Monografia Verso Final

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
CENTRO DE ESTUDOS GERAIS
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO PARA PROFESORES DE ENSINO
FUNDAMENTAL E MÉDIO
JOSÉ CARLOS GONÇALVES GASPAR
ÁREAS E VOLUMES DE CORPOS REDONDOS
NA EDUCAÇÃO BÁSICA
NITERÓI
2005
JOSÉ CARLOS GONÇALVES GASPAR
ÁREAS E VOLUMES DE CORPOS REDONDOS NA EDUCAÇÃO BÁSICA:
Monografia apresentada ao Curso de 
Especialização em Matemática para 
Professores de Ensino Fundamental e 
Médio, como requisito parcial para a 
obtenção do Grau de Especialista.
Orientador: Prof. Dr. WANDERLEY MOURA REZENDE
Niterói
2005
 GASPAR, José Carlos Gonçalves
B249 Áreas e volumes de corpos redondos na educação 
básica / José Carlos Gonçalves Gaspar; orientador 
Prof. Dr. Wanderley Moura Rezende. Niterói, RJ : 
s.n., 2005.
 86 f. : ilust.
 Monografia (Especialização) - Universidade Federal 
Fluminense. Instituto de Matemática. Curso de 
Especialização para professores de ensino 
fundamental e médio.
 1. Geometria 2. Geometria espacial 3. Educação 
Básica 4. Cálculo 5. História da Matemática
CDD 516
 
JOSÉ CARLOS GONÇALVES GASPAR
ÁREAS E VOLUMES DE CORPOS REDONDOS NA EDUCAÇÃO BÁSICA:
Monografia apresentada ao Curso de 
Especialização em Matemática para 
Professores de Ensino Fundamental e 
Médio, como requisito parcial para a 
obtenção do Grau de Especialista
Aprovada em 14 de Julho de 2005
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Wanderley Moura Rezende – Orientador
Universidade Federal Fluminense (UFF)
Prof. Dr. Jorge Bria
Universidade Federal Fluminense (UFF)
Prof. Dr. Marcelo Almeida Bairral
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFFRJ)
Niterói
2005
DEDICATÓRIA
Aos meus pais, José Carlos e Eliana,
que me ensinaram as lições da vida
 e deram todo incentivo e apoio.
A minha namorada, pela
 inestimável compreensão e apoio.
AGRADECIMENTOS
A Deus, aquele que tudo provê e a quem
tudo devo, por sua fidelidade inabalável
Ao meu orientador Prof. Wanderley, grande Mestre
 no ensinamento, sempre paciente e compreensivo, 
um professor inesquecível.
Aos meus demais professores da UFF, em 
particular os meus ex-orientadores:
Ana Isabel, Roosevelt Dias, 
Mário Olivero e Cruz Sonia.
As minhas amigas e colegas 
professoras de Língua Portuguesa
Lucia Fernandes e Tânia Cristina pela revisão do texto.
Aos meus amigos e colegas que me incentivaram:
Alexsandre Pereira, 
Prof. César Felipe (Matemática), 
Prof. Cláudio Mendes (Matemática), 
Prof. Giuseppe Toscano (Matemática), 
Profª. Glenda (Inglês), 
Prof. Leila Botelho (Matemática), 
Prof. J. C. Loureiro (Matemática), 
Profª. Maria de Lourdes (Matemática),
Prof. Oséias Gomes (Matemática), 
Prof. Rodrigo Martins (Química), 
e Prof. Sandro Lopes (Matemática).
RESUMO
Nesta monografia, discorre-se sobre os conceitos de área e volume de 
corpos redondos, que, ao longo da história, foram desenvolvidos a partir de 
idéias e conceitos do Cálculo. Sendo assim, como pode esse conteúdo ser 
trabalhado no Ensino Básico de Matemática se o Cálculo não faz parte do 
currículo neste grau de escolaridade? É essa, sem dúvida, a questão que 
norteia este trabalho.
A área do círculo, as áreas laterais do cilindro circular reto e do cone de 
revolução, a área da superfície esférica e os volumes do cilindro circular reto, 
do cone de revolução e da esfera foram os tópicos da geometria de corpos 
redondos aqui analisados. Tendo como referência alguns textos didáticos 
recentes, foram mapeados procedimentos que tinham o objetivo de observar 
como o os tópicos citados acima foram desenvolvidos. Para cada procedimento, 
um mapa. E para cada tópico, tantos mapas quantos foram os procedimentos 
encontrados. 
Palavras – chave: Área de Superfícies de Revolução - Volume de Corpos Redondos – Mapas –
Ensino Básico de Geometria – Geometria – História da Matemática
ABSTRACT
This paper is about the concepts of area and volume of round bodies 
that, throughout History, were based on ideas that of the calculus. So, how 
can this content be taught to Mathematics basic learners if calculus is not a 
component of the curriculum in this level of education? This is, with no 
doubts, the most important question to be accurately thought in this paper.
The area of the circle, side areas of rectun circular cylinders and 
cones of revolution, there of spheres surface, the volumes rectun circular 
cylinders, and of cone of revolution and spheres were topics of round bodies 
geometry analysed troughout this paper. Based on some recent didactic texts, 
some procedures were experienced and mapped to observe as topics named 
over above were developed . For each procedure, a map. And for each topic, 
its maps and procedures.
Key Words: Area of Surface of Revolution, Volume of Round Bodies, Maps, 
Geometry, Basic Learning, Geometry, Mathematics History.
SUMARIO
Introdução .............................................................................................................. 09
Capítulo 1 – Um Breve Relato da História da Geometria
de Corpos Redondos .............................................................................................. 12 
Capítulo 2 – Metodologia ...................................................................................... 36
2.1 – Introdução ..................................................................................................... 36
2.2 - Breve Introdução à ‘Teoria de Mapas’ ................................................... 37
2.3. A Pesquisa ....................................................................................................... 41
Capítulo 3 – Os Mapas .......................................................................................... 46
3.1. Área do Círculo ............................................................................................... 47
3.2. Área da Superfície do Cilindro Circular Reto ........................................ 52
3.3. Volume do Cilindro Circular Reto .............................................................. 54
3.4. Área da Superfície do Cone de Revolução .............................................. 62
3.5. Volume do Cone de Revolução ..................................................................... 65
3.6. Volume da Esfera .......................................................................................... 68
3.7. Área da Superfície Esférica ...................................................................... 71
Conclusão ................................................................................................................ 77
Obras Citadas ........................................................................................................ 82
Obras Consultadas ................................................................................................ 84
INTRODUÇÃO
É preciso que o professor se esforce no
sentido de dar um caráter concreto aos
problemas que apresenta aos estudantes.
A. Huisman
Analisando a história da matemática, percebemos que, para o 
desenvolvimento do cálculo da área e do volume dos corpos redondos, seja o 
cilindro circular reto, o cone de revolução, ou mesmo a esfera, é necessário 
utilizar a noção de limite ou de métodos infinitesimais, instrumentos que foram 
desenvolvidos no domínio do Cálculo. Rezende (2003), em sua tese de doutorado, 
ratifica esta posição: “O cálculo de áreas de regiões planas limitadas por curvas 
não retilíneas e de volumes de sólidos “arredondados” é, com efeito, um problema 
de natureza geométrica, mas cuja solução passa pelo domínio do Cálculo ”.
Por outro lado, sabemos que estes instrumentos do Cálculo não fazem 
parte do conteúdo programático do ensino básico de Matemática. Desta forma, 
chegamos ao seguinte questionamento: como o cálculo da área e do volume dos10
corpos redondos são abordados no ensino básico se nele o Cálculo não se faz 
presente?1
No intuito de responder a esta questão, optamos pelo uso de “mapas” como 
instrumento metodológico, utilizando, em particular, os mapas conceituais. 
Antigamente os mapas eram usados apenas na Geografia, hoje, entretanto, já 
estão presentes em outras áreas do conhecimento. Boaventura Santos (2002), 
que fez uso dos mapas para simbolizar as representações sociais no campo do 
Direito, serviu como referencial teórico para o desenvolvimento da metodologia 
desta pesquisa. Segundo o sociólogo, “os mapas distorcem a realidade para 
instituir a orientação” (apud Santos, 2000 p. 198). Destaca-se no mapa o que há 
de mais relevante no contexto, o que permite a orientação necessária para as 
conclusões do leitor.
Nessa monografia vamos mapear os procedimentos de construção dos 
conceitos de áreas e de volumes de corpos redondos: cilindro circular reto, cone 
de revolução e esfera. E, como tais assuntos se relacionam de modo direto com a 
área do círculo, abordaremos, também, esse último tema. 
Tendo em vista a abrangência da expressão “no ensino básico de 
Matemática”, optamos por realizar a análise da questão no âmbito dos livros 
didáticos. Compreendemos, entretanto, que existe uma distância entre o que 
“está escrito no livro didático” e o que “acontece de fato em uma sala de aula de 
Matemática”. Mas, fizemos essa escolha, por considerar o grande potencial de 
influência que este instrumento exerce no professor e, conseqüentemente, no 
ensino dos temas já citados.
 
