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NotasdeAula_CN

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pois retornaríamos ao problema da interpolação, já que, quando
o resíduo se anula, teríamos: f ∗(xi) = yi = f(xi), ∀i, que é o resultado da
interpolação polinomial.
2. A soma dos erros deve ser tão pequena quanto possível. Em outras palavras,∑m
i=1Ri deve ser minimizado. Esse critério não é interessante, já que é
possível termos a soma dos resíduos nula sem que o ajuste seja bom. A
Figura 6.2 indica essa situação.
3. A soma dos resíduos em valor absoluto deve ser a menor possível. Isto é,∑m
i=1 |Ri| =
∑m
i=1 |f ∗(xi) − yi| deve ser mínima. Esse critério não é bom,
pois a soma não se anula, e a função valor absoluto não é derivável em seu
ajuste de curvas 141
Figura 6.2: Ajuste com a soma dos resíduos nula.
mínimo (x = 0). Por isso, teríamos di�culdade de determinar o mínimo de
tal soma.
4. Critério de Tschebyche�. Esse critério busca encontrar o valor mínimo do
máximo dos resíduos. Ou seja, max1≤i≤m |f ∗(xi)−yi| deve ser mínimo. Esse
critério possui uma solução dí�cil e por isso não é considerado.
5. O método dos mínimos quadrados procura minimizar a soma do quadrado
dos resíduos. Ou seja,
∑m
i=1R
2
i deve ser minimizada. Veja que nesse caso
nunca teremos uma soma nula (só se ocorrer interpolação), e a função qua-
drática é facilmente derivável. Assim, esse critério parece o mais adequado
para o ajuste de funções.
6.2 Método dos mínimos quadrados
O método dos mínimos quadrados é amplamente utilizado, sendo conhecido
também por otimização linear, análise de regressão e suavização de dados.
No caso de suavização de dados, quando dispomos de uma tabela de pontos,
a técnica dos mínimos quadrados é utilizada para determinarmos um conjunto de
parâmetros cj de uma função f
∗
que aproxima uma função desconhecida f . Seja
a função f ∗ dada por:
f ∗(x) = c1φ1(x) + c2φ2(x) + . . .+ cnφn(x), (6.1)
142 cálculo numérico
onde os cj são coe�cientes e as funções φj(x) são conhecidas e linearmente inde-
pendentes.
Os parâmetros cj surgem de forma linear na expressão (6.1), embora as funções
φi(x) possam ser não lineares em x. A escolha das funções φi(x) é feita de acordo
com a natureza da tabela de dispersão dos pontos.
A função f ∗(x) será determinada univocamente quando os valores dos parâme-
tros cj forem determinados de forma unívoca. Para calcularmos os cj, j = 1, . . . , n,
onde consideramos n� m, sabemos que:
Ri = f
∗(xi)− yi, i = 1, . . . ,m.
Seja {(xi, yi), i = 1, . . . ,m} um conjunto de pontos de uma tabela. A função
f ∗ que melhor se ajusta, no sentido dos mínimos quadrados, aos pontos da tabela
é de�nida como aquela cujos parâmetros cj são determinados de tal forma que a
soma dos quadrados dos resíduos seja mínima.
O resíduo é escrito como:
R =
m∑
i=1
R2i =
m∑
i=1
(f ∗(xi)− yi)2 (6.2)
=
m∑
i=1
(yi − f ∗(xi))2
=
m∑
i=1
(yi − c1φ1(xi)− c2φ2(xi)− . . .− cnφn(xi))2.
Vemos que R é uma função que depende dos parâmetros cj, isto é: R =
R(c1, c2, . . . , cn). Do cálculo diferencial sabemos que, para obtermos o ponto de
mínimo de uma função, temos que determinar seus pontos críticos. Assim, no
caso da função R(cj), devemos ter que:
∂R
∂cj
∣∣
(c1,..., cn) = 0. (6.3)
Logo, calculando as derivadas parciais, temos:
∂R
∂cj
= 2
m∑
i=1
(yi − c1φ1(xi)− . . .− cnφn(xi)) · (−φj(xi)); (6.4)
impondo a condição de nulidade das derivadas, obtemos:
m∑
i=1
(yi − c1φ1(xi)− . . .− cnφn(xi)) · (−φj(xi)) = 0, ∀j, j = 1, . . . , n. (6.5)
ajuste de curvas 143
Tomando os valores, obtemos as equações:
j = 1⇒
m∑
i=1
(yi − c1φ1(xi)− . . .− cnφn(xi)) · (−φ1(xi)) = 0,
j = 2⇒
m∑
i=1
(yi − c1φ1(xi)− . . .− cnφn(xi)) · (−φ2(xi)) = 0,
.
.
.
j = n⇒
m∑
i=1
(yi − c1φ1(xi)− . . .− cnφn(xi)) · (−φn(xi)) = 0.
As equações apresentadas podem ser reescritas da forma:
m∑
i=1
(φ1(xi)φ1(xi))c1 +
m∑
i=1
(φ2(xi)φ1(xi))c2 + . . .
+
m∑
i=1
(φn(xi)φ1(xi))cn =
m∑
i=1
(φ1(xi)yi),
.
.
. (6.6)
m∑
i=1
(φ1(xi)φn(xi))c1 +
m∑
i=1
(φ2(xi)φn(xi))c2 + . . .
