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Profº: José Roberto Montello Bibliografia: 1. C. W. Jordan, Lifes Contingencies - The Society of Actuaries/1975. 2. José Gonzales Galé - Elementos de Cálculo Actuarial - Dezembro/1942. Reservas Matemáticas - (Reservas Puras): 1. O que é Reserva: Vimos que, em todos os seguros contratados a prêmios anuais, temos no momento inicial a seguinte equação de equilíbrio. � que em palavras significa dizer que no momento inicial o valor atual do compromisso do segurador é igual ao compromisso do segurado. A equação de equilíbrio pode também ser apresentada da seguinte forma: � no momento inicial a diferença entre os compromissos do segurador e do segurado (sempre em termos de valor atual) é nula. Esse equilíbrio, porém , se rompe assim que o tempo começa a correr a partir do momento inicial. Assim, ao fim de m anos, tem-se: � A razão é evidente. Estamos representando por � e �, respectivamente, o prêmio único de qualquer seguro e o valor da renda vitalícia m anos após o momento inicial. Quer dizer, se a idade do segurado no momento inicial é x, estamos agora na idade x+m. Se porém, o seguro fosse contratado agora, na idade x+m, tendo como momento inicial a época m, teríamos evidentemente que: � Agora, como na grande maioria do casos - os únicos que consideraremos no momento - temos que o Prêmio Anual cresce em função da idade em que é feito o contrato. Dessa forma, temos que: �. Por conseguinte, temos também que: �, pois o valor atual do compromisso do segurador é maior que o do segurado. Esta diferença, que se simboliza pela letra V (inicial da expressão inglesa “Value of police” = Valor da Apólice), é o que se conhece geralmente com o nome de Reserva Matemática: �. Se o seguro for contratado a prêmio único, o valor atual após o momento inicial, do compromisso futuro do segurado é Zero, pois só existe compromisso do segurador, logo temos que: V(m) = A(m). Para ilustrar, consideremos uma apólice de um seguro de vida inteira a prêmio anual antecipado constituída para um segurado de idade x. Ao final de m anos, o valor atual dos compromissos futuros do segurador é Ax+m e o valor atual dos prêmios puros futuros do segurado, incluindo aquele devido no início do (m+1)º ano, é �. A diferença entre essas quantias, �, representa a obrigação líquida do segurador nesse momento, consistindo dessa forma na reserva da apólice. Nessa forma, a reserva matemática pode ser definida como o excesso do valor atual dos benefícios futuros em relação ao valor atual dos prêmios puros futuros. 2. O prêmio de risco: Podemos encarar a formação das reservas matemáticas através de outro ponto de vista. Suponhamos que uma pessoa deseja fazer um seguro de vida inteira, quer dizer, um seguro que cubra o risco de morte até o fim dos seus dias. Porém essa pessoa, em vez de pagar o prêmio único ou o prêmio fracionado constante, prefere outra combinação: renovar todos os anos o seus seguro e pagar o prêmio que, a cada ano, se fizer necessário em função da idade alcançada. É evidente que esta operação não dará lugar a nenhuma reserva no final do ano de seguro (reserva terminal), visto que o seguro é renovado a cada ano. O prêmio puro que, em um dado ano - por exemplo, quando o segurado tem idade x, cobre o capital unitário é simplesmente v qx, se supormos que o seguro é pago no fim do ano da morte ou, v1/2 . qx se supormos que o seguro é pago imediatamente após o falecimento. Este prêmio - conhecido com o nome de prêmio de risco, é diretamente proporcional a probabilidade de morte, crescendo portanto em função da idade até o ponto de alcançar um valor proibitivo. É claro que, se o prêmio de risco cresce com a idade, o prêmio constante há de ser, nos primeiros anos do seguro, superior a ele. Logo, o segurado paga, durante esses primeiros anos, um excedente sobre o risco do ano, excedente que se destina a cobrir, junto com os juros compostos que forem obtidos por sua aplicação, as insuficiências que necessariamente ocorrerão quando, após alguns anos, o prêmio constante venha a ser inferior ao prêmio de risco. Torna-se preciso, portanto, reservar e capitalizar esses excedentes visto que as reservas matemáticas nada mais são do que quantias pagas antecipadamente pelos segurados para a cobertura de riscos futuros. Quer dizer, as reservas matemáticas são um passivo para o segurador. 