1 Tal questão é levantada por Rezende (2003) em sua tese de Doutorado e segue em seu projeto 
de pesquisa (2003).
11
No capítulo 1, fazemos um breve relato da história da geometria dos 
corpos redondos. Nele, apresentamos a evolução das idéias e procedimentos 
utilizados na solução dos problemas já mencionados. 
A metodologia da pesquisa é apresentada no 2° capítulo. Inicialmente é 
realizada uma revisão teórica a respeito do nosso principal instrumento 
metodológico: o mapa. Com relação a ele destacamos quais os fatores que 
correspondem ao seu processo de comunicação, bem como as ferramentas 
utilizadas na sua elaboração, a simbolização e os procedimentos de sua 
construção. 
Os mapas construídos são apresentados então no capítulo 3. Para cada 
tema2 foram mapeados os “procedimentos” adotados pelos autores dos livros 
didáticos para o desenvolvimento dos assuntos. Para cada procedimento, um 
mapa, e para cada tema, tantos mapas quantos foram os procedimentos 
encontrados. 
 
2 Área do círculo, área lateral do cilindro circular reto, volume do cilindro circular reto, área 
lateral do cone de revolução, volume do cone de revolução, volume da esfera e a área da 
superfície esférica.
CAPÍTULO I - Um Breve Relato da História 
da Geometria de Corpos Redondos
"Os infinitos e os indivisíveis transcendem nossa compreensão finita.
O primeiro devido à sua magnitude; o segundo, devido à sua limitação.
Imagine o que eles representam quando combinados." 
Galileu Galilei (1564-1642)
Neste capítulo, vamos fazer um breve relato da história da geometria 
dos corpos redondos, que é o tema central desse trabalho. Aqui iremos relatar 
de que forma o cálculo de áreas e volumes de corpos redondos foi desenvolvido 
no decorrer dos tempos.
A palavra geometria é derivada do grego, com base no radical geõ de gé 
= terra e métron = medida. Ademais, há em grego clássico o verbo geõmétrin = 
medir a terra, ser agrimensor ou geômetra.
Foi atribuída aos egípcios e aos caldeus, pelos historiadores, a criação 
da geometria. Os caldeus eram povos de origem semita1, que habitavam a 
 
1 Termo usado para designar, na Antigüidade, os povos de línguas semíticas que eram os 
babilônios, assírios e fenícios.
13
Mesopotâmia, região da Ásia Ocidental, entre os rios Tigre e Eufrates, onde 
hoje se localiza o Iraque.
Conforme revelações obtidas através das tábuas de argila, encontradas 
durante as escavações arqueológicas, os caldeus empregavam fórmulas da 
geometria devido à necessidade de se calcular áreas e volumes em situações 
do cotidiano. Estudos realizados nos Papiros de Rhind1 e de Golenishev2
indicam, por exemplo, que para construir templos religiosos adotavam algumas 
fórmulas geométricas. Pode-se assim afirmar que, na antiguidade, a geometria 
era uma ciência empírica, uma coleção de regras práticas para obter 
resultados aproximados.
Segundo Eves (1997) os egípcios, por exemplo, consideravam a área do 
círculo como sendo equivalente a área de um quadrado de lado igual a 8
9
 de seu 
diâmetro. Assim:
 Figura 1
2 2 2
2 28 8 16.2
9 9 9
                  
A l D r r ,
 
1 Ele também é conhecido como papiro de Ahmes, em homenagem ao escriba que copiou por 
volta de 1650 a.C., esse foi o papiro mais extenso da antiguidade, que continha contribuições 
dos egípcios em matemática. 
2 Esse papiro é datado de aproximadamente de 1890 a.C. e também é conhecido como papiro 
de Moscou.
14
o que sugere o valor aproximado de 256
81
 para o que hoje chamamos de  .
Ainda na civilização egípcia, pode-se dizer que os seus geômetras 
acertavam, por vezes, no cálculo correto de volumes, como no caso do cálculo 
do volume de um tronco de pirâmide de base quadrada; outras vezes, erravam 
grosseiramente, como, por exemplo, na área de um quadrilátero convexo 
arbitrário, calculada como se fora um retângulo [isto é, a área era calculada 
como o produto das semi-somas das medidas dos lados opostos, que 
corresponde à fórmula: 14 ( )( )a c b d  ].
A civilização da China é muito mais antiga que as da Grécia e Roma. 
Datar os documentos matemáticos da China não é nada fácil, e estimativas 
quanto ao Chou Pei Suang Ching, um documento da matemática chinesa, 
geralmente, considerado o mais antigo dos clássicos matemáticos, diferem por 
quase mil anos. Alguns consideram o Chou Pei como sendo de cerca de 1.200 
a.C., mas outros afirmam que tal obra teria sido produzida no primeiro século 
de nossa era, por volta de 300 a.C.
O Chou Pei indica que na China, como Heródoto (484 - 425 a. C.) dizia do 
Egito, a geometria derivou da mensuração; e, como na Babilônia, a geometria 
chinesa era essencialmente um exercício de aritmética ou álgebra. Quase tão 
antigo quanto o Chou Pei, e talvez o mais influente livro de matemática chinês, 
foram o Chui-Chang Suan-Shu ou Nove Capítulos sobre a Arte Matemática 
composto por volta de 250 a.C. Esse livro contém 246 problemas sobre 
mensuração de terras, engenharia, impostos, cálculos, solução de equações, e 
propriedades dos triângulos retângulos. 
Os chineses repetiam então o velho hábito dos babilônios e egípcios de 
compilar coleções de problemas específicos. A área do círculo era calculada 
tomando três quartos do quadrado sobre o diâmetro ou um doze avos do 
15
quadrado da circunferência3. Segundo Boyer (1996), o uso do valor três para 
 na matemática chinesa antiga não chega a ser um argumento para afirmar 
dependência com relação a Mesopotâmia, especialmente porque a busca de 
valores mais precisos, desde os primeiros séculos da era cristã, era mais 
persistente na China que nos demais lugares. Valores como 3,1447, 10 , 92
29
 e 
142
45
 são encontrados em texto chineses. No terceiro século Liu Hui, um 
importante comentador do Nove Capítulos, obteve 3,14 usando um polígono 
regular de 96 lados e a aproximação 3,14159 considerando um polígono de 
3 072 lados.Mas foi, sem dúvida, com os geômetras gregos, começando com 
Tales de Mileto (c. 624-547 a.C.), que a geometria é estabelecida como teoria 
dedutiva. 
A intuição, a descoberta empírica e a experimentação têm o seu lugar, 
mas é o raciocínio dedutivo, a demonstração ou dedução a partir de hipóteses 
conhecidas ou admitidas que se estabelece a veracidade das proposições 
geométricas. O trabalho de sistematização em geometria iniciado por Tales é 
continuado nos séculos posteriores, nomeadamente pelos pitagóricos. 
Por outro lado, sabe-se que o cálculo de volumes de corpos redondos 
está relacionado ao uso de quantidades infinitesimais. Vejamos, por exemplo, 
como Demócrito(~400 a.C.) de Abdera interpreta a constituição de um cone a 
partir das suas seções paralelas.
 Se cortarmos um cone por um plano paralelo à base [plano bem 
próximo à base], o que podemos dizer das superfícies que formam as 
seções? Elas são iguais ou diferentes? Se elas são diferentes, elas 
tornarão o cone irregular, cheio de dentes, como degraus, e imparidades; 
mas se elas são iguais, a seções serão iguais, e parece que o cone terá a 
 
