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Teoria da 
Comunicação
Prof. Andrei Piccinini Legg
Aula 09
Introdução
 Sabemos que a informação pode ser transmitida 
através da modificação das características de uma 
sinusóide, chamada portadora do sinal de 
informação.
 Se a amplitude dessa sinusóide for alterada de acordo 
com as variações de amplitude do sinal de interesse, e 
se essa portadora mantiver sua frequência constante, 
então temos uma modulação em amplitude.
 Podemos também transmitir a informação do sinal 
m(t) através da alteração da frequência (ou fase) da 
sinusóide portadora.
Modulação em Ângulo ou Exponencial
 Os sinais PM e FM são descritos pelas seguintes 
equações:



+= ∫
∞−
ααωϕ
t
fcFM dmktAt )(cos)(
)](cos[)( tmktAt pcPM += ωϕ
Modulação em Ângulo ou Exponencial
E a frequência instantânea de um sinal PM é dado por
 Portanto, na modulação em fase a frequência 
instantânea varia linearmente com a derivada do 
sinal modulante, m(t).
)](cos[)( tmktAt pcPM += ωϕ
[ ] )()( ' tmktmkt
dt
d
pcpci +=+= ωωω
Modulação em Ângulo ou Exponencial
Na modulação PM temos
Se fizermos 
A frequência instantânea varia linearmente com o 
sinal modulante, m(t), e temos portanto a modulação 
em frequência (FM).
)(tmk fci += ωω
)(' tmk pci += ωω
)(t
dt
d
i θω =
[ ]
ααωθ
ααωθ
dmktt
dmkt
t
fc
t
fc
∫
∫
∞−
∞−
+=
+=
)()(
)()(
Modulação em Ângulo ou Exponencial
Logo, a modulação em frequência é dada por 
)(tmk fci += ωω
)(t
dt
d
i θω =
[ ]
ααωθ
ααωθ
dmktt
dmkt
t
fc
t
fc
∫
∫
∞−
∞−
+=
+=
)()(
)()(



+= ∫
∞−
ααωϕ
t
fcFM dmktAt )(cos)(
Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo
 Com o propósito de determinarmos a largura de 
banda ocupada por um sinal FM, define-se a seguinte 
variável:
 Assim, o sinal FM pode ser representado por
αα dmta
t∫
∞−
= )()(
( )[ ][ ]
[ ])(ˆRe)(
Re)(
)](cos[)(
)(
tt
Aet
taktAt
FMFM
taktj
FM
fcFM
fc
ϕϕ
ϕ
ωϕ
ω
=
=
+=
+
Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo
 Agora,
 Expandindo em série o segundo termo
( )
)(
)(
)(ˆ
)(ˆ
tajktj
FM
taktj
FM
fc
fc
eAet
Aet
ω
ω
ϕ
ϕ
=
=
+




++−+=
=
)(
!
)(
!2
)(1)(ˆ
)(ˆ
2
)(
ta
n
k
jta
k
tajkAet
eAet
n
n
fnf
f
tj
FM
tajktj
FM
c
fc
ω
ω
ϕ
ϕ
Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo
 Agora, expandindo o primeiro termo e tomando 
somente a parte real do sinal
])sin(
!3
)(
)cos()(
!2
)sin()()[cos()(
])(
!3
)()[sin(
])(
!2
1)[cos()(
)(
!
)(
!2
)(1)(ˆ
33
2
2
3
3
2
2
2




++−−=
−+−+
++−=




++−+=
t
tak
tta
k
ttaktAt
ta
k
taktA
ta
k
tAt
ta
n
k
jta
k
tajkAet
c
f
c
f
cfcFM
f
fc
f
cFM
n
n
fnf
f
tj
FM
c
ωωωωϕ
ω
ωϕ
ϕ ω
Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo
 O sinal FM (modulado) consiste em uma portadora 
vários termos de amplitude modulados.
 O sinal a(t) foi definido como uma integral de m(t)
 Logo, se M(ω) possui uma largura de banda B, então 
A(ω) também é limitado em uma largura de banda B.
])sin(
!3
)(
)cos()(
!2
)sin()()[cos()(
33
2
2
++−−= t
tak
tta
k
ttaktAt c
f
c
f
cfcFM ωωωωϕ
αα dmta
t∫
∞−
= )()(
Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo
 As outras contribuições de a(t) ocupam a seguinte 
largura de banda:
 Largura de banda 2B
 Largura de banda 3B
 Largura de banda nB 
 
])sin(
!3
)(
)cos()(
!2
)sin()()[cos()(
33
2
2
++−−= t
tak
tta
k
ttaktAt c
f
c
f
cfcFM ωωωωϕ
1
2
3
2
)2(
)(**)(*)()(
)2(
)(*)(*)()(
2
)(*)()(
−
↔
↔
↔
n
n AAAta
AAAta
AAta
pi
ωωω
pi
ωωω
pi
ωω

Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo
 Fica fácil notar que o espectro de uma sinal FM tem 
banda ilimitada. 
 Apesar de o espectro desse sinal ter largura de banda 
infinita, verificaremos que a maior parte da potência do 
sinal modulado se concentra em um largura de banda 
finita.
])sin(
!3
)(
)cos()(
!2
)sin()()[cos()(
33
2
2


++
+−−=
t
tak
tta
k
ttaktAt
c
f
c
f
cfcFM
ω
ωωωϕ
Largura de Faixa de Sinais Modulados em Ângulo
 Usando a informação de largura de banda, podemos 
classificar os sinais FM em dois tipos:
 Sinal FM de Faixa Estreita (NBFM – Narrow-band FM)
 Sinal FM de Faixa Larga (WBFM – Wide-band FM)
Modulação em Ângulo em Faixa Estreita
 Diferentemente da modulação AM, a modulação FM é 
um processo não linear. Portanto, o princípio da 
superposição não se aplica aqui:
 No entanto, se , então os seguintes termos
tendem a zero. Consequentemente 
,
{ } )]()cos[()]()cos[()]()([)(cos 2121 taktAtaktAtataktA fcfcfc +++≠++ ωωω
1)( <<tak f
)]sin()()[cos()( ttaktAt cfcFM ωωϕ −≅
Modulação em Ângulo em Faixa Estreita
 Esse é um sinal linear. Essa expressão é semelhante a 
de um sinal AM. 
 Como a largura de banda de a(t) é B, então a largura 
de banda do sinal é 2B. 
 Por essa razão, quando o sinal FM é chama-
do de NBFM (Narrow-band FM).
)]sin()()[cos()( ttaktAt cfcFM ωωϕ −≅
)(tFMϕ
1)( <<tak f
Modulação em Ângulo em Faixa Estreita
 O sinal PM banda estreita NBPM (Narrow-band PM) é 
parecido com o sinal NBFM e é dado pela expressão 
acima.
 Apesar das semelhanças entre os sinais NBFM e AM é 
importante relembrar que eles não são iguais:
AM – modulação em amplitude (frequência constante)
FM – modulação em frequência (amplitude constante)
)]sin()()[cos()( ttmktAt cpcPM ωωϕ −≅
Modulação em Ângulo em Faixa Estreita
)]sin()()[cos()( ttmktAt cpcPM ωωϕ −≅
)]sin()()[cos()( ttaktAt cfcFM ωωϕ −≅
 As equações acima sugerem que os sinais NBFM e 
NBPM podem ser gerados utilizando moduladores 
DSB-SC.
Modulação em Ângulo em Banda Larga
 Agora, supondo que não é muito menor do que 1, então 
não podemos desprezar os termos de mais alta ordem da 
equação do sinal FM. Consequentemente, a análise desse 
sinal se torna muito mais complicada.
 Para facilitar nossa análise, considere um sinal m(t) definido 
por uma largura de banda B. Esse sinal pode ser aproximada 
por uma sequência de degraus, conforme ilustra a figura 
abaixo:
)(tak f
)( ktm
Modulação em Ângulo em Banda Larga
 A função m(t) aproximada por uma sequência de 
degraus será denotada por .
 Por conveniência cada pulso será chamada de célula. 
Torna-se relativamente mais simples se analisar o 
sinal FM por causa das amplitudes constantes 
de cada célula. 
)( ktm
)(ˆ tm
)(ˆ tm
Modulação em Ângulo em Banda Larga
 Para assegurarmos que a função contenha toda 
informação suficiente para descrever a função original, 
m(t), assumiremos que a largura de cada célula não 
excederá o intervalo de tempo definido por Nyquist 
(teorema da amostragem). Ou seja, T ≤ 1/2B s.
)( ktm
)(ˆ tm
Modulação em Ângulo em Banda Larga
 Considere uma célula qualquer, por exemplo, a que 
comece em t=tk. 
 Essa célula (assim como qualquer outra célula) 
possui amplitude constante igual a m(tk).
 Portanto, o sinal FM correspondente a esta célula 
será uma senóide de frequência 
Modulação em Ângulo em Banda Larga
 O sinal FM consiste em uma sequência de pulsoscorrespondentes a cada célula de . 
 O espectro FM de consiste em uma soma das 
transformada de Fourier desses degraus (pulsos).
 A transformada de Fourier de um pulso senoidal é 
uma função sinc, representado na figura abaixo 
)(ˆ tm
)(ˆ tm
Modulação em Ângulo em Banda Larga
 Note que o espectro de cada pulso é espalhado ao 
redor de por 
Modulação em Ângulo em Banda Larga
 As amplitudes máxima e mínima das células são +mp 
e –mp, respectivamente.
 Portanto, as frequências máxima e mínima do sinal 
FM são ωc + kfmp e ωc – kfmp, respectivamente. 
 O espectro de cada pulso com frequência máxima e 
mínima é mostrado da figura abaixo:
Modulação em Ângulo em Banda Larga
 Portanto, as componentes de frequência máxima e 
mínima significativas serão 
com uma largura de faixa de 
considerando que a potência do sinal está concentrada 
no lóbulo principal da função sinc.
Modulação em Ângulo em Banda Larga
 Observações:
 As frequências máxima e mínima da portadora são 
ωc + kfmp e ωc – kfmp.
 Suas componentes espectrais estariam situadas nessas 
frequências se o sinal fosse uma sinusóide eterna.
 Para sinusóides com duração finita de T segundos, o 
espectro se espalha por 2pi/T. 
 