3. Reservas Negativas: Chegamos a conclusão de que as Reservas Matemáticas são um passivo para o segurador a partir do seguro de vida inteira. Porém, não existirá outros tipos de seguro em que as reservas matemáticas podem representar, em um dado momento, um ativo para o segurador ? Sim, existem. O mais conhecido de todos é o seguro de prêmio constante e capital decrescente. O seguro que cobre, por exemplo, o saldo de uma dívida que é amortizada em prestações periódicas: digamos uma hipoteca. Os seguradores, porém, tomam suas precauções para que não ocorram, o que na técnica profissional, se denomina de “reservas negativas”, ou seja, reservas que representam, não um passivo, mas um ativo para o segurador já que os compromissos deste em um dado instante são inferiores ao do segurado. A razão do segurador evitar as “reservas negativas” é óbvia. O segurador tem de cumprir seu contrato até o final, mas o segurado pode romper o contrato deixando tão somente de pagar os prêmios. Portanto, o ativo que representasse uma reserva negativa, uma dívida que o segurado iria pagar ou não caso julgasse conveniente, seria um “ativo eventual” que não poderia ser considerado como realizável pela empresa seguradora. Por esta razão é que dissemos que as empresas seguradoras não podem trabalhar com reservas negativas. Assim, por exemplo, no seguro que cobre o saldo de uma renda (dívida), é comum estipular que os prêmios periódicos serão pagos durante um nº de anos inferior ao que a dívida levará para ser amortizada, sendo o usual se adotar � (dois terços) desse tempo. Outra solução é a de cobrar à vista uma determinada parcela do prêmio único, fracionando o restante em prestações periódicas. 4. Reservas pelo método prospectivo: Para ilustrar este método consideremos um seguro ordinário de vida de valor unitário contratado por um segurado de idade x. Ao final de t anos, o valor atual dos compromissos futuros do segurador é Ax+t, e o valor atual dos compromissos futuros do segurado, incluindo o prêmio devido no início do ano t+1 do seguro, é �. A diferença entre essas duas quantidades, � representa o compromisso líquido do segurador no instante t e é denominado de “reservas de apólice” ou de “reserva do final do ano t de seguro”. Desse modo, a reserva pode ser definida como o excesso do valor atual dos benefícios futuros a serem pagos pelo segurador e o valor dos prêmios puros futuros a serem pagos pelo segurado. A definição de reserva que acabamos de apresentar é chamada de “prospectiva” visto que toma por base os benefícios e os prêmios futuros, e as fórmulas derivadas dessa definição são conhecidas como “fórmulas de reservas prospectivas”. Para um seguro ordinário de vida de 1 contratado na idade x, o símbolo � é usado para denotar a reserva do final do ano t de seguro. Como mostramos anteriormente, a fórmula prospectiva é: ��� EMBED Equation.3 � Para um seguro de vida inteira com pagamento limitado a n prêmios anuais, a reserva do final do ano t de seguro é obtida a partir das seguintes fórmulas: ��� EMBED Equation.3 � para t<n, ��� EMBED Equation.3 � para t ( n. Um outro exemplo de fórmula prospectiva é o de um capital diferido por n anos, pagável com n prêmios anuais: ��� EMBED Equation.3 � Para um seguro temporário por n anos, pagável com n prêmios anuais, temos que: � � Para um seguro dotal misto, pagável com n prêmios anuais, temos que: � � � Importante: Quando os seguros são devidos imediatamenteapós o falecimento do segurado, é usual colocar uma barra sobre o símbolo da reserva da mesma forma que sobre as comutações por morte e sobre os prêmios. Assim para um seguro ordinário de vida, pagável imediatamente após o falecimento, a prêmio anual antecipado, a Reserva do fim do ano t de seguro é dada por: � Vamos considerar o seguro relativo a uma renda (anuidade) diferida por n anos de valor igual a 1 com prêmios anuais pagáveis durante n anos. Neste caso, a reserva no final do ano t de seguro é dada por: � para t < n. onde: � � para t ( n. NOTA: Foi considerado nas fórmulas de reservas que t é um nº inteiro de anos. Neste caso, a função tV relativa ao fim do ano da apólice é chamada de “reserva terminal”. 5. Reservas pelo método retrospectivo: Para ilustrar este método, consideremos novamente um seguro ordinário de vida do valor unitário contratado por um seguro de idade x. Ao final de t anos, o valor atual dos prêmios pagos pelo segurado é �, e o valor atual dos riscos já corridos pelo segurado é �. A diferença entre essas duas quantidades, � representa o quanto a mais em termos puros foi pago pelo segurado em relação ao risco que ele já correu. Dessa forma, a reserva, segundo este método, será igual à diferença entre o valor atual dos prêmios pagos pelo segurado e o valor atual dos riscos já corridos pelo segurado. A definição de reserva que acabamos de apresentar é chamada de “retrospectiva” visto que toma por base os prêmios e os benefícios passados, e as fórmulas derivadas dessa definição são conhecidas como “fórmulas de reservas retrospectivas”. Excetuando-se alguns casos específicos, como por exemplo um plano de seguro onde ao longo do período de contribuição existem 2 níveis ou mais de carregamentos para as despesas administrativas, as reservas calculadas pelos métodos prospectivo e retrospectivo nos conduzem a um mesmo resultado. Para um seguro ordinário de vida de 1 contratado na idade x, a fórmula retrospectiva da reserva do final do ano t de seguro é: � ou fazendo, ��� EMBED