Teoria Matrizes e Determinantes

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DETERMINANTE 
Aulas 01 a 05 
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz 
 
 
 
Sumário 
DETERMINANTE ........................................................... 1 
Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1 
Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 1 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 1 
Exemplo 3 ............................................................................................................................................................ 1 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2 
TEOREMA DE LAPLACE ................................................. 2 
I) COFATOR .......................................................................................................................................................... 2 
Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 2 
II) O TEOREMA DE LAPLACE ................................................................................................................................ 2 
Exemplo 3 ............................................................................................................................................................ 2 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3 
Propriedades ................................................................ 3 
Considere 𝑨 uma matriz quadrada de ordem 𝒏 em todos os casos a seguir. ................................................... 3 
FILA NULA ............................................................................................................................................................ 3 
Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 3 
FILAS PARALELAS ................................................................................................................................................. 3 
Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 3 
Exemplo 3 ............................................................................................................................................................ 3 
COMBINAÇÃO LINEAR ......................................................................................................................................... 3 
Exemplo 4 ............................................................................................................................................................ 3 
Exemplo 5 ............................................................................................................................................................ 3 
TROCA DE FILAS PARALELAS ............................................................................................................................... 3 
Exemplo 6 ............................................................................................................................................................ 3 
MATRIZ TRANSPOSTA ......................................................................................................................................... 3 
Exemplo 6 ............................................................................................................................................................ 3 
MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM NÚMERO REAL ................................................................................... 4 
Exemplo 7 ............................................................................................................................................................ 4 
TEOREMA DE JACOBI .......................................................................................................................................... 4 
MATRIZ TRIANGULAR .......................................................................................................................................... 4 
Seja 𝑨 uma matriz triangular, então 𝐝𝐞𝐭𝑨 é o produto dos elementos da diagonal principal. ......................... 4 
Exemplo 8 ............................................................................................................................................................ 4 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4 
TEOREMA DE BINET ............................................................................................................................................ 4 
 
Elson Rodrigues e Gabriel Carvalho Página 1 
 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4 
Regra de Chió ............................................................... 5 
REGRA DE CHIÓ ................................................................................................................................................... 5 
Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 5 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5 
MATRIZ DE VANDERMONDE ............................................................................................................................... 5 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5 
Matriz Inversa .............................................................. 5 
Matriz dos cofatores ........................................................................................................................................... 5 
Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 6 
Matriz adjunta ..................................................................................................................................................... 6 
Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 6 
Matriz Inversa ..................................................................................................................................................... 6 
Exemplo 3 ............................................................................................................................................................ 6 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 6 
QUESTÕES EXTRAS ....................................................... 7 
CAIU NO VEST .............................................................. 8 
GABARITO .................................................................... 8 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ....................................................................................................................................8 
QUESTÕES EXTRAS .................................................................................................................................................... 8 
CAIU NO VEST............................................................................................................................................................ 9 
 
 
 
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AULA 01 
DETERMINANTE 
A toda matriz quadrada pode ser associado um 
número real, chamado de determinante. 
 
Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛. O 
determinante de 𝐴, representado por 𝐝𝐞𝐭 𝑨 ou |𝑨|, é 
calculado por diferentes técnicas que variam de 
acordo com a ordem da matriz. 
 
• ORDEM 𝟏 
O determinante de uma matriz de ordem 1 é igual ao 
único elemento que compõe essa matriz. 
Exemplo 1 
• 𝐴 = [−2], então det 𝐴 = −2. 
• 𝐴 = [𝜋], então det 𝐴 = 𝜋. 
• 𝐴 = [0], então det 𝐴 = 0. 
 
