende
da velo
idade. Seu grá�
o é uma parábola e a posição de equilíbrio deve ser seu mínimo.
−2z0 -z0 0 z0 2 z0 3 z0 4 z0
U
(z
)
z
) Temos, de (5), que y = z − c/2. Logo, z = y + c/2
dz
dt
=
dy
dt
,
d2z
dt2
=
d2y
dt2
. (6)
Então,
d2y
dt2
+ ω2
(
y +
c
2
)
=
1
2
ω2 c , (7)
ou ainda
d2y
dt2
+ ω2 z = 0 . (8)
d) A equação (8) é a equação de movimento de um os
ilador harm�ni
o simples. Portanto, sua solução geral é da
forma
y(t) = A cos(ωt+ φ) , (9)
onde podemos interpretar ω 
omo a freqüên
ia angular de os
ilação e, portanto,
T =
2pi
ω
. (10)
Como z = y + z0,
z = z0 + A cos(ωt+ φ) (11)
e vemos que o sistema os
ila em torno de sua posição de equilíbrio.
�
Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de Fí-
si
a
Físi
a II� 2015.2 � Segunda Chamada: 16/03/2016
Versão: C
Seção 1. Múltipla es
olha (9× 0,7= 6,3 pontos)
1. Considere um tanque 
ompletamente 
heio de
um �uido in
ompressível, em repouso. O for-
mato do tanque é mostrado na �gura. Ordene
as superfí
ies indi
adas de a
ordo 
om a força
que o �uido exer
e sobre elas, 
omeçando pela
maior.
(a) Fe > Fb = Fd > Fa = Fc
(b) Fa = Fd > Fc > Fb > Fe
(
) Fe > Fb > Fc > Fa = Fd
(d) Fe > Fb > Fc > Fa = Fd
2. Um mol de gás ideal o
upa um re
ipiente de
volume V . Esquenta-se o gás até sua tem-
peratura (medida em Kelvin) dobrar. Con-
siderando que a pressão não varia neste pro-
esso, quantos mols sobram no re
ipiente e o
que a
onte
e 
om a energia interna do gás pre-
sente no re
ipiente?
(a) 2 mols e a energia interna não varia.
(b) 1 mol e a energia interna dobra.
(
) 0,5 mols e a energia interna não varia.
(d) 0,5 molse a energia interna dobra.
(e) 1 mol e a energia interna não varia.
3. Um trem de ondas passa por um 
erto ponto
de observação e o intervalo entre as 
ristas é
de 0, 2 s. Qual das seguintes a�rmativas é 
or-
reta?
(a) O 
omprimento de onda é de 5 m.
(b) A frequên
ia é de 5 Hz.
(
) A velo
idade de propagação é de 5 m/s.
(d) O 
omprimento de onda é de 0, 2 m.
(e) Não há informação su�
iente para jus-
ti�
ar nenhuma das a�rmações anterio-
res.
4. Um grande re
ipiente está 
heio de água em
seu interior. Um objeto é mantido 
ompleta-
mente submerso na água a uma profundidade
h1 abaixo da superfí
ie horizontal da água.
O objeto é deslo
ado para uma profundidade
maior h2, onde h2 = 2h1. Comparando o valor
da força F1 ne
essária para manter o objeto
na profundidade h1 
om a força F2 ne
essá-
ria para manter o objeto na profundidade h2,
onsiderando a água in
ompressível e em equi-
líbrio, podemos a�rmar que:
(a) F1 > 2F2
(b) F1 = F2
(
) 2F2 > F1 > F2
(d) F1 = 2F2
(e) F1 = F2/2
5. Considere dois tubos de mesmo 
omprimento,
um aberto em ambas as extremidades, e o ou-
tro, fe
hado em uma extremidade. Seja λ1a o
omprimento de onda do primeiro modo nor-
mal de vibração do ar no tubo aberto e λ1f o
omprimento de onda do primeiro modo nor-
mal de vibração do ar no tubo 
om uma ex-
tremidade fe
hada. Considere as a�rmações:
I. λ1a > λ1f .
II. λ1a = λ1f .
III. λ1a < λ1f .
IV. A pressão é 
onstante nos extremos do
tubo aberto e o deslo
amento das molé-
ulas de ar, portanto, é nulo.