Equation.3 � � Exercício: Demonstrar que as fórmulas retrospectivas e prospectivas de um seguro ordinário de vida de 1 contratado na idade x conduzem a um mesmo resultado: � � � Para um seguro de vida inteira com pagamento limitado a n prêmios anuais, a reserva do final do ano t de seguro é obtida a partir das seguintes fórmulas: � � Exercício: Demonstrar que � Um outro exemplo de fórmula retrospectiva é o de um capital diferido por n anos, pagável com n prêmios anuais: � Para um seguro temporário por n anos, pagável com n prêmios anuais, temos que: � Para um seguro dotal misto, pagável com n prêmios anuais, temos que: � Importante: Quando os seguros são devidos imediatamente após o falecimento do segurado, é usual colocar uma barra sobre o símbolo da reserva da mesma forma que sobre as comutações por morte e sobre os prêmios. Assim para um seguro ordinário de vida pagável imediatamente após o falecimento, a prêmio anual antecipado, a Reserva do fim do ano t do seguro é dada por: � Vamos considerar o seguro relativo a uma renda (anuidade) diferida por n anos de valor igual a 1 com prêmios anuais pagáveis durante n anos. Neste caso, a reserva no final do ano t de seguro é dada por: �, onde � �; para t < n. �, para t ( n. Exercício proposto: Demonstrar que � Nota: Foi considerado nas fórmulas de reservas que t é um nº inteiro de anos. Neste caso, a função tV relativa ao fim do ano da apólice é chamada de “reserva terminal”. 6. Reservas pelo método de recorrência: Um atuário francês - Georges Fouret - idealizou um procedimento que permite calcular a reserva de um ano em função da reserva do ano anterior. Tem este método - como todos os de recorrência - o inconveniente de acumular os erros inevitáveis a esta classe de cálculos. No entanto, este método é útil para comprovar reservas calculadas por outros métodos, principalmente nas formas de seguro em que o cálculo do prêmio único é demasiadamente trabalhoso. O raciocínio para se chegar a fórmula de Fouret é o seguinte: No início do enésimo ano, o segurador tem em seu poder, para cada segurado, a reserva V(m-1). Cobra então o prêmio anual antecipado P e passa a ter por segurado o total de V(m-1) + P e para o grupo de todos os lx+m-1 segurados que, teoricamente, permanecem vivos do grupo inicial lx o total geral de lx+m-1 (V(m-1) + P), o qual ao final do ano, considerando-se os juros, será de lx+m-1 (V(m-1) + P) (1+i). Com esta soma total deve pagar os seguros das dx+m-1 mortes que ocorrem no ano, por hipótese em média no meio do ano, e constituir a reserva final V(m) para cada um dos lx+m segurados então sobreviventes. Em conjunto temos: (1+i)1/2. dx+m-1 . V(m). Temos, portanto, que: � lx+m-1 (V(m-1) + P) (1+i) = (1+i)1/2 . dx+m-1 + V(m) . lx+m � ou, multiplicando o numerador e o denominador por vx+m: � ou, dividindo o numerador e o denominador por lx+m-1: � sendo que para m = 1 temos V(m-1) = Vo = 0 7. Reservas de apólices a prêmios fracionados: O símbolo � é usado para denotar a reserva no final do ano t de seguro numa apólice a prêmios fracionados em períodos inferiores a 1 ano, P(m). Vamos considerar como exemplo, um seguro ordinário de vida de 1 contratado na idade x a prêmios fracionados em períodos iguais a 1/m do ano. A reserva prospectiva desse seguro seria dada por: � A reserva retrospectiva desse seguro seria dada por: � visto que: � Exercício: Demonstrar que: � � � As fórmulas de reservas prospectivas e retrospectivas para os demais seguros por morte ou sobrevivência a prêmios fracionados em períodos inferiores a 1 ano, seguem raciocínio análogo. APOSTILA Nº 6 DE MATEMÁTICA ATUARIAL �PAGE � Pág. �PAGE �11� _956125868.unknown _956470693.unknown _957769315.unknown _958215785.unknown _958549784.unknown _958550403.unknown _958550960.unknown _958551471.unknown _958552049.unknown _958551295.unknown _958550706.unknown _958550054.unknown _958550259.unknown _958549944.unknown _958484263.unknown _958484630.unknown _958549653.unknown _958484397.unknown _958483917.unknown _958484084.unknown _958483650.unknown _958214205.unknown _958214705.unknown _958215349.unknown _958214615.unknown _958213790.unknown _958213813.unknown _958213761.unknown _956732833.unknown _957768679.unknown _957769166.unknown _957768475.unknown _956471145.unknown _956732485.unknown _956471071.unknown _956401827.unknown _956402858.unknown _956470236.unknown _956470530.unknown _956404592.unknown _956402276.unknown _956402277.unknown _956401835.unknown _956133586.unknown _956133707.unknown _956133708.unknown _956133587.unknown _956133396.unknown _956133397.unknown _956125910.unknown _955268589.unknown _956058219.unknown _956063893.unknown _956064579.unknown _956063776.unknown _955785929.unknown _955786012.unknown _955269585.unknown _955266427.unknown _955268419.unknown _955268542.unknown _955266452.unknown _955266177.unknown _955266300.unknown _955266055.unknown
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