Prova II - Paulo Tarso

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Comportamento Comportamento Comportamento Comportamento 
Hidrodinâmico de PlataformasHidrodinâmico de PlataformasHidrodinâmico de PlataformasHidrodinâmico de Plataformas 
Prova II 
 
Aplicação da formulação de Morison; forças provocadas por 
correntes; equações diferenciais. 
 
Leandro Victalino GalvesLeandro Victalino GalvesLeandro Victalino GalvesLeandro Victalino Galves 
09/12/201009/12/201009/12/201009/12/2010 
 
1111ª Questª Questª Questª Questãoooo
 
Neste problema, envolvendo uma estrutura fixa na água sujeita à correnteza, podemos usar a equação de Morison. 
Ele soma as forças de inércia e arrasto da teoria do potencial e oscilações de fluxos para fluxos reais e correntes 
constantes. ���� = ����	
����� + �
	����� 
���� = �4 ������� ��� + 12 ��������|����| 
 
A função u(z,t) é a velocidade da partícula fluida (a amplitude é 1m e o período 5 segundos): 
 
���, �� = �� !"ℎ$�ℎ + ��"%&ℎ�$ℎ� cos���� *���, ��*� = −��� !"ℎ$�ℎ + ��"%&ℎ�$ℎ� sen���� 
 
Da relação de dispersão e considerando águas profundas encontramos o valor de k: �� = $. 0,159 = $ 
Voltando: 
���, �� = 1,26 !"ℎ�7,95 + 0,159��"%&ℎ�7,95� cos�1,26�� = 0,0008887 !"ℎ�7,95 + 0,159�� cos�1,26�� *���, ��*� = −1,58 !"ℎ�7,95 + 0,159��"%&ℎ�7,95� sen�1,26�� = −0,001114 !"ℎ�7,95 + 0,159�� sen�1,26�� 
 
��, o coeficiente de inércia adimensional, e ��, o coeficiente de arrasto adimensional, são: 
 
- Para águas profundas: 5� = 2� 6789�
:
�
�â7�
	< = 2� => = 2,1 
- O número de Reynalds é: @ = 5� �ABC = 3,78 E 10F 
 
Daí, pela tabela da página 485, vê-se que: �� = 2 % �� = 0,6. 
Ficamos com: 
���� = �4 �1000��2��9��−0,001114 !"ℎ�7,95 + 0,159�� sen�1,26���
+ 12 �1000��0,6��3��0,0008887 !"ℎ�7,95 + 0,159�� cos�1,26���|0,0008887 !"ℎ�7,95+ 0,159�� cos�1,26�� | 
 ���� = −15,75� !"ℎ�7,95 + 0,159�� sen�1,26���+ 0,00071� !"ℎ�7,95 + 0,159�� cos�1,26���| !"ℎ�7,95 + 0,159�� cos�1,26�� | 
 
Agora seria substituir z por 2,5; 7,5; 12,5; 17,5 até 47,5 somar tudo e deixar em função do tempo mesmo. Por 
último, plotar o gráfico em função do tempo. O resultado deixaremos para o leitor. 
Abaixo há o formato de como ficaria o gráfico. Só para mostrar que é uma senóide. 
 
 
 
2ª Quest2ª Quest2ª Quest2ª Questãoooo
 
Vamos supor que esse petroleiro está ancorado, e submetido a uma água cuja temperatura é 20°C. 
As forças longitudinais, transversais e os momentos são dados abaixo em função do ângulo. 
 
HI = 12 �JI��KI�LI��MN = 12 �1000��9��300�� OPO*!��KI�LI� = �1350000�� OPO*!��KI�LI� 
QI = 12 �JI��&I�LI��MNR = 12 �1000��9��300�²� OPO*!��KI�LI� = �405000000�� OPO*!��KI�LI� 
 
 
TI = 0,075�log�@�� − 2�� 12 �JI� cos�LI� |cos �LI�|W = 337,5�log�@�� − 2�� cos�LI�� X300Y60 + 2� OPO*!�Z[ 
 
Podemos ver a necessidade de encontrar os coeficientes dessas equações acima (página 131), que estão indicados 
abaixo: 
 
@� = JI|cos �LI�|R\ = �3��300�0,00000101 |cos �LI�| = 891089,11|cos �LI�| 
 
�KI�LI� = ] ^�
_
�`=
"%&�&LI� 
�&I�LI� = ] �
_
�`=
"%&�&LI� 
 
Fazendo o ângulo variar de 0 a 90° e com o auxílio do Excell, encontramos os valores abaixo: 
 
 
 
 
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 5 10 15 20 25
F
o
rç
a
 H
o
ri
zo
n
ta
l
Tempo
Força x Tempo
Força x Tempo
2 por Média Móvel 
(Força x Tempo)
 Xc 
Ângulo Rn 25 12 
0 891089,11 713856,42 545126,72 
10 877551,46 694667,58 530473,43 
20 837349,86 639062,50 488011,37 
30 771705,81 552737,53 422090,48 
40 682613,86 444581,89 339498,90 
50 572781,04 325845,54 248827,51 
60 445544,56 209124,98 159695,44 
70 304770,43 107335,05 81964,95 
80 154736,00 33010,95 25208,37 
90 0,00 0,00 0,00 
 