V. A pressão é 
onstante nos extremos do
tubo aberto e o deslo
amento das molé-
ulas de ar, portanto, é máximo.
Qual(is) das a�rmações a
ima é(são) verda-
deira(s)?
(a) I.
(b) II.
(
) III.
(d) I e IV.
(e) I e V.
(f) II e IV.
(g) II e V.
(h) III e V.
6. O diâmetro de um tudo horizontal sofre au-
mento para o dobro de seu valor ini
ial. Se
um �uido ideal estiver es
oando de forma es-
ta
ionária da seção estreita para a larga, en-
tão:
(a) A velo
idade e a pressão diminuirão.
(b) A velo
idade diminuirá mas a pressão
aumentará.
(
) A velo
idade aumentará mas a pressão
diminuirá.
(d) A velo
idade e a pressão aumentarão.
(e) A velo
idade OU a pressão se modi�-
ará, mas N�O ambas.
7. Um dado sistema sofre um pro
esso termodi-
nâmi
o IRREVERSÍVEL entre os estados A e
B. SEMPRE é possível 
al
ular:
(a) ∆SAB e ∆UAB, pois S e U são funções
de estado.
(b) ∆SAB, W =
∫
P dV e ∆UAB.
(
) ∆SAB, ∆UAB, QAB e WAB, pois estas
grandezas são rela
ionadas pelas 1a e 2a
Leis.
(d) ∆SAB, ∆UAB e QAB =
∫
mc(T ) dT .
8. Um sistema é levado do estado termodinâmi
o
i para o estado termodinâmi
o f . Considere
que este pro
esso seja realizado de maneira re-
versível e que o trabalho realizado pelo gás
seja WR e o 
alor re
ebido pelo gás seja QR.
Um pro
esso irreversível liga os mesmos es-
tados ini
ial e �nal porém o gás realiza um
trabalho menor dado por W . Quanto 
alor o
gás re
ebeu neste pro
esso irreversível?
(a) Q = WR −W +QR.
(b) Q = −WR +W −QR.
(
) Q = −WR +W +QR.
(d) Q = WR −W +QR.
9. Numa 
orda de 60 cm de 
omprimento 
om
ambas as extremidades �xas observa-se a for-
mação de modos normais 
onse
utivos de
frequên
ias 400 Hz e 500 Hz. A velo
idade
das ondas nesta 
orda é:
(a) 120 m/s
(b) 60 m/s
(
) 480 m/s
(d) 340 m/s
(e) 100 m/s
Seção 2. Questão dis
ursiva
1. [3,7 pontos℄ Um sistema me
âni
o sofre deslo
amentos, dados por z, tal que sua energia me
âni
a
é dada por
EM = a v
2
z + b z
2
− bc z , (1)
onde a, b e c são 
onstantes positivas e vz =
dz
dt
.
a) [0,7 pontos℄Use a 
onservação da energia me
âni
a, dEM/dt = 0, para mostrar que a equação
de movimento para z é da forma
d2z
dt2
+ ω2 z =
1
2
ω2 c (2)
e en
ontre ω em termos de a, b e c.
b) [1,0 pontos℄ A partir da equação de movimento (2), dada no item a), en
ontre o deslo
amento
z0 para o qual o sistema �
a em equilíbrio. Esbo
e um grá�
o da energia poten
ial U(z) e
indique o deslo
amento z0 no seu grá�
o.
) [1,0 pontos℄ En
ontre a equação diferen
ial de movimento satisfeita pelo deslo
amento em
relação ao equilíbrio, y = z− z0 (o deslo
amento original z não deve apare
er nesta equação).
