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Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion 
 
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Figura 9.27 - Croqui. 
 
9.3.1 - Exercício 
 
 A Figura 9.28 ilustra um levantamento de detalhes efetuado 
pelo método de irradiação, utilizando como equipamento de medição 
uma estação total. 
FUNDAMENTOS DE TOPOGRAFIA 
 
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Figura 9.28 - Levantamento de detalhes pelo método de Irradiação. 
 
 
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Calcular as coordenadas cartesianas retangulares dos detalhes 
apresentados na Figura 1, referidos à poligonal fechada, calculada 
anteriormente. 
 
1) Para ângulos horizontais medidos no sentido HORÁRIO, calcular 
as coordenadas dos pontos A1, P1 e B1. 
 
Estação ocupada: 1 Estação visada a RÉ: 0=PP 
A 0=PP- 1 = 106º52’07’’ X1 = 320,05 m Y1 = 560,22 m 
 
Tabela 9.2 - Levantamento de detalhes efetuado na estação 1. 
 
Detalhe 
visado 
Ângulo 
 horizontal 
Distância 
inclinada (m) 
Ângulo 
zenital 
A1 11º 07’ 15’’ 58,38 88º 21’ 40’’ 
P1 220º 40’ 32’’ 22,49 91º 03’ 12’’ 
B1 290º 37’ 24’’ 46,87 92º 22’ 09’’ 
 
1.1) Cálculo das distâncias horizontais entre a estação 1 e os pontos 
A1, P1 e B1. 
 
1.1.1) Distância horizontal entre 1 e A1 (Dh = Di senZ) 
Dh = 58,38 sen(88º 21’ 40’’) Dh = 58,36 m 
 
1.1.2) Distância horizontal entre 1 e P1 
Dh = 22,49 sen(91º 03’ 12’’) Dh = 22,49 m 
 
1.1.3) Distância horizontal entre 1 e B1 
Dh = 46,87 sen(92º 22’ 09’’) Dh = 46,83 m 
 
1.2) Cálculo dos azimutes entre a estação 1 e os pontos A1, P1 e B1. 
(A1-detalhe = A0=PP-1 + ângulo horizontal horário - 180º) 
 
1.2.1) Azimute da direção 1-A1 
A 1-A1 = 106º52’07’’+ 11º 07’ 15’’- 180º 
A 1-A1 = 297º 59’ 22’’ 
 
1.2.2) Azimute da direção 1-P1 
A 1-B1= 106º52’07’’+ 220º 40’ 32’’- 180º 
A 1-B1 = 147º 32’ 39’’ 
 
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1.2.3) Azimute da direção 1-B1 
A 1-P1 = 106º52’07’’+ 290º 37’ 24’’- 180º 
A 1-P1 = 217º 29’ 31’’ 
 
1.3) Cálculo das coordenadas cartesianas retangulares dos pontos 
A1, P1 e B1. 
X detalhe = X26 + dh senA 26-detalhe 
Y detalhe = Y26 + dh cosA 26-detalhe 
 
1.3.1) Coordenadas cartesianas retangulares de A1 
 
X A1 = X 1 + d sen A 1-A1 
X A1 = 320,05 + 58,36 sen 297º 59’ 22’’ X A1 = 268,52 m 
 
Y A1 = Y 1 + d cosA 1-A1 
Y A1 = 560,22 + 58,36 cos 297º 59’ 22’’ Y A1 = 587,61 m 
 
1.3.2) Coordenadas cartesianas retangulares de P1 
 
X P1 = X 1 + d sen A 1-P1 
X P1 = 320,05 + 22,49 sen 147º 32’ 39’’ X P1 = 332,12 m 
 
Y P1 = Y 1 + d cos A 1-P1 
Y P1 = 560,22 + 22,49 cos 147º 32’ 39’’ Y P1 = 541,24 m 
 
1.3.3) Coordenadas cartesianas retangulares de B1 
 
X B1 = X 1 + d sen A 1-B1 
X B1= 320,05 + 46,83 sen 217º 29’ 31’’ X B1 = 291,55 m 
 
X B1 = Y 1 + d cos A 1-B1 
X B1= 560,22 + 46,83 cos 217º 29’ 31’’ X B1 = 523,06 m 
 
 
2) Para ângulos horizontais medidos no sentido HORÁRIO, calcular 
as coordenadas dos pontos A2 e B2. 
 
Estação ocupada: 2 Estação visada a RÉ: 1 
A 1- 2 = 173º39’35’’ X2 = 332,82 m Y2 = 445,17 m 
 
 
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Tabela 9.3 - Levantamento de detalhes efetuado na estação 2. 
 
Detalhe 
visado 
Ângulo 
 horizontal 
Distância 
inclinada (m) 
Ângulo 
zenital 
B2 234º 11’ 13’’ 35,40 89º 44’ 51’’ 
A2 342º 40’ 32’’ 52,66 90º 59’ 39’’ 
 
Respostas: 
 
Distância horizontal entre 2 e B2: Dh 2-B2 = 35,40 m 
 
Distância horizontal entre 2 e A2: Dh 2-A2 = 52,65 m 
 
Azimute da direção 2-B2: A 2-B2 = 227º 50’ 48’’ 
 
Azimute da direção 2-A2: A 2-B2 = 336º 20’ 07’’ 
 
Coordenadas cartesianas retangulares dos pontos B2 e A2: 
 
X B2 = 306,58 m Y B2 = 421,51 m 
 
X A2 = 311,69 m Y A2 = 493,39 m 
 
 
3) Para ângulos horizontais medidos no sentido HORÁRIO, calcular 
as coordenadas dos pontos A3 e A4. 
 