• ORDEM 𝟐 
O determinante de uma matriz de ordem 2 é igual ao 
produto dos elementos da diagonal principal menos o 
produto dos elementos da diagonal secundária. 
Se 𝐴 = (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
), então 
det 𝐴 = |
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
| = 𝑎11𝑎22 − 𝑎12𝑎21 
 
Exemplo 2 
 
Se 𝐴 = (
1 3
2 7
), então det 𝐴 = |
1 3
2 7
| = 7 − 6 = 1 
 
 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
1.1. Calcule os determinantes a seguir. 
a) | − 7| 
b) |
2 9
3 7
| 
c) |
1 −1
3 −2
| 
d) |
5 4
−2 −1
| 
e) |
𝑠𝑒𝑛 𝑎 − cos 𝑎
cos 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑎
| 
 
1.2. Resolva, em ℝ, a equação |
2𝑥 3𝑥 − 2
1 𝑥
| = 1. 
• ORDEM 𝟑 
O determinante da matriz de ordem 3 é calculado 
utilizando a Regra de Sarrus. 
 
Observe o passo-a-passo no exemplo a seguir. 
 
Exemplo 3 
Calcule o determinante da matriz 𝐴 = [
1 0 2
0 3 1
−1 2 3
]. 
1) Copie ao lado da matriz 𝑨 as suas duas primeiras 
colunas. 
 
|
1 0 2
0 3 1
−1 2 3
|
1 0
0 3
−1 2
 
 
2) Multiplique os elementos da diagonal principal. 
Faça o mesmo, separadamente, para cada 
“diagonal paralela”. 
 
|
1 0 2
0 3 1
−1 2 3
|
1 0
0 3
−1 2
 
 
3) Multiplique os elementos da diagonal 
secundária, trocando o sinal do produto obtido. 
Faça o mesmo, separadamente com as suas 
“diagonais paralelas”. 
 
|
1 0 2
0 3 1
−1 2 3
|
1 0
0 3
−1 2
 
 
4) Some os valores obtidos. 
det 𝐴 = 9 + 0 + 0 + 6 − 2 + 0 = 13 
 
6 − 2 0 
9 0 0 
3 ⋅ 2 1 ⋅ 7 
𝑎11𝑎22 𝑎12𝑎21 
 
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EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
1.3. Calcule 
A) |
3 2 1
1 2 5
1 −1 0
| 
B) |
1 −1 2
5 7 −4
4 0 1
| 
 
 
 
 
AULA 02 
TEOREMA DE LAPLACE 
I) COFATOR 
Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛 ≥ 2 e seja 
𝑎𝑖𝑗 um elemento de 𝐴. A cada elemento da matriz 𝑎𝑖𝑗 
está associado um número real chamado de cofator. 
O cofator de 𝑎𝑖𝑗, denotado por Δ𝑖𝑗, é tal que 
 
