Prova com Gab - 2ºEE

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3
SEGUNDO EXERC´ICIO ESCOLAR. SEGUNDO SEMESTRE DE 2012
04 de marc¸o de 2013
Respostas sem ca´lculos ou justificativas na˜o sera˜o aceitas.
1a Questa˜o: A helicoide e´ uma superf´ıcie com infinidade de aplicac¸o˜es pra´ticas, veja a figura. Se a for
o raio e b o passo depois de uma volta; uma poss´ıvel parametric¸a˜o do exemplo da figura e´
~r(θ, ζ) =
(
ζ sin θ, b θ, ζ cos θ
)
, 0 ≤ θ ≤ 2π n, 0 ≤ ζ ≤ a.
(a) Encontre um campo de vetores normais e seu modulo. (0,5 pt.)
(b) Encontre uma integral ordina´ria que representa a a´rea do helicoide com n voltas. (1,0 pt.)
(c) Calcule a massa do helicoide com densidade ρ(~r) =
√
1 + x2 + z2, a = b = n = 1. (1,5 pt.)
Resposta
(a) ~rθ × ~rζ =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
ζ cos θ b −ζ sin θ
sin θ 0 cos θ
∣∣∣∣∣∣∣
=
(
b cos θ,−ζ sin2 θ − ζ cos2 θ,−b sin θ
)
~rθ × ~rζ =
(
b cos θ,−ζ,−b sin θ) ⇒ |~rθ × ~rζ | = √b2 + ζ2.
(b) A=
∫∫
ψ
1 dS=
∫∫
Dθζ
|~rθ × ~rζ | dθ dζ=
∫ a
0
[∫ 2pin
0
√
b2 + ζ2 dθ
]
dζ = 2πn
∫ a
0
√
b2 + ζ2 dζ.
(c) M=
∫∫
ψ
ρ(~r) dS=
∫ 1
0
[∫ 2pi
0
√
1 + ζ2 cos2 θ + ζ2 sin2 θ
√
12 + ζ2 dθ
]
dζ
M =
∫ 1
0
[∫ 2pi
0
(1 + ζ2) dθ
]
dζ = 2π
∫ 1
0
(1 + ζ2) dζ = 2π
[
ζ +
1
3
ζ3
]1
0
=
8
3
π.
2a Questa˜o: A lei de conduc¸a˜o do calor afirma que, em qualquer meio o fluido de energia ~J e´ inversamente
proporcional ao gradiente de temperatura, isto e´ ~J = −k~∇T ; aqui k e´ constante.
Seja T (~r) = e−(x
2+y2−z) a temperatura sobre o parabolo´ide circular z = x2 + y2, z ≤ 1.
(a) Encontre o campo vetorial ~J , considere k = 1. (0,5 pt.)
(b) Determine o fluxo do fluido atrave´s da superf´ıcie. (1,5 pt.)
Resposta
(a) ~J(~r) = −
(
−2x ez−x2−y2 ,−2y ez−x2−y2 , ez−x2−y2
)
= (2x, 2y,−1) ez−x2−y2 .
(b) Parametrizando: ~r(x, y) =
(
x, y, x2 + y2
)
, veja que ~J
(
~r(x, y)
)
= (2x, 2y,−1) e−(0)
∫∫
ψ
~J · d~S =
∫∫
Dxy
∣∣∣∣∣∣
2x 2y −1
1 0 2x
0 1 2y
∣∣∣∣∣∣ dx dy =
∫∫
Dxy
[−1− 4x2 − 4y2] dx dy
=−
∫ 2pi
0
[∫ 1
0
(1 + 4ζ2) ζ dζ
]
dθ = −
∫ 2pi
0
[
ζ2
2
+ 4
ζ4
4
]1
0
dθ = −3π.
Aqui Dxy sa˜o os pontos do disco x
2 + y2 ≤ 1; e em coordenadas polares
Dθζ = {(x, y) ∈ R2; x = ζ cos θ, y = ζ sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ζ ≤ 1}.
