Álgebra linear - Lang S.

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SERGE LANG 
Professor da Universidade de Columbia 
ÁLGEBRA LINEAR 
Coordenadora: 
Professôra ELZA F. ÔOMIDE 
Tradutor: 
FREDERIC TSU 
EDITôRA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA 
EDITORA EDGARDebBLÜCHER LTDA. 
Título Original 
Linear Algebra 
A edição em língua inglêsa foi publicada pela Addison-Wesley Publishing Company 
Copyright © 1966 by Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 
Direitos reservados para a língua portuguêsa pela 
Editôra Edgard Blücher Ltda. - São Paulo - Brasil - 1971 
EDITÔRA EDGARD BLÜCHER LTDA. 
Rua Peixoto Gomide, 1400 
Caixa Postal, 5450 
Fone: 287-2043 
São Paulo - Brasil 
Prefácio 
O objetivo do livro que ora apresentamos é servir de texto para um curso de 
álgebra linear no nível de graduação. Incluimos material suficiente para um curso 
de um ano de duração, mas, mediante omissões convenientes, também será possível 
usar o livro em um semestre. 
No decorrer da última década, a ênfase no currículo dos cursos de álgebra se 
deslocou para a álgebra linear. A mudança foi feita em parte porque se reconheceu 
que é mais fácil assimilar esta parte da álgebra do que algumas outras partes (por ser 
ela menos abstrata, e, de qualquer forma, porque ela é diretamente motivada pela 
geometria espacial), e em parte por causa da ampla aplicação que a álgebra linear tem. 
Em conseqüência, iniciei o livro com a noção básica de vetores no espaço euclidiano 
real, com isso estabelecendo o padrão geral de uma boa parte do que segue. Os capí­
tulos sôbre grupos e anéis foram incluídos por causa de sua importância em relação 
à álgebra linear, sendo que o grupo das aplicações lineares (ou matrizes) inversíveis 
e o anel das aplicações lineares de um espaço vetorial são provàvelmente os exemplos 
mais marcantes de grupos e anéis. Como parte de um curso de álgebra linear, vale a 
pena destacar o fato que um espaço vetorial sôbre um corpo pode ser interpretado 
com proveito como sendo wil módulo sôbre seu anel de endomorfismos. Contudo, 
em vista do intuito geral do livro, êsses capítulos não recebem um tratamento tão 
completo como de outro modo mereceriam. Um breve texto sôbre estruturas básicas 
(grupos, anéis, corpos, conjuntos, etc.), destinado principalmente aos estudantes de 
matemática, acompanhará êste livro, a fim de apresentar uma oportunidade de se 
ministrar um curso separado, de um semestre, versando sôbre êsses assuntos. 
O produto tensorial e, em particular, o produto alternado são de tal importância 
em cursos de cálculo avançado que foi absolutamente necessário inserir um capítulo 
sôbre êles, tendo em vista suas aplicações. O propósito limitado daquêle capítulo 
permitiu um tratamento concreto e simples. 
O apêndice sôbre conjuntos convexos dá seqüência a algumas das idéias geo­
métricas do Capítulo 1, admitindo-se alguns fatos básicos a respeito de funções con­
tínuas sôbre conjuntos compactos, a aderência de um conjunto, etc. Essencialmente, 
êle pode ser lido logo após o Capítulo I, e após tomar conhecimento da definição 
de aplicação linear. Tópicos diversos são expostos num segundo apêndice (incluindo 
uma demonstração do fato que os números complexos são algebricamente fechados), 
que pode ser estudado segundo o critério do instrutor. 
Berkeley, 1966. SERGE LANG 
Índice 
CAPÍTULO! 
Vetores no R" 
1. Definição de pontos no n-espaço. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 
2. Vetores localizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 
3. Produto escalar . ........... . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 
4. A norma de um vetor ............ _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 
5. Retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 
6. Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 
CAPÍTULO II 
Espaços Vetoriais 
1. Terminologia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
2. Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
3. Bases.............................................................. 25 
4. Dimensão de um espaço vetorial: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 
5. Somas e somas diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 
CAPÍTULO III 
Matrizes 
1. O espaço das matrizes ............................................. . 
2. Equações lineares .................................................. . 
3. Multiplicação de matrizes .................................. , ....... . 
Apêndice. Eliminação ............................................... . 
CAPÍTULO IV 
Aplicaçõe.\ Lineares 
34 
38 
41 
48 
1. Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 
2. Aplicações lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 
3. Núcleo e imagem de uma aplicação linear.................. . . . . . . . . . . 62 
4. Dimensão do núcleo e da imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 
5. Composição de aplicações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 
CAPÍTULO V 
Aplicações lineares e Matrizes 
1. A aplicação linear associada a uma matriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 
2. A matriz associada a uma aplicação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 
3. Composição de aplicações lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 
CAPÍTULO VI 
Determinantes 
1. Determinantes de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 
2. Propriedades de determinantes ..... . ............................. ·. . . 83 
3. Regra de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 
4. Existência de determinantes ...... ... ................ ·. . . . . . . . . . . . . . . S 8 
5. Permutações . ....................... '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 
6. Unicidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 
7. Determinante de uma transposta ................ . ..... ............. , 100 
8. Determinante de um produto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 
9. A inversa de uma matriz.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 
10. O determinante de uma aplicação linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 
CAPÍTULO VII 
Produtos Escalares e Ortogonalidade 
1. Produtos escalares.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 
2. Produtos positivos definidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 
3. Bases ortogonais gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 
4. O espaço dual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 
5. O pôsto de uma matriz e equações lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 
CAPÍTULO VIII 
Matrizes e Formas Bilineares 
1. Formas bilineares................ .................................. 131 
2. Formas quadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363. Operadores simétricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 
4. Operadores hermitianos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 
5. Operadores unitários. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 
6. Teorema de Sylvester. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 
CAPÍTULO IX 
Polinômios e Matrizes 
1. Polinômios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 
2. Polinômios de matrizes e de aplicações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 
3. Vetores próprios e valôres próprios.. ................................ 159 
4. O polinômio característico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 
CAPÍTULO X 
Triangulação de Matrizes e de Aplicações Lineares 
1. Existência de triangulação. . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 
2. Teorema de Hamilton"Cayley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 
J. Diagonalização de aplicações unitárias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 
CAPÍTULO XI 
O Teorema Espectral 
1. Vetores próprios de aplicações lineares simétricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 
2. O teorema espectral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 
3. O caso complexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 
CAPÍTULO XII 
Polinômios e Decomposição Primária 
1. O algoritmo euclidiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 
2. Máximo divisor comum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 
3. Unicidade da fatoração.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 
4. Os inteiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 
:'i. Aplicação à decomposição de um espaço vetorial.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 
<>. Lema de Schur.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 
7. Expánsão ádica de um polinômio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 
CAPÍTULO XIII 
Produtos Multilineares 
O produto tensorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 
Isomorfismos de produtos tensoriais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 
Produtos alternados: Caso particular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 
ti Produtos alternados: Caso geral.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 
!\ pêndice. O espaço vetorial gerado por um conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 
CAPÍTULO XIV 
Grupos 
1. Grupos e exemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 
2. Propriedades simples de grupos ..... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 
3. Classes laterais e sub-grupos normais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 
4. Grupos cíclicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 
5. Grupos abelianos livres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 
CAPÍTULO XV 
Anéis 
1. Anéis e ideais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 
2. Homomorfismos.................................................... 247 
3. Módulos.......................................................... 251 
4. Módulos quocientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 
APÊNDICE 1 
Conjuntos Convexos 
1. Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 
2. Hiperplanos separadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 
3. Pontos extremos e hiperplanos de suporte.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 
4. O teorema de Krein-Milman........................................ 262 
APÊNDICE 2 
Miscelânea 
1. Indução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2o4 
2. O conjunto dos números complexos é algebricamente fechado. . . . . . . . . . . . 265 
3. Relações de equivalência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 
ÍNDICE ALFABÉTICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 
CAPÍTULO 1 
Vetores no R n 
Nêste capítulo, a fim de apresentar uma motivação geométrica e algébrica, con­
sideraremos casos especiais de conceitos a serem discutidos com maior generalidade 
posteriormente. Nós supomos que o leitor está familiarizado com os números reais, 
e -exceto no §6- chamaremos de números os números reais (neste capítulo). 
§1. Definição de pontos no n-espaço 
Um número pode ser usado para representar um ponto numa reta, uma vez 
escolhida uma unidade de comprimento. 
Um par de números (i. e. uma dupla de números) (x, y) pode ser usado para repre­
sentar um ponto no plano. 
Observemos agora que uma tripla de números (x, y, z) pode ser usada para repre­
sentar um ponto no espaço, ou seja, no espaço a três dimensões, ou 3-espaço. Nós 
simplesmente introduzimos mais um eixo. Isto é ilustrado pela figura seguinte: 
Eixo x 
Eixo z 
' ' ' ' ' ' ' ',, 
'� (x,y,z) 
1 1 1 1 1 
..>.-,-, ,-,
-
-
_-_ -
_
-__ -!----�- Eixo y ----- i //,// 1 , 
-------------------�-:_�_,/' 
Figura 1 
Em vez de usar x, y, z também poderíamos usar (x1, x2, x3). A reta poderia ser 
chamada de 1-espaço, e o plano de 2-espaço. 
Desta forma, podemos dizer que um número representa um ponto no 1-espaço. 
Uma dupla representa um ponto no 2-espaço. Uma tripla representa um ponto no 
3-espaço. 
2 Álgebra Linear 
Apesar de não podermos traçar uma figura para ir mais adiante, nada nos impede 
de considerar uma quádrupla de números 
e convir que isto .é um ponto no 4-espaço. Uma quíntupla seria um ponto no 5-espaço, 
depois viriam uma sêxtupla, sétupla, óctupla, ... 
Continuando desta forma, definimos que um ponto no n-espaço é uma n-upla de 
números 
sendo n um inteiro positivo. Representaremos uma tal n-upla por uma letra maiúscula 
X, e trataremos de conservar letras minúsculas para números e letras maiúsculas 
para pontos. Chamaremos os números x1, . . • , x. de coordenadas do ponto X. 
Daremos agora a definição da adição de pontos. Se A e B são dois pontos, digamos 
então definimos A + B como stndo o ponto cujas coordenadas são 
Por exemplo, no plano, se A = (1, 2) e B = (-3, 5) então A + B = (-2, 7). No 
3-espaço, se 
então 
A = (-1, n, 3) e B = (j2, 7,-2), 
A+ B = (jZ -1,n + 7,1). 
Ademais, se e é um número qualquer, definimos cA como sendo o ponto cujas coor­
denadas são 
Se A= (2,-1,5) e e= 7, então cA = (14,-7,35) 
Observamos que as propriedades seguintes são verificadas: 
(1) (A + B) + C = A + (B + C) 
(2) A+ B = B +A 
(3) c(A + B) = cA + cB 
(4) Se c1 , c2 são números, então 
(c1 + C2)A = C1A + C2A e (C1C2)A = C1(c2A). 