𝚫𝒊𝒋 = (−𝟏)
𝒊+𝒋 ⋅ 𝑫𝒊𝒋, 
 
em que 𝐷𝑖𝑗 é o determinante da matriz que se obtém 
de 𝐴, eliminando a 𝑖-ésima linha e 𝑗-ésima coluna. 
Exemplo 1 
Na matriz 𝑨 = [
𝟎 𝟏 −𝟏
𝟐 𝟑 𝟏
−𝟐 𝟎 𝟒
], qual o cofator do 
elemento 𝒂𝟏𝟑? 
Para determinar o cofator de 𝒂𝟏𝟑 precisamos calcular 
𝑫𝟏𝟑 que é obtido eliminando a primeira linha e 
terceira coluna. 
[
𝟎 𝟏 −𝟏
𝟐 𝟑 𝟏
−𝟐 𝟎 𝟒
] ⇒ 𝐃𝟏𝟑 = |
𝟐 𝟑
−𝟐 𝟎
| = 𝟎 + 𝟔 = 𝟔 
E assim, 
Δ13 = (−1)
1+3 ⋅ 𝐷13 = (−1)
4 ⋅ 6 = 6. 
II) O TEOREMA DE LAPLACE 
O determinante de uma matriz quadrada de ordem 
𝑛 ≥ 2 é igual a soma dos produtos dos elementos de 
uma fila com os seus respectivos cofatores. 
Exemplo 3 
Calcule o determinante da matriz 𝐴 = [
1 2 1 1
2 1 4 3
3 0 0 2
4 3 2 5
]. 
1º) Utilizando o teorema de Laplace na linha 3 
det 𝐴 = 𝑎31 ⋅ Δ31 + 𝑎32 ⋅ Δ32 + 𝑎33 ⋅ Δ33 + 𝑎34 ⋅ Δ34 
det 𝐴 = 3 ⋅ Δ31 + 0 ⋅ Δ32 + 0 ⋅ Δ33 + 2 ⋅ Δ34 
det 𝐴 = 3 ⋅ Δ31 + 2 ⋅ Δ34 
Perceba que ao escolher a linha 3 só será necessário 
calcular dois cofatores, pois ela possui dois termos 
nulos. 
2º) Calculando o cofator 𝚫𝟑𝟏 
Δ31 = (−1)
3+1 ⋅ |
2 1 1
1 4 3
3 2 5
| = 1 ⋅ 22 = 22 
3º) Calculando o cofator 𝚫𝟑𝟒 
Δ34 = (−1)
3+4 ⋅ |
1 2 1
2 1 4
4 3 2
| = (−1) ⋅ 16 = −16 
4º) Voltando ao determinante 
det 𝐴 = 3 ⋅ Δ31 + 2 ⋅ Δ34 
det 𝐴 = 3 ⋅ 22 + 2 ⋅ (−16) 
det 𝐴 = 34 
Obs.2: O termo fila se refere a uma linha ou coluna da 
matriz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAREFA 1 – Unid. 10, Cap. 39, PSA 1 (a até f), 2 e 4. 
 
Teorema de Laplace 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que no teorema de Laplace cada cofator é 
multiplicado pelo seu respectivo elemento, com isso 
caso o elemento seja nulo não é necessário calcular 
seu cofator. 
Logo, escolha sempre a fila com a maior quantidade 
de elementos nulos para simplificar o cálculo. 
 
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EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
2.1. Calcule 
a) |
3 1
5 0
−2 1
 1 2
4 0
2 1
1 −1
0 3
| 
b) 
1 4 1 1
2 0 4 3
5 0 2 1
3 0 7 1− −
 
 
 
 
 
AULA 03 
Propriedades 
Considere 𝑨 uma matriz quadrada de ordem 𝒏 em 
todos os casos a seguir. 
FILA NULA 
Se 𝐴 possui uma fila na qual todos os elementos são 
nulos, então det 𝐴 = 0. 
Exemplo 1 
 
O determinante |
2 3 1
0 0 0
−1 2 7
| é nulo, pois a segunda 
linha é nula. 
FILAS PARALELAS 
Se 𝐴 possui filas paralelas iguais ou proporcionais, 
então det 𝐴 = 0. 
Exemplo 2 
 
O determinante |
2 1 4
5 −1 2
2 1 4
| é nulo, pois a linha 1 é 
igual a linha 3. 
Exemplo 3 
 
O determinante |
1 1 2
2 5 4
3 6 6
| é nulo, pois a coluna 3 é o 
dobro da coluna 1 
COMBINAÇÃO LINEAR 
Se os elementos de uma fila de uma matriz são 
combinações lineares dos elementos correspondentes 
de filas paralelas, então seu determinante é nulo 
Exemplo 4 
 
O determinante |
1 2 3
4 5 9
−1 2 1
| é nulo, pois a coluna 3 é 
a soma da coluna 1 e 2. 
Exemplo 5 
 
O determinante |
1 2 8
4 5 23
−1 2 4
| é nulo, pois a coluna 3 
é a igual a coluna 1 vezes 2 mais a coluna 2 vezes 3. 
TROCA DE FILAS PARALELAS 
Se trocarmos a posição de duas filas paralelas de 𝐴, 
obtendo uma matriz 𝐴′, então 
det 𝐴′ = − det 𝐴. 
Exemplo 6 
 
Se o determinante |
3 2 1
1 2 5
1 −1 0
| é igual a 22, então o 
determinante |
1 2 5
3 2 1
1 −1 0
| é igual a −22, pois a linha 
1 foi trocada com a linha 2. 
 