Modulação em Ângulo em Banda Larga
 ± kfmp é chamado de desvio da portadora.
 Chamaremos o desvio de frequência de ∆ω.
 
Modulação em Ângulo em Banda Larga
 A largura de faixa para um sinal FM pode ser 
expressa como:
 O valor desta estimativa é um pouco maior que o 
valor real, pois foi obtida para e não para m(t) 
que é um sinal mais suave. Portanto temos que 
reajustar nossa estimativa.
 
)(ˆ tm
Modulação em Ângulo em Banda Larga
 
 Primeiro vamos analisar a equação para NBFM, ou 
seja, quando kf é muito pequeno. Em outras palavras, 
∆f é muito pequeno em relação a B, de modo que 
podemos ignorá-lo, assim BFM ≅ 4B.
 No entanto, vimos anteriormente que para esse caso a 
largura de faixa seria 2B. Isso indica que uma 
estimativa melhor é
 Que é o resultado obtido por Carlson, que investigou 
o problema rigorosamente para um único tom. Por 
isso essa fórmula é conhecida como regra de Carlson.
 
Modulação em Ângulo em Banda Larga
 
Modulação em Ângulo em Banda Larga
 
 O sinal FM pode ser escrito como:
 é chamado de envelope complexo do sinal 
FM
 Observar que este sinal é periódico, portanto é 
possível determinar a sua série de Fourier 
Complexa.
])(Re[
].Re[)(
2
~
))2(2
tfj
tfsenjtfj
c
c
mc
ets
eeAts
pi
piβpi
=
=
)t(s
~
)2(
~
)( tfsenjc meAts
piβ
=
Modulação FM em Banda Larga
 Determinemos os coeficientes da série 
de Fourier complexa.
 Onde os coeficientes são calculados da 
seguinte forma:
∑∞
∞−
=
tnfj
n
mects pi2
~
)(
dteAf
dtetsfc
T
T
tnfjtfsenj
cm
T
T
tnfj
mn
mm
m
∫
∫
−
−
−
−
=
==
2
2
2)2(
2
2
2
~
)(
pipiβ
pi
Modulação FM em Banda Larga
 O resultado desta integral não é 
analítico, assim, tem-se como resultado 
as funções de Bessel, tal que:
 Substituindo-se na representação inicial 
do sinal, tem-se que:
 Cuja transformada de Fourier é:
)(βncn JAc =
∑∞
∞−
+= ])(2cos[)()( tnffJAts mcnc piβ
∑∞
∞−
+++−−= )]()()[(
2
)( mcmcnc nfffnfffJ
AfS δδβ
Modulação FM em Banda Larga
Modulação Faixa Larga
∑∞
∞−
+++−−= )]nfff()nfff()[(J
2
A)f(S mcmcnc δδβ
Largura de Faixa para 
transmissão FM
 Regra de Carson’s (Empírica)
 Outra maneira é tomar uma largura de 
faixa cuja componente tem valor inferior a 
1% da portadora não modulada, ou seja:
)11(2B fT β+∆=
01,0|)(J| n >β
Modulação Faixa Larga
Exemplo
 Nos Estados Unidos, o máximo valor do 
desvio de freqüência ∆f é 75 kHz para FM 
comercial. Se a largura em banda base é 
de 15 kHz, que é tipicamente a máxima 
freqüência de aúdio de interesse, qual é 
largura de faixa requerida.
Exemplo
 O índice de modulação é dado pela razão 
entre o desvio máximo de freqüência e a 
máxima freqüência do sinal de modulação, ou 
seja:
 De acordo com o critério da regra de Carson
5
kHz 15
kHz 75
fm
f
==
∆
=β
kHz 160)
15
7575(2 =+=TB
Exemplo
 De acordo com o critério de 1%, 
analisando-se o gráfico dado 
anteriormente, tem-se que:
 Na prática é alocada para cada rádio FM 
uma largura de faixa de 200 kHz
kHz 240)75(2.3f2.3BT ==∆=
Diagrama de blocos da geração 
indireta do sinal de FM – Método de 
Armstrong
Diagrama de blocos de um 
multiplicador de freqüência
Demodulação FM
Exercício para casa
 Encontre a expressão no domínio da frequência para 
os sinais NBFM e NBPM. Faça um esboço do 
espectro desses dois sinais.
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	Modulação FM em Banda Larga
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	Modulação FM em Banda Larga
	Modulação Faixa Larga
	Largura de Faixa para transmissão FM
	Modulação Faixa Larga
	Exemplo
	Exemplo
	Exemplo
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	Diagrama de blocos de um multiplicador de freqüência
	Demodulação FM
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