(5) Seja O = (O, ... , O) o ponto cujas coordenadas são tôdas nulas; então 
O + A = A + O = A paraqualquer A. 
(6) 1 ·A= A, e se representarmos por -A a n-upla (-l)A, então A +(-A)= O. 
[Em vez de escrever A + (-B), escreveremos com freqüência A - B.] 
Tôdas estas propriedades são fáceis de demonstrar, e sugerimos que o leitor as veri­
fique em alguns exemplos. 
Vetores no R" 
Vamos apresentar a prova detalhada da propriedade (3). 
Sejam A = (a1 , • • • , a.) e B = (b1-, • • • , bn). Então 
A + B = (a1 + b1, . . . •. an + bn) 
e c(A + B) = (c(a1 + b1),. • ., c(an + bn)) 
= (ca1 + cb1, ... , can + cbn) 
= cA + cB, 
sendo êste último passo decorrência da definição da adição de n-uplas. 
Deixamos as demais demonstrações a título de exercícios. 
3 
Observação. Não confundir o número O e a n-upla (O, ... , O). Geralmente esta 
n-upla é designada por O, e denominada zero, pois na prática não surge nenhuma 
dificuldade. 
Agora interpretaremos geometricamente a adição e a multiplicação por números, 
no plano (o leitor pode visualizar simultâneamente o que ocorre no 3-espaço). 
Consideremos um exemplo. Sejam A = (2, 3) e B = (-1, 1). Então A + B = (1, 4). 
A figura tem o aspecto de um paralelogramo (Fig. 2). 
(1,4) 
(2,3) A+B 
(-1,1) 
Figura 2 Figura 3 
Tomemos um outro exemplo. Sejam A = (3, 1) e B = (1, 2). Então A + B = (4, 3). 
Verificamos novamente que a representação geométrica da nossa adição se assemelha 
a um paralelogramo (Fig. 3). 
3A =(3,6) 
3A 
-3A 
(a) 
Figura 4 
(b) 
4 Álgebra Linear 
Qual é a representação da multiplicação por um número? Sejam A = (1, 2) e 
e = 3. Então cA = (3, 6). (Fig. 4a). 
A multiplicação por 3 equivale a aumentar A três vêzes. Anàlogamente, !A equi­
vale a modificar A de t, i. e. diminuir A até a metade do seu tamanho. De forma geral, 
se t é um número, t > O, interpretamos ,tA como sendo um ponto, na mesma direção 
de A a partir da origem, mas a uma distância multiplicada por t. 
A multiplicação por um número negativo inverte o sentido. Desta forma, -3A 
teria a representação da Fig. 4(b). 
EXERCÍCIOS 
Computar A + B, A� B, 3A, -2B, nos casos seguintes: 
1. A= (2,-1),B = (-1, 1) 
3. A = (2,-1, 5), B = (-1, 1, 1) 
5. A = (n, 3, -1), B = (2n,-3, 7) 
2. A = (-1, 3), B = (O, 4) 
4. A = (-1, -2, 3), B = (-1, 3, -4) 
6. A= (15,-2,4),B = (n,3,-1) 
7. Representar os pontos dos exercícios 1 a 4, numa fôlha de papel para gráficos. 
8. Sejam A, B dados no Exercício 1. Obter num papel de gráfico os pontos 
A+ 2B, A+ 3B, A- 2B, A - 3B, A+ tB. 
§2. Vetores localizados. 
Nós definimos um vetor localizado como sendo um par de pontos e escrevemos 
AI!. (Não se trata de.um produto.) Visualizamos isto como sendo uma flecha ligando 
A e B. O ponto A é chamado ponto inicial e o ponto B ponto final do vetor localiza­
do (Fig. 5). 
Como se obtém as coordenadas de B a partir das coordenadas de A? Observamos 
no plano que, 
e 
Isto significa que 
b1 = a1 + (b1 - a1) 
b2 = a2 + (b2 -a2). 
B =A+ (B - A) 
Figura 5 
Sejam AB e CD dois vetores localizados. Diremos que são equivalentes se 
B - A = D - C. Todo vetor localizado AI! é equivalente a um vetor de ponto ini­
cial na origem, pois AB é equivalente a O(B - A}. Óbviamente, êste é o único vetor 
localizado de ponto inicial na origem e equivalente a A.B. Se o leitor visualizar a 
lei do paralelogramo no plano, então perceberá claramente que a equivalência de 
dois vetores localizados pode ser interpretada geometricamente em têrmos da igual-
Vetores no R" 5 
dade de comprimento dos segmentos de reta determinados pelos pares de pontos, 
e da coincidência das "direções" em que êles apontam. 
A 
�B 
B-A 
() 
Figura 6 
A Figura 6 mostra os vetores localizados O(B - A) e AH. 
Dado um vetor localizado Oê de ponto inicial na origem, diremos que êle é 
localizado na origem. Dado um vetor localizado AB qualquer, diremos que êle é 
localizado em A. 
Um vetor localizado na origem está totalmente determinado por seu ponto 
final. Em vista disto, chamaremos a uma n-upla seja de ponto, seja de vetor, depen­
dendo da interpretação que temos em mente. 
Diz-se que dois vetores localizados AH e PQ são paralelos se existir um número 
c ,p O tal que B- A = c(Q - P). Êles têm o mesmo sentido se existir um número e > O 
tal que B-A = c(Q - P), e têm sentidos opostos se existir um número e < O tal que 
B -A = c(Q- P). De maneira semelhap.te, qualquer definição que trate de n-uplas 
pode ser transladada para vetores localizados. Por exemplo, no parágrafo seguinte, 
daremos a definição do perpendicularismo de n-uplas. Assim, dizemos que dois vetores 
localizados AH e PQ são perpendiculares se B-A fôr perpendicular a Q- P. Na 
figura seguinte, apresentamos exemplos de tais vetores no plano. 
B-A 
B
�
/Q 
Q-P 
p 
Figura 7 
§3. Produto escalar 
É implícito que do começo ao fim de uma discussão, trabalhamos com vetores 
pertencentes sempre ao mesmo �spaço n-dimensional. 
6 Álgebra Linear 
Sejam dois vetores A = (a1,: . • , an) e B = (b1, • • • , b.). Definimos seu produto 
es calar A · B como sendo 
a1b1 + . .. + a.b • . 
Êste produto é um número . Por exemplo, se 
A = (1, 3, -2) e B = (-1, 4, �3) 
então: A· B = -1 + 12 + 6 � 17. 
Por enquanto, não fornecemos uma interpretação geométrica deste produto escalar. 
Faremos isto mais tarde. Primeiro, deduzimos algumas propriedades importantes. 
As propriedades básicas são: 
PE 1. Vale: A·B = B·A 
PE 2. Se A, B, C são três vetores, então 
A 
· 
(B + C) = A · B + A- C = (B + C) · A. 
PE 3. Se x é um número, então 
(xA ) 
· B = x(A · B) e A · (xB) = x(A- B). 
PE 4. Se A = O é o vetor nu lo, então A · A = O, e nos dem ais casos A · A > O. 
Vamos agora à demonstração destas propriedades. 
Quanto à primeira, temos 
porque para dois .números a e b quaisquer, temos ab = ba. Isto prova a primeira pro­
priedade. 
e 
Para PE 2, seja C = (c1, ... , cnl· Então 
B + e= (b1 + C1, . . . , b. + e.) 
A:(B + C) = a1(b1 + c1) + · · · + a.(bn +e.) 
= a1b1 + a1c1 + · · · + a.b. + a.e • . 
Reordenando os termos, obtemos 
que não é senão A · B + A 
· 
C, o que queríamos demonstrar. 
Deixamos PE 3 a título de exercício. 
Finalmente, para PE 4, observemos que se A tiver uma coordenada a; diferente 
de O, então existe um termo af =1- O, e af > O no produto escalar 
A· A = ai + · · · +a;. 
Sendo que cada termo é ;:;; O, segue que a soma é > O, como era para demonstrar. 
Em grande parte do que segue a respeito de vetores, empregaremos apenas as 
propriedades usuais de adição, multiplicação por números, e as quatro propriedades 
Vetores no R" 7 
do produto escalar. Posteriormente faremos a discussão formal de.stas propriedades. 
Por enquanto, basta notar que existem outros objetos conhecidos que podem ser 
adicionados, subtraidos e multiplicados por números, por exemplo as funções con­
tínuas num intervalo [a, b] (cf. Exercício 5). 
Em vez de escrever A· A para designar o produto escalar de um vetor por si pró­
prio, será conveniente escrever também A2. (Êste é o único caso em que nós nos per­
mitimos tal notação. Assim, não tem significado escrever A 3). Como exercício, veri­
ficar as identidades seguintes: 
(A+ B)2 = A2 + 2A · B + B2, 
(A-B)2 = A2-2A·B + B2• 
Por definição, diremos que dois vetores A e B são perpendiculares (ou diremos 
também ortogonais) se A · B = O. Por enquanto, não é muito claro que no plano esta 
definição coincide com a nossa intuição geométrica de perpendicularismo. Isto será 
posto em evidência no parágrafo seguinte. 
EXERCÍCIOS 
1. Calcular A· A para cada uma das n-uplas dos Exercícios 1 a 6 do §1. 
2. Calcular A · B para cada um dos pares de n-uplas mencionadas acima. 
3. Empregando unicamente as quatro propriedades do produto escalar, verificar 
em detalhe as propriedades de (A + 8)2 e (A-8)2• 
4. Quais dos seguintes pares de vetores são perpendiculares?(a) (1, -1, 1) e (2, 1, 5) 
(c) (-5, 2, 7) e (3, -1, 2) 
(b) (1, -1, 1) e (2, 3, 1) 
(d) (n, 2, 1) e (2, -n, O) 
5: Considere as funções contínuas no intervalo [-1, 1]. Defina o produto escalar 
de duas tais funções f e g como sendo: 
f +I 
_ 1 
f (x)g(x) dx. 
Esta integral é também escrita como (f, g). Verifique que as quatro propriedades de 
um produto escalar são satisfeitas, i. e. mostre que: 
PE 1. (f, g) = (g,f ). 
PE 2. (f,g + h) = (J,g) + (f,h). 
PE 3. (cf,g) = c(f,g). 
PE 4. Se f = O então (J,f) = O, e se f =f O então (J,f) > O. 
6. Se f(x) = x e g(x) 
= x2, o que são (J,J), (g, g), e (f, g)? 
7. Considere as funções contínuas no intervalo [-n, n]. Defina um produto es­
calar para êste intervalo, da mesma forma que acima. Mostre que as funções sen nx 
e cos mx são ortogonais para êste produto escalar (m, n sendo inteiros). 