MATRIZ TRANSPOSTA 
Seja 𝐴𝑡 a transposta da matriz 𝐴, então 
det 𝐴 = det 𝐴𝑡 
Exemplo 6 
 
Se o determinante |
3 2 1
1 2 5
1 −1 0
| é igual a 22, então o 
determinante da matriz |
3 1 1
2 2 −1
1 5 0
| será igual a 22, 
pois ela é a sua transposta. 
TAREFA 2 – Unid. 10, Cap. 39, PSA 1(g, h, i). 
 
 
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MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM 
NÚMERO REAL 
Quando todos os elementos de uma fila de 𝐴 são 
multiplicados por um número 𝑘 obtendo uma matriz 
𝐴′, então det 𝐴′ = 𝑘 ∙ det 𝐴. 
Exemplo 7 
 
Se o determinante |
3 2 1
1 2 5
1 −1 0
| é igual a 22, então o 
determinante |
6 2 1
2 2 5
2 −1 0
| é igual a 44, pois a coluna 
1 foi multiplicada por 2. 
TEOREMA DE JACOBI 
Seja A' a matriz obtida pela substituição de uma fila de 
uma matriz A pela soma dessa fila com um múltiplo 
de outra fila paralela a ela não altera o determinante, 
ou seja, det 𝐴 = det 𝐴′ 
MATRIZ TRIANGULAR 
Seja 𝑨 uma matriz triangular, então 𝐝𝐞𝐭 𝑨 é o produto 
dos elementos da diagonal principal. 
Exemplo 8 
|
3 5
0 1
1 0
 2 3
0 0
0 0
2 1
0 4
| = 3 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 4 = 24. 
 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
3.1. Calcule. 
a) |
7 8 9
0 0 0
−1 2 −3
| 
b) |
1 1
2 2
0 4
0 6
3 1
4 2
0 7
0 8
| 
c) |
2 3 1
4 5 −2
2 3 1
| 
3.2. Sabendo que |
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
| = 7, calcule os 
determinantes. 
a) |
𝑧 𝑤
𝑥 𝑦 | 
b) |
5𝑥 5𝑦
𝑧 𝑤
| 
c) |
5𝑥 5𝑦
5𝑧 5𝑤
| 
3.3. Se 𝐴 é uma matriz quadrada de ordem 2 e 
det 𝐴 = 7, qual o valor de det 3𝐴? 
3.4. Em cada determinante a seguir, justifique por 
meio de uma propriedade o porquê do determinante 
ser igual a zero. 
a) |
|
2 3 4 0 −1
1 2 0 0 2
0 3 0 0 5
1 1 2 0 3
1 4 −1 0 2
|
| = 0 
b) |
3 1 2 −1
0 4 2 5
3 1 2 −1
5 6 9 10
| = 0 
c) |
2 3 −1 9
1 2 3 6
45 2 15
0 −4 1 −12
| = 0 
d) ||
1
2
1
2
1 3
2 3 5 0
17 10 27 8
−4 0 −4 5
|| = 0 
e) |
𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
𝑥 𝑦 𝑧 𝑤
1 1 1 1
2𝑎 + 3𝑥 2𝑏 + 3𝑦 2𝑐 + 3𝑧 2𝑑 + 3𝑤
| 
TEOREMA DE BINET 
Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes quadradas de mesma ordem, 
então 
 
