Física 3 - Apostila - Ondas

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ONDAS - 2016 sem 1
BIBLIOGRAFIA 
HALLIDAY e outros; Fundamentos da Física; vol 2 
SERWAY, Raymond e outros. Princípios de Física, Ed. THOMSON 
TREFIL, James e Robert Hazen. Física Viva; vol 2, Ed. LTC
JOHNSON, Física ; vol 1, Ed.LTC
KNIGTH Randal. D.– Física - Uma abordagem estratégica. vol II – Ed. BOOKMAN
NOTAS DE AULA
Este material tem por objetivo auxiliá-lo nas anotações do conteúdo ministrado em sala de aula e não substitui o livro didático
Animação de ondas
http://pt.wikipedia.org/wiki/Onda 
http://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/waves/wavemotion.html (para ondas transversais e longitudinais)
http://paws.kettering.edu/~drussell/Demos/reflect/reflect.html (para reflexão de ondas)
Onda: perturbação que se propaga num meio transmitindo energia.
Onda mecânica: perturbação que se propaga nos meios materiais através da oscilação dos átomos e das moléculas do meio
· ex: som, ondas numa corda, terremotos
Onda eletromagnética: perturbação que se propaga através da oscilação de campos elétricos e magnéticos.
ex: raio X, luz
Principais grandezas associadas a uma onda
amplitude da onda (A; Ym)
valor máximo alcançado pela grandeza oscilante
unidade SI: metro (no caso de onda mecânica)
freqüência da onda (f)
freqüência na qual a grandeza oscila (seja partícula ou campo eletromagnético)
o unidade SI: Hz
período (T)
tempo que a grandeza oscilante leva para realizar um ciclo completo
 T = 1/ f
o tempo de oscilação de uma onda é igual ao tempo de oscilação da grandeza que oscila
 unidade SI: segundo
comprimento de onda (λ)
 distância ao longo da direção de propagação após a qual a onda começa a se repetir (seja onda mecânica ou onda eletromagnética) 
menor distancia entre dois pontos cuja grandeza oscilante apresenta o mesmo valor
unidade SI: metro 
velocidade de propagação da onda ou velocidade da onda (v) 
se uma onda é uma perturbação que se propaga em um meio, existe uma velocidade na qual esta propagação acontece 
A velocidade de propagação:
depende das propriedades mecânicas do meio
é diferente da velocidade da partícula deslocada
o meio não se desloca no espaço, a perturbação e que se desloca
para meios homogêneos a velocidade da onda (velocidade de propagação) é constante (para QUALQUER onda)
Velocidade de propagação de uma onda num meio homogêneo
	v = dx /dt 
Se v = constante, v = Δ x / Δ t
 Se Δ x = comprimento de onda (λ) →t = período (T) 
v = λ / T ou v = λ f
	onde
v = velocidade de propagação
λ = comprimento de onda
f = freqüência
Mudanças no meio de propagação de uma dada onda acarretam alterações na velocidade e no comprimento de onda. Entretanto, sua frequência permanece constante uma vez que depende apenas da fonte que a gerou.
A frequência de uma onda e sempre igual à frequência da fonte que a emitiu, não importando o meio no qual a onda se propaga. Para uma dada onda que se propaga,, 
Quando uma onda mecânica senoidal se propaga em um meio, todas as partículas do meio executam um MHS com mesma frequência.
Qualquer onda tem sua velocidade de propagação dada por v = λ f (nos meios homogêneos), mas a velocidade de propagação depende também do meio no qual a onda se propaga. 
	Velocidade de uma onda em uma corda
Como 
	