3 Tais procedimentos sugerem o valor três para  .
16
propriedade do cilindro de ser construído por círculos iguais e não 
diferentes: o que é um absurdo.
(apud Baron & Bos, 1985, vol. 1 – p.20)
Figura 2
Sabe-se também que Demócrito foi o primeiro matemático grego a 
determinar o volume da pirâmide e do cone. Apesar de os egípcios já saberem 
encontrar o volume da pirâmide de base quadrada, o mérito de Demócrito está 
em ter generalizado, bem ao estilo grego, a maneira de determinar o volume 
para pirâmides de base poligonal qualquer. Para obter o volume do cone, 
bastava uma inferência natural obtida pelo aumento, repetido indefinidamente, 
do número de lados do polígono regular formando a base da pirâmide. Foi, 
Demócrito talvez o primeiro a falar de infinitesimais, pensando em utilizar 
lâminas circulares “infinitamente finas” para calcular o volume de cilindros e 
cones, antecipando-se assim ao teorema de Cavalieri. 
Por outro lado, não há dúvida de que Arquimedes de Siracusa (c. 287–
212) é a grande referência da matemática grega no cálculo de áreas e volumes 
de corpos redondos. Para ilustrar essa afirmação apresentaremos inicialmente 
a proposição 1 do texto “Medição do Círculo” do grande sábio, comentada pelos 
historiadores Baron e Bos:
17
A área de qualquer círculo é igual à área de um triângulo retângulo, no 
qual um dos lados, partindo do vértice cujo ângulo é reto, é igual ao raio, 
e o outro é igual à circunferência do círculo.
Para a sua solução Arquimedes teve a seguinte idéia:
Trace um círculo de raio r e um triângulo retângulo de altura r e 
base igual à circunferência do círculo. Seja C a área do círculo e K a 
área do triângulo. Queremos chegar que C K .
 Figura 3
Pela lei da tricotomia temos: C K ou C K ou C K .
1° caso: suponha que C K .
Com efeito, cada polígono inscrito  rp , 1 2 1...r rp p p p     e que 
(embora Arquimedes não chega a especificar este ponto) cada polígono 
sucessivo é formado do seu antecessor por acréscimo de um conjunto de 
triângulos, cada um dos quais com área maior do que a metade do 
segmento circular no qual é inscrito:
 Figura 4
1 1
 segmento 
2 2
AHD ADPQ AHD   .
Segue que 2 1
1
( )
2 r
p p C p   e em geral
1
1
( )
2r r r
p p C p   
Isto significa que (segundo Euclides, X, 1)4 escolhendo n grande, a 
diferença entre C e np , pode ser tão pequena quanto quisermos.
De acordo com Euclides, X, 1, temos que nC p C K   ; 
Daí np K .(i)
 
4 Esse axioma diz que: dadas duas grandezas diferentes (ambas não nulas), se da maior 
subtrairmos uma grandeza maior que a metade, e do que restou subtrairmos uma grandeza 
maior que a sua metade, repetindo esse processo continuamente, restará uma grandeza que 
será menor que a menor grandeza dada. (apud Brolezzi, 1999)
18
Por outro lado, como cada np é construído de triângulos cujas alturas 
são menores do que r e cujas bases são menores do que os arcos 
circulares sobre os quais eles se estendem, temos que np K para todo 
valor de n. (ii)
Se C > K então por (i) e (ii):    n np K p K   , que é absurdo, logo 
C K 
2° caso: suponha que C < K.
Vamos circunscrever um conjunto de polígonos  1 2 3, , , ...p p p , 
começando de um quadrado e continuando por bisseção de arcos.
 Figura 5
Ou seja, para provarmos que à medida que jogamos fora triângulos 
sucessivos, para construirmos novos polígonos, os triângulos em questão 
são em cada caso maiores do que a metade da diferença entre o polígono 
anterior e a área do círculo C :
 1
1
2r r r
P P P C  
Segundo Euclides, X, 1, podemos chegar a um polígono nP tal que 
nP C K C   ; logo nP K . (iii)
Porém, para todos os polígonos circunscritos, nP K (iv) , pois o 
polígono é constituído de triângulos, com altura r, e o seu perímetro é 
maior do que o perímetro do círculo.
Com efeito que se C K implica por (iii) e (iv) que nP K e nP K , 
ou seja, novamente uma contradição.
Assim, como C K e C K , então C K .
(apud Baron & Bos, 1985, vol. 1- p.34-35)
Outra obra prima de Arquimedes é o tratado Da esfera e do cilindro
contendo, entre outros, o célebre resultado de que a razão entre as áreas da 
superfície de uma esfera e de um cilindro no qual a esfera está inscrita é igual 
a 2 3 , e é também igual à razão entre os respectivos volumes. Num importante 
documento escrito, na forma de uma carta dirigida a Erastóstenes 
19
(bibliotecário no Museu de Alexandria), recuperado num antiquário em 1887, 
publicado em 1906 por Heiberg e conhecido por O Método, Arquimedes 
descreve como descobria os seus resultados. Eis um trecho da carta:
“... Achei apropriado explicitar e explicar em detalhe no mesmo 
livro as peculiaridades de um certo método, pelo qual será possível 
investigar alguns dos problemas da matemática por meio da mecânica. 
Este processo é, estou persuadido, útil até mesmo para a demonstração 
dos próprios teoremas; pois certas coisas primeiro se fizeram claras 
para mim por meio de um método mecânico, embora tivessem que ser 
demonstradas posteriormente por geometria, pois sua investigação pelo 
método citado não forneceu realmente uma demonstração. Mas é 
naturalmente mais fácil fornecer a demonstração de um problema quando 
adquirimos conhecimento prévio sobre ele, por meio de um método, do 
que achar a demonstração sem nenhum conhecimento anterior. Esta é a 
razão por que, no caso de teoremas de que Eudoxo foi o primeiro a achar 
a demonstração, ou seja, de que o cone é um terço do cilindro, e a 
pirâmide do prisma, que tem a mesma base e a mesma altura, não 
deveríamos atribuir pouco do mérito a Demócrito, que foi o primeiro a 
fazer a asserção relativamente a estas figuras, embora não a tenha 
demonstrado...”
(apud Aaboe, 2002 – p.120)
Os argumentos que utilizava — decomposição de superfícies e sólidos 
em faixas ou fatias infinitesimais e sua colocação judiciosa nos pratos de uma 
alavanca interfixa, entre outros — são precursores das técnicas sofisticadas 
do cálculo integral moderno. Num desses argumentos, sendo conhecidos o 
volume do cone e do cilindro de bases circulares, Arquimedes equilibra uma 
esfera e um cone circular (com altura e raio da base iguais ao diâmetro da 
esfera) com quatro cilindros circulares (também com altura igual ao diâmetro 
da esfera e raio da base igual ao raio da esfera) para deduzir a fórmula do 
volume da esfera ( )V r  43 3 .
20
a2a
Figura 6
 2 2. 2. .2. 2. 4. . .2 .
3e
rV r a r r a 
 
  
 
