Geometria Plana
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Geometria Plana


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elas sa\u2dco
chamadas circunfere\u2c6ncias tangentes e o ponto e´ chamado ponto de contato.
Mostre que se duas circunfere\u2c6ncias sa\u2dco tangentes, a reta dos centros passa pelo ponto de
contato.
10.104 Exerc´\u131cio. Na figura 10.12, P e´ a intersec¸a\u2dco de duas tangentes comuns a duas circun-
fere\u2c6ncias. Mostre que a reta dos centros passa por P .
10.105 Exerc´\u131cio. Mostre que se duas circunfere\u2c6ncias te\u2c6m dois pontos em comum, a reta dos
centros e´ mediatriz do segmento determinado por esses dois pontos.
10.106 Exerc´\u131cio. Mostre que duas circunfere\u2c6ncias distintas na\u2dco podem ter mais do que dois
pontos em comum.
10.107 Exerc´\u131cio. Descreva um me´todo para trac¸ar uma circunfere\u2c6ncia de raio conhecido e
que seja tangente aos lados de um a\u2c6ngulo dado.
10.108 Exerc´\u131cio. Duas circunfere\u2c6ncias interceptam-se nos pontos A e B . Por B trac¸a-se
uma reta que intercepta uma das circunfere\u2c6ncias num ponto X e a outra num ponto Y . Mostre
que a medida do a\u2c6ngulo XA\u302Y independe da reta trac¸ada.
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Exerc´\u131cios complementares
..
Figura 10.12: Exerc´\u131cio 10.104.
10.109 Exerc´\u131cio. Sejam dadas duas circunfere\u2c6ncias tangentes exteriores (isto e´, uma na\u2dco esta´
contida no interior da outra) e, pelo ponto de tange\u2c6ncia, tracemos duas secantes comuns. Mostre
que as cordas que ligam as extremidades das secantes em cada circunfere\u2c6ncia sa\u2dco paralelas.
10.110 Exerc´\u131cio. Mostre que as tangentes trac¸adas a` uma circunfere\u2c6ncia pelos extremos de
um mesmo dia\u2c6metro sa\u2dco paralelas.
10.111 Exerc´\u131cio. Utilizando a lei dos cossenos, expresse cada uma das medianas de um
tria\u2c6ngulo em func¸a\u2dco de seus lados.
10.112 Exerc´\u131cio. Mostre que todo segmento definido por um ponto fora e por outro ponto
dentro de uma circunfere\u2c6ncia tem um ponto em comum com a circunfere\u2c6ncia.
10.113 Exerc´\u131cio. Mostre que a raza\u2dco entre os raios das circunfere\u2c6ncias inscritas de dois
tria\u2c6ngulos semelhantes e´ igual a` raza\u2dco de semelhanc¸a.
10.114 Exerc´\u131cio. Mostre que a raza\u2dco entre os raios das circunfere\u2c6ncias circunscritas de dois
tria\u2c6ngulos semelhantes e´ igual a` raza\u2dco de semelhanc¸a.
10.115 Exerc´\u131cio. Mostre que o raio da circunfere\u2c6ncia inscrita em um tria\u2c6ngulo de lados a, b, c
e semiper´\u131metro p e´ dado por r =
\u221a
(p\u2212a)(p\u2212b)(p\u2212c)
p .
10.116 Exerc´\u131cio. O lugar geome´trico dos pontos que \u201cenxergam\u201d um segmento AB segundo
um a\u2c6ngulo \u3b1 e´ o arco capaz de \u3b1 sobre AB. Qual e´ o lugar geome´trico dos pontos que \u201cenxergam\u201d
uma circunfere\u2c6ncia segundo um a\u2c6ngulo \u3b1?
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Cap´\u131tulo 11
Resultados Nota´veis sobre
Tria\u2c6ngulos
Apresenta-se alguns resultados que sa\u2dco caracter´\u131sticos de
tria\u2c6ngulos; em particular, mostra-se a existe\u2c6ncia de alguns
pontos nota´veis, ale´m de teoremas que afirmam certas pro-
priedades curiosas.