Utilize a resposta ao item b) e z = y + z0.
d) [1,0 pontos℄ Qual a solução geral y(t) da equação en
ontrada no item 
)? O sistema os
ila
om que período? Em torno de que posição?
(Não é ne
essário realizar 
ál
ulos, mas vo
ê ainda deve justi�
ar sua resposta.)
FIM
Gabarito para Versão C
Seção 1. Múltipla es
olha (9× 0,7= 6,3 pontos)
1. (a)
2. (
)
3. (b)
4. (b)
5. (h)
6. (b)
7. (a)
8. (
)
9. (a)
Seção 2. Questão dis
ursiva
1. Resolução:
a) Derivando a equação (2) em relação ao tempo e usando dEM/dt = 0 (
onservação da energia me
âni
a),
en
ontramos
2 a vz
dv
dt
+ 2 b z
dz
dt
− bc
dz
dt
= 0 . (1)
Dividindo por vz =
dz
dt
(�
ortando�),
2 a
d2z
dt2
+ 2 b z − bc = 0 , (2)
ou
d2z
dt2
+ ω2 z =
1
2
ω2 c (3)
om ω =
√
b/a .
b) Na posição de equilíbrio z = z0, a força resultante e, portanto, a a
eleração
d2z
dt2
devem ser nulas. Logo,
ω2 z0 =
1
2
ω2 c , (4)
ou seja,
z0 =
1
2
c . (5)
A energia poten
ial U(z) pode ser identi�
ada 
omo b z2−bc z, sendo a parte da energia me
âni
a que não depende
da velo
idade. Seu grá�
o é uma parábola e a posição de equilíbrio deve ser seu mínimo.
−2z0 -z0 0 z0 2 z0 3 z0 4 z0
U
(z
)
z
) Temos, de (5), que y = z − c/2. Logo, z = y + c/2
dz
dt
=
dy
dt
,
d2z
dt2
=
d2y
dt2
. (6)
Então,
d2y
dt2
+ ω2
(
y +
c
2
)
=
1
2
ω2 c , (7)
ou ainda
d2y
dt2
+ ω2 z = 0 . (8)
d) A equação (8) é a equação de movimento de um os
ilador harm�ni
o simples. Portanto, sua solução geral é da
forma
y(t) = A cos(ωt+ φ) , (9)
onde podemos interpretar ω 
omo a freqüên
ia angular de os
ilação e, portanto,
T =
2pi
ω
. (10)
Como z = y + z0,
z = z0 + A cos(ωt+ φ) (11)
e vemos que o sistema os
ila em torno de sua posição de equilíbrio.
�
Universidade Federal do Rio de Janeiro � Instituto de Fí-
si
a
Físi
a II� 2015.2 � Segunda Chamada: 16/03/2016
Versão: D
Seção 1. Múltipla es
olha (9× 0,7= 6,3 pontos)
1. Um dado sistema sofre um pro
esso termodi-
nâmi
o IRREVERSÍVEL entre os estados A e
B. SEMPRE é possível 
al
ular:
(a) ∆SAB e ∆UAB, pois S e U são funções
de estado.
(b) ∆SAB, W =
∫
P dV e ∆UAB.
(
) ∆SAB, ∆UAB, QAB e WAB, pois estas
grandezas são rela
ionadas pelas 1a e 2a
Leis.
(d) ∆SAB, ∆UAB e QAB =
∫
mc(T ) dT .
2. Um trem de ondas passa por um 
erto ponto
de observação e o intervalo entre as 
ristas é
de 0, 2 s. Qual das seguintes a�rmativas é 
or-
reta?
(a) O 
omprimento de onda é de 5 m.
(b) A frequên
ia é de 5 Hz.
(
) A velo
idade de propagação é de 5 m/s.
(d) O 
omprimento de onda é de 0, 2 m.
(e) Não há informação su�
iente para jus-
ti�
ar nenhuma das a�rmações anterio-
res.
3. Um sistema é levado do estado termodinâmi
o
i para o estado termodinâmi
o f . Considere
que este pro
esso seja realizado de maneira re-
versível e que o trabalho realizado pelo gás
seja WR e o 
alor re
ebido pelo gás seja QR.