3
3 38. . 44. . . .
3 3e e
rV r V r     .
Todavia, Arquimedes não confia no rigor justificativo dessas técnicas, 
por isso, ao publicar os seus resultados, fá-los acompanhar de demonstrações 
no estilo euclidiano clássico, usualmente pelo método de exaustão.
Após toda essa era de grandes descobertas, tem-se um período na 
história que fica conhecido como a Idade das Trevas ou Idade obscura (455-
1003 d.C.). Durante esse tempo as ciências e a matemática não tiveram 
resultados significativos, pouco se conseguiu promover no campo científico. No 
entanto, com o surgimento das primeiras universidades cristãs no século XIII, 
os temas desenvolvidos e discutidos na matemática e na filosofia grega são 
retomados por pensadores religiosos, conhecidos na academia como “filósofos 
escolásticos”.
Retornando direto ao assunto e o objetivo dessa nossa revisão histórica, 
vejamos como Nicolau de Cusa (1401-1464), um escolástico, interpretou o 
problema da área do círculo. Para demonstrar o resultado de Arquimedes para 
a quadratura do círculo, Nicolau de Cusa usou explicitamente a idéia de 
infinitesimais:
21
2
.
2
.
)()(
nciacircunferêdaocomprimentraioperímetroapótema
polígonoScírculoS 
Esta idéia de descrever o círculo como um polígono de “número infinito” 
de lados, presente de forma marcante na demonstração de Nicolau de Cusa, 
aparece também nos trabalhos de M. Stifel (1486-1567) e de François Viète 
(1540-1603). Nicolau usou também o método de exaustão para “complementar” 
a sua demonstração. Leonardo da Vinci (1452-1519), que também tinha 
conhecimento dos trabalhos de Arquimedes, empregou métodos infinitesimais 
no desenvolvimento de seus trabalhos, tal como Nicolau usava-os nos seus. 
Simon Stevin (1548-1620), Kepler (1571-1630) e Galileu são exemplos de 
outros cientistas que conheciam o trabalho de Nicolau de Cusa; só que estes 
abandonaram a segunda parte de seu método de demonstração (aquela que usa 
o método de exaustão). Embora Stevin mantivesse inicialmente o método de 
exaustão, aos poucos, o matemático foi substituindo o elemento de redução ao 
absurdo pela passagem direta ao limite. 
Johann Kepler, foi outro matemático que acrescentou significativas 
modificações no método de Arquimedes. Inspirado pelas especulações de 
Nicolau de Cusa e Giordano Bruno (1548-1600), Kepler introduziu no método 
dos antigos os procedimentos infinitesimais. Ao determinar a área do círculo, 
Kepler usou do mesmo expediente de Nicolau de Cusa, Stifel e Viète: 
considerou o círculo como um polígono de infinito número de lados. Um 
exemplo de uma heurística infinitesimal (utilizada por Kepler no séc. XVII) 
Figura 7
22
para achar a relação entre a área ( A ) e o perímetro ( P ) de um círculo de raio 
r é a seguinte. Imagine-se um polígono regular inscrito na circunferência do 
círculo com um número muito grande de lados, e tirem-se raios do centro da 
circunferência para os vértices, formando um número igual de pequenos 
triângulos cujas bases são os lados do polígono. Se o número de lados for
infinitamente grande5, cada lado é infinitamente pequeno, o polígono confunde-
se com a circunferência e a altura de cada triângulo confunde-se (é 
infinitamente próxima de) com o raio r da circunferência. Assim, a área de 
cada triângulo é praticamente igual a 
1
2
1
2
    ( ) ( ) ( )base altura base r ,
isto é, a área da região poligonal é a soma das áreas de todos estes triângulos 
e confunde-se com a área do círculo. 
Figura 8
Ora, somando todas as áreas triangulares, a soma das bases dá o 
perímetro P da circunferência, donde A P r  12 .
De maneira análoga, Kepler considerou a esfera como sendo composta de 
infinitos cones infinitesimais, com vértice no centro da esfera, e cujas bases 
formam a superfície esférica – ele mostrou que o volume da esfera é igual a 
 
5 Entidades numéricas infinitamente grandes e pequenas (infinitesimais) foram utilizadas 
heuristicamente desde a antiguidade, e especialmente durante os séculos XVII e XVIII pelos 
matemáticos que precederam e pelos que contribuíram para o estabelecimento e 
desenvolvimento do cálculo infinitesimal modernos, como Newton, Leibniz, Euler, etc. 
r
b
h
r
r ~ h
23
1
3 do produto do raio pela área da superfície esférica. Kepler estendeu a 
aplicação de seu método infinitesimal ao cálculo de áreas de superfícies e 
volumes de sólidos, nunca antes tratados pelos matemáticos gregos. Baseando-
se implicitamente numa espécie de “lei da continuidade”6 para justificar essas 
aproximações infinitesimais. Segundo Boyer (1949), algumas somas infinitas de 
Kepler são notáveis antecipações daquilo que hoje chamamos de cálculo 
integral.
Bonaventura Cavalieri (1598-1647), assim como Kepler, foi discípulo de 
Galileu. Cavalieri é conhecido principalmente por ter redescoberto e 
desenvolvido o método dos indivisíveis tão do agrado (como método de 
descoberta) de Arquimedes. Cavalieri aplica tais métodos a áreas e volumes, 
nos tratados Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione 
promota (Geometria, promovida de uma nova maneira pelos indivisíveis 
contínuos, Bolonha, 1635) e Exercitationes geometricae sex (Seis exercícios 
geométricos, Bolonha, 1647). Estes livros foram imediatamente difundidos; por 
alguns criticado e por outros defendidos e admirados. Os dois livros de 
Cavalieri tornaram-se prontamente fontes indispensáveis para os métodos de 
integração e o seu nome será sempre lembrado em relação aos “indivisíveis” na 
matemática. Embora Cavalieri tenha imaginado, de alguma forma, o conceito 
medieval de indivisíveis como uma invenção ou artifício que funcionava, ele 
admitia que as demonstrações de Arquimedes nos moldes dos Antigos eram 
necessárias. A idéia básica de Cavalieri é interpretar uma figura plana (sólida) 
como composta de segmentos (secções) paralelos(as)  os indivisíveis da 
figura  e explorar esta idéia através de um teorema que compara áreas e 
volumes. Vejamos aqui o seu teorema:
 
6 A mesma “lei” será referida posteriormente por Newton e Leibniz no desenvolvimento de 
seus Cálculos infinitesimais. 
24
Se construirmos duas figuras planas quaisquer entre as paralelas e se ao 
traçarmos retas eqüidistantes as paralelas, os segmentos que 
interceptam as figuras plana forem iguais, então as figuras planas serão 
também iguais e se construirmos duas figuras sólidas entre os mesmos 
planos paralelos e traçarmos planos eqüidistantes dos planos paralelos, as 
seções que interceptam as figuras forem iguais então as figuras sólidas 
também serão iguais. 
(apud Baron & Bos, 1985, vol. 2 - p.14)
Para um melhor entendimento do teorema de Cavalieri faremos a 
seguinte atividade: determinar a área da elipse, conhecida a área do círculo 
que o “circunscreve“.
Suponha que a elipse tenha equação 
x
a
y
b
2
2
2
2 1  com eixo maior de 
comprimento 2a e o círculo tenha equação 2 2 2x y a  .
 Figura 9
Para calcular a área da elipse usaremos o fato de que
s
s
A
A' '

Para descobrir a razão entre os comprimentos s e s’ vamos utilizar as 
equações cartesianas da circunferência e da elipse, sendo 1y e 2y , 
respectivamente, as ordenadas do círculo e da elipse correspondentes ao 
mesmo valor “x ” no eixo das abscissas.
25
a
b
y
y
1
2
Figura 10
Ora, usando as equações cartesianas da circunferência e da elipse, 
obtemos
y a x1
2 2  , y b
a
a x2
2 2 
Logo 
1 1
'
2 2
2
2
y yS a
y y bS
   , 
que é, também, a razão entre as áreas ( A e A' ) das duas figurasplanas. Como 
A a  2 , obtemos finalmente
A
b
a
a ab'   2 .
O Geometria indivisibilibus de Cavalieri alcançou popularidade quase que 
imediatamente, e se tornou, exceto para os trabalhos de Arquimedes, a mais 
cotada fonte para os matemáticos que desenvolviam trabalhos em geometria 
por meio de considerações infinitesimais. 
Por outro lado, Gregoire de Saint-Vicent (1584-1667) apresenta uma 
outra visão sobre a natureza dos indivisíveis. Apesar de sua interpretação 
também não ser clara nem tampouco rigorosa, era menos ingênua que a de 
Cavalieri. Ele não considerava os infinitesimais sem espessura, como fez 
Cavalieri, mas com uma espessura bem pequena e que se tornava cada vez 
26
menor. Em uma de suas demonstrações, após inscrever em duas figuras de 
três dimensões muitos paralelepípedos finos, ele acrescentou que “esses 
paralelepípedos podem ser multiplicados então de tal modo que exaurirão o 
corpo no qual estão inscritos”.7 É deste modo que Gregoire reedita o “método 
dos antigos” e atribui-lhe, de forma pioneira, o seu consagrado nome de 
“método de exaustão”. Assim, com esta nova interpretação do método de 
exaustão, a noção de limite passa, enfim, a incorporar o seu reagente básico: o 
conceito de infinito. Apesar de seu trabalho ter influenciado os de muitos 
outros matemáticos, Gregoire foi ignorado por seus contemporâneos, só tendo 
seu trabalho reconhecido posteriormente com Huygens (1629-95) e Leibniz 
(1646-1716) (o outro “inventor” do Cálculo). Ele influenciou diretamente os 
trabalhos de Paul Guldin (1577-1642), André Tacquet (1612-1660) e outros que 
também usavam considerações infinitesimais. O primeiro tornou-se o maior 
crítico da falta de rigor no uso de infinitesimais por Kepler e de indivisíveis 
por Cavalieri. O segundo desenvolveu alguns trabalhos significativos fazendo 
uso de métodos infinitesimais. Devido à variedade de métodos infinitesimais 
que empregou, Tacquet é comparado por Boyer (1949) ao seu contemporâneo 
Torricelli. Em seu Cylindricorum et annularium libri IV, Tacquet apresentou, 
por exemplo, quatro demonstrações da proposição que afirma que “o volume da 
esfera é igual à de uma cunha cilíndrica cuja base é a metade de um círculo 
máximo da esfera, e cuja altura é igual à circunferência da esfera”.8
Ao desenvolver os seus cálculos infinitesimais, André Tacquet, 
considera que uma grandeza geométrica é feita apenas de partes homogêneas, 
ou seja, os elementos infinitesimais são de mesma natureza do todo envolvido. 
Assim, um sólido é constituído de pequenos sólidos, uma área, de pequenas 
áreas, e uma linha, de pequenas linhas e, para se aproximar da grandeza 
 