8. Seja A um vetor perpendicular a todo vetor X. Mostre que A = O. 
8 Álgebra Linear 
§4. A norma de um vetor 
A seguinte desigualdade é denominada desigualdade de Schwarz, e é fundamental 
na teoria de vetores. 
Teorema 1. Sejam A e B dois vetores. Então 
(A · B)2 � (A· A)(B · B). 
Demonstração. Sejam x = B · B e y = -A· B. Então pela PE 4, temos 
O � (xA + yB) · (xA + yB). 
Desenvolvendo o membro direito desta desigualdade, obtemos 
O � x2(A ·A) + 2xy(A · B) + y2(B · B). 
Substituindo x e y por seus valores, 
O � (B · B)2(A · A)- 2(B · B)(A · B)2 + (A · B)2(B · B). 
Se B =O, então a desigualdade do teorema é óbvia, sendo cada membr.o igual a zero. 
Se B #- O, então B · B #-O e podemos dividir esta última expressão por B · B. Obtemos 
assim 
O � (A · A)(B · B)- (A · B)2• 
Transpondo o termo -(A · B)2 para o outro lado da desigualdade, está concluída a 
demonstração. 
Definimos a norma, ou comprimento, de um vetor Aj e o indicamos por 11A11, 
como sendo o número 
llAll=�. 
Sendo A· A � O, podemos extrair a raiz quadrada. Além disso, observamos que 
llAll #-O se A#- O. 
Em termos de coordenadas, vemos que 
e portanto, quando n = 2 ou n = 3, isto coincide com nosso conceito intuitivo (decor­
rente do teorema de Pitágoras) de comprimento. 
Pela nossa definição, podemos· re-escrever a desigualdade do Teorema 1 sob a 
�� 
. 
onde foi extraida a raiz quadrada de ambos os membros. Nós vamos usá-la sob esta 
forma para demonstrar o seguinte teorema. 
Teorema 2. Sejam A e B dois vetores,. Então 
llA + BJJ � JJAIJ + IJBJJ. 
Vetores no R" 9 
Demonstração. Ambos os membros desta desigualdade são positivos ou nulos. 
Logo basta mostrar que seus quadrados satisfazem à desigualdade desejada, em outras 
palavras, 
(A+ B)·(A + B) � ( llAll + llB l l )2• 
·Para tanto, consideremos 
(A + B) · (A + B) = A-A + 2A · B + B · B. 
Em virtude do nosso resultado anterior, isto satisfaz à desigualdade 
e o membro direito não é senão 
Está demonstrado o teorema. 
O Teorema 2 é denominado a desigualdade triangular (Cf. Exercício 11). 
Teorema 3. Se x é um número, então 
llxAll = lx l llAll 
(valor absoluto de x vêzes comprimento de A). 
Demonstração. Por definição, temos 
11xA112 = (xA) · (xA) 
que é igual a 
pelas propriedades do produto escalar. Extraindo agora a raiz quadrada nós obtemos 
o que desejamos. 
Diremos que um vetor U é um vetor unitário se 11 U 11 = 1. Dado um vetor A 
qualquer, seja a= llAll· Se ai= O, então 
é um vetor unitário, pois 
1 -A a 
1 =-a= 1. a 
Diremos que dois vetores A e.B (ambos não nulos) têm mesmo sentido se existir 
um número e > O tal que cA = B. Conforme esta definição, vemos que o vetor 
é um vetor· unitário, no sentido de A (contanto que A i= O). 
10 Álgebra Linear 
Diga-se de passagem que dois vetores A e B (ambos não nulos) têm sentidos opostos 
se existir um número e < O tal que cA = B. 
Sejam duas n-uplas A e B. Definimos a distância que os separa como sendo 
li À - B 11 = J (A -B) · (A -B). Esta definição coincide com nossa intuição geométrica 
quando A e B são pontos do plano. 
I 
B 
Compri-
r---- mento =llA-Bll=llB-AJI 
Figura 8 
B B 
-B 
(a) <b) 
Figura 9 
Podemos também justificar nossa definição de perpendicularismo. Dados A e B 
no plano, a condição de que 
llA + Bll = llA-Bll 
(ilustração na figura 9b) coincide com a propriedade geométrica de que A e B sejam 
perpendiculares. Esta condição é equivalente a 
(A + B) · (A + B) = (A -B) · (A -B) 
(ambos membros foram elevados ao quadrado) e expandindo, esta igualdade é equi-
w� a 
• 
A· A + 2A · B + B · B = A-A - 2A · B + B · B. 
Após cancelamentos, obtemos a condição equivalente 
ou 
4A·B =O 
A·B = 0 
Sejam dois vetores A e B, com B >F O. Suponhamos que é possível achar um número 
e tal que A - cB seja perpendicular a B, ou em outras palavras, 
(A - cB) · B = O. 
Vetores no R" 11 
Obtemos então 
A-B = cB·B 
e portanto 
A-B 
C=--· 
B·B 
Desta forma o número e é determinado de modo único pela nossa condição de per­
pendicularismo. Reciprocamente, para êste número e, temos evidentemente 
(A - cB) · B = O. 
Definimos cB como serido a projeção de A sôbre B. Se B fôr um vetor unitário, 
então temos simplesmente: 
e= A·B 
A nossa construção tem uma interpretação imediata no plano, o que nos permite dar 
uma interpretação geométrica do produto escalar. A saber, suponhamos A i= O e 
observemos o ângulo 8 entre A e B. Então da geometria plana, vemos que 
cllBll cos e = lfATI, 
ou substituindo e pelo valor obtido anteriormente, 
A · B = 11A11 11B11 cos 8 
Por virtude do Teorema 1, sabemos que no n;espaço, o número 
A-B 
tem valor absoluto � 1. Conseqüentemente, 
A·B 
-l ;i! llAll llBll � l, 
e existe um único ângulo e tal que o� e ;i! n e tal que 
A·B 
cos B = llAll llBll 
Defir.imos êste ângulo como sendo o ângulo entre A e B. 
EXERCÍCIOS 
Figura 10 
1. Calcular o comprimento do vetor A nos Exercícios 1 a 6 do §1. 
2. Calcular o comprimento do vetor B nos Exercícios 1 a 6 do §1. 
3. Achar a projeção de A sôbre B nos Exercícios 1 a 6 do §1. 
12 Álgebra Linear 
4. Achar a projeção de B sôbre A nos mesmos Exercícios. 
5. No Exercício 6 do §3, achar a projeção de f sôbre g, e a projeção de g sôbre f, 
empregando a mesma definição de projeção que foi dada no texto (e sem recorrer a 
coordenadas). 
6. Calcular a norma das funções sen 3x e cos x, com relação ao produto escalar 
dado pela integral sôbre o intervalo [-n, n]. 
7. Calcular a norma da função constante 1 no intervalo [-n, n ]. 
8. Calcular a norma da função constante 1 no intervalo [ -1, 1]. 
9. Sejam A1, . • • , A, vetores não nulos e perpendiculares dois a dois, em outras 
palavras A;· Ai= O se i # j. Sejam c1, ... , e, números tais que 
C1À1 + · · · + c,A, = 0. 
Mostre que todo e; = O. 
10. Sejam A e B dois vetores não nulos no n-espaço. Seja e o ângulo entre os 
dois vetores. Se cos e = 1, mostrar que A e B têm o mesmo sentido. Se cos e = -1, 
mostrar que A e B têm sentidos opostos. 
11. Se A e B são dois vetores no n-espaço, designe por d(A, B) a distância entre 
A e B, i.e. d(A,B) = llB-All· Mostrar que d(A,B) = d(B,A), e que para três vetores 
A, B, C quaisquer, temos 
d(A, B) � d(A, C) + d(B, C) 
§5. Retas e planos 
Definimos a equação paramétrica de uma reta passando por um ponto P, na 
direção de um vetor A # O, como sendo 
X= P + tA, 
onde t percorre o conjunto dos números reais. 
Figura 11 
Suponhamos que estamos trabalhando no plano, e representemos as coorde­
nadas de um ponto X por (x, y). Sejam P = (p, q) e A = (a, b). Então, em termos das 
coordenadas, podemos escrever 
X= p +ta, y = p + tb. 
Podemos então eliminar t e obter a equação habitual que relaciona x e y. 
Vetores no ·R" 13 
Por exemplo, sejam P = (2, 1) e A = (-1, 5). Então a equação paramétrica da 
reta passando por P e na direção de A nos fornece 
X=2-t, y = 1 + 5t. 
Multiplicando a primeira equação por 5 e somando, obtemos 
5x + y = 11, 
o que nos é familiar. 
N_um espaço de dimensão superior, não é possível eliminar t dêste modo, e por­
tanto a equação paramétrica é a única disponível para descrever uma reta. 
z 
Figura 12 
.r 
No entanto, podemos descrever planos por uma única equação, análoga à que 
descreve uma reta no plano. Procedemos da maneira seguinte: 
Sejam P um ponto e N um vetor # O. Definimos o hiperplano passando por P, 
perpendicular a N como sendo o conjunto de todos os pontos X tais que X -P é per­
pendicular a N; assim sendo: 
(X-P) · N =O, 
o que também pode ser escrito sob a forma 
X·N = P·N. 
Na Fig. 12, temos um caso típico no 3-espaço. 
Em vez de dizer que N é perpendicular ao plano, também podemos dizer que N 
é normal ao plano. 
Seja t um número # O. Então o conjunto dos pontos X tais que 
coincide com o conjunto dos pontos X tais que 
(X -P) · tN = O. 
14 Algebra Linear 
Logo, podemos dizer que nosso plano é o plano passando por P e perpendicular à 
reta na direção de N. Para achar a equação do plano, podemos empregar qualquer 
vetor tN (com t #O) em vez de N. 
No 3-espaço, obtemos um plano comum. Por exemplo, sejam P = (2, 1, -1) e 
N 
= (-1, 1, 3). Então a equação do plano passando por P e perpendicular a N é 
-X + y + 3 z = -2 + 1 - 3 
ou -x + y + 3 z = - 4 
Observemos que n o 2-espaço, com X = (x, y), o resultado obtido é a equação 
da reta no sentido usual. Por exemplo, a equação da reta passando por (4, -3) e per­
pendicular a ( -5, 2) é 
-5 x + 2 y = -20-6 = -26 
Estamos agora capacitados a interpretar os coeficientes ( -5, 2) .de x e y nesta 
equação. Êles representam um vetor perpendicular à reta. Numa equação qualquer, 
ax + by =e 
o vetor (a, b) é perpendicular à reta determinada pela equação. De modo análogo, 
no 3-espaço o vetor (a, b, e) é perpendicular ao plano determinado pela equação 
ax + by + cz =d 
Diz-se que dois vetores A e B são paralelos se existir um número e # O tal que 
cA = B. Duas retas são ditas paralelas se, dados dois pontos distintos P1 e Q1 da 
primeira reta e P 2 e Q2 da segunda, os vetores 
forem paralelos. 