onde
v = velocidade de propagação
T = tensão na corda
 = densidade linear de massa
m = massa da corda
L = comprimento da corda
	Velocidades típicas do som
No ar: 340 m/s
Na água: 1500 m/s
No ferro: 4500 m/s
As ondas eletromagnéticas se propagam no ar ou no vácuo com velocidade constante
c = 3,00 x 108 m/s
(é comum denominar-se a velocidade da luz pela letra c)
	ATENÇÃO!
Trabalhamos com diferentes velocidades:
Velocidade de oscilação de um ponto qualquer do meio (onda mecânic):
É variável no tempo, dependendo da posição da partícula em cada instante;
Você deve derivar a equação do deslocamento da partícula vibrante em relação ao tempo.
Velocidade de propagação de uma onda:
V = λ f
Varia de acordo com o meio, sendo constante para meios homogêneos;
Para ondas eletromagnéticas se propagando no ar ou vácuo:
v = c = 3,0 x 108 m/s;
em qualquer outro meio a onda eletromagnética se propaga com velocidade v < c
Para ondas mecânicas se propagando em cordas:
v = (T/)1/2
para ondas sonoras se propagando no ar (0oC) v = 340 m/s
Exercício 1: Determine a frequência de uma onda cujo comprimento de onda é igual 3,0 m considerando que:
esta é uma onda eletromagnética que se propaga no ar; 
esta é uma onda mecânica que se propaga numa corda de densidade linear 0,60 kg/m tensionada a 15 N.
esta é uma onda sonora que se propaga no ar 
Qual das 3 ondas descritas está se propagando com maior velocidade?
Exercício 2: Determine a velocidade de uma onda de frequência 300 Hz, sabendo que esta onda:
a) é uma onda mecânica de comprimento de onda 20 mm que se propaga numa corda
b) é uma onda eletromagnética que se propaga no ar
c) é uma onda sonora que se propaga no ar
Exercício 3: Quando em sua maior aproximação, a distância de Marte à Terra é a 5,6 x 1010 m. Numa missão científica uma pessoa, estando em Marte, se comunica com habitantes da Terra. Determine o tempo mínimo necessário para que se ouça, da Terra, a voz desta pessoa que supostamente se encontra em Marte.
INTERAÇÃO DE ONDAS COM O MEIO 
PROPRIEDADE DAS ONDAS
Qualquer alteração no meio no qual uma onda se propaga perturba-a e esta se altera. Alterações no meio, uma fronteira, um obstáculo, uma fenda ou mesmo uma segunda onda, são suficientes para alterar aquela onda que se propaga. Conhecendo-se as propriedades das ondas pode-se prever a forma e/ou características da onda viajante após cada interação. Reflexão, refração, polarização, difração e interferência/superposição são as propriedades mais importantes e, excetuando-se a polarização (possível apenas em ondas transversais) acontecem em todos os fenômenos ondulatórios. 
A cada vez que uma onda encontra uma fronteira, uma combinação dessas propriedades acontece simultaneamente; ressaltar uma ou outra é função apenas de focar a atenção na propriedade que mais interessa naquela situação. 
Difração
É a capacidade das ondas em contornar obstáculos e/ou fendas. Se o obstáculo for muito maior que o comprimento de onda, a onda sofre reflexão; caso a fenda seja muito maior, a onda não a “enxerga” e continua se propagando como se a fenda não existisse. Se a onda encontrar um obstáculo (ou fenda) cujas dimensões sejam comparáveis ao seu comprimento de onda, a onda se curva para contorná-lo (difrata), propagando-se após o obstáculo (ou fenda) como se ali originada.
É a capacidade das ondas em contornar obstáculos e/ou fendas. Se o obstáculo for muito maior que o comprimento de onda, a onda sofre reflexão; caso a fenda seja muito maior, a onda não a “enxerga” e continua se propagando como se a fenda não existisse. Se a onda encontrar um obstáculo (ou fenda) cujas dimensões sejam comparáveis ao seu comprimento de onda, a onda se curva para contorná-lo, propagando-se após o obstáculo (ou fenda) como se ali originada.
	
	
Polarização
	
	Diz-se que uma onda se encontra polarizada se existe restrição em relação à direção de propagação. Numa onda polarizada a vibração acontece em apenas uma direção.
Como nas ondas longitudinais a direção de propagação coincide com a direção de vibração, pode-se concluir que a polarização não se aplica às ondas longitudinais
A polarização da luz é utilizada em lentes para máquinas fotográficas, “óculos escuros”, controle da intensidade de luz em filmagens e no sistema de imagens em 3D 
	
	
	
	
Reflexão 
Permite que você leia este texto e veja os objetos à sua volta!
Quando uma onda atinge as fronteiras do meio no qual se propaga, será parcialmente absorvida e parcialmente refletida: o segundo fenômeno recebe o nome de reflexão e pode acontecer com ou sem inversão de fase.
	