7 (apud Boyer, 1949)
8 (apud Boyer, 1949)
27
procurada, usa a idéia de limite e o método de exaustão tal como sugeriu seu 
mestre Gregoire. 
Como pode-se perceber, as quantidades infinitesimais estiveram 
associadas, ao longo da história, a linhas ou superfícies indivisíveis, ou mesmo a 
números infinitamente pequenos. No entanto, com Fermat (1601?-1665), as 
quantidades infinitesimais passam a ser interpretada como uma “constante 
indeterminada”, representada em geral pela letra “E”, e que assume um papel 
mais próximo do nosso conceito de variável.
É impressionante a antecipação de Fermat do conceito de integração 
como o limite de uma soma de retângulos. Ainda que Fermat não tenha dado a 
ênfase necessária à noção de limite, seu método de quadratura não deve nada 
ao método de integração desenvolvido por seu conterrâneo Cauchy (1789-
1857) dois séculos depois. Segundo Boyer (1949), o que faltou a Fermat foi 
explicitar de forma clara a operação de limite e reconhecer nela mesma o 
elemento fundamental de seu método.
Em outro caminho, Wallis (1616-1703) também fez uma adaptação do 
método de indivisíveis de Cavalieri. Enquanto a abordagem do matemático 
italiano era essencialmente geométrica, Wallis, por outro lado, procedia 
aritmeticamente ao calcular os limites na etapa final do seu método. Segundo 
Boyer (1949), Wallis chegou mais próximo da operação de limite do que 
qualquer dos predecessores de Newton (1642-1727). 
A tentativa de aritmetização dos resultados do Cálculo por Wallis 
repercute nos trabalhos de seu contemporâneo James Gregory (1638-1675). 
Gregory unifica em seus trabalhos tanto a aritmética infinitesimal de Wallis 
quanto a de Roberval (1602-1675) . Em seu artigo Vera circuli et hyperbolae 
quadratura, de 1667, Gregory vislumbrou a “passagem ao limite” como uma 
operação aritmética independente. Inscreveu e circunscreveu polígonos em 
28
círculos e em hipérboles, e mostrou, por duplicações do número de lados, que 
as séries obtidas a partir do perímetro dos polígonos eram convergentes, uma 
vez que as diferenças entre dois valores consecutivos se tornavam cada vez 
menores. Gregory afirmava, neste caso, que o limite era o “’ultimo” polígono. E, 
para sinalizar que a série tinha uma soma, introduziu o termo "convergente", 
que ele trouxe da óptica.
Newton e Leibniz (os “inventores” do Cálculo), tendo ambos o 
conhecimento do Teorema Fundamental do Cálculo, preferiram juntar o seu 
cálculo integral a uma aplicação simples e direta deste teorema em vez de 
investirem em uma definição mais precisa para o processo de integração. Esta 
foi, efetivamente, a solução mais defendida pelo Cálculo para o problema da 
integração: em sua fase inicial integrar uma curva significa “antidiferenciar” a 
mesma, ou seja, descobrir uma outra curva cuja “derivada” seja a curva dada. 
Com efeito, a definição precisa do conceito de integração, que será realizada 
em termos de limites de somas parciais [inicialmente com Cauchy, e depois com 
Riemann (1826-1866)], foi desenvolvida com mais rigor no âmbito da Análise.
Riemann, então, formulou uma definição rigorosa da integral. Vários 
tipos de “somas de Riemann” tinham aparecido em cálculos de áreas e volumes 
desde os tempos de Arquimedes, mas foi Riemann quem formulou a definição 
em toda a sua generalidade. O conteúdo desta definição pode ser visto 
usualmente nos livros textos de Cálculo:
Seja f uma função definida em um intervalo  ,a b . Se P é uma 
partição9 de  ,a b e S é uma escolha para P , então a soma de Riemann 
para f determinada por P e S é: 
 
9 Uma partição P de [a,b] é uma coleção de subintervalos        0 1 1 2 2 3 1, , , , , , ..., ,n nx x x x x x x x
de [a,b] tal que 0 1 2 3 1... n na x x x x x x b        .
29
*
1
1
( )
n
i
i
R f x x

  , (eq.1)
diz-se, também, que esta soma de Riemann está associada à partição P.
(apud Edwards & Penney, 1997, vol. 1 – p.267)
Entretanto, no caso de uma função f que toma valores positivos e 
negativos em  ,a b , é necessário considerar os sinais indicados na figura 12
quando se interpreta geometricamente a soma de Riemann (equação 1). Em 
cada subintervalo  1 1,ix x tem-se um retângulo de largura ix e “altura” 
*( ) 0if x  . Se *( ) 0if x  , o retângulo está acima do eixo x; se *( ) 0if x  , o 
retângulo está abaixo do eixo x. A soma de Riemann R é, então, a soma das 
áreas dos retângulos que estão acima do eixo x, menos a soma das áreas dos 
que estão abaixo do eixo x.
À medida que as larguras ix desses retângulos vão se tornando muito 
pequenas as aproximações vão se tornando cada vez melhores. 
Figura 11 - interpretação geométrica da soma de Riemann
Assim, a integral de f em  ,a b se define tomando-se o limite das 
somas de Riemann quando a norma P 10 tende para zero:
 
10 A norma da partição P é o maior dos comprimentos 1ii ix x x    dos subintervalos de P, e 
se denota por P .
30
 *
0 1
lim ( )
n
i iP i
I f x x
 
  
A integral definida da função f em  ,a b é então o número
*
0 1
lim ( )
n
i iP i
I f x x
 
 
desde que o limite exista. Neste caso, diz-se que f é integrável em  ,a b . 
A notação usual para a integral de f em  ,a b é a mesma usada por
Leibniz. Assim, de modo sintético, temos que:
*
10 1
( ) lim ( )
nb
ia P i
I f x dx f x x
 
  
 Figura 12
Assim, temos que  b
a
A f x dx  (eq.2)
Vejamos, agora, alguns exemplos de como podemos resolver problemas 
de áreas e de volumes de corpos redondos, fazendo uso da integral de 
Riemann.
Primeiramente o caso da área do círculo:
Considere a área do círculo unitário 2 2 1x y  como sendo (por 
definição) o número  . Assim pode-se afirmar que:
1 2
0
4 1 x dx   (eq.3) 
uma vez que a integral na equação 3 é, a área do primeiro quadrante do círculo. 
Considere agora um círculo de raio r arbitrário. Suponha, sem perda de 
31
generalidade, que o centro deste círculo na origem das coordenadas (como no 
caso do primeiro círculo). Isto posto, temos que a área A deste círculo é dada 
por:
2 2 2
0 0
4 4 1 ( / )
r r
A r x dx r x r dx    
1 2
0
4 1 (Substituição: , )xr u rdu u dx rdu
r
   