Diz-se que dois planos são paralelos (no 3-espaço) se seus vetores normais forem 
paralelos. Êles são perpendiculares se seus vetores normais forem perpendiculares. 
Define-se o ângulo de dois planos como sendo o ângulo entre seus vetores normais. 
Exemplo. Calcular o coseno do ângulo entre os planos 
2x -y+z=0 
X+ 2 y - z = J. 
Êste coseno é o coseno do ângulo entre (2,-1, 1) e (1, 2, -1), e é portanto igual a -i. 
EXERCÍCIOS 
Achar uma equação paramétrica da reta passando pelos pontos seguintes: 
1. (1,1, -1) e ( -2,1,3) 2. ( -1, 5,2) e (3,-4,1) 
Achar a equação da reta no 2-espaço, perpendicular a A e passando por P, para 
os seguintes valores de A e P. 
Vetores no R" 15 
3. A = (1,-1),P = (-5,3) 4. A = (-5, 4), P = (3, 2) 
5. Mostrar que as retas 3x - 5y = 1, 2x + 3y = 5 não são perpendiculares. 
6. Quais dos seguintes pares de retas são perpendiculares? 
(a) 3x- 5y = 1 e 
(b) 2x + 7y = 1 e 
(c) 3x- 5y = 1 e 
(d) -X+ y = 2 e 
2x+y=2 
x-y = 5 
5x + 3y = 7 
x+y=9 
7. Achar a equação do plano perpendicular ao vetor dado N e passando pelo 
ponto dado P. 
(a) N = (1,-1,3),P = (4,2,-1) 
(b) N = (-3, -2, 4), P = (2, n,-5) 
(c) N = (-1, O, 5), P = (2, 3, 7) 
8. Determinar a equação do plano passando pelos três pontos seguintes. 
(a) (2,1,1), (3,-1,1), (4,1,-1) 
(b) (-2, 3, -1), (2, 2, 3), (--4, -1, 1) 
(c) (-5, -1, 2), (1, 2,-1), (3, -1, 2) 
9. Achar um vetor perpendicular a (1, 2,-3) e (2, -1, 3), e um outro vetor per­
pendicular a (-1, 3, 2) e (2, 1, 1). 
10. Sejam P o ponto (1, 2, 3, 4) e Q o ponto (4, 3, 2, 1). Seja A o vetor (1, 1, 1, 1). 
Seja La reta passando por P e paralela a A. 
(a) Dado um ponto X da reta L, computar a distância entre Q e X (como sendo 
uma função do parâmetro t). 
(b) Mostrar que existe exatamente um ponto X0 da reta tal que esta distância 
atinge um mínimo, e que êste mínimo é 2.j5. 
. 
(c) Mostrar que X0-Q é perpendicular à reta. 
11. Sejam P o ponto (1,-1, 3, l) e Q o ponto (1, 1,-1,2). Seja A o vetor(l,-3,2, 1). 
Resolver as mesmas questões que no problema acima, com a ressalva de que nêste 
caso, a distância mínima é J 146/15. 
12. Determinar um vetor paralelo à intersecção dos dois planos 
2x-y + z = 1, 3x + y + z = 2. 
13. Mesma questão para os planos 
2x + y + 5z = 2, 3x- 2y + z = 3. 
14. Achar uma equação paramétrica para a intersecção dos planos dos Exer­
cícios 12 e 13. 
15. Calcular o coseno do ângulo entre os seguintes planos: 
(a) X+ y + Z = 1 
x-y-z = 5 
(c) X + 2y -Z = 1 
-x + 3y + z = 2 
.. (b) 2x + 3y- z = 2 
x-y+z=l 
(d) 2x + y + z = 3 
-x-y + z = n 
16 Álgebra Linear 
16. Seja X· N = P · 'N a equação de um plano no 3-espaço. Seja Q um ponto 
fora do plano. Mostrar que existe um único. número t tal que Q + tN pertença ao 
plano (i. e. tal que satisfaça a equação do plano.) Qual é êste valor de t em termos de 
P,Q, e N? 
17. Sejam Q = (1, -1, 2), P = (1, 3,-2) e N = (1, 2, 2). Achar o ponto de inter­
secção da reta passando por P na direção de N, com o plano passando por Q e per­
pendicular a N. 
18. Sejam dois pontos P e Q, e um vetor N no 3-espaço. Seja P' o ponto de inter­
secção da reta passando por P e paralela a N, com o plano passando por Q e perpen­
dicular a N. Definimos a distância de P àquele plano como sendo a distância entre 
P e P'. Calcular esta distância para 
P "'(1, 3, 5), Q = (-1, 1, 7), N = (-1, 1,-1). 
19. Sejam P ;= (1, 3, 5) e A = (-2, 1, 1). Achar a intersecção da reta passando 
por P e paralela a A, com o plano: 
2x+3y-z=l. 
20. Calcular a distância entre o ponto (1, 1, 2) e o plano 
3x + y-5z = 2. 
2 1. Sejam P = (1, 3, -1) e Q = (-4, 5, 2). Determinar as coordenadas dos seguintes 
pontos: 
(a) O.ponto médio do segmento de reta, ligando P e Q. 
(b) Os dois pontos dêste segmento de reta, situados a um terço e a dois terços 
da distância de P a Q. 
22. Se P e Q são dois pontos quaisquer no n-espaço, dar a fórmula geral para 
obter o ponto médio do segmento de reta entre P e Q. 
§6. Números complexos 
Os números complexos constituem um conjunto de objetos que podem ser so­
mados e multiplicados, sendo a soma e o produto de dois números complexos também 
um número complexo, verificando as seguintes condições. 
(1) Todo número real é um número complexo e, se a e/] são números reais, então 
sua soma e seu produto como números complexos são os mesmos que sua 
soma e seu produto como números reais. 
(2) Existe um número complexo representado por i tal que i2 = -1. 
(3) Todo número complexo pode ser escrito de modo úniço sob a forma a + bi, 
onde a e b são números reais. 
(4) As leis usuais da aritmética a respeito da adição e multiplicação são satisfeitas. 
Vetores no R" 
Estas leis são: 
Se IX, {3, y são números complexos, então 
Vale 
Vale 
(1X{J)y = 1X({Jy) e (IX + {J) + "/ = IX + ({J + y). 
IX({J + y) = IX{3 + IX)', e ({J + y)IX = {JIX + ylX. 
IX{J = {JIX, e IX + {J = fJ + IX. 
Se 1 é o número real um, então 1IX = IX. 
Se O é o número real zero, então OIX = O. 
Vale IX + (-l)IX = O. 
17 
Vamos agora deduzir as consequencias destas propriedades. A cada número 
complexo a + bi, associamos o vetor (a, b) no plano. Sejam dois números complexos 
IX 
= 
a1 + a2i e f1 = b1 + b2i. Então 
Portanto, a adição de números complexos é efetuada "componente por componente", 
e corresponde à adição de vetores no plano. Por exemplo, 
(2 + 3i) + (-1 + 5i) = 1 + Si 
Na multiplicação de números complexos, aplicamos a regra i2 = -1 para sim­
plificar o produto e reduzí-lo à forma a + bi. Por exemplo, sejam IX = 2 + 3i e f1 = 1 - i. 
Então 
IX{J = (2 + 3i) (l -i) = 2(1- i) + 3i(l -i) 
= 2 - 2i + 3i -3i2 
=2+i -3(-1) 
=2+3+i 
= 
5 + i. 
Seja IX = a + bi um número complexo. Definimos êX como sendo a -bi. Assim, 
se IX = 2 + 3i, então êX = 2 - 3i. O .número complexo êX é denominado conjugado de 
IX. Vemos imediatamente que 
Com a interpretação vetorial dos números complexos, vemos que IXêX é o quadrado 
da distância da origem ao ponto (a, b). 
Temos agora mais uma propriedade importante dos números complexos, a 
qual nos permitirá dividir por números complexos não nulos. 
Se IX = a + bi fôr um número complexo =/= O, e se tomarmos 
então IXÀ. = À.IX = 1. 
êX 
À= -­
ª2 + b2 
18 Álgebra Linear 
A demonstração desta propriedade é uma conseqüência direta da lei de multi­
plicação de números complexos, pois 
a ªª 
IX --- = --- = 1 ª2 + b2 ª2 + b2 . 
;O número À é chamado inverso de IX, e é representado por a-1 ou 1/a. Se IX e f3 
são números complexos, freqüentemente escrevemos {3/a em vez de a-113 (ou pa-1), 
exatamente como fizemos com números reais. Portanto, podemos dividir por números 
complexos =F O. 
Definimos o valor absoluto de um número complexo IX = a1 + a2i como sendo 
lal = Jai +a�. 
Êste valor absoluto não é senão o comprimento do vetor (a1 , a2). Em termos de valores 
absolutos, podemos escrever 
contanto que a =F O. 
A desigualdade triangular para o comprimento de vetores pode ser agora enun­
ciada para números complexos. Se a e f3 são números complexos, então 
la+ PI� lal + IPI-
O Exercício 5 apresenta mais uma propriedade do valor absoluto. 
EXERCÍCIOS 
1. Expressar os números complexos seguintes sob a forma x + iy, onde x e y 
são números reais. 
(a) (-1 + 3i)-1 
(c) (1 + i)i(2- i) 
(e) (7 + ni)(n + i) 
(g) (j2 + i)(n + 3i) 
(b) (1 + i)(l - i) 
(d) (i - 1)(2 - i) 
(f) (2i + 1 )ni 
(h) (i + l)(i- 2)(i + 3) 
2. Expressar os seguintes números complexos sob a forma x + iy, onde x e y 
são números reais. 
(a) (1 + i)-1 
(e) 
1 : i 
1 
(b) 3 � i 
(f) 1 : i 
(c) 
2 + 
_
i 
2-z 
2i 
(g) 3 - i 
(d) � 2-z 
(h) -1
1
+ i 
3. Seja IX um número complexo 'f=. Q. Qual é o valor absoluto de IX/� O que 
vem a ser m 
Vetores no R" 19 
4. Sejam ex e f3 dois números complexos. Mostrar que rx.{3 = a p e que 
rx.+f3=a+f3 
5. Mostrar que irx.Pi = irx.I IPI· 
6. Defina a adição de n-uplas de números complexos componente por componente, 
·e a multiplicação de n-uplas de números complexos por números complexos também 
componente por componente. Se A = (rx.1 , ... , rx..) e B = (/31 , ... , /3.) são n-uplas de 
números complexos, defina seu produto escalar <A, B) como sendo 
rx.,fi, + · · · + rx.P. 
