LISTA CN

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LISTA CÁLCULO NUMÉRICO – RAÍZES DE EQUAÇÕES 
 
 
I. Análise Teórica 
 
1. Deduza a equação de iteração do método de Newton-Rapson através da interpretação gráfica. 
2. Descreva as principais vantagens e desvantagens dos métodos de Newton-Rapson e da 
Bissecção. 
3. No método de Newton-Rapson, o que poderá acontecer caso haja um máximo ou mínimo local 
no intervalo entre a raiz real e o ponto inicial x0 ? 
4. As figuras abaixo esboçam diferentes equações f(x) = 0 colocadas no formato equivalente 
x = g(x). Analisando apenas os gráficos, aponte em quais casos a aplicação do método do ponto 
fixo (MPF), com início em x0 , irá convergir ou divergir para uma raiz da equação, indicando ainda 
se a aproximação será monotônica ou oscilante. 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
y = g(x) 
y = x 
y = g(x) 
y = x 
y = g(x) 
y = x y = x 
X0 = 0.6 X0 = 0.2 
X0 = 0.4 X0 = 0.6 
y = g(x) 
II. Isolamento de Raízes 
 
1. Isole graficamente as regiões aproximadas das raízes reais positivas para as seguintes equações: 
Sugestão: Colocar a equação f(x) = 0 no formato f1(x) = f2(x) e achar o ponto de interseção das 
curvas. 
a) cos(x) – x2 = 0 
b) x2 – sen(x) – 1 = 0 
c) x3 + 100x – 1000 = 0 
 
2. Ulitize o método da força bruta para isolar, com uma tolerância x = ± 2, a raíz de 
 ( ) que se encontra no intervalo [75 , 100]. 
Sugestão: Fazer uma varredura de f(x) para os valores do intervalo com passo 2, indicando 
apenas o sinal da função. 
 
 
III. Refinamento de Raízes 
 
1. A equação x2 – x = 0 possui raízes x = 0 e x = 1. Qual das raízes teremos certeza de 
encontrar utilizando o MPF e a iteração xi+1 = xi
2 com o valor inicial x0 = ½? Por quê? 
 
2. Ache as iterações de Newton-Rapson para calcular a raiz quadrada e a raiz cúbica de um número 
a > 0 (resolução literal). 
 
3. Uma bola é arremessada para cima com velocidade v0 = 30 m/s, a partir de uma altura x0 = 5m 
em relação ao solo. Sabendo que a equação que descreve o movimento do projétil é 
h(t) = x0 + v0 t – ½ g t
2 , calcule numericamente pelo método da Bissecção qual o tempo 
necessário para que a bola alcance seu ponto mais alto na trajetória, sabendo que a aceleração 
da gravidade é g = 9.81 m/s2 e desconsiderando o atrito do ar. Calcule o erro após 5 iterações, 
comparando com o valor calculado analiticamente (equação do 2º grau). 
 
4. Estime o número de iterações necessárias para o cálculo da raiz da função f(x) = ex – 3x 
localizada no intervalo [1 , 2] pelo método da Bissecção, com erro entre aproximações sucessivas 
 | | 
 . 
 
5. Considere a função ( ) ( ) . Encontre a raiz ̅ [ ] pelo método 
da Secante com erro absoluto em relação a ( ) | ( ) ( ̅)| 
 
 
6. A corrente elétrica em um circuito varia no tempo conforme a seguinte expressão (ângulo em 
radianos): ( ) . Deseja-se estimar o tempo no qual a corrente assume 
a metade do seu valor inicial. Efetue 3 iterações com o método de Newton-Rapson e adote 
como estimativa inicial t0 = 0.2 s. 
7. Encontre o valor máximo local da função ( ) , situado no intervalo [6 , 8]. 
Escolha o método de mais fácil implementação neste caso e utilize 5 iterações.