12 2 2
0
4 1r u du r  
Figura 13 Figura 14
( raio = 1 ) ( raio = r )
A área das superfícies de revolução pode ser calculada usando a 
seguinte expressão:
    2'2 1 A f x f x dx      (eq.4)
Assim, a área da superfície esférica de raio r pode ser calculada como 
segue.
Considere a esfera de raio r gerada pela revolução de um semicírculo 
cuja equação é 2 2y r x  , r x r   , em torno do eixo x - figura 15. Daí, 
temos que 
2 2
dy x
dx r x
 

 não é definida no intervalo fechado  ,r r , mas 
apenas no aberto  ,r r . Desta forma, seja um  um número positivo pequeno, 
vamos calcular a área da superfície da porção da esfera pela revolução da 
32
parte do semicírculo entre x r    e x r   em torno do eixo x , e a 
seguir tome o limite quando  tende a zero. Logo a área desejada é, dada por
2
r- 2 2
-r+0
lim 2 1 dyA r x dx
dx




      
2r- 2 2
2 2-r+0
lim 2 1 xr x dx
r x




   
r-
-r+0 0
lim 2 lim 2 r rr dx rx
 
 
 
 

  
 
    
0
lim 2 r r r

  

    
  2
0
lim 2 2 2 4r r r

  

  
 figura 15 figura 16
De forma similar, podemos calcular a área da superfície lateral do 
cilindro de revolução e do cone de revolução.
Para o caso do cilindro, podemos interpretar a superfície cilíndrica como 
sendo gerado pela revolução da reta y c ,  0,x b , em torno do eixo x –
figura (17). Assim, substituindo a função na equação (4), temos:
0 0
2 1 0 2 2
b b
A c dx c dx bc      
2A rh
33
 figura 17
Já para o caso do cone podemos interpretar a superfície deste sólido 
como sendo gerado pela revolução de uma reta de inclinação m cuja equação é 
y mx , 0 x b  , em torno do eixo x - figura 18. Assim, substituindo a 
função na equação 4, temos:
 2 20 02 1 2 1 b bA mx m dx m m x dx     
  22 2 22 1 12bm m mb m    
figura 19 figura 20
Como a geratriz do cone é a distância do vértice (no caso, a origem) ao 
ponto  ,b mb , seu comprimento será 2 2 2 21b m b b m   . Assim a fórmula 
   2 2 21 1A mb m mb b m     , ou seja, A rg .
(apud Munem & Foulis, 1982, vol. 1)
34
Agora para o cálculo de volume podemos utilizar o “método das seções 
transversas”, que diz:
Se o sólido R se dispõe ao longo do intervalo  ,a b no eixo x e tem 
função área da seção transversa  A x contínua, então seu volume  V R é:
 b
a
V A x dx 
(apud Edwards & Penney, 1997, vol. 1)
Este resultado do Cálculo moderno equivale ao “Teorema de Cavalieri” 
conhecido hoje como “princípio de Cavalieri”.
Vejamos, agora, dois exemplos envolvendo o cálculo de volumes.
Para o cálculo do volume da esfera, imaginemos este sólido como sendo 
obtido pela rotação de uma região semicircular plana da figura 20 em torno do 
eixo x. 
Figura 20 Figura 21
   2 2 2A x y R x    
2 2( ) ( ) 
R R
R R
V A x dx R x dx
 
    
2 3 31 4
3 3
R
R
R x x R 

     
De forma similar temos o volume do cone. Vejamos:
35
 Figura 22 Figura 23
A figura 22 mostra o cone como o sólido obtido pela revolução, em torno 
do eixo y , do triângulo de vértices      0,0 , 0, e ,h r h . Os triângulos 
semelhantes da figura 23 dão a equação x r
y h
 , de modo que o raio da seção 
circular transversa perpendicular ao eixo y no ponto y é ryx
h
 . Então com 
( ) ryg y
h
 , dá:
2
b 2
a 0
( ) 
b h
a
ryV A y dy x dy dy
h
          