(atente à conjugação complexa!). Provar as regras seguintes: 
PE 1. <A, B) = (B, A}. 
PE 2. <A,B + C) = <A,B) + <A,C). 
PE 3. Se rx. é um número complexo, então 
<rx.A, B) = rx.<A, B) e <A, rx.B) = a<A, B). 
PE 4. Se A = O então <A, A) = O, e no caso contrário, <A, A) > O. 
7. Nós supomos que o leitor está familiarizado com as funções seno e coseno, 
e suas fórmulas de adição. Seja e um número real. 
(a) Defina 
eiO = cos 8 + i sen 8 
Mostrar que se 81 e 82 são números reais, então 
Mostrar que qualquer número complexo de valor absoluto 1 pode ser es­
crito sob a forma ei• para algum número real t. 
(b) Mostrar que qualquer número complexo pode ser escrito sob a forma re;e, 
para determinados números reais r e 8, com r :;;:: O. 
(c) Se z1 = r1ei8' e z2 = r2e;e2, com r1, r2 reais :;;:: O e 81, 82 reais, mostrar que 
(d) Se zé um número complexo, e num inteiro > O, mostrar que existe um número 
complexo w tal que w• = z. Na realidade, mostrar que existe n tais números 
complexos w distintos, se z f=. O. (Sugestão: Se z = re;e, considere primeiro 
r11•ei8/•). 
CAPÍTULO II 
Espaços Vetoriais 
§1. Terminologia 
Como de costume, uma coleção de objetos será denominada um conjunto. Um 
membro da coleção é também chamado um elemento do conjunto. Na prática, é van­
tajoso empregar símbolos breves para indicar certos conjuntos. Por exemplo, indi­
camos por R o conjunto de todos os números reais, e por C o conjunto de todos os 
números complexos. Afirmar que "x é um número real" equivale a dizer que "x é 
um elemento de R". O conjunto de tôdas as n-uplas de números reais será indicado 
por R". Logo, "X é um elemento de R"" e "X é uma n-upla de números reais" significam 
a mesma coisa. 
Em vez de dizer que u é um elemento de um conjunto S, freqüentemente diremos 
também que u pertence a S e escreveremos ue S. Se S e S' são conjuntos, e se todo 
elemento de S' é elemento de S, então diremos que S' é um subconjunto de S. Assim 
sendo, o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números 
complexos. Dizer que S' é um subconjunto de Sé dizer que S' é parte de S. Observemos 
que nossa definição de um subconjunto não afasta a possibilidade de S' = S. Se S' é 
um subconjunto de S, mas S' # S, então diremos que S' é um subconjunto próprio 
de S. Desta forma, C é um subconjunto de C, mas R é um subconjunto próprio de C. 
Para indicar o fato que S' é um subconjunto de S, escrevemos S' C S, e também di­
remos que S' está contido em S. 
Se S 1 e S2 são conjuntos, então a intersecção de S 1 e S2, indicada por S 1 n S2 , 
é o conjunto dos elementos que pertencem a S1 e a S2• A reunião de S1 e S2, indicado 
por S1 v S2, é o conjunto dos elementos que pertencem a S1 ou a S2• 
§2. Definições 
Seja K um subconjunto do conjunto C dos números complexos. Diremos que 
K é um corpo se forem satisfeita.s as seguintes condições: 
(a) Se x e y são elementos de K, então x + y e xy também são elementos de K: 
(b) Se x E K, então -x também é um elemento de K. Ademais, se x # O, er,tão 
x - 1 é um elemento de K. 
(c) Os elementos O e 1 são elementos de K. 
Observamos que R e C são ambos corpos. 
Indiquemos por Q o conjunto dos números racionais, i. e. o conjunto de tôdas 
as frações m/n, onde m e n são inteiros e n # O. Então é fácil verificar que Q é um corpo. 
Espaços Vetoriais 21 
Indiquemos por Z o conjunto de todos os inteiros; então Z não é um corpo, pois 
a condição (b) acima não está satisfeita. Com efeito, se n é um inteiro # O, então n - 1 = 
= l/n não é um inteiro (exceto para o caso trivial de n = 1 ou n = -1). Por exemplo, 
J não é um inteiro. 
O fato essencial a respeito de um corpo é que êle é um conjunto de elementos 
que podem ser somados e multiplicados, de tal maneira que a adição e a multiplicação 
satisfazem as regras usuais da aritmética, e de tal modo que é possível dividir por 
elementos não nulos. É possível axiomatizar ainda mais o conceito, mas isto será 
feito sómente mais tarde, a fim de evitar discussões que de qualquer forma se tomarão 
óbvias quando o leitor tiver adquirido suficiente maturidade matemática. Levando 
em conta esta possível generalização, deveríamos dizer que um corpo, tal como o 
definimos acima, é um corpo de números (complexos). No entanto, chamaremos a 
tais corpos simplesmente corpos. 
Se o desejar, o leitor pode se restringir aos corpos de números reais e complexos 
para tôda a álgebra linear. Todavia, sendo necessário lidar com cada um dêstes corpos, 
somos obrigados a escolher uma letra neutra K. 
Sejam K e L dois corpos, e suponhamos que K está contido em L (i. e. K é um 
subconjunto de L). Então diremos que K é um sub-corpo de L. Assim sendo, cada um 
dos corpos que estamos considerando é um sub-corpo dos números complexos. Em 
particular, podemos dizer que R é um sub-corpo de C, e Q é um sub-corpo de R. 
Seja K um corpo. Elementos de K também serão chamados de números (sem 
especificação) se o contexto fôr explícito quanto à natureza de K, ou serão denon;1i­
nados escalares. 
Um espaço vetorial V sôqre o corpo K (ou um K-espaço vetorial V) é um conjunto 
de elementos que podem ser somados e multiplicados por elementos de K, de talmaneira que a soma de dois elementos de V é novamente um elemento de V, o produto 
de um elemento de V por um elemento de K é um elemento de V, e tal que as proprie­
dades seguintes são satisfeitas: 
EV 1. Dados u, v, w elementos de V, vale 
(u + v) + w = u + (v + w). 
EV 2. Existe um elemento de V, indicado por O, tal que 
O+u=u+O=u, 
qualquer que seja u em V. 
EV 3. Dado um elemento u de V, o elemento (-1)u é tal que 
u + (-l)u = O. 
EV 4. Quaisquer que sejam u e v de V, vale 
EV 5. Se c é um número, então c(u + v) = cu + cv. 
EV 6. Se a e b são dois números, então (a + b)v = av + bv. 
22 Álgebra Linear 
EV 7. Se a e b são dois números, então (ab)v � a(bv). 
EV 8. Qualquer que seja u de V, vale 1 · u = u (1 é aqui o número um). 
Propriedades adicionais que podem ser fàcilmente deduzidas destas figuram como 
exercícios e, daqui por diante, �upõe-se que são conhecidas. 
Geralmente escreve-se a soma u + (- l)v sob a forma u -v. Escrevemos também 
-v no lugar de (-l)v. 
· 
Empregaremos O para indicar o número zero, e O para indicar o elemento de 
qualquer espaço vetorial satisfazendo a propriedade EV 2. Também o chamamos zero, 
mas nunca é possível haver confusão. Observamos que êste zero, o elemento O, é 
determinado de modo único pela condição EV 2 (cf. Exercício 5). 
É possível somar vários elementos de um espaço vetorial. Suponha que dese­
jamos -somar quatro elementos, por exemplo u,. v, w, z. Primeiro somamos dois dêles 
quaisquer, depois um terceiro, e finalmente um quarto. Aplicando as regras EV 1 e 
EV 4, vemos que a ordem das adições não influi. Esta é exatamente a mesma situação 
que tivemos com vetores. Por exemplo, temos 
((u + v) + w) + z = (u + (v + w)) + z 
= ((v + w) + u) + z 
= (v + w) + (u + z) etc. 
Portanto, costuma-se omitir os parênteses, e escrever simplesmente 
u+v+w+z 
A 'mesma observação vale para a soma de qualquer número n de elemen.tos de V, e 
uma demonstração formal pode ser fàcilmente obtida por indução. 
Seja um espaço vetorial V, e seja W um subconjunto de V. Suponhamos que W 
verifica as seguintes condições: 
(i) Se v e w são elementos de W, sua soma v + w é também um elemento de W. 
(ii) Se v é um elemento de W e e é um número, então cv é um elemento de W. 
(iii) O elemento O de V também é um elemento de W. 
Então W por sua vez é um espaço vetorial. De fato, sendo as propriedades EV 1 
a EV 8 satisfeitas para todos os elementos de V, elas são satisfeitas a fortiori para os 
elementos de W. Chamaremos a W um sub-espaço de . V. 
Observamos que se W1 e W2 são sub-espaços de V, então sua intersecção W1 n W2 
também é um sub-espaço de V. Isto é uma conseqüência imediata das definições. 
Exemplo 1. Seja V= Rn. Então V é um espaço vetorial sôbre os números reais, 
visto que quando consideramos as n-uplas pela primeira vez, assinalamos que l!:. adi­
ção destas, e sua multiplicação por números reais, satisfazem certas propriedades que 
reconhecemos agora como sendo propriedades de um espaço vetorial. 
De maneira mais geral, seja K um corpo. Consideremos Kn como sendo o con­
junto de tôdas as n-uplas de elementos de K, i. e. o conjunto dos elementos 
X = (x,,: . . , Xn) 
Espaços Vetoriais 23 
com X; E K para i = 1, . . . , n. Definimos a adição de tais n-uplas por componentes, 
du mesma forma que dizemos para a adição de n-uplas de números reais. Logo, se 
Y = (Yi, ... , Y.) com Yi E K, então 
X+ Y= (xi+ Yi , ... ,x. + y.). 
Se e E K, definimos cX como sendo (cx1, . . • , ex.). Então verificamos de imediato 
que os axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos por estas operações, i. e. que K" 
é um espaço vetorial sôbre K. 
Assim sendo, C" é um espaço vetorial sôbre C, e Q" é um espaço vetorial sôbre 
Q. Notamos que R" não é um espaço vetorial sôbre C. Assim, quando estamos lidando 
com espaços vetoriais, sempre especificamos o corpo sôbre o qual êle é definido. Quando 
escrevemos K", fica sempre entendido que se trata de um espaço vetorial sôbre K. 
Elementos de K" também receberão a denominação de vetores, e também costuma-se 
chamar vetores aos elementos de um espaço vetorial arbitrário. 
Exemplo 2. Sejam V� R • e W o conjunto dos vetores de V tendo a última coor­
denada igual a O. Então W é um sub-espaço de V, e nós o identificamos com R"- i. · 
Exemplo 3. Seja Vum espaço vetorial qualquer, e sejam Vi, ... , v. elementos de V. 