	
Pode acontecercom qualquer tipo de onda: longitudinal ou transversal, mecânica ou eletromagnética. É um fenômeno que permite que os corpos que não emitem luz sejam vistos e encontra diversas aplicações, como a orientação de golfinhos e morcegos que inspirou a criação dos sonares a investigação de estruturas internas de forma não invasiva.
Exemplos e aplicações da reflexão das ondas:
	
	
	
	
	
	
	
	
Reflexão de ondas sonoras: eco e reverberação
O homem é capaz de ouvir sons cuja frequência varia de 20 Hz a 20.000 Hz.
Eco: 
distingue-se o som direto do som refletido. Para os homens acontece quando o intervalo de tempo entre eles é superior a 0,1 segundo.
Reverberação: 
Os sons direto e refletidos alcançam os ouvidos sem que se possa distingui-los.
	Todo ambiente tem seu tempo ótimo de reverberação que depende da geometria, do volume, do som emitido (música, palavra, etc) e do objetivo.
	
	
	
	
Refração 
Quando uma onda encontra uma fronteira entre dois meios será sempre parcialmente refletida e parcialmente transmitida/absorvida. A parte absorvida se propagará no novo meio com velocidade diferente. Denomina-se refração a esta transmissão no novo meio. A refração pode ser acompanhada de mudança de direção, o que acontecerá sempre que incidência não for normal à fronteira.
	Mudança de meio sem mudança de direção
 V1 = λ1 f V2 = λ2 f
 V1 / λ1 = V2 / λ2 
	Mudança de meio com mudança de direção:
 V1 = λ1 f V2 = λ2 f
V1 / λ1 = V2 / λ2
Raio incidente, raio refletido e raio refratado encontram-se todos no mesmo plano.
Interferência / Superposição:
	
	Acontece interferência quando uma onda se encontra com uma ou mais ondas. Uma vez cessada a interferência a superposição se encerra e cada uma das ondas segue inalterada. 
Acontece cancelamento ou reforço resultante da superposição de ondas;
Aplica-se tanto a ondas mecânicas quanto a ondas eletromagnéticas. 
Após interferirem, cada onda continua a se propagar como antes
 Exercício 4: Identifique a principal propriedade das ondas (propagação; superposição; refração; difração; polarização; reflexão) presente em cada uma das situações descritas abaixo:
As estrelas cintilando no céu.
Uma piscina aparentando mais rasa que o real.
Ruídos ouvidos através de uma porta fechada.
Você vê o que acontece às suas costas mesmo que esteja olhando para frente.
Você ouve simultaneamente sons provenientes de diferentes fontes.
Num dia quente você vê o asfalto molhado mesmo que o sol brilhe.
Você fala ao celular mesmo que esteja em um local com portas e janelas fechadas.
Você ouve um carro passando na rua embora não possa vê-lo.
Você ouve um eco.
Uma haste que parece quebrada quando parcialmente submersa.
RESSONÂNCIA (embora não seja uma propriedade das ondas e sim de um sistema oscilante, será novamente citado por ser um fenômeno importante na propagação das ondas)
Acontecem nas situações onde uma força externa pode atuar introduzindo energia no sistema. É o caso, por exemplo, dos balanços nos quais as crianças brincam nos parques. Ao se empurrar o balanço periodicamente de forma a introduzir energia no sistema, a amplitude do movimento pode aumentar.
condição especial para que, ao se fornecer energia a uma onda, esta apresente amplitude crescente: fornecer energia na mesma taxa na qual o sistema oscila NATURALMENTE!
Matematicamente a taxa na qual o sistema oscila é representada por w
Condição de ressonância: 
	w = wo
taxa na qual o estímulo é fornecido = taxa na qual o sistema vibra naturalmente
Para que aconteça a ressonância o sistema deve absorver o máximo da energia disponível, o que acontece quando a energia for fornecida na mesma taxa na qual o sistema oscila naturalmente (frequência natural). É usual que os sistemas apresentem diversas e diferentes frequências naturais. Apenas o pêndulo simples e o sistema massa-mola apresentam apenas uma única frequência natural. 
	Ressonância
Aumento na amplitude →há um estímulo numa freqüência próxima à freqüência natural de vibração.
EM aumenta com o tempo
Condição de ressonância: w = wo
	