11.1 Pontos nota´veis de um tria\u2c6ngulo
No corola´rio 10.40, vimos que, em todo tria\u2c6ngulo, as tre\u2c6s mediatrizes interceptam-se num mesmo
ponto. Esse ponto e´ chamado circuncentro do tria\u2c6ngulo; ele e´ o centro da circunfere\u2c6ncia
circunscrita ao tria\u2c6ngulo. Do mesmo modo, no teorema 10.48, vimos que a todo tria\u2c6ngulo existe
uma circunfere\u2c6ncia inscrita e que o centro dela e´ o ponto comum a`s tre\u2c6s bissetrizes do tria\u2c6ngulo.
Esse ponto e´ chamado incentro do tria\u2c6ngulo.
O resultado seguinte nos diz que as tre\u2c6s alturas de um tria\u2c6ngulo interceptam-se num u´nico
ponto
11.1 Teorema. As retas que conte´m as tre\u2c6s alturas de um tria\u2c6ngulo interceptam-se num ponto.
(esse ponto e´ chamado ortocentro do tria\u2c6ngulo).
Prova: Seja ABC um tria\u2c6ngulo qualquer e, atrave´s de cada um de seus ve´rtices, tracemos
retas paralelas aos lados opostos, obtendo um tria\u2c6ngulo A\u2032B\u2032C \u2032, onde A\u2032 esta´ na intersec¸a\u2dco das
paralelas passadas por B e C, B\u2032 esta´ na intersec¸a\u2dco das paralelas que passam por A e C, e C \u2032
na intersec¸a\u2dco das paralelas que passam por A e B (figura 11.1 a esquerda ).
Assim, os quadrila´teros ABCB\u2032 e ACBC \u2032 sa\u2dco paralelogramos e, da´\u131, AB\u2032 = overlineBC =
C \u2032A.Desde queB\u2032C \u2032 e´ paralelo aBC, a altura trac¸ada a partir deA ao ladoBC e´ a perpendicular
que bissecta o segmento B\u2032C \u2032; o mesmo valendo para as alturas trac¸adas por B e C. Em outras
palavras, as tre\u2c6s alturas do tria\u2c6ngulo ABC sa\u2dco perpendiculares, que bissectam os tre\u2c6s lados do
tria\u2c6ngulo A\u2032B\u2032C \u2032 (isto e´, sa\u2dco as mediatrizes do tria\u2c6ngulo A\u2032B\u2032C \u2032). Da´\u131, pelo corola´rio 10.40,
segue que essas tre\u2c6s alturas interceptam-se num ponto.
O pro´ximo teorema afirma que as medianas de um tria\u2c6ngulo interceptam-se num u´nico ponto.
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Pontos nota´veis de um tria\u2c6ngulo
A
B C
A'
B'C'
A
B C
E D
F
M
G
Figura 11.1: Teoremas 11.1 e 11.2.
11.2 Teorema. As retas que conte´m as tre\u2c6s medianas de um tria\u2c6ngulo interceptam-se num
ponto. (esse ponto e´ chamado centro´ide ou baricentro do tria\u2c6ngulo).
Prova: Seja ABC um tria\u2c6ngulo, com BD e CE medianas relativas aos lados AC e AB,
respectivamente (figura 11.1 a direita).
Seja G o ponto de intersec¸a\u2dco de BD e CE. Prolonguemos AG ate´ um ponto F tal que
GF = AG. No tria\u2c6ngulo ABF , os pontos E e G sa\u2dco pontos me´dios dos lados AB e AF ,
respectivamente. Do teorema 7.58, segue que BF e EG sa\u2dco paralelas e, da´\u131, BF e GC sa\u2dco
paralelas.