Estação ocupada: 3 Estação visada a VANTE: 4 
A 3- 4 = 16º54’26’’ X3 = 220,03 m Y3 = 415,32 m 
 
Tabela 9.4 - Levantamento de detalhes efetuado na estação 3. 
Detalhe 
visado 
Ângulo 
 horizontal 
Distância 
inclinada (m) 
Ângulo 
zenital 
A3 21º 12’ 40’’ 84,22 90º 03’ 49’’ 
A4 48º 11’ 29’’ 71,15 91º 02’ 22’’ 
 
3.1) Cálculo das distâncias horizontais entre a estação 3 e os pontos 
A3 e A4. 
 
3.1.1) Distância horizontal entre 3 e A3 (Dh = Di senΖ) 
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Dh = 84,22 sen(90º 03’ 49’’) Dh = 84,22 m 
 
3.1.2) Distância horizontal entre 3 e A4 
Dh = 71,15 sen(91º 02’ 22’’) Dh = 71,14 m 
 
3.2) Cálculo dos azimutes entre a estação 3 e os pontos A3 e A4. 
(A3-detalhe = A3-4 + ângulo horizontal horário) 
 
3.2.1) Azimute da direção 3-A3 
A 3-A3 = 16º 54’26’’+ 21º 12’ 40’’ A 3-A3 = 38º 7’ 6’’ 
 
3.2.2) Azimute da direção 3-A4 
A 3-A4 = 16º 54’26’’+ 48º 11’ 29’’ A 3-A4 = 65º 5’ 55’’ 
 
 
3.3) Cálculo das coordenadas cartesianas retangulares dos pontos 
A3 e A4. 
X detalhe = X3 + dh senA 3-detalhe 
Y detalhe = Y3 + dh cosA 3-detalhe 
 
3.3.1) Coordenadas cartesianas retangulares de A3 
 
X A3 = X 3 + d sen A 3-A3 
X A3 = 220,03 + 84,22 sen 38º 7’ 6’’ X A3 = 272,02 m 
 
Y A3 = Y 3 + d cosA 3-A3 
Y A3 = 415,32 + 84,22 cos 38º 7’ 6’’ Y A3 = 481,58 m 
 
3.3.2) Coordenadas cartesianas retangulares de A4 
 
X A4 = X 3 + d sen A 3-A4 
X A4 = 220,03 + 71,14 sen 65º 5’ 55’’ X A4 = 284,55 m 
 
Y A4 = Y 3 + d cos A 3-A4 
Y A4 = 415,32 + 71,14 cos 65º 5’ 55’’ Y A4 = 445,27 m 
 
 
4) Para ângulos horizontais medidos no sentido HORÁRIO, calcular 
as coordenadas dos pontos MF1 e A5. 
 
Estação ocupada: 4 Estação visada a VANTE: 0=PP 
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A 4-0PP = 345º23’00’’ X4 = 246,67 m Y4 = 503,04 m 
 
Tabela 9.6 - Levantamento de detalhes efetuado na estação 4. 
Detalhe 
visado 
Ângulo 
 horizontal 
Distância 
inclinada (m) 
Ângulo 
zenital 
MF1 301º 49’ 15’’ 33,29 90º 09’ 11’’ 
A5 19º 40’ 19’’ 43,18 89º 59’ 15’’ 
 
Respostas: 
 
Distância horizontal entre 4 e MF1: Dh 4-MF1 = 33,29 m 
 
Distância horizontal entre 4 e A5: Dh 4-A5= 43,18 m 
 
Azimute da direção 4-MF1: A 4-MF1 = 287º 12’ 15’’ 
 
Azimute da direção 4-A5: A 4-A5 = 5º 3’ 19’’ 
 
Coordenadas cartesianas retangulares dos pontos MF1 e A5: 
 
X MF1 = 214,87 m Y MF1 = 512,89 m 
 
X A5 = 250,47 m Y A5 = 546,05 m 
 
Observe-se a diferença entre o cálculo do azimute “estação 
ocupada-detalhe” conforme a estação onde foi “zerado” o ângulo 
horizontal é a ré ou a vante. 
 
9.4 - Intersecção a Vante 
 
 O método de interseção a vante (figura 9.29) consiste em obter 
as coordenadas planimétricas de um ponto a partir do conhecimento das 
coordenadas de dois outros pontos e da execução de medidas angulares 
somente. 
Conhecidas as coordenadas de A(XA,YA) e de B(XB,YB), 
determina-se os ângulos α e β e calcula-se as coordenadas de 
C(XC , YC). 
 
 
 
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Figura 9.29 - Intersecção a vante. 
 
9.4.1 - Exercício 
 
A partir de um levantamento realizado anteriormente, conhece-
se as coordenadas de A e B (figura 9.30): 
 
X A = 160,19 m YA = 150,08 m 
X B = 639,42 m Y B = 280,63 m 
 
Utilizando um teodolito, determinou-se em campo, os ângulos 
α e β. 
α = 48º 50’ 46’’ β = 50º 36’ 41’’ 
Calcular as coordenadas da estação C. 
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Figura 9.30 - Exercício Método de Intersecção à vante. 
 
1) Cálculo do lado c (distância entre os pontos A e B) 
 
c = 496,69 m 
 
2) Cálculo de γ γ γ γ 
α + β + γ = 180º γ = 80º 32’ 33’’ 
 
3) Cálculo dos lados a e b, utilizando analogia dos senos 
 
 
A 
B 
C 
N 
AAB 
AAC 
c 
a 
β 
α 
γ b 
22 )()( ABAB