Um pro
esso irreversível liga os mesmos es-
tados ini
ial e �nal porém o gás realiza um
trabalho menor dado por W . Quanto 
alor o
gás re
ebeu neste pro
esso irreversível?
(a) Q =WR −W +QR.
(b) Q = −WR +W −QR.
(
) Q = −WR +W +QR.
(d) Q =WR −W +QR.
4. Considere um tanque 
ompletamente 
heio deum �uido in
ompressível, em repouso. O for-
mato do tanque é mostrado na �gura. Ordene
as superfí
ies indi
adas de a
ordo 
om a força
que o �uido exer
e sobre elas, 
omeçando pela
maior.
(a) Fe > Fb = Fd > Fa = Fc
(b) Fa = Fd > Fc > Fb > Fe
(
) Fe > Fb > Fc > Fa = Fd
(d) Fe > Fb > Fc > Fa = Fd
5. Um grande re
ipiente está 
heio de água em
seu interior. Um objeto é mantido 
ompleta-
mente submerso na água a uma profundidade
h1 abaixo da superfí
ie horizontal da água.
O objeto é deslo
ado para uma profundidade
maior h2, onde h2 = 2h1. Comparando o valor
da força F1 ne
essária para manter o objeto
na profundidade h1 
om a força F2 ne
essá-
ria para manter o objeto na profundidade h2,
onsiderando a água in
ompressível e em equi-
líbrio, podemos a�rmar que:
(a) F1 > 2F2
(b) F1 = F2
(
) 2F2 > F1 > F2
(d) F1 = 2F2
(e) F1 = F2/2
6. Numa 
orda de 60 cm de 
omprimento 
om
ambas as extremidades �xas observa-se a for-
mação de modos normais 
onse
utivos de
frequên
ias 400 Hz e 500 Hz. A velo
idade
das ondas nesta 
orda é:
(a) 120 m/s
(b) 60 m/s
(
) 480 m/s
(d) 340 m/s
(e) 100 m/s
7. O diâmetro de um tudo horizontal sofre au-
mento para o dobro de seu valor ini
ial. Se
um �uido ideal estiver es
oando de forma es-
ta
ionária da seção estreita para a larga, en-
tão:
(a) A velo
idade e a pressão diminuirão.
(b) A velo
idade diminuirá mas a pressão
aumentará.
(
) A velo
idade aumentará mas a pressão
diminuirá.
(d) A velo
idade e a pressão aumentarão.
(e) A velo
idade OU a pressão se modi�-
ará, mas N�O ambas.
8. Um mol de gás ideal o
upa um re
ipiente de
volume V . Esquenta-se o gás até sua tem-
peratura (medida em Kelvin) dobrar. Con-
siderando que a pressão não varia neste pro-
esso, quantos mols sobram no re
ipiente e o
que a
onte
e 
om a energia interna do gás pre-
sente no re
ipiente?
(a) 2 mols e a energia interna não varia.
(b) 1 mol e a energia interna dobra.
(
) 0,5 mols e a energia interna não varia.
(d) 0,5 mols e a energia interna dobra.
(e) 1 mol e a energia interna não varia.
9. Considere dois tubos de mesmo 
omprimento,
um aberto em ambas as extremidades, e o ou-
tro, fe
hado em uma extremidade. Seja λ1a o
omprimento de onda do primeiro modo nor-
mal de vibração do ar no tubo aberto e λ1f o
omprimento de onda do primeiro modo nor-
mal de vibração do ar no tubo 
om uma ex-
tremidade fe
hada. Considere as a�rmações:
I. λ1a > λ1f .
II. λ1a = λ1f .
III. λ1a < λ1f .
IV. A pressão é 
onstante nos extremos do
tubo aberto e o deslo
amento das molé-
ulas de ar, portanto, é nulo.
V. A pressão é 
onstante nos extremos do
tubo aberto e o deslo
amento das molé-
ulas de ar, portanto, é máximo.