Todas as estruturas mecânicas têm uma ou mais frequências naturais. Deve-se cuidar para não submetê-las a estímulos externos em qualquer destas freqüências naturais, pois a amplitude do movimento pode resultar tão grande que a estrutura chega a romper-se. Deve-se cuidar, por exemplo, para que nenhuma das frequências naturais em que as asas de um avião podem vibrar seja igual a uma das freqüências dos motores na velocidade de cruzeiro.
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
As ondas eletromagnéticas não necessitam de um meio material para se propagar, ou seja, elas podem se propagar no vácuo o que não é possível para as ondas mecânicas.
No vácuo, a velocidade de qualquer onda eletromagnética é c = 3,00x108 m/s e em qualquer outro meio sua velocidade será sempre menor do que este valor. Entretanto, ao se propagar no ar sua velocidade diminui de tal forma que, escrita com 3 algarismos significativos não apresenta alteração. Por isso, considera-se que a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no ar ou no vácuo como
v = c = 3,00 x 108 m/s (no ar ou vácuo)
Energia transportada (associada) a uma onda eletromagnética 
As ondas eletromagnéticas transportam energia através de fótons
Fótons: 
nome dado à energia eletromagnética no instante em que é transmitida
quantum de onda eletromagnética, pode apresentar diferentes quantidades de energia
A energia transportada por cada fóton encontra-se relacionada à freqüência da onda através da relação
	 
