aula-03-determinantes

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DETERMINANTES 
PROFESSOR: ESP. HÁLLYSSON DUARTE 
DETERMINANTE 
Quando nos referirmos ao determinante , isto é, ao número 
associado a uma matriz quadrada A = [aij]. 
Det A ou |A| ou det [aij] 
 
Então 
det [ a ] = a 
 
det 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
 = 𝑎11𝑎22 - 𝑎12𝑎21 
 
Det 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 
 
 
Propriedades: 
 
i) Se todos os elementos de uma linha (coluna) de uma matriz A são nulos, det A = 
0. 
ii) det A = det A`. Daí inferimos que as propriedades que são válidas para linhas 
também o são para colunas. 
iii) Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica 
multiplicado por esta constante. 
iv) Uma vez trocada de posição de duas linhas, o determinante troca de sinal. 
v) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (colunas) iguais é zero. 
vi) O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada 
por uma constante. 
vii) O det (A + B) ≠ det A + det B 
viii) O det (A * B) = det A * det B 
Exemplo: Calcule o determinante pelo Teorema de Laplace |A| = 
 1 −2 3
 2 1 −1
−2 −1 2
 
Logo temos que Δ𝑖𝑗 = (-1)i+j Δ𝑖𝑗 
(−2)Δ12+1Δ22 + (−1)Δ32 
Logo o det = 5 
 
Exemplo: B = 
 1 −2 3
 2 1 −1
−2 −1 2
 . (1) + L3 
 
Exemplo: C = 
−1 2 3 −4
 4 2 0 0
−1
 2
2
5
−3 0
 3 1
 Multiplicar a coluna 2 por -4 e adicionar 
com a coluna 1 
DESENVOLVIMENTO DE LAPLACE 
Dada uma matriz A, lembramos que o cofator ∆𝑖𝑗 do elemento 𝑎𝑖𝑗 da 
matriz é −1 𝑖+𝑗 det 𝐴𝑖𝑗 , onde 𝐴𝑖𝑗 é a submatriz de A, obtida 
extraindo-se a i-ésima linha e a i-ésima coluna. Com esses cofatores 
podemos formar uma nova matriz A, denominada de Matriz dos 
cofatores de A. 
𝐴 = [∆𝑖𝑗] 
Exemplo: A = 
2 1 0
−3 1 4
1 6 5
 
∆11= (−1)
1+1 1 4
6 5
= −19 
∆12= (−1)
1+2 −3 4
1 5
= 19, . . . 𝑒𝑡𝑐. 
Então, 𝐴 = 
−19 19 −19
−5 10 −11
4 −8 5
 
MATRIZ ADJUNTA 
Dada uma matriz quadrada A, chamaremos de Matriz adjunta de 
A à transposta da matriz dos cofatores de A. 
adj A = 𝐴′ 
Adj A = 
−19 −5 4
19 10 −8
−19 −11 5
 
 
Teorema: A . 𝐴′ = A . (adj A) = (det A)𝐼𝑛 
 
A . 𝐴′ = 
−19 0 0
0 −19 0
0 0 −19
 = -19 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
Definição: 
Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa 
de A a uma matriz B talque A * B = B * A = In , onde In é a matriz 
identidade de ordem n. Escrevemos A-1 para a inversa de A. 
Exemplo 1: Seja A = 
2 3
1 4
. Então A-1 = 
4
5
−3
5
−1
5
2
5
 pois A . A-1 = In 
ou A-1 . A= In (verifique) 
 
Exemplo 2: Seja A = 
6 2
11 4
 determine a sua inversa. 
MATRIZ INVERSA 
Observações: 
i) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, ambas 
inversível (Isto é, existem A-1 e B-1 ), então A . B é inversível e 
(AB)-1 = B-1 . A-1. 
 
ii) Se A é uma matriz quadra e existe uma matriz B tal que BA 
= I, Então A é a inversível, ou seja A-1 existe e, além disso B 
= A-1 . 
 
iii) Nem toda a matriz tem inversa 
Exemplo: A = 
0 2
0 1
 
 
 
 
Suponhamos agora que Anxn tenha inversa, isto é, existe A
-1 tal 
que A . A-1 = In . Usando o determinante temos 
det(A . A-1) = det A . det A-1 e det In 
Então: 
det A . det A-1 = 1 
 
Suponhamos agora que Anxn tenha inversa, isto é, existe A
-1 tal 
que A . A-1 = In . Usando o determinante temos 
det(A . A-1) = det A . det A-1 e det In 
Então: 
det A . det A-1 = 1 
 
Teorema 1: Toda matriz A  Mn satisfaz A * adjA = (detA) In 
Teorema 2: Toda matriz A  Mn inversível satisfaz A
-1 = 
1
𝑑𝑒𝑡𝐴
. 𝑎𝑑𝑗𝐴 
 
 
 
A regra de Cramer é um teorema em, que dá a solução de um 
sistema de equações lineares em termos de determinantes. 
Recebe este nome em homenagem a Gabriel Cramer (1704 - 
1752). 
 
 
REGRA DE CRAMER 
GABRIEL CRAMER 
Grabriel Cramer - Filho do médico Jean 
Isaac Cramer, tinha dois irmãos. Em 1722 
obteve na Universidade de Genebra o título 
de doutor por seu trabalho na área da 
acústica. Em 1724 tornou-se professor de 
matemática e de filosofia da Universidade 
de Genebra. Propôs apresentar as aulas 
não apenas em latim, como era normal na 
época, mas também em francês. 
DEFINIÇÃO 
No denominador o determinante da matriz dos coeficientes (det A ≠ 0), 
e no numerador aparece o determinante da matriz obtida de A 
substituindo a i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes. 
Lembre-se que esse método somente se aplica a um sistema 
linear de n equações e n incógnitas e quando o determinante 
da matriz dos coeficientes for não nulo. 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟏𝟓
𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎
𝟑𝒙 − 𝒛 = 𝟏
 
EXEMPLO: 
Solução: x = 2, y = -1 e z = 5 
PERGUNTAS?