Qual(is) das a�rmações a
ima é(são) verda-
deira(s)?
(a) I.
(b) II.
(
) III.
(d) I e IV.
(e) I e V.
(f) II e IV.
(g) II e V.
(h) III e V.
Seção 2. Questão dis
ursiva
1. [3,7 pontos℄ Um sistema me
âni
o sofre deslo
amentos, dados por z, tal que sua energia me
âni
a
é dada por
EM = a v
2
z + b z
2
− bc z , (1)
onde a, b e c são 
onstantes positivas e vz =
dz
dt
.
a) [0,7 pontos℄Use a 
onservação da energia me
âni
a, dEM/dt = 0, para mostrar que a equação
de movimento para z é da forma
d2z
dt2
+ ω2 z =
1
2
ω2 c (2)
e en
ontre ω em termos de a, b e c.
b) [1,0 pontos℄ A partir da equação de movimento (2), dada no item a), en
ontre o deslo
amento
z0 para o qual o sistema �
a em equilíbrio. Esbo
e um grá�
o da energia poten
ial U(z) e
indique o deslo
amento z0 no seu grá�
o.
) [1,0 pontos℄ En
ontre a equação diferen
ial de movimento satisfeita pelo deslo
amento em
relação ao equilíbrio, y = z− z0 (o deslo
amento original z não deve apare
er nesta equação).
Utilize a resposta ao item b) e z = y + z0.
d) [1,0 pontos℄ Qual a solução geral y(t) da equação en
ontrada no item 
)? O sistema os
ila
om que período? Em torno de que posição?
(Não é ne
essário realizar 
ál
ulos, mas vo
ê ainda deve justi�
ar sua resposta.)
FIM
Gabarito para Versão D
Seção 1. Múltipla es
olha (9× 0,7= 6,3 pontos)
1. (a)
2. (b)
3. (
)
4. (a)
5. (b)
6. (a)
7. (b)
8. (
)
9. (h)
Seção 2. Questão dis
ursiva
1. Resolução:
a) Derivando a equação (2) em relação ao tempo e usando dEM/dt = 0 (
onservação da energia me
âni
a),
en
ontramos
2 a vz
dv
dt
+ 2 b z
dz
dt
− bc
dz
dt
= 0 . (1)
Dividindo por vz =
dz
dt
(�
ortando�),
2 a
d2z
dt2
+ 2 b z − bc = 0 , (2)
ou
d2z
dt2
+ ω2 z =
1
2
ω2 c (3)
om ω =
√
b/a .
b) Na posição de equilíbrio z = z0, a força resultante e, portanto, a a
eleração
d2z
dt2
devem ser nulas. Logo,
ω2 z0 =
1
2
ω2 c , (4)
ou seja,
z0 =
1
2
c . (5)
A energia poten
ial U(z) pode ser identi�
ada 
omo b z2−bc z, sendo a parte da energia me
âni
a que não depende
da velo
idade. Seu grá�
o é uma parábola e a posição de equilíbrio deve ser seu mínimo.
−2z0 -z0 0 z0 2 z0 3 z0 4 z0
U
(z
)
z
) Temos, de (5), que y = z − c/2. Logo, z = y + c/2
dz
dt
=
dy
dt
,
d2z
dt2
=
d2y
dt2
. (6)
Então,
d2y
dt2
+ ω2
(
y +
c
2
)
=
1
2
ω2 c , (7)
ou ainda
d2y
dt2
+ ω2 z = 0 . (8)
d) A equação (8) é a equação de movimento de um os
ilador harm�ni
o simples. Portanto, sua solução geral é da
forma
y(t) = A cos(ωt+ φ) , (9)
onde podemos interpretar ω 
omo a freqüên
ia angular de os
ilação e, portanto,
T =
2pi
ω
. (10)
Como z = y + z0,
z = z0 + A cos(ωt+ φ) (11)
e vemos que o sistema os
ila em torno de sua posição de equilíbrio.