Sejam números xi .... , x. , Uma expressão do tipo 
é denominada combinação linear de vi, ... , v • . Seja W o conjunto de tôdas as com­
binações lineares de v1, • • • , v • . ·Então W é um. sub-espaço de V. 
Demonstração. Sejam números y1, . .. , Y • . Temos 
(xiv1 + · · · + x.v.) + (y1vi + ·. · · + y.v.) = (x1 + y1)v1 + · · · + (x. + y.)v • . 
Logo, a soma de dois elementos de W é novamente um elemento de W, i. e. uma com­
binação linear de vi, ... , v • . Além disso, se e é um número, então 
c(X1V1 + . . . + x.v.) 
= 
CX1Vi + ... + cx.v. 
é uma combinação linear de v1,.,., v., e portanto um elemento de W. Finalmente 
O = Ov1 + . . 
· 
+ Ov. 
é um elemento de W. Isto prova que W é um sub-espaço de V. 
No Exemplo 3, o sub-espaço Wé denominado o sub-espaço gerado por Vi, ... , v • . 
Se W = V, i. e. se todo elemento de V é uma combinação linear de Vi , ... , v., então 
dizemos que v1, • • • , v. geram V sôbre K. Quando estamos lidando com µm corpo 
fixo K, então nós não especificamos K e dizemos simplesmente que vi, ... , v., geram V, 
ou são geradores de V. 
Exemplo 4. Sejam um conjunto S e um corpo K. Entendemos por uma função 
de Sem K, uma regra que a cada elemento de S associa um único elemento de K. Assim 
sendo, se fé uma função de S em K; expressamos isto pelos símbolos 
f:S--->K. 
24 Álgebra Linear 
Também dizemos que fé uma função com valores em K. Seja V o conjunto de tôdas 
as funções de S em K. Sef e g são duas tais funções, ent�o podemos formar sua soma 
f.+ g . É a função cujo valor para x de S é f (x) + g(x). Escrevemos 
(f + g)(x) = f(x) + g(x). 
Se e E K, então definimos cf como sendo a função tal que 
(cf) (x) = cf (x). 
Portanto, o valor de cf para x é cf(x). Então é fácil verificar que Vé um espaço vetoriaÍ 
sôbre K. Deixamos isto a cargo do leitor. Apenas observamos que o elemento zero 
de Vé a função nula, i. e. a funçãoftal quef(x) =O qualquer que seja XE S. Indicamos 
esta função por O. 
Exemplo 5. Seja Vo conjunto de tôdas as funções de R em R. Então Vé um esp�o 
vetorial sôbre. R. Seja W o subconjunto das funções contínuas. Se f e g são funções 
contínuas, então f + g é contínua. Se e é um número real, então cf é contínua. A função 
nula é contínua. Logo, W é um sub-espaço do espaço vetorial de tôdas as funções 
de R em R, i. e. W é um sub-espaço de V. 
· Seja U o conjunto das funções diferenciáveis de R em R. 'Se f e g são funções dife­
renciáveis, então sua somaf + g também é diferenciável. Se e é um número real, então 
cf é diferenciável. A função nula é diferenciável. Logo U é um sub�espaço de V. Na 
verdade, U é um sub-espaço de W, pois tôda função diferenciável é contínua. 
Exemplo 6. Seja novamente V o espaço vetorial (sôbre R) das funções de R em R. 
Consideremos as duas funções e' e e2'. (Na verdade, deveríamos dizer as duas funções 
f e g tais quef(t) = e' e g(t) = e2', para todo t E R). Estas funções geram um sub-espaço 
do espaço de tôdas as funções diferenciáveis. A função 3e' + 2e2' é um elemento dêste 
sub-espaço .. A função 2e' + ne2' pertence também a êste sub-espaço. 
Exemplo 7. Observamos. que os números complexos constituem um espaço ve­
torial sôbre os números reais. Isto é decorrência imediata das propriedades da adição 
e multiplicação de números complexos, dadas no Capítulo I, §6. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja Vum espaço vetorial. Empregando as propriedades EV 1 a EV 8, mostrar 
que se v é um elemento de V, e se O é o número zero, então Ov = O.2. Sejam e um número # O, e v um elemento de V. Mostrar que se cv = O, então 
V= 0. 
3. No espaço vetorial das funções, qual é a função que verifica a condição EV 2? 
4. Sejam Vum espaço vetorial, e v e w dois elementos de V. Se v + w = O, mos­
trar que w = -v. 
5. Sejam V um espaço vetorial, e V e w dois elementos de V tais que V + w = V. 
Mostrar que w = O. 
· · 6. Seja K um sub-corpo de um corpo L. Mostrar que L é um espaço vetorial sôbre 
K. Em particular, C e R são espaços vetoriais sôbre Q. 
Espaços Vetoriais 25 
7. Seja K o conjunto de todos os nÍimeros que podem ser escritos da forma 
a + bfi, onde a e b são números racionais. Mostrar que K é um corpo. 
8. Seja K o conjunto de todos os números que podem ser escritos da forma a + bi, 
onde a e b são números racionais. Mostrar que K é um corpo. 
9. Seja e um número racional > O, e seja y um número real tal que y2 = e. Mostrar 
que o conjunto de todos os números que podem ser escritos sob a forma a + by, onde 
a e b são números racionais, é um corpo. 
§3. Bases 
Seja V um espaço vetorial sôbre o corpo K, e sejam v1 , • • • , vn elementos de V. 
Diremos que v1 , . . • , v. são linearmente dependentes sôbre K se existirem elementos 
a1 , • • • , an de K, não todos nulos, tais que 
a1V1 + ... + anVn = 0. 
Se não existirem tais elementos, então diremos que v1 , • • • , vn são linearmente inde­
pendentes sôbre K. Freqüentemente omitimos as palavras "sôbre K". 
Exemplo 1. Seja V= R" e consideremos os vetores 
E1 = (1,0, ... ,O) 
E. = (O, O, ... , 1). 
Então E1, ••• , E. são linearmente independentes. Efetivamente, sejam os números 
a1, ... , ª• tais que a1E1 + · · · +a.E. = O. Como 
a1E1 +···+a.E.= (a1, ... ,a.), 
segue que todo ai = O. 
Exemplo 2. Seja V o espaço vetorial de tôdas as funções de uma variável real t. 
Sejam n funções f1(t), ... Jit). Dizer que elas são linearmente dependentes significa 
que existem n números reais a1 , ••• , ª•, não todos nulos, tais que 
aJ1(t) + · · · + a,f.(t) = O 
para todos os valores de t. 
As duas funções e', e21 são linearmente independentes. Para demonstrar isto, 
suponhamos que existem números a e b tais que 
ae' + be21 =O 
(para todos os valores de t). Derivemos esta relação. Obtemos 
ae' + 2be2' = O. 
Subtraindo a primeira relação da segunda, obtemos be21 = O:· logo, b = O. Da pri­
meira relação, resulta que ae' =·O; logo, a = O. Logo, é, e2' são linearmente inde­
pendentes. 
Consideremos novamente um espaço vetorial V qualquer sôbre um corpo K. 
26 Álgebra Linear 
Sejam v1 , • • • , v. elementos de V linearmente _ _i!}Q(!pende_11tes. Sejam os números 
Suponhamos que 
X1, ... ,x. e Y1, ... ,y • . 
Em outras palavras, duas combinações lineares de v1 , . • • , v0 são iguais. Então é pre­
ciso ter x; = Y; para todo i = 1, ... , n. Com efeito, subtraindo o membro direito do 
membro esquerdo, obtemos 
Também podemos escrever esta relação sob a forma 
Por definição, temos que ter X; - Y; = O para todo i = 1, . .. , n, provando com isto 
a nossa afirmação. 
Definimos uma base de V sôbre K como sendo uma seqüência { v1, • . • , v0} de 
elementos de V, que geram V e que são linéarmente independentes. 
Os vetores E1, • • • , E. do Exemplo 1 constituem uma base de R" sôbre R. 
Seja W o espaço vetorial de funções gerado pelas .duas funções e', e2', sôbre R. 
Então {e', e2'} é uma base de W sôbre R. 
Seja V um espaço vetorial, é seja { V1 ' • • • ' v.} uma base de V. Os elementos de V 
podem ser representados por n-uplas relativas a esta base, da maneira seguinte: Se 
um elemento v de V fôr escrito como uma combinação linear 
dos elementos da base, então chamamos (x1, ... , x.) de coordenadas devem relação à 
nossa base, e chamamos X; ai-ésima coordenada. Dizemos que a n-upla X = (x 1, ... , x.) 
é o vetor das coordenadas de v em relação à base { v1 , • • • , v0}. 
Por exemplo, seja V o espaço vetorial de funções gerado pelas funções e', e2'. 
Então as coordenadas da função 
3e' + 5e2' 
em relação à base {e', e2'} são (3, 5). 
Exemplo 3. Mostrar que os vetores (1, 1) e (-3, 2) são linearmente independentes 
sôbre R� 
Sejam a e b dois números reais tais que 
a(l, 1) + b(-3, 2) = O. 
Escrevendo esta equação em termos das componentes, deduzimos que 
a - 3b =O 
a+ 2b =O. 
Espaços Vetoriais 27 
liste é um sistema de duas· equações em a e b. Subtraindo a segunda da primeira, ob­
lcmos -5b = O ; logo, b = O. Substituindo numa qualquer das equações, achamos 
" = O. Logo, a e b são ambos nulos, e nossos vetores são linearmente independentes. 
Exemplo 4. Achar as coordenadas de (1, O) em rélação aos dois vetores (1, 1) e (-1, 2). 
Temos que achar números a e b tais que 
a(l, 1) + b(-1,2) = (1,0). 
l ·:screvendo esta equação em termos de coordenadas, temos 
a - b = 1, 
a+ 2b = O. 
Resolvendo para a e b da maneira usual, concluimos que b = -t e a = l Logo, as 
coordenadas de (1,0) em relação a (1, 1) e (-1,2) são (t,-t). 
Seja {v1, . . • , v.} um conjunto de elementos de um espaço vetorial V sôbre um 
corpo K. Seja rum inteiro positivo ;g n. Diremos que {v1, ... , v,} é um subconjunto 
maximal de elementos linearmente independentes se v1, • • . , v, forem linearmente 
independentes e ainda se, dado vi qualquer com i > r,. os elementos v1 , • • • , v,, vi 
forem linearmente dependentes. 
A seguir, apresentamos um teorema que nos fornece um critério prático para 
decidir se um conjunto de elementos de um espaço vetorial é uma base. 
Teorema 1. Seja {v1, • • • , v.} um conjunto de geradores de um espaço vetorial V. 
Seja {v1, • . • , v,} um subconjunto maximal de elementos linearmente independentes. 
Então {v1, • . . , v,} é uma base de V. 