2
2 2
2 0
1 1
3 3
hr y dy r h Ah
h
    ,
onde 2A r é a área da base do cone.
Também de forma similar ao cone e a esfera, podemos calcular o volume 
do cilindro ( 2V r h Ah  ).
CAPÍTULO II - Metodologia
“E o explendor dos mapas,
caminho abstrato para imaginação concreta,
 letras e riscos irregulares abrindo para a maravilha.” 
 Fernando Pessoa (1888-1935)
2.1. Introdução
O mapa tem aparecido como metodologia de pesquisa além do universo 
geográfico, como pode ser visto, por exemplo, em Santos (2000), livro no qual 
o ilustre sociólogo faz a utilização do mapa para representar a realidade 
jurídica. Nesta obra, o autor mostra que os mapas podem ser utilizados, 
inclusive, em pesquisas na área de Ciências Sociais. Assim, de forma similar, 
procuramos utilizar tal instrumento no desenvolvimento deste trabalho. 
Tendo em vista um melhor entendimento sobre mapas, faremos uma 
breve introdução teórica a respeito do tema.
37
2.2. Breve Introdução à ‘Teoria de Mapas’
Segundo Monmonier (1982), o principal tema da cartografia é o processo 
da comunicação cartográfica. O mapa em si é apenas uma das considerações de 
uma corrente que começa em uma imagem da realidade que alguém deseja 
transmitir e culmina com os efeitos intelectuais ou físicos do usuário do mapa. 
Desta forma, ele classifica os grandes fatores desta corrente em:
1) o autor do mapa
2) a intenção da mensagem do mapa
3) a técnica de mapeamento
4) o leitor do mapa
5) a mensagem recebida pelo leitor do mapa
Os quatros primeiros fatores têm influência diferenciada na eficácia da 
comunicação cartográfica refletida no quinto fator.
Analisemos então com mais detalhes os fatores mencionados por 
Anderson:
1) Os autores dos mapas podem ser escritores, propagandistas, editores 
de atlas, estudantes, educadores, decisores do governo, empresários de 
informações geográficas ou qualquer outra pessoa que tentar comunicar 
alguma informação geográfica. Não é necessário ser cartógrafo nem trabalhar 
ao lado deles. Como ponto de partida de comunicação cartográfica, os autores 
devem saber não somente o que eles querem que os seus mapas mostrem, mas 
também os limites da tecnologia de mapeamento e as necessidades e 
capacidades de leitura de mapas de seus leitores. 
2) A mensagem a ser transmitida com o mapa pode ser simples ou 
complexa. O importante é que ela precisa estar clara na mente do autor; caso 
contrário, o mapa será provavelmente deficiente. Além disso, mesmo se um 
38
mapa é apropriado, a falha do autor em identificar precisamente o que o mapa 
quer dizer freqüentemente conduz á inclusão de detalhes alheios que servem 
somentepara obscurecer a mensagem. Quando for preciso transmitir duas ou 
mais mensagens, é preferível que se confeccionem dois ou mais mapas, 
individualizando cada informação. Tal separação evita maior esforço na leitura 
e possível erro de decodificação. 
3) A técnica de mapeamento é importante por várias razões óbvias. 
Algumas projeções, alguns métodos de simbolização e graus de generalização 
são mais apropriados que outros em se tratando de facilitar a comunicação 
cartográfica. Morrison (apud Monmonier, 1982) em um estudo de diferentes 
métodos para delimitação de “isolinhas” (linhas que unem pontos de igual valor) 
interpoladas entre pontos espalhados, mostra que existem várias fontes de 
erro possíveis: a) durante a coleta, gravação e manipulação dos dados; b) no 
desenho e na reprodução; c) na leitura e análise dos mapas. Os erros 
produzidos pelos métodos podem ocorrer em qualquer estágio entre a coleta e 
o ajuste de dados originais e o posicionamento do primeiro ponto do desenho 
final. 
4) As próprias características do leitor fornecem um outro possível 
obstáculo à comunicação cartográfica efetiva. Podendo, inclusive, surgir 
dificuldade de o sistema nervoso humano perceber corretamente o tamanho 
relativo dos círculos graduados e as diferentes tonalidades de cinza para 
áreas sombreadas com símbolos diferentes. Para evitar que isto atrapalhe a 
interpretação, os cartógrafos precisam saber mais sobre a função da 
percepção visual e sua relação com o desenho de mapas (Mcleary, apud 
Monmonier, 1982). Alguns experimentos psicofísicos tentaram descrever 
matematicamente as relações entre símbolos como estímulos no papel e as 
respostas que eles produzem no cérebro. Isto levou à recalibração dos 
39
tamanhos de círculos graduados fazendo com que os leitores se aproximem 
mais das estimativas dos valores numéricos reais que os símbolos representam 
(Flannery, apud Monmonier, 1982). 
5) O treinamento na leitura de mapas fornece uma outra solução para 
melhorar a mensagem recebida. (Olson, apud Monmonier, 1982), por exemplo, 
deu aos seus entrevistados a oportunidade de verificarem as respostas 
corretas que obtiveram em testes sobre a densidade de pontos e a magnitudes 
de círculos graduados. Muerche (apud Monmonier, 1982) pede um 
entendimento maior das limitações dos mapas, para que decisões adverso ás 
necessidades humanas e a qualidade do meio ambiente não resultam da má 
aplicação de mapas pelo mapeador ou leitor. Balchin (apud Monmonier, 1982) 
apresenta argumento para uma mais completa educação sobre as leituras dos 
mapas e a “graficação” da população. Graficação é um termo inventado análogo 
com a alfabetização (entendimento de palavras formados por letras), com a 
articulação (habilidade verbal-oral), e com a numeração (capacidade de usar 
números). “Graficação” é o entendimento, habilidade e capacidade de usar os 
aspetos visual-espacial (gráficos, mapas desenho, etc.) que são os aspectos 
visual-espacial que compõem parte da inteligência e comunicação humana. Blaut 
e Stea (apud Monmonier, 1982) reconheceram a capacidade que as crianças de 
três anos de idade possuem de fazer e usar mapas eles recomendaram com 
insistência que o treinamento formal com mapas deve começar quando a 
criança começa a estudar. 
Segundo Boaventura (2000), a principal característica estrutural dos 
mapas reside em que, para desempenharem adequadamente as suas funções, 
têm, inevitavelmente, de distorcer a realidade. Borges (1972), por exemplo, 
conta-nos a história do imperador que encomendou um mapa exato do império, 
insistindo que ele deveria ser fiel aos mínimos detalhes. Assim, os melhores 
40
cartógrafos da época, depois de muito trabalho, conseguiram terminá-lo. 
Produziram um mapa de exatidão insuperável, pois que coincidia ponto a ponto 
com o império. Contudo, perceberam, frustrados, que o mapa não era nada 
funcional, já que tinha o tamanho do império. Desta forma, percebemos que, 
para ser realmente útil, o mapa não deve retratar a realidade em suas mesmas 
proporções. Entretanto, a distorção da realidade que isso implica não significa 
que a representação seja de qualquer forma, desde que os mecanismos de 
distorção da realidade sejam conhecidos e possam ser controlados. 
Os mapas distorcem a realidade através de três mecanismos de 
elaboração: a escala, a projeção e a simbolização. Tais mecanismos, 
autônomos, envolvem procedimentos distintos e exigem decisões específicas.
A escala é “a relação entre distância no mapa e a correspondente distância do 
terreno” (Monmonier, apud Santos, 2000 p. 201). Nela vemos a distância com 
que é tratada a informação. Sendo assim, o mapa de grande escala por 
exemplo, tem um grau de pormenorização maior que os mapas de pequena 
escala, pois cobrem uma área inferior à que é coberta, no mesmo espaço de 
desenho, pelos mapas de pequena escala. Os mapas mostram sempre “uma 
versão miniaturizada” (Keates, apud Santos, 2000 p. 202 ) da realidade, assim, 
sempre envolvem uma decisão sobre quais são os detalhes mais importantes e 
suas principais características. Desta forma, a escolha da escala dependerá do 
uso do mapa e da intenção de quem o elabora. O que se mostra/oculta em um 
mapa é o que o autor quer que seja mostrado/ocultado. 
A projeção, segundo mecanismo, representa sempre um compromisso e 
cada tipo de projeção cria então um campo de representação no qual as formas 
e os graus de distorção têm lugar segundo regras conhecidas e precisas 
(Santos, 2000). A decisão sobre o tipo e grau de distorção a privilegiar é 
condicionada, muitas vezes, por fatores técnicos, todavia não deixa de ser 
41
baseada na ideologia de quem codifica a mensagem e no uso específico a que o 
mapa se destina (Rezende, 2003). 
Já a simbolização diz respeito aos sinais gráficos usados para assinalar 
os elementos e suas características. Segundo Rezende (2003) se a escala 
indica o “grau de pormenorização da realidade” e a projeção o “grau de 
distorção”, a simbolização indica a “forma de representação” da mesma 
segundo a escala e a projeção realizada. Portanto, se a palavra-chave 
associada à projeção é projeto, e à escala é relevância, o termo relacionado à 
simbolização é linguagem.
2.3. A Pesquisa
Nesta seção apresentamos os procedimentos e instrumentos utilizados 
nesta pesquisa, que tem por objetivo investigar de que forma os conceitos de 
área e volume dos corpos redondos são tratados em alguns livros didáticos. 
Escolhemos este instrumento como fonte para a nossa pesquisa devido ao 
importante papel que eles desempenham no processo “ensino-aprendizagem”. É 
notória a popularidade do uso do livro didático no ensino básico, visto que ele 
está presente na grande maioria das salas de aula. Além disso, em outras 
situações em que ele não é usado de modo direto, o livro didático serve, muitas 
vezes como ponto de apoio para o esclarecimento e orientação dos 
professores.
Os livros que serviram de referência para a nossa análise foram 
escolhidos de acordo com três critérios fundamentais/principais: popularidade 
(utilizados na maioria dos colégios), atualidade (que foram revisados 
42
recentemente ou que possuem publicação nova) e qualidade (considerados de 
boa qualidade pela comunidade acadêmica).
Foram selecionados quinze livros: seis de Ensino Fundamental, sete de 
Ensino Médio e dois volumes de uma coleção que aborda conteúdos de todo o 
Ensino Básico. A seguir, é possível observar os nomes e os autores das obras 
escolhidas:
Livros do Ensino Fundamental:
 ANDRINI, Á.; VASCONCELLOS, M. J.. Novo Praticando a Matemática.
1ª edição. 2002
 BIGODE, A. J.L. Matemática hoje é feita assim. 1ª edição. 2000
 BORDEAUX,A.L. et alii , Matemática na vida e na escola. 1ª edição 
1999.
 DANTE, L. R. Tudo é Matemática. 1ª edição. 2004
 IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A.. Matemática e Realidade. 4ª 
edição. 2000.
 IMENES & LELIS. Matemática para todos. 2ª edição. 2002.
Livros do Ensino Médio:
 BIANCHINI, E.; PACCOLA, H. Matemática. 5ª edição. 2002
 DANTE, L. R.. Matemática – contexto e aplicações.3ª edição. 2003. 
 IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R.; ALMEIDA, N. 
de. Matemática – ciência e aplicações. 1ª edição. 2001.
 JÚNIOR, O. G. Matemática por assunto: geometria plana e espacial. 2ª 
edição. 1989.
43
 MACHADO, A. dos S. Matemática Temas e Metas – Áreas e Volumes. 
Edição. 1988.
 PAIVA, M. R. Matemática: Conceitos, Linguagem e Aplicações. 1ª 
edição. 2002.
 SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; Matemática. 3ª edição. 2003.
Livros do Ensino Fundamental e Médio:
 DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos da Matemática Elementar : 
geometria plana – v.9. 5ª edição. 1992.
 DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos da Matemática Elementar : 
geometria espacial – v.10. 5ª edição. 1992.
Os temas abordados foram: área do círculo, área da superfície lateral do 
cilindro circular reto, área da superfície lateral do cone de revolução, área da 
superfície esférica, volume cilindro circular reto, volume do cone de revolução 
e volume da esfera. O tópico “área do círculo” foi incluído no trabalho por 
servir de base para a compreensão de todos os demais conceitos aqui 
relatados, sendo encontrado em livros da 8ª série do ensino fundamental e 
recordado na 2ª série do ensino médio. Já os corpos redondos são conteúdos 
programáticos do ensino médio1. Convém ressaltar, entretanto, que os 
conceitos de volume do cone de revolução e volume do cilindro circular reto 
são apresentados também em alguns livros do ensino fundamental2.
Durante a construção dos mapas, que serão mostrados no próximo capítulo, 
foram levadas em consideração as diversas formas de abordar os temas 
 