 E = h f 
	
	E = energia
h = 6,63 x 10 –34 J. s (constante de Planck)
f = freqüência
Unidades de energia:
No Sistema Internacional – SI, a unidade de energia é o joule. Entretanto, por facilidades técnicas é comum a utilização da unidade eletro-volt (eV)
1 eV = 1,6 x 10 -19 J
Espectro eletromagnético: 
Classificação das ondas eletromagnéticas de acordo com a energia que é transmitida pelos fótons
Tomando um meio homogêneo, onde a onda se propaga com velocidade constante, 
Como h e v são constantes, tem-se o que permite afirmar que 
 ou 
O espectro eletromagnético pode ser apresentado classificando as ondas eletromagnéticas em função da energia, da frequencia ou do comprimento de onda, tomando-se as ondas se propagando no vácuo (ou ar).
v = c = 3,00 x 108m/s
Na figura abaixo o espectro eletromagnético é apresentado associando-se a energia ao comprimento de onda e apresentando suas principais aplicações.
Ondas de Rádio: São assim denominadas as ondas eletromagnéticas de freqüências que variam de 102 a 108 Hz; são usadas nos sistemas de comunicações. Apresentam subdivisões, sendo diferentes faixas de freqüência reservadas a diferentes usos: rádios, estações de TV, bombeiros, polícia, celulares, etc.
Microondas: É uma subdivisão das ondas de rádio; são as ondas de rádio que apresentam mais energia. São geradas pelas oscilações de elétrons em circuitos elétricos e também utilizadas para transmissões de sinais telefônicos, de TV e celulares, especialmente nas transmissões via satélite. Como apresentam freqüências próximas à freqüência natural de vibração da molécula de água, o fenômeno da ressonância passou a ser utilizado e deu origem ao forno de microondas e ao estudo de propriedades atômicas e moleculares.
Infravermelho (IV): possuem comprimentos de onda variando aproximadamente de 10-3 m até 10-7 m. São geradas pela vibração das moléculas de corpos em temperaturas comparáveis às do corpo humano, sendo emitidas pelos seres vivos. Detectores de infravermelho são utilizados para localizar vazamentos de calor, guiando mísseis e localizando pessoas, veículos ou animais na ausência de luz visível. São também usadas em fisioterapia e nos controles remotos aparelhos domésticos.
Luz visível: É produzida pelas transiçõeseletrônicas dos elétrons dos átomos e recebe este nome por carregar a energia necessária para estimular a visão dos seres humanos. O estímulo depende da frequência da onda, cores diferentes referem-se a frequências distintas. A maior sensibilidade humana encontra-se na faixa intermediária, correspondente ao amarelo. 
Ultravioleta (UV): Com comprimentos de onda que vão de cerca de 10-7 a 10-10 m são produzidas também por transições eletrônicas só que em níveis eletrônicos de energias mais altas. Embora essenciais à vida humana, em excesso podem provocar doenças como o câncer.
Raios X: são ondas eletromagnéticas cujo comprimento de onda varia entre 10-8 e 10-11m. Os raios X são provenientes da frenagem de elétrons de altas energias quando atingem um alvo de metal ou de matéria que é sugada por um buraco negro no espaço. Importante no estudo dos cosmos, apresenta também grande aplicação na medicina, seja para diagnóstico ou terapia. Deve ser usada com critério pois, radiação ionizante, pode provocar ter efeitos deletérios nos seres vivos.
Raios Gama: São assim denominadas as ondas de maior energia do espectro eletromagnético, são emitidas em reações nucleares. Com diversificadas aplicações na indústria e na medicina, tanto diagnóstica quando terapêutica, são altamente penetrantes e podem produzir sérios danos aos tecidos vivos; seu uso envolve cuidados e obediência a rígidas normas de segurança.
Exercício 5: Identifique no espectro eletromagnético as ondas
a) com freqüências de 2kHz; 2 MHz(giga)
b) com comprimentos de onda: 80m; 0,9mm
Exercício 6: Mostre que os fótons das ondas de luz visível carregam mais energia que os fótons das ondas de rádio.
Exercício 7:
a) Por que as ondas de raios X conseguem atravessar seu corpo, e a luz visível n?
b) Considere duas ondas eletromagnéticas: uma de comprimento de onda 2 km e a outra com freqüência 1018 Hz. Qual delas transporta mais energia associada? Qual a relação entre as energias que transportam?
Exercício 8: Uma notícia importante é transmitida por ondas de rádio para pessoas sentadas próximas de seus rádios, a 100 km de distância da estação e por ondas sonoras, para pessoas sentadas na sala de notícias, a 70 m do transmissor de notícias. Quem recebe a notícia primeiro? Explique e considere a velocidade do som no ar sendo 340 m/s.
Exercício 9: Se uma pessoa comenta que utilizou uma fonte de ondas eletromagnéticas cuja energia associada era de 1,6 x 1016 J, é possível que esta pessoa esteja falando ao celular?
Exercício 10: Se colega foi ao dentista e disse-lhe que no tratamento foi utilizado um aparelho cuja energia associada dos fótons era 4,1 eV. Você conclui, corretamente, que o profissional acendeu a luz ou tirou uma radiografia?
Exercício 11: Sugira uma utilização para uma fonte de ondas eletromagnéticas que utilizam ondas:
de energia associada 1,2 x 106 J
de frequência 1014 Hz
de comprimento de onda 15 m
de energia associada 3,2 keV
de comprimento de onda 5,0 cm
Exercício 12: Os fornos domésticos de microondas aquecem os alimentos fornecendo energia para as moléculas de água. Seria possível deduzir, a partir desta informação, que as moléculas de água vibram com frequência na faixa classificada como microondas? Qual fenômeno físico estaria envolvido no funcionamento destes fornos? 
Exercício 13: Se ondas eletromagnéticas usadas nos fornos de microondas encontra-se na mesma faixa que as ondas eletromagnéticas utilizadas na telefonia celular, isto é, se os fótons transmitem associada semelhante, qual a diferença fundamental entre os dois aparelhos? 
POTÊNCIA DE UMA FONTE DE ONDAS ELETOMAGNÉTICAS
Energia transmitida por uma fonte de ondas eletromagnéticas
Energia associada ao fóton (da onda) ≠ energia transmitida por um aparelho (fonte de ondas), 
Como uma fonte emite onda eletromagnética continuamente, é usual referir-se à potência emitida, que é a quantidade de energia emitida por unidade de tempo.
Potência: taxa na qual a energia é transmitida. 
Para taxas constantes pode-se considerar
Como trabalharemos sempre com taxas constantes,
A energia total emitida por uma fonte é a soma das energias emitidas pelos fótons 
	