Demonstração. Temos de provar que v1, ... , v, geram V. Primeiro, provaremos 
que cada vi (parai > r) é uma combinação linear de v1 , • • • , v,. Por hipótese, dado vi, 
existem números x 1 , • . . , x, , y, não todos nulos, tais que 
Além disso, y i= O, pois no caso contrário, teríamos uma relação de dependência linear 
para v1 , • • • , v,. Logo, podemos resolver para vi, a saber 
X1 X, Vi 
= 
- V1 + · · · + - V,, 
-y -y 
mostrando assim que vi é uma combinação linear de v1 , • • • , v,. 
Em _seguida, seja v um elemento qualquer de V. Existem números c1, • • • , c. tais 
que 
Nesta relação, podemos substituir cada vh > r) por uma combinação lineár de 
1>1 , • • • , v,. Feito isto, e depois de grupar os termos, verificamos que expressamos v 
como uma combinação linear de v1 , • • • , v,. Isto prova que v1 , • • • , v,. geram V; logo, 
êles formam uma base de V. 
28 Álgebra Linear 
EXERCÍCIOS 
1. Mostrar que os vetores seguintes são linearmente independentes, tanto sôbre 
R como sôbre C. 
(a) (1, 1, 1) e (O, 1, -1) 
(c) (-1, 1, O) e (O, 1, 2) 
(e) (n, O) e (O, 1) 
(b) (1, O) e (1, 1) 
(d) (2,-1) e (1,0) 
(f ) (1, 2) e (1, 3) 
(g) (1, 1, O), (1, 1, 1) e (O, 1, -1) . (h) (O, 1, 1), (O, 2, 1) e (1, 5, 3) 
2. Expressar o vetor X dado, como sendo uma combinação linear dos vetores 
dados A e B, e calcular as coordenadas de X em relação a A e B. 
(a) X = (1, O), A = (1, 1), B = (O, 1) 
(b) X= (2, 1), A= (1,'-1), B = (1, 1) 
(e) X = (1, 1), A = (2, 1), B = (-1, O) 
(d) X = (4, 3), A = (2, 1), B = (-1, O) 
(Pode-se interpretar os vetores acima como sendo elementos de R 2 ou C2 • As 
coordenadas serão as mesmas). 
3. Calcular as coordenadas do vetor X em relação aos vetores A, B, C. 
(a) X= (1,0,0), A= (1, 1, 1), B = (-1, 1,0), e= (1,0,-1) 
(b) X = (1, 1, 1), A = (O, 1,-1), B = (1, 1, O), C = (1, O, 2) 
(c) X=(0,0,1), A=(l,1,1), B=(-1,1,0), C=(l,0,-1) 
4. Sejam dois vetores (a, b) e (e, d) no plano. Se ad - bc = O, mostrar que êles 
são linearmente dependentes. Se ad - bc =F O, mostrar que êles são linearmente inde­
pendentes. 
5. Considere o espaço vetorial de tôdas as funções reaisde uma variável real t. 
Mostrar que os seguintes pares de vetores são linearmente independentes. 
(a) 1, t (b) t, t2 (c) t, t4 (d) e', t 
(e) te', e2' (f) sen t, cos t (g) t, sen t· (h) sen t, sen 2t 
(i) cos t, cos 3t 
6. Considere o espaço vetorial das funções reais definidas para t > O. Mostrar 
que os seguintes pares de funções são linearmente independentes. 
(a) t, 1/t (b) e', log t 
7. Quais são as coordenadas da função 3 sen t + 5 cos t = f(t) em relação à 
base {sen t, cos t}? 
8. Seja D a derivada d/dt. Seja a função f (t) do Exercício 7. Quais são as coorde­
nadas da função Df(t) em relação à base do Exercício 7? 
9. Sejam os vetores A1, • • • , A, no R", e suponhamos que êles são perpendiculares 
entre si (i. e. perpendiculares dois a dois), e que nenhum dêles é igual a O. Provar que 
êles são linearmente independentes. 
Espaços Vetoriais 29 
10. Seja V o espaço vetorial das funções reais contínuas no intervalo [-n, n ]. 
Se f e g são duas funções contínuas nêste intervalo, defina seu produto escalar (f, g) 
t:omo sendo 
(f, g > 
= 
f 
,
/(t)g(t) dt. 
Mostrar que as funções sen nt (n = 1, 2, 3, ... ) são perpendiculares duas a duas, i. e. 
que o produto escalar de duas delas quaisquer e igual a o. 
11. Mostrar que as funções sen t, sen 2t, sen 3t, .. . , sen nt são linearmente inde­
pendentes sôbre R, para qualquer inteiro n � 1. · 
§4. Dimensão .de um espaço .vetorial 
O resultado principal dêste parágrafo é que duas bases quaisquer de um espaço 
vetorial possuem o mesmo número de elementos. Para provar isto, apresentamos 
primeiro um resultado intermediário. 
Teorema 2. Seja V um espaço vetorial sôbre um corpo K. Seja {v1, ... , vm} uma 
base de V. Sejam w1, . . • , Wn elementos de V, e suponhamos que n > m. Então w1, • . . , Wn 
são linearmente dependentes. 
Demonstração. Suponhamos que w1 , • • • ,.wm são linearmente independentes. 
Sendo { v1, • • • , vm) uma base, existem elementos· a1, • • • , am E K tais que 
W1 = a1V1 + .. . + amvm. 
Por hipótese, sabemos que w1 # O, e portanto algum a; # O. Após uma renumeração 
de v1 , ... , vm se necessário fôr, podemos supor, sem perda de generalidade, que por 
exemplo a1 # O. Podemos então isolar v1 , e obtemos 
a1V1 =.W1-a2V2-···-amvm, 
-1 -1 -1 V1 = a1 W1 -ai a2V2 -.. ·-ai amvm. 
'O sub-espaço de V gerado por w1, v2, ... , vm contém v1, e portanto deve coincidir 
com V, já que v1 , v2, • • • , vm geram V. A idéia agora é continuar com nosso processo 
passo por passo, e substituir sucessivamente v2 , v3 , . • • por w2, w3 , • . • até esgotar 
todos os elementos v1, • • • , vm; e assim, w1, • • • , wm geram v.i Suponhamos agora por 
indução que existe um inteiro r, com 1 � r < m, tal que, após uma renumeração 
conveniente de v1, ... , vm, os elementos w1, ... , w,, v,+ 1, . . • , vm geram V. Existem 
elementos b1, ••• , b,, e,+ 1, . . • , cm de K tais que 
Não podemos ter cj =O para j = r + 1, .. . m, pois caso fôr, oMemos uma relação 
de dependência linear entre w1, ... , w,+ 1, o que contradiz a nossa hipótese. Depois 
que renumeramos v,+ 1, • • • , vm se fôr preciso, podemos supôr sem perda de genera­
lidade que por exemplo e,+ 1 # O. Obtemos então 
30 Álgebra Linear 
Dividindo por e,+ 1, concluimos que v,+ 1 está no sub-espaço gerado por w1, • • . , w,+ 1, 
v,+2, • • • , vm. Pela nossa suposição por indução, segue que w1, ... , w,+ 1, v,+2, • • • , vm. 
geram V. Assim, por indução, provamos que 11•1, • • . , w., geram V. Se n > m. então 
existem elementos d i, . .. , d..,E K tais que 
W" = d1w1 + · · · + dmw..,, 
provando assim que wi, ... , w,, são linearmente dependentes. Com isto, está demons­
trado nosso teorema. 
Teorema 3. Seja V um espaço vetorial e suponhamos que uma base tem n elementos, 
e que uma outra base tem m elementos. Entiío m = n. 
Demonstração. Apliquemos o Teorema 2 às duas bases; o Teorema 2 acarreta 
que ambas as alternativas n > m e m > n não são possíveis, e portanto m = n. 
Seja Vum espaço vetorial tendo uma base constituida por n elementos. Diremos 
que n é a dimensão de V, ou que Vé n-dimensional. Se Vfôr formado unicamente pelo 
elemento O, então V não possue base, e diremos que V te� dimensão O. 
Exemplo 1. O espaço vetorial R" sôbre R tem dimensão n, o espaço vetorial C" 
sôbre C tem dimensão n, e de maneira mais geral, para qualquer'-corpo K, o espaço 
vetorial K" sôbre K tem dimensão n. Com efeito, os vetores 
(1, O, ... , O), (O, 1, O, .. ., O), (O, O, 1. O, . . . . 0) . . . ., (O, ... , O, 1) 
formam uma base de K" sôbre K. 
A dimensão de um espaço vetorial V sôbre K será indicada por dimK V. ou sim­
plesmente por tlim V. 
Um espaço vetorial que possue uma base constituída por um número finito de 
elementos, ou o espaço vetorial zero, recebe o nome de espaço vetorial de dimensão 
finita. Os demais espaços vetoriais são denominados espaços vetoriais de dimensão 
infinita. É possível dar uma definição de uma base infinita. O leitor pode procurá-la 
num texto mais avançado. No restante dêste livro, quando falamos da dimensão de 
um espaço vetorial, supõe-se que o referido espaço vetorial tem dimensão finita. 
Exemplo 2. Seja um corpo K. Então K é um espaço vetorial sôbre si mesmo, e 
tem dimensão 1. Na realidade, o elemento 1 de K constitui uma base de K sôbre K, 
porque qualquer elemento x E K se exprime de modo único por x = x 
· 
l. 
Vamos dar agora os critérios que nos permitem decidir se elementos de um espaço 
vetorial constituem uma base. 
Sejam v1, ... , v. elementos linearmente independentes de um espaço vetorial V. 
Diremos que êles formam um conjunto maximal de elementos linearmente indep�n­
dentes de V se, dado um elemento w qualquer de V, os elementos w, Vi, ... , v. forem 
linearmente dependentes. 
Teorema 4. Sejam V um espaço vetorial e {vi, ... , v.} um conjunto maximal de 
elementos linearmente independentes de V. Então { v1, • • . , v.} é uma base de V. 
De�onstração. Temos de mostrar que r1 , • • • , v. geram V, i. e. que todo elemento 
de V pode ser escrito como uma combinação linear de v1, ••• , v • . Seja w um elemento 
h•paços Vetoriais 31 
de V. Por hipótese, os elementos w, v1 , . • • , v. de V devem ser linearmente dependentes; 
logo, existem números x0, x1, . • . , x. não todos nulos tais que 
XoW + X1V1 + ... + XnVn = 0. 
Niio podemos ter x0 = O, pois se x0 = O, obteríamos uma relação de dependência 
linear para v1, • . . , v • . Portanto, podemos expressar w em termos de v1, . • . , v., a 
Huher 
X1 Xn W = - - V1 - ··· - - v • . 
Xo Xo 
INlo prova que w é uma combinação linear de v1, • • • , v., e conseqüentemente { v1, • • • , v.} 
é uma base. 