+
m∑
i=1
(φn(xi)φn(xi))cn =
m∑
i=1
(φn(xi)yi).
O conjunto de equações (6.6) forma um sistema de equações algébricas lineares
nas variáveis cj. Essas equações são conhecidas na literatura como equações
normais. Temos n equações para n incógnitas.
Se chamarmos de
A =
 a11 a12 · · · a1n..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · ann
 ,
com
aij =
m∑
k=1
(φi(xk)φj(xk)) = aji,
C = (c1, c2, . . . , cn),
144 cálculo numérico
B = (b1, b2, . . . , bn),
com
bi =
m∑
k=1
ykφi(xk),
temos o sistema:
A ·C = B.
É possível mostrar que, se as funções φn(x) são linearmente independentes, o
determinante da matriz A é não nulo, det(A) 6= 0. Logo, o sistema possui solução
única. Tal solução minimiza a função R(c1, c2, . . . , cn) e é denominada a função
de melhor ajuste para a tabela dada.
6.3 Ajuste polinomial
O ajuste polinomial é obtido considerando-se uma função polinomial ou uma
combinação linear de polinômios da seguinte forma.
6.3.1 Ajuste por uma reta
O ajuste de funções por uma reta, também chamado de regressão linear, é
obtido considerando os pontos (xi, yi), i = 1, . . . ,m, e a função f
∗(x) = a0 + a1x
(equação de uma reta), assim:
Ri = yi − f ∗(xi) = yi − (a0 + a1xi).
Sabemos que
∑
R2i deve ser minimizado; então, comparando os termos, temos
que:
φ1(x) = 1, c1 = a0,
φ2(x) = x, c2 = a1.
Seguindo os resultados anteriores, temos que A ·C = B conduz a:
ajuste de curvas 145
a11 =
m∑
k=1
φ1(xk)φ1(xk) =
m∑
k=1
1 · 1 = m,
a12 =
m∑
k=1
φ1(xk)φ2(xk) =
m∑
k=1
1 · xk =
m∑
k=1
xk,
a22 =
m∑
k=1
φ2(xk)φ2(xk) =
m∑
k=1
xk · xk =
m∑
k=1
x2k,
b1 =
m∑
k=1
ykφ1(xk) =
m∑
k=1
1 · yk,
b2 =
m∑
k=1
ykφ2(xk) =
m∑
k=1
1yk · xk.
Na forma matricial,(
m
∑
k xk∑
k xk
∑
k x
2
k
)(
c1
c2
)
=
( ∑
k yk∑
k ykxk
)
. (6.7)
Utilizando, por exemplo, o método de Cramer para obter a solução, temos:
c1 =
∑
k yk ·
∑
k x
2
k −
∑
k ykxk ·
∑
k xk
m
∑
k x
2
k − (
∑
k xk)
2
, (6.8)
c2 =
m
∑
k ykxk −
∑
k xk ·
∑
k yk
m
∑
k x
2
k − (
∑
k xk)
2
. (6.9)
Com as relações (6.8) e (6.9) podemos expressar os termos a1, a2 da forma:
c2 = a1 =
∑
k ykxk −
∑
k xk·
∑
k yk
m∑
k x
2
k − (
∑
k xk)
2
m
, (6.10)
c1 = a0 = Y − a1X, (6.11)
onde
X =
∑
k xk
m
, (6.12)
Y =
∑
k yk
m
. (6.13)
146 cálculo numérico
Exercício 6.1 Deduza as relações para a1 e a2.
Exercício 6.2 Uma máquina sofre um desgaste ao longo do tempo de tal forma
que passou a ter a produção anual dada na tabela de dispersão a seguir:
x(anos) 0, 5 1, 0 1, 5 2, 0 2, 5 3, 0
y(produção) 3000 2700 2500 2000 1300 800
Desejamos saber, mantido esse ritmo, qual a produção da máquina no �nal do
quarto ano de operação.
6.3.2 Ajuste polinomial quadrático
O ajuste polinomial pode ser realizado com base em uma função polinomial
quadrática. Nesse caso, consideraremos a função de ajuste como:
f ∗(x) = a0 + a1x+ a2x2. (6.14)
Podemos, então, identi�car os termos da função (6.14) com os da função de
ajuste (6.1), resultando em:
c1 = a0, c2 = a1, c3 = a2,
φ1(x) = 1, φ2(x) = x, φ3(x) = x
2.
(6.15)
Assim, utilizando o resultado geral para as equações normais, temos:
ajuste de curvas 147
a11 =
m∑
k=1
φ1(x)φ1(x) =
m∑
k=1
1 · 1 = m,
a12 =
m∑
k=1
φ1(x)φ2(x) =
m∑
k=1
1 · xk =
m∑
k=1
xk,
a13 =
m∑
k=1
φ1(x)φ3(x) =
m∑
k=1
1 · x2k =
m∑
k=1
x2k,
a22 =
m∑
k=1
φ2(x)φ2(x) =
m∑
k=1
xk · xk =
m∑
k=1
x2k,
a23 =
m∑
k=1
φ2(x)φ3(x) =
m∑
k=1
xk · x2k =
m∑
k=1
x3k,
a33 =
m∑
k=1
φ3(x)φ3(x) =
m∑
k=1
x2k · x2k =
m∑
k=1
x4k,
b1 =
m∑