Analogamente, CF e GB sa\u2dco paralelas. O quadrila´tero BFCG e´ um paralelogramo; suas
diagonais BC e FG interceptam-se no ponto me´dio, M . Assim, o prolongamento de AG passa
por M , ponto me´dio de BC, isto e´, AM e´ mediana relativa ao lado BC. Portanto, as tre\u2c6s
medianas de um tria\u2c6ngulo interceptam-se num mesmo ponto.
11.3 Corola´rio. O baricentro divide cada mediana em dois segmentos na raza\u2dco de 2 para 1.
Prova: Da prova do teorema 11.2, temos que:
AG = GF = 2 ·GM
CG = FB = 2 · CE
Analogamente, BG = 2 ·GD.
11.4 Exerc´\u131cio. Na prova do teorema 11.2, justifique a existe\u2c6ncia do ponto G e do ponto F .
No corola´rio 11.3, prove que BG = 2 ·GD.
11.5 Teorema. Em qualquer tria\u2c6ngulo, as bissetrizes de dois a\u2c6ngulos externos e aquela do
a\u2c6ngulo interno restante interceptam-se num ponto. (esse ponto e´ chamado excentro do tria\u2c6ngulo).
Prova: A prova deste teorema e´ ana´loga a`quela do teorema 10.48.
11.6 Observac¸a\u2dco. O ponto mencionado acima e´ tambe´m centro de uma circunfere\u2c6ncia que e´
tangente ao prolongamento de dois lados e ao lado restante do tria\u2c6ngulo. Um tria\u2c6ngulo tem tre\u2c6s
excentros.
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Pontos nota´veis de um tria\u2c6ngulo
11.7 Teorema. (Giovanni Ceva, 1648-1734) Sejam P,Q,R pontos sobre os ladosBC,AC,AB
(ou prolongamento deles) do tria\u2c6ngulo ABC. As semi-retas
\u2212\u2192
AP,
\u2212\u2212\u2192
BQ,
\u2212\u2192
CR interceptam-se num
ponto se, e somente se,
BP
PC
· CQ
QA
· AR
RB
= 1.
Prova: A figura 11.2 ilustra as duas situac¸o\u2dces:
B P C
A
QR T
CB
A
P
T
Figura 11.2: Teorema de Ceva.
Suponhamos que AP,BQ e CR interceptam-se num ponto, digamos T . Tracemos a reta que
passa por A e e´ paralela a BC; ela intercepta BQ e CR nos pontos B\u2032 e C \u2032, respectivamente
(ou seus prolongamentos). Desde que os tria\u2c6ngulos BPT e B\u2032AT sa\u2dco semelhantes, bem como
os tria\u2c6ngulos CPT e C \u2032AT sa\u2dco semelhantes, temos que
BP
PT
=
AB\u2032
AT
e
PT
PC
=
AT
AC \u2032
;
logo,
BP
PC
=
AB\u2032
AC \u2032
.
Analogamente,
CQ
QA
=
BC
AB\u2032
e
AR
RB
=
AC \u2032
BC
.
Multiplicando membro a membro as tre\u2c6s u´ltimas igualdades, temos que:
BP
PC
· CQ
QA
· AR
RB
= 1.
Provemos agora a rec´\u131proca. Seja T a intersec¸a\u2dco de BQ e CR (ou de seus prolongamentos)
e P \u2032 a intersec¸a\u2dco de AT e BC (ou seus prolongamento). Do que ja´ provamos, segue que
BP \u2032
P \u2032C
· CQ
QA
· AR
RB
= 1 (11.1)
Por outro lado, por hipo´tese, temos que:
BP
PC
· CQ
QA
· AR
RB
= 1. (11.2)
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Pontos nota´veis de um tria\u2c6ngulo
De (11.1) e (11.2), segue que
BP \u2032
P \u2032C
=
BP
PC
(11.3)
Adicionando 1 a ambos os membros de (11.3) caso B \u2212 P \u2212 C, e \u22121 caso contra´rio, temos
BP \u2032 + P \u2032C
P \u2032C
=
BP + PC
PC
;
logo