3a Questa˜o: Seja a superf´ıcie ψesf dada por z =
√
1− x2 − y2 e o campo ~F (~r) = (−y, x, z x + y);
encontre o fluxo do rotacional de ~F usando,
(a) O Teorema de Stokes. Fundamente porque podemos aplicar este teorema. (2,0 pt.)
(b) O Teorema de Gauss. Fundamente porque podemos aplicar este teorema. (2,0 pt.)
Resposta
(a) A superf´ıcie tem como borda a circunfereˆncia ~r = (cos θ, sin θ, 0), onde θ = [0, 2π]. Logo
∫∫
ψesf
~∇× ~F · d~S =
∮
C
~F · d~r =
∫ 2pi
0
− sin θ (− sin θ) dθ + cos θ cos θ dθ =
∫ 2pi
0
dθ = 2π.
O teorema de Stokes e´ va´lido quando o campo ~F tem primeiras derivadas parciais cont´ınuas sobre
uma superf´ıcie orienta´vel ψ, cuja fronteira e´ uma curva suave por partes orientada positivamente
em relac¸a˜o ao vetor normal de ψ.
(b) Para aplicar o teorema de Gauss precisamos de uma superf´ıcie parametriza´vel por partes e o
volume que ela engloba. Vamos considerar a superfic´ıe fechada ψ = ψesf + ψdis, assim
ψesf : z =
√
1− x2 − y2; ψdis : z = 0; Ω =
{
~r ∈ R3; 0 ≤ z ≤
√
1− x2 − y2
}
;
sempre que: x2 + y2 ≤ 1.
Veja que: ~∇× ~F = (Ry −Qz, Pz −Rx, Qx − Py) = (1,−z, 2) ⇒ ~∇ · ~∇× ~F = 0,∫∫
ψ
~∇× ~F · d~S =
∫∫∫
Ω
~∇ · ~∇× ~F dx dy dz = 0.
Parametrizamos ψdis: ~r(x, y) = (x, y, 0) ⇒ ~rx × ~ry = (0, 0, 1)∫∫
ψesf
~∇× ~F · d~S = −
∫∫
ψdis
~∇× ~F · d~S = −
∫∫
x2+y2≤1
(1,−z, 2) · (0, 0,−1) dx dy
= 2
∫∫
x2+y2≤1
dx dy = 2π.
Tomamos o vetor normal (0, 0,−1) pois e´ o vetor normal que na parte do discoDxy sa´ı do volume.
O teorema de Gauss e´ va´lido quando o campo ~F tem primeiras derivadas parciais cont´ınuas
sobre uma regia˜o compacta de R3, cuja fronteira e´ uma superf´ıcie orienta´vel por partes com vetor
normal exterior.
4a Questa˜o: Parametrize a porc¸a˜o do hiperbolo´ide de duas folhas x2+ y2− z2 = −1 que esta´ dentro do
cilindro x2 + y2 = 3 e y ≤ 0. Para isto tome coordenadas cil´ındricas. (1,0 pt.)
Resposta: Trocando (x, y, z) → (ζ cos θ, ζ sin θ, z) vamos ter
x2 + y2 = z2 − 1 ⇒ ζ2 = z2 − 1 ⇒ ζ =
√
z2 − 1,
x2 + y2 ≤ 3 ⇒ ζ2 ≤ 3 ⇒ 0 ≤ ζ ≤
√
3,
y ≤ 0 ⇒ ζ sin θ ≤ 0 ⇒ π ≤ θ ≤ 2π.
Para cada folha temos um intervalo da varia´vel z, ela esta´ em [−2,−1] folha inferior e [1, 2]
folha superior. Depedendo dos paraˆmetros escolhidos temos duas possibilidades de parametrizac¸a˜o
~r(θ, ζ) =
(
ζ cos θ, ζ sin θ, ±
√
1 + ζ2
)
, ζ ∈
[
0,
√
3
]
ou
~r(θ, z) =
(√
z2 − 1 cos θ,
√
z2 − 1 sin θ, z
)
, z ∈ [−2,−1], z ∈ [1, 2].