Teorema 5. Seja V um .espaço retorial n-dime11sional. e sejam 1•1 • . . . • 1•,, elementos 
linearmente independentes de V. Então v1 • . • . • v,, formam uma base de V. 
Demonstração. De acôrdo com o Teorema 2, { v1, • • • , v.} é um conjunto maximal 
de elementos linearmente independentes de V. Donde, pelo Teorema 4, { v1, . . • , v.} 
é uma base. 
Corolário. Seja V um espaço vetorial e seja W am sub-espaço. Se dim V= dim W, 
1·11tão V= W. 
Demonstração. Seja { w1, . • • , w.} uma base de W. Sendo n = dim V, podemos 
aplicar o teorema e concluir que V= W. 
Teorema 6. Seja V um espaço vetorial tendo uma base formada por n elementos. 
Seja W um sub-espaço diferente de {O}. Então W possue uma base, e a dimensão de W 
,; � n. 
Demonstração. Seja w1 um elemento não nulo de W. Se {wi} não fôr um conjunto 
maximal de elementos linearmente independentes de W, podemos achar um elemento 
w2 de Wtal que w1 e w2 sejam linearmente independentes. Procedendo desta maneira, 
com um elemento por vez, deve existir um inteiro m, com m � n, tal que possamos 
encontrar elementos w1, w2, . • • , wm linearmente independentes, e que { w1, • . • , wm} 
seja um conjunto maximal de elementoslinearmente independentes de W (conforme 
o Teorema 2, não é possível repetir indefinidamente o processo, e o número de ele­
mentos linearmente independentes obtidos é no máximo n). Aplicando agora o Teorema 
4, concluimos que { w1, . • . , wm} é uma base de W. 
Teorema 7. Seja V um espaço vetorial n-dimensional, e sejam v1 , • • • , v, elementos 
linearmente independentes de V. Então existem elementos v, + 1 , ... , v. E V tais que 
{v1, • • • , v.} é uma base de V. 
Demonstração. Se r < n, então pela definição de dimensão, v1 , • • . , v, não podem 
formar uma base de V, e portanto não podem gerar V. Logo, existe um elemento não­
n ulo v,+ 1 de V que não pertence ao sub-espaço gerado por v1, • • • , v,. Segue que 
v1, • • • , v,+1 são linearmente independentes, pois se tivermos uma relação 
a1v1 + · · · + a,v, + a,+1v,+1 = O, 
com ai E K, então a,+ 1 =F O (no caso contrário, obtemos uma relação de dependência 
linear entre v1, • . • , v,). Podemos então expressar v,+ 1 em função de v1, • • • , v,, a saber 
v,+1 = -a;/1(a1v1 + · ·· + a,v,), 
o que contradiz o fato que v,+ 1 não pertence ao sub-espaço gerado por v1 , ... , v,. 
32 Álgebra Linear 
Suponhamos que encontramos elementos v,+ 1, ... , v. tais que v1, ... , v. são 
linearmente independentes. Então s:;;; n pelo Teorema 2. Se supusermos que 
{ V1 , . .. , V,, V,+ 1 , . • • , V5} 
é um conjunto maximal de elementos linearmente independentes de V, então o argu­
mento anterior mostra que s = n, e segue que { v 1 , ... , v.} é uma base de V. 
§5. Somas e somas diretas 
Seja Vum espaço vetorial sôbre o corpo K. Sejam U e W dois sub-espaços de V. 
Definimos a soma de U e W como sendo o subconjunto de V formado por tôdas as 
somas u + w, com u E U e w E W Indicamos esta soma por U + W Trata-se de um 
sub-espaço de V. Com efeito, se u1, u2 EU e w1, w2 E W, então 
(u, + W1) + (u2 + W2) = u, + U2 + w, + W2 Eu+ w 
Se c E K, então 
c(u, + W1) = CU1 + cw, Eu + w 
Por fim, O + O E U + W Isto prova que U + W é um sub-espaço de V. 
Diremos que Vé uma soma direta de U e W se, para todo elemento v de V, existirem 
elementos únicos u E U e w E W tais que v = u + w. 
Teorema 8. Seja V um espaço vetorial sôbre o corpo K, e sejam U e W dois sub-es­
paços. Se U + W = V, e se U n W= {O}, então Vé a soma direta de U e W 
Demonstração. Dado v E V, pela primeira hipótese, existem elementos u E U e 
w E Wtais que v = u + w. Portanto, Vé a soma de U com W Para provar que é a soma 
direta, devemos mostrar que êstes elementos u e w são determinados de modo único. 
Suponhamos que existem elementos u' E U e w' E W tais que v = u' + w'. Logo 
u + w = u' + w'. 
Então u - u' = w' - w. 
Mas u - u' E U e w' - w E W Pela segunda hipótese, concluímos que u - u' = O e 
w' - w = O, donde u = u' e w = w', provando com isto nosso teorema. 
Quanto à notação, se V é a soma direta dos sub-espaços U e W, escrevemos 
V= U®W 
Teorema 9. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, sôbre o corpo K. Seja W 
um sub-espaço de V. Então existe um sub-espaço U tal que V é a soma direta de W e U. 
Demonstração. Fixemos uma base de W; empregando o Teorema 7 do §4, esten­
damos esta base at é completarmos uma base de V. A afirmação de nosso teorema é 
agora evidente. Com as notações daquele teorema, se {v1, • . . , v,} é uma base de: W, 
então escolhemos U como sendo o espaço gerado por {v.+1, . • • , v.}. 
Observamos que dado o sub-espaço W, geralmente existem vários sub-espaços 
U tais que V é a soma direta de W com U. (Para exemplos, ver os exercícios). Num 
parágrafo posterior dêste livro, onde discutiremos a ortogonalidade, empregaremos 
a ortogonalidade para determinar um tal sub-espaço. 
Espaços Vetoriais 33 
Teorema 10. Se V é um espaço vetorial de dimensão finita sôbre K e é a soma direta 
de dois sub-espaços U e W, então 
dim V= dim U + dim W. 
Demonstração. Sejam { u1, ... , u,} uma base de U e { w1, ... , w.} uma base de W. 
Todo elemento de U se expressa de modo único como uma combinação linear 
x1u1 + · · · + x,u,, com xi E K, e todo elemento de Wse expressa de modo único como 
uma combinação linear y1 w1 + · · · + y.w. com Yi E K. Logo, por definição, todo 
elemento de V se expressa de modo único como uma combinação linear 
x1u1 + · · · + x,u, + y1w1 + · · · + y.w., 
provando com isso que u1, •
•
• • , u,, w1, . • • , w. formam uma base de V, o que demonstra 
nosso teorema. 
Observação. Também podemos definir V como sendo a soma direta de mais de 
dois sub-espaços. Sejam sub-espaços W1, • • • , W, de V. Diremos que Vé sua soma direta 
de todo elemento de V puder ser expresso de modo único por uma soma 
V= W1 + · · · + w, 
com w; em Hi; . 
Suponhamos agora que U e W são espaços vetoriais arbitrários sôbre um corpo 
K (i. e. não são obrigatóriamente sub-espaços de algum espaço vetorial). Seja U. x W 
o conjunto de todos os pares (u, w ) cuja primeira componente é um elemento u de U, 
e cuja segunda componente é um elemento w de W. Definimos a adição de tais pares 
por componentes, isto é, se (u1, wi) EU x W e (u2 , w2 ) EU x W então 
(u1, W1) + (u2, W2) = (u1 + U2, W1 + W2) 
Se e E K, definimos o produto c(u1, w1) por 
c(u1, wi) = (CU1, CW1)· 
Então verificamos imediatamente que U x W é um espaço vetorial, denominado o 
produto direto de U por W. Quando discutirmos as aplicações lineares, compararemos 
o produto direto com a soma direta. 
Se n é um inteiro positivo, escrito como uma soma de dois inteiros, n = r + s, 
então notamos que K" é o produto direto K' x K'. 
Observamos que dim(U x ») = dim U + dim W. A demonstração é fácil, e 
fica a cargo do leitor. 
EXERCÍCIOS 
1. Seja V= R2, e seja W o sub-espaço gerado por (2, 1). Seja U o sub-espaço 
gerado por (O, 1). Mostrar que Vé a soma direta de W com U. Se U' é o sub-espaço 
gerado por (1, 1), mostrar que V é também a soma direta de W com U'. 
2. Seja V= K3 para algum corpo K. Seja W o sub-espaço gerado por (1, O, O), 
e seja V o sub-espaço gerado por (1, 1, O) e (O, 1, 1). Mostrar que Vé a soma direta de 
W e V. 
3. Sejam A e B dois vetores no R2, e suponhamos que são ambos diferentes 
de O. Se não existir nenhum e tal que cA = B, mostrar que A e B formam uma base 
de R2, e que R2 é a soma direta dos sub-espaços gerados por A e B, respectivamente. 
CAPÍTULO III 
Matrizes 
§1. O espaço das matrizes 
Vamos considerar uma nova classe de objetos, as matrizes. Seja um corpo K. 
Sejam n e m dois inteiros G 1. Um arranjo de números de K · 
é denominado uma matriz em K. Podemos abreviar a notação desta matriz, escrevendo 
(a;), i = 1, . .. , m e j = 1, ... , n. Dizemos que é uma matriz m por n, ou uma m x n 
matriz. A matriz tem m linhas e n colunas. Por exemplo, a primeira coluna é 
(:�:) am1 
e a segunda linha é (a21, a22 , • • • , a2"). Chamamos ao elemento aii a componente, 
ou entrada, de posição (i, j) da matriz. Se indicarmos por A a matriz acima, então 
a i-ésima linha é indicada por A; , e é definida como sendo 
A j-ésima coluna é indicada por Aj, e é definida como sendo 
(ªli) 
A;= a�;. 
am, 
Exemplo 1. A matriz seguinte é uma 2 x 3 matriz: 
(_� 
1 
4 
-2)· 
-5 
Matrizes 35 
Possui duas linhas e três colunas. As linhas são (1, 1, -2) e (-1, 4, -5). As colunas são 
Desta forma, as linhas de uma matriz podem ser interpretadas como sendo n-uplas, 
e as colunas como sendo m-uplas verticais. Uma m-upla vertical é também denomi­
nada um vetor-coluna. 
Um vetor (x1, • . . , x.) é uma x n matriz. Um vetor-coluna 
é uma n x 1 matriz. 
Quando escrevemos uma matriz na forma (aii), então i indica a linha e j indica 
a coluna. No Exemplo 1, temos por exemplo a11 = 1, a23 = -5. 
Um elemento (a) de K pode ser visto como uma 1 x 1 matriz. 
Seja uma matriz (a;), i = 1, ... , m e j = 1, ... , n. Se m = n, então dizemos que 
se trata de uma matriz quadrada. Assim,