 Yc 
Ângulo Cy 25 12 
0 0,00 0,00 0,00 
10 0,07 2510766,41 1205167,87 
20 0,18 5993888,20 2877066,34 
30 0,32 10850625,00 5208300,00 
40 0,49 16688661,78 8010557,65 
50 0,67 22564514,62 10830967,02 
60 0,81 27503884,29 13201864,46 
70 0,92 30947781,02 14854934,89 
80 0,97 32854018,35 15769928,81 
90 0,99 33446250,00 16054200,00 
 
 Nc 
Ângulo Cn 25 12 
0 0,000 0,00 0,00 
10 -0,026 -261685902,16 -125609233,04 
20 -0,052 -527896573,64 -253390355,35 
30 -0,078 -786702573,46 -377617235,26 
40 -0,099 -1003405623,14 -481634699,11 
50 -0,111 -1128862800,63 -541854144,30 
60 -0,111 -1118861520,42 -537053529,80 
70 -0,094 -954925923,56 -458364443,31 
80 -0,065 -656164559,02 -314958988,33 
90 -0,027 -276412500,00 -132678000,00 
 
3333ª Questª Questª Questª Questãoooo
 
No caso abaixo, de oscilação forçada, teremos: �a + O��b + ^�� + � = ���� 
 
Temos em mente que M é a massa embaixo d’água: a = ��IíI:9<� OPO*!� a = Y10 10d Z��4²��5� = 251,33$. 
Fazemos: 
O = 0,8a = 0,8�251,33� = 201,06 = �.�IíI:9< = 10��4²� = 502,66 
A frequência natural de oscilação será: 
�e = f a + O = g 502,66251,33 + 201,06 
�e = 1,05hO*/" 
A frequência natural amortecida é: 
�
 = �ej1 − $� = �1,05�j1 − 0,05� �
 = 1,04hO*/" 
Amortecimento crítico: ^I	 = 2�a + O��e = 2�251,33 + 201,06��1,05� = 953,73 ^ = 5%^I	 = 0,05�953,73� = 47,69 
 
Finalmente chegamos à equação: 452,39�b + 47,69�� + 502,66� = 600 cos�0,5�� 
 
Devemos resolver a equação não homogênea acima. Para isso, resolvemos primeiro a equação homogênea 
correspondente: 452,39�b + 47,69�� + 502,66� = 0 452,39E² + 47,69E + 502,66 = 0 
 E= = −0,0527 + 1,05l E� = −0,0527 − 1,05l 
A solução homogênea é: ���� = �%me,e_�n
 cos�1,05� − o� 
 
Para resolver a parte não homogênea chutamos uma solução do tipo: ���� = R !"�0,5�� + p"%&�0,5�� �q��� = −0,5R"%&�0,5�� + 0,5p !"�0,5�� �qq��� = −0,25R !"�0,5�� − 0,25p"%&�0,5�� 
 
Substituindo essas derivadas na primeira equação: 
452,39Y−0,25R !"�0,5�� − 0,25p"%&�0,5��Z + 47,69Y−0,5R"%&�0,5�� + 0,5p !"�0,5��Z+ 502,66YR !"�0,5�� + p"%&�0,5��Z = 600 cos�0,5�� 
 −113,10R !"�0,5�� − 113,10p"%&�0,5�� − 23,85R"%&�0,5�� + 23,85p !"�0,5�� + 502,66R !"�0,5��+ 502,66p"%&�0,5�� = 600 cos�0,5�� 
 �−113,10R + 23,85p + 502,66R� !"�0,5�� + �−113,10p − 23,85R + 502,66p�"%&�0,5�� = 600 cos�0,5�� �389,56R + 23,85p� !"�0,5�� + �−23,85R + 389,56p�"%&�0,5�� = 600 cos�0,5�� R = 1,54 p = 0,09 
A solução não-homogênea é: ���� = 1,54 !"�0,5�� − 0,09"%&�0,5�� 
 
A solução geral será a soma da solução homogênea com a não homogênea. ���� = �%me,e_�n
 cos�1,05� − o� + 1,54 !"�0,5�� + 0,09"%&�0,5�� 
 
A rigor teríamos que resolver encontrando os coeficientes acima com as condições iniciais ( que seriam dadas), 
mas no exercício podemos considerar apenas a resposta forçada; com o tempo o primeiro termo da equação acaba se 
tornando desprezível. 
Temos: ���� = +1,54 !"�0,5�� + 0,09"%&�0,5�� � = j1,54� + 0,09� = 1,54 
 
Nesse caso a fase é zeNesse caso a fase é zeNesse caso a fase é zeNesse caso a fase é zero e a amplitude é de 1,54.ro e a amplitude é de 1,54.ro e a amplitude é de 1,54.ro e a amplitude é de 1,54.