 
det(𝐴 ⋅ 𝐵) = det 𝐴 ⋅ det 𝐵 
 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
3.5. Prove que uma matriz invertível possui 
determinante diferente de zero. 
3.6. (AFA – 2012) Considere as matrizes 𝐴 e 𝐵, 
inversíveis e de ordem 𝑛, bem como a matriz 
identidade 𝐼. Sabendo que det(𝐴) = 5 e det(𝐼 ⋅ 𝐵−1 ⋅
𝐴) =
1
3
, então o det[3 ⋅ (𝐵−1 ⋅ 𝐴−1)] é igual a 
(A) 5 ⋅ 3𝑛. (B) 
3𝑛−1
52
. (C) 
3𝑛
15
. (D) 3𝑛−1. 
 
 
 
TAREFA 3 – Unid. 10, Cap. 39, PSA 3, 5, 6, 7 e 8 
 
 
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AULA 04 
Regra de Chió 
REGRA DE CHIÓ 
A regra de Chió nos permite calcular o determinante 
de uma matriz de ordem 𝑛, utilizando uma matriz de 
ordem menor. 
Obs.3: Para utilizar a regra de Chió o elemento 𝒂𝟏𝟏 
deve ser igual a 𝟏. 
(
1 ⋯ 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
) 
 
PASSO A PASSO 
1. Destaque os elementos da primeira linha e 
da primeira coluna das demais. 
Fazendo o que será orientado à partir do 
passo 2, você irá obter uma matriz de ordem 
𝑛 – 1, da qual irá obter o determinante (igual 
ao da matriz original). 
2. Cada elemento restante, pode ser associado 
a dois elementos – um da primeira linha 
(mesmo i) e outro da primeira coluna 
(mesmo j). Subtraia o produto desses 
elementos associados de cada um dos 
elementos restantes. 
Ao final desse passo você terá uma nova 
matriz, cujo determinante é igual ao da matriz 
original, porém de ordem 𝑛 – 1. 
Obs.4: O novo determinante poderá ser calculado por 
qualquer regra ou método já aprendido. 
Exemplo 2 
|
𝟏 2
3 7
4 2
 5 6
1 10
3 8
−4 5
2 3
| = |
7 − 2 ⋅ 3 5 − 4 ⋅ 3 6 − 3 ⋅ 2
10 − 2 ⋅ 1 −4 − 4 ⋅ 1 5 − 1 ⋅ 2
8 − 2 ⋅ 3 2 − 4 ⋅ 3 3 − 3 ⋅ 2
| 
= |
1 −7 0
8 −8 3
2 −10 −3
| 
 = |
−8 − (−7) ⋅ 8 3 − 8 ⋅ 0
−10 − (−7) ⋅ 2 −3 − 2 ⋅ 0
| 
 = |
48 3
4 −3
| = −144 − 12 = −156 
 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
4.1. Calcule 
a) |
1 2
2 −3
0 4
 5 1
1 6
3 2
3 −1
1 4
| 
b) |
4 1
3 1
2 0
0 2
5 3
1 0
2 2
2 1
| 
MATRIZ DE VANDERMONDE 
A matriz de Vandermonde, ou matriz das potências, é 
uma matriz quadrada de ordem 𝑛 ≥ 2 do tipo 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
1 2 3
1 1 1 1
n
n
n n n n
n n x n
a a a a
a a a aA
a a a a
 
 
 
 =
 
 
 
  
 
Obs.5: Os elementos da segunda linha da matriz de 
Vandermonde são chamados de elementos 
característicos. 
 
O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao 
produto de todas as diferenças entre os seus 
elementos característicos (𝑎2𝑝 − 𝑎2𝑞), com 𝑝 > 𝑞. 
 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
4.2. Calcule 
 
a)|
1 1
2 3
1 1
5 7
4 9
8 27
25 49
125 343
| 
b) |
1 1
1 −2
1 1
5 3
1 4
1 −8
25 9
125 27
| 
 
AULA 05 
Matriz Inversa 
Matriz dos cofatores 
Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛. A matriz dos 
cofatores de 𝐴, 𝐴′, é a matriz em que cada elemento 
Δ𝑖𝑗 é o cofator de cada elemento 𝑎𝑖𝑗 de 𝐴. 
 