	Etotal = energia total emitida pela fonte
n = número de fótons emitidos
En = energia de cada fóton
Exercício 14: Em uma "caneta" ponteira laser (laser-pointer) utilizada para apontar detalhes numa tela de 
projeção encontra-se impresso: “1mW – 660 nm”. A partir destas informações, determine: 
a) a energia associada a cada fóton 
b) o número de fótons emitidos por segundo 
c) a energia transmitida pela caneta por segundo 
Exercício 15: Considere uma lâmpada de luz monocromática que emite 4,7 x 1020 fótons por segundo. A freqüência de emissão é 6x1014 Hz. Qual é a potência da lâmpada? Qual a cor da lâmpada?
Exercício 16: Considere duas fontes de radiação eletromagnética; a fonte 1 emite ondas de comprimento de onda 5x10-10 m e a fonte 2 emite ondas de comprimento de onda 8x10-10 m. A potência de ambas as fontes é de 200 W, 
a) Qual delas emite mais fótons a cada segundo? 
b) É possível que estas fontes sejam lâmpadas? 
Exercício 17: Considere uma lâmpada de luz monocromática de freqüência 6,8 x 1014 Hz cuja potência é 120 W. 
a) Qual a energia de cada fóton? 
b) Quantos fótons ela emite em 5 minutos? 
c) Calcule a energia emitida em 5 minutos de funcionamento. 
Exercício 18: A onda de rádio é uma onda eletromagnética, que se propaga com velocidade 3,0 x 108 m/s no ar ou no vácuo (igual à luz). Determine o comprimento de onda das ondas emitidas por uma emissora de rádio FM com frequência igual a 104 MHz.
POTÊNCIA TRANSMITIDA POR ONDAS SENOIDAIS EM CORDAS
(a cada comprimento de onda)
	
