COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES

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UNIVERSIDADE POTIGUAR-UNP-CAMPUS MOSSORÓ-RN
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR
PROFESSOR: Esp. HÁLLYSSON DUARTE
COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES
Definição: Sejam V um espaço vetorial real (ou complexo), v1, v2, . . ., vn V a1, . . . , an números reais (ou complexo). Então, o vetor
v = a1,v1 + a2v2 + . . . + anvn
é elemento de V ao que chamamos combinação linear de v1, . . ., vn.
Uma vez fixados vetores v1, v2, . . ., vn em V, o conjunto W de todos os vetores de V que são combinação linear destes, é um subespaço vetorial. W é chamado subespaço gerado por v1, v2, . . ., vn e usamos a notação
W = [v1,. . ., vn] = {v V; v = a1,v1 + a2v2 + . . . + anvn, ai R, 1 i n} 
Uma outra caracterização de um subespaço gerado é que W = [v1,. . ., vn] é o menor subespaço de V que contém o conjunto de vetores {v1,. . ., vn}.
Exemplo1: Se v1, v2 R3 são tais que v1 ≠ v2 para todo R, então [v1,v2] será o plano que passa pela origem e contém v1 e v2 .
[v
1
, v
2
]
v
1
 
v
21
Observe que v3 [v1, v2], então = [v1, v2, v3] = [v1, v2], pois todo vetor que pode ser escrito como combinação linear dos vetores v1, v2, v3 é uma combinação linear apenas de v1 e v2 (pois v3 é combinação linear de v1 e v2).
v
1
v
3
v
2
Exemplo2: V = R2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1). Logo V = [v1, v2] pois, dado v = (x,y) V
Exemplo3: No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau 2, o polinômio v = 7x2 + 11x – 26 é uma combinação linear dos polinômios: v1 = 5x2 – 3x + 2 e v2 = -2x2 + 5x – 8.
Exemplo4: Consideremos, no R3, os seguintes vetores: v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1). Escrever o vetor v = (-4, -18, 7) como combinação linear dos vetores v1 e v2.
 
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA
PROPRIEDADE DA DEPENDÊNCIA E INDAPENDÊNCIA LINEAR