 
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Em outras palavras, a matriz 𝐴′ é a matriz que se 
obtém a partir de 𝐴, substituindo cada elemento de 𝐴 
pelo seu cofator. 
Exemplo 1 
Sendo 𝐴 = [
2 3
−1 1
] temos que os cofatores dos 
elementos da matriz 𝐴 são iguais a 
Δ11 = (−1)
1+1 ⋅ 1 = 1 
Δ12 = (−1)
1+2 ⋅ (−1) = 1 
Δ21 = (−1)
2+1 ⋅ 3 = −3 
Δ22 = (−1)
2+2 ⋅ 2 = 2 
Assim, a matriz dos cofatores será igual a 
𝐴′ = [
1 1
−3 2
] 
Matriz adjunta 
Seja 𝐴 uma matriz quadrada de ordem 𝑛. A matriz 
adjunta de 𝐴, denotada por �̅� é igual a transposta da 
matriz dos cofatores, ou seja 
�̅� = (𝐴′)𝑡 
Exemplo 2 
Sendo 𝐴 = [
2 3
−1 1
] temos que a matriz dos cofatores 
é igual a 
𝐴′ = [
1 1
−3 2
] 
 
Assim, a matriz adjunta de 𝐴 é igual a 
�̅� = [
1 −3
1 2
] 
 
Com a matriz adjunta temos uma segunda forma de 
se obter a matriz inversa de 𝐴. 
Matriz Inversa 
Seja 𝐴 uma matriz invertível quadrada de ordem 𝑛. A 
matriz inversa de 𝐴 é igual a 
𝐴−1 =
1
det 𝐴
⋅ �̅� 
em que �̅� é a matriz adjunta de 𝐴. 
 
Para obter a matriz inversa de 𝐴 basta seguir o 
seguinte passo-a-passo 
1º) Calcule o determinante de 𝐴. Lembre-se que se ele 
for diferente de zero a matriz é inversível. 
2º) Obtenha a matriz dos cofatores de 𝐴. 
3º) Obtenha a matriz adjunta de 𝐴. 
4º) Divida os elementos da matriz ajunta pelo 
determinante de 𝐴. 
Exemplo 3 
Sendo 𝐴 = [
2 3
−1 1
] temos que 
I. det(𝐴) = 5 
II. 𝐴′ = [
1 1
−3 2
] 
III. �̅� = [
1 −3
1 2
] 
IV. 𝐴−1 =
1
det 𝐴
⋅ �̅� =
1
5
⋅ [
1 −3
1 2
] = [
1
5
−
3
5
1
5
2
5
] 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
5.1. Considere a matriz 𝐴 = [
2
3
−
1
3
1
2
0
]. 
a) Calcule det 𝐴. 
b) Obtenha a matriz, 𝐴′, dos cofatores de 𝐴. 
c) Obtenha a matriz �̅�, adjunta de 𝐴. 
d) Obtenha a matriz 𝐴−1, inversa de 𝐴 
5.2. Considere as matrizes 𝐴 = [
3 0 0
1 2 0
−1 1 𝑥
]. 
a) Para que valores de 𝑥 a matriz 𝐴 é invertível? 
b) Determine o elemento 𝑎21 da matriz inversa 
de 𝐴. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz Inversa de ordem 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso da matriz quadrada de ordem 2 a matriz 
inversa seguirá um padrão especial. Observe a 
seguinte matriz de ordem 2 
𝐴 = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] 
A matriz dos cofatores e a matriz adjunta de 𝐴 são 
dadas por 
𝐴′ = [
𝑑 −𝑐
−𝑏 𝑎
] ⇔ �̅� = [
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
] 
Assim, a inversa de 𝐴 é igual a 
𝐴−
′
=
1
det 𝑎
⋅ [
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
] 
Ou seja, para determinar a inversa da matriz de 
ordem 2 basta 
I. Permutar os elementos da diagonal principal 
II. Mudar o sinal dos elementos da diagonal 
secundária 
III. Dividir todos os elementos pelo 
determinante 
 