	P = potência = energia /segundo
µ = densidade linear de massa (massa/comprimento)
A = amplitude
W = frequência angular
V = velocidade de propagação
	Demonstração da expressão:
Potência:
taxa na qual a energia é transmitida
	P = dE / dt
	E = EC + EP
Suponha uma onda transversal que se propaga numa corda homogênea
Onda transversal: 
direção de vibração: y
direção de propagação : x
Corda homogênea: 
densidade linear constante
μ = constante = massa / comprimento
Cada ponto da corda vibra em MHS, podendo-se utilizar as relações:
Posição:
Y (x, t) = A sen(kx – wt)
Velocidade de vibração de cada ponto do meio:
Vy = - A w cos(kx – wt)
Velocidade de propagação da onda:
v = λ f = λ / T
Energia de cada elemento de massa Δm da corda:
E = EC + EP
Cálculo da energia de uma onda mecânica que se propaga da corda 
(elementos de massa Δm; comprimento Δx)
Energia cinética:
ΔEc = (1/2) Δm (Vy) 2
Considerando que
μ = Δm/ Δx → Δm = μ Δx
Vy = - A w cos(kx – wt) 
ΔEc = (1/2) μ Δx [- A w2 cos(kx – wt)] 2
ΔEc = (1/2) μ Δx A2 w2 cos2 (kx – wt)
Tomando lim Δm→ 0, temos Δx→ dx e ΔEc→ dEc
dEc = (1/2) μ A2 w2 cos2 (kx – wt) dx
Considerando o instante t = 0
dEc = (1/2) μ A2 w2 cos2 (kx) dx
Integrando para um comprimento de onda λ (de zero a λ)
∫dEc = ∫ (½) μ A2 w2 cos2 (kx) dx
∫dEc = (½) μ A2 w2 ∫cos2 (kx) dx
Tomando numa tabela de integrais
∫cos2 (ax) dx = [(x/2) + (sen(2ax) / 4a] 
∫sen2 (ax) dx = [(x/2) - (sen(2ax) / 4a] 
Resolvendo, tem-se a energia cinética associada a cada comprimento de onda:
ECλ = (½) μ A2 w2 [(x/2) + (sen(2ax) / 4a]│o λ
ECλ = (¼) μ A2 w2 λ
Energia potencial:
ΔEp = (1/2) k (Y) 2
Lembrando que
 Y = Y (x, t) = A sen(kx – wt)
ΔEP = (1/2) k [A sen(kx – wt)] 2
ΔEp = (1/2) k A2 sen2 (kx – wt)
Considerando que cada elemento de massa Δm oscila em MHS, e que k = w2 Δm 
ΔEp = (1/2) w2 Δm A2 sen2 (kx – wt)
Considerando que μ = Δm/ Δx → Δm = μ Δx
ΔEp = (1/2) w2 μ Δx A2 sen2 (kx – wt)
Tomando lim Δm→ 0, temos Δx→ dx e ΔEp→ dEp
dEp = (1/2) μ A2 w2 sen2 (kx – wt) dx
Considerando o instante t = 0
dEp = (1/2) μ A2 w2 sen2 (kx) dx
Integrando para um comprimento de onda λ (de zero a λ)
∫dEp = ∫ (½) μ A2 w2 sen2 (kx) dx
∫dEp = (½) μ A2 w2 ∫ sen2 (kx) dx
Tomando numa tabela de integrais
∫cos2 (ax)dx = [(x/2) + (sen(2ax) / 4a] 
∫sen2 (ax) dx = [(x/2) - (sen(2ax) / 4a] 
Resolvendo, tem-se a energia potencial associada a cada comprimento de onda:
Epλ = (½) μ A2 w2 [(x/2) - (sen(2ax) / 4a]│o λ
Epλ = (¼) μ A2 w2 λ
Energia Mecânica: 
Eλ = Epλ + Ecλ
Eλ = (¼) μ A2 w2 λ + (¼) μ A2 w2 λ
Eλ = (½) μ A2 w2 λ
	Eλ = (½) μ A2 w2 λ
	Energia que passa por um dado ponto de
uma corda durante 1 período de oscilação
Potência transferida: P = (dE /dt) = Eλ / T
P = (½) μ A2 w2 λ / T
Lembrando que v = λ / T 
P = (½) μ A2 w2 v
Ex. 19 Uma mangueira de jardim quando vazia tem massa de 0,180 kg e, comprimento de 13,6 m. Você deseja gerar nesta corda ondas senoidais que tenham amplitude 0,300 m e comprimento de onda de 0,50 m. Se as ondas se propagam com velocidade 10m/s na situação descrita,: 
determine a frequência da vibração com a qual você deve agitar a mangueira.
calcule a taxa na qual você deve fornecer energia à mangueira
Exercício 20: Uma pedra é atirada sobre a superfície de um lago o formam-se ondulações circulares concêntricas cujas amplitudes diminuem com o aumento da distância ao centro. Por que apenas a amplitude se altera? 
Exercício 21: Quando o som sai do ar e penetra na água, sua frequência se altera? E sua velocidade? E seu comprimento de onda? Explique suas respostas.
Exercício 22: Desde que a amplitude seja suficientemente grande o ouvido humano pode detectar ondas mecânicas no intervalo de 20 a 20.000Hz. Determine o comprimento de onda correspondente a estas frequências para ondas no ar (velocidade 340 m/s) e para ondas na água (velocidade 1500 m/s).
Exercício 23: Numa corda de violão se propaga com velocidade 4500 m/s uma onda de 440 Hz. A corda faz vibrar o ar ao seu redor e a caixa ressonante do violão aumenta a intensidade do som tornando-o audível. Calcule a frequência e a velocidade do som ouvido.
Exercício 23: A figura mostra uma corda mista, composta por duas cordas diferentes: A e B. Uma fonte gera ondas na corda A e esta se propaga até o receptor, localizado na extremidade da corda B. Considere que 20% da energia da onda seja refletida e que não existe outra perda de energia entre a fonte e o receptor, isto é, 80% da energia que é emitida pela fonte de ondas é absorvida e segue se propagando na corda B. Medidas cuidadosamente realizadas indicam que a onda, quando se propaga na corda A apresenta amplitude 0,5m e comprimento de onda de 0,20m. Quando na corda B a onda apresenta amplitude 0,4m e seu comprimento de onda modifica-se para 0,16m. 
determine a relação entre as velocidades da onda se propagando nas duas cordas e indique em qual das cordas ela se propaga com maior velocidade
 determine a relação entre as densidades lineares de massa das cordas
Exercício 24: Suponha duas fontes de ondas:
fonte A: gera ondas eletromagnéticas de frequência 2,3 x 1014Hz que se propagam no ar numa razão de 8 x 1020 fótons/segundos
fonte B: gera ondas mecânicas de amplitude 0,020m, e frequência 140 Hz numa corda de aço (v = 4500m/s), com densidade linear 0,0056 kg/m
Identifique a onda gerada pela fonte A e sugira um possível aparelho
Calcule o comprimento de onda de cada uma das ondas
Determine a razão entre as potências das fontes indicando qual delas é mais potente