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EXTRA 
QUESTÕES EXTRAS 
1. O valor de 
𝐴 = | 
−3 1
−2 1
 | + | 
2 3 −1
4 5 √2
−4 −6 2
 | − 
(A) √2 − 1 . 
(B) −5. 
(C) 5. 
(D) −3. 
(E) 3 . 
 
2. O valor do determinante 
 
 
 
 
 
é igual a 
(A) −720. 
(B) 720. 
(C) −2160. 
(D) 2160. 
(E) −240 . 
 
3. Considere a matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)4𝑥4 em que 
det 𝐵 = 5. É correto afirmar que 
 
(A) det 2𝐵 = 2 ∙ det 𝐵 . 
(B) det (−𝐵 ) = det 𝐵 . 
(C) det 3𝐵 < 400 . 
(D) det 𝐵2 = 10 . 
(E) det 𝐵𝑡 = − det 𝐵 , em que 𝐵𝑡 é a matriz 
transposta de 𝐵. 
 
4. Considere a matriz 𝐴 = [
2 3 −1
0 2 0
1 2 1
] e julgue os 
itens a seguir. 
1. det(2𝐴) = 8 ⋅ det (𝐴). 
2. Seja 𝐵 = [
4 6 −2
0 2 0
1 2 1
]. Então, é correto 
afirmar que det(𝐵) = 2 ⋅ det (𝐴). 
3. Sendo 𝐴𝑡 a matriz transposta da matriz 𝐴, 
tem-se que det(𝐴𝑡) = det (𝐴). 
4. Sendo 𝐴−1 a inversa da matriz 𝐴, tem-se que 
det(𝐴−1) =
1
6
. 
5. A matriz 𝐴 é inversível. 
 
5. Resolva a equação |
1 2 𝑥
−1 𝑥 (𝑥 + 1)
3 2 𝑥
| = 6 e 
determine, em ℝ, o seu conjunto-solução. 
 
6. Considere a matriz 𝐴 = (
1 2
0 0
2 2
2 2
2 2
2 2
3 2
2 4
). Calcule o 
determinante da matriz inversa de 𝐴. 
 
7. O conjunto-solução, em ℝ, da equação 
|
1 𝑥 1
2 13 𝑥
1 3 0
| = |
3 0
2 𝑥
| é 
 
(A) 𝑆 = {−2; 3}. 
(B) 𝑆 = {2; −3}. 
(C) 𝑆 = {7}. 
(D) 𝑆 = {−1;7}. 
(E) 𝑆 = {1;-7}. 
8. Dada a matriz 𝐴 = [
𝑎 𝑏 𝑐
𝑚 𝑛 𝑝
𝑥 𝑦 𝑧
], em que 
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑚, 𝑛, 𝑝, 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são números reais, é 
correto afirmar que 
(A) det(5𝐴) = 5 ⋅ det(𝐴). 
(B) |
𝑥 𝑦 5𝑧
2𝑎 2𝑏 10𝑐
𝑚 𝑛 5𝑝
| = −10 ⋅ det 𝐴. 
(C) |
𝑎 𝑥 𝑚
𝑏 𝑦 𝑛
𝑐 𝑧 𝑝
| = det 𝐴. 
(D) |
2𝑎 2𝑏 2𝑐
3𝑥 3𝑦 3𝑧
𝑚 𝑛 𝑝
| = 6 ⋅ det 𝐴. 
(E) | 
𝑎 𝑐 𝑏
𝑚 𝑝 𝑛
𝑥 + 2𝑚 𝑧 + 2𝑝 𝑦 + 2𝑛
| = − det 𝐴. 
9. O determinante da matriz 𝐴 = [
0 1
1 −1
1 0
2 1
2 0
0 0
1 0
3 0
] é 
igual a 
(A) -6. 
(B) -4. 
1 -2 4 -3 
0 -1 2 √2 
0 0 2 5 
0 0 0 2 
3 3 3 3 
2 -2 4 -1 
4 4 16 1 
8 -864 -1 
 
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(C) 0. 
(D) 4. 
(E) 6. 
 
 
CAIU NO VEST 
1. Considere a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×2, tal que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 −
𝑗. Calcule det(𝐴 ⋅ 𝐴𝑡). 
2. Calcule |
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑦 cos 𝑦 |. 
3. Seja 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×3
 em que 𝑎𝑖𝑗 = {
1, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗
2, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
. 
Calcule det 𝐴. 
4. Sabendo-se que 𝐴 e 𝐵 são matrizes quadradas de 
ordem 2, det 𝐴 = 12 e det 𝐵𝑡 = −6, qual é o valor de 
det (𝐴 ⋅ 𝐵)? 
5. Resolva, em ℝ, a equação|
𝑥 0
0 0
1 2
−1 1
−3 −1
1 2
2 0
1 3
| =
−31 
6. Calcule o valor da expressão 
|
2 5
6 15
| + 2 |
4 −1
1 3
2 5
7 9
0 −1
2 6
4 5
14 18
| + |
3 −2 3
5 0 5
1 √3 1
| 
 
7. (UnB – 2012) Dada uma matriz quadrada 𝐴, define-
se o traço de 𝐴, simbolizado por 𝑡𝑟(𝐴), como a soma 
dos elementos de sua diagonal principal. A partir 
dessas informações e considerando as matrizes 
𝑃 = (
0,7 0,2
0,3 0,8
) ; 𝑄 = (
2 −1
3 1
) 
e 
𝑅 = 100𝑄−1𝑃𝑄, 
Determine o valor do quociente 
det(𝑅)
𝑡𝑟(𝑅)
, em que det (𝑅) 
é o determinante da matriz 𝑅. Despreze, caso exista, a 
parte fracionária do resultado final obtido, após ter 
efetuado todos os cálculos solicitados. 
GABARITO 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
1.1. a) −7 b) −13 c) 1 d) 3 e) 1 
1.2. 𝑆 = {
1
2
; 1} 
1.3. a) 22 b) −28 
2.1. a) −31 b) −452 
3.1. a) 0 b) 0 c) 0 
3.2. a) −7 b) 35 c) 175 
3.3. 63 
3.4. a) Coluna 4 nula (fila nula) 
 b) Linha 1 igual a linha 3 (filas paralelas iguais) 
 c) Coluna 1 proporcional a coluna 4 (filas 
paralelas proporcionais) 
 d) Coluna 3 é combinação linear da coluna 1 e 2 
(combinação linear de filas paralelas) 
 e) Linha 4 é combinação linear da linha 1 e linha 2 
(combinação linear de filas paralelas) 
3.5. Demonstração 
3.6. B 
4.1. a) 281 b) 30 
4.2. a) 240 b) 1 680 
5.1. a) 
1
6
 
 b) 𝐴′ = [
0 −
1
2
1
3
2
3
] 
 c) �̅� = [
0
1
3
−
1
2
2
3
] 
 d) 𝐴−1 = [
0 2
−3 4
] 
5.2. a) 𝑥 ≠ 0 
 b) −
1
6
 
 
 
QUESTÕES EXTRAS 
1. E 
2. C 
3. B 
4. CCCCC 
5. {1} 
6. 1/12 
7. 𝐷 
8. E 
9. A 
 
 
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CAIU NO VEST 
1. 0 
2. 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦) 
3. 1 
4. −72 
5. {2} 
6. 0 
7. 033