1 Em geral esse assunto é tratado na 2ª série.
2 Esse assunto é tratado em alguns textos na 8ª série.
44
destacados anteriormente. Entretanto, se o leitor preferir acompanhar a linha 
de pensamento de um determinado autor, poderá fazê-lo seguindo a tabela de 
conversão a seguir, na qual são apresentadas informações sobre o autor, o 
segmento de ensino (EF – Ensino Fundamental – e EM – Ensino Médio) e a 
numeração dos mapas.
Para facilitar a organização nomearei cada um dos mapas da seguinte 
maneira: Uma letra representará seu tema e um número, sua ordem na 
abordagem. A letra A será utilizada para representar a área do círculo; a letra 
B, a área lateral do cilindro circular reto, a letra C para o volume do cilindro 
circular reto, a letra D representará a área lateral do cone de revolução, a 
letra E, o volume do cone de revolução, a letra F, o volume da esfera e 
finalmente a letra G servirá para representar a área da superfície esférica. 
Por exemplo: o mapa E.2 representa o segundo procedimento utilizado no 
desenvolvimento do tema volume do cone de revolução que foi mapeado. 
Nome do Autor Segmento Número(s) do(s) Mapa(s)
Andrini EF A1, C6
Bianchini EM A5, B1, C4, D1, E2, F1, G1
Bigode EF A1, C3
Bordeaux(Proj.Fundão) EF A2
Dante EF A2, A4, C2, D1, E1
Dante EM A2, A4, B1, C4, D2, E2, F1, G2
Dolce3 EF e EM A4, B2, C4, D2, E2, F1, G1
Iezzi EF A4
Iezzi EM A4, B1, C7, D1, E4, F3, G4
 
3 O volume 9 – geometria plana - é referência para o mapa A.4; os demais mapas são de 
assuntos tratados somente no volume 10 – geometria espacial.
45
Imenes EF A4, C1
Júnior EM A3, A4, B1, C4, D1, E2, F3, G4
Machado EM A5, B1, C4, D1, E2, F1, G3
Paiva EM A5, 4C, B1, D1, E2, F1, G1
Smole EM A5, B1, C5, D1, E3, F2, G2
Algumas cores foram utilizadas para melhor organizar e classificar os 
ramos da matemática envolvidos em cada parte do mapa. A intenção é dar 
destaque àquela que estiver mais evidente, apesar de estarmos falando de um 
tema específico e tradicional do ensino de geometria nessa monografia. 
O fundo amarelo, por exemplo, será utilizado quando estiver presente 
alguma idéia ou instrumento característico do Cálculo, o fundo azul, quando a 
idéia/instrumento presente for estritamente de natureza algébrica e o fundo 
vermelho, quando estes estiverem relacionados apenas ao contexto 
geométrico.
Outra ferramenta de apoio à simbolização dos mapas são as linhas e as 
setas. As setas vão dar sentido e ligação entre as células. A direção da seta 
indica o fluxo da composição das idéias. A composição das idéias pode estar 
direta ou indiretamente relacionada. No primeiro caso a seta fica totalmente 
preenchida, no segundo, apenas pontilhada. 
CAPÍTULO III – Os Mapas
"A matemática revela seus segredos apenas
àqueles que a abordam com puro amor, 
por sua própria beleza". 
Arquimedes
Neste capítulo apresentamos o mapeamento que realizamos a partir dos 
procedimentos encontrados nos textos didáticos selecionados acerca dos 
temas-chave desta monografia. Desenvolvemos um mapa para cada 
procedimento diferente encontrado. Após a apresentação de um mapa, 
tecemos breves comentários sobre as idéias presentes no mapa, citando 
também quais autores se utilizaram desta abordagem do tema.
Como são um total de sete temas, teremos então sete seções, 
distribuídas na seguinte ordem: área do círculo, área da superfície lateral do 
cilindro circular reto, volume do cilindro circular reto, área da superfície 
lateral do cone de revolução, volume do cone de revolução, volume da esfera e 
área da superfície esférica.
47
3.1. Área do Círculo
 1ª forma:
mapa A.1
área do “serrote” = metade da área do retângulo = área do triângulo retângulo
Área do Triângulo Retângulo  Área do Círculo
O mecanismo que acabamos de ver para demonstrar a fórmula da área do 
círculo é utilizado por Andrini e Bigode. Nele, os autores procuram dividir o 
círculo em setores. Em seguida colocam juntos na mesma linha todos os 
setores e concluem que a área do círculo é igual a área do “serrote”, que é 
igual a área do triângulo retângulo, que, por sua vez, é equivalente à metade de 
um retângulo, cuja base é igual ao comprimento da circunferência e cuja altura 
é igual ao raio. Conclui-se, então, que a área do triângulo é, aproximadamente, 
igual à área do círculo.
48
 2ª Forma:
mapa A.2
Área do Círculo = Metade da área do paralelogramo
Este procedimento é muito parecido com o anterior. A demonstração da 
área do círculo, como na primeira, baseia-se na divisão do círculo em setores 
circulares. No entanto, a figura formada é agora um paralelogramo de base 
igual ao comprimento da circunferência e altura igual ao raio. E desse modo, 
conclui-se que a área do paralelogramo é igual à área do círculo. Dante e 
Bordeaux1 fazem uso desses mecanismos em seus textos. 
O mecanismo utilizado tanto na 1ª forma quanto na 2ª forma 
apresentam em essência idéias presentes no método de Exaustão.
 
1 Ana Lúcia Bordeaux, Cléa Rubinstein, Elizabeth França, Elizabeth Ogliari e Gilda Portela 
formam o grupo de autoras do livro Matemática na vida & na escola. 
49
 3ª Forma:
mapa A.3
Área do Círculo = Área do Triângulo
Essa abordagem do tema é desenvolvida por Júnior. O autor faz a 
comparação entre os comprimentos das circunferências concêntricas com as 
linhas (retas) que formam o triângulo e conclui, fazendo uso (mas, sem 
mencionar) do “princípio” de Cavalieri, que a área do círculo é igual a área do 
triângulo formado pelo empilhamento ordenado dos comprimentos dos círculosconcêntricos (que formam o círculo). Desta maneira, tem-se que a base do 
triângulo é o comprimento da circunferência e sua altura, o raio do círculo, ou 
seja, sua área então é calculada por: S = 21 . .2
2
 r r r .
50
 4ª Forma:
mapa A.4
Polígonos Regulares Inscritos no Círculo
Apótema  Raio
Polígono Regular  Círculo
Área do Polígono Regular  Área do Círculo
O mecanismo visto acima para demonstrar a fórmula da área do círculo é 
utilizado por Dante, Dolce2, Imenes, Iezzi3 e Júnior. Aqui os autores 
utilizaram-se de uma seqüência de polígonos regulares, onde se percebe que 
quanto maior o número de lados, “mais próximo” a área desse polígono fica da 
área do círculo, ou seja, a área do círculo é igual à área do polígono regular, 
onde o seu perímetro é o comprimento da circunferência e seu apótema o raio.
 
2 Em Fundamentos da Matemática Elementar volume 9, porém ele também faz uso de polígonos 
regulares circunscritos a circunferência.
3 Em: Matemática & Realidade e Matemática Ciência & Aplicações – volume 2.
51
O procedimento relatado acima também faz uso de idéias relacionadas 
ao Método de Exaustão. 
 5ª Forma:
mapa A.5
Área do Círculo
A = 2r
Nos livros do ensino médio a área do círculo é tratada, geralmente, como 
um tema de revisão, logo acaba tendo um tratamento muito “seco”, ou seja, a 
sua fórmula é apenas citada sem nenhuma justificativa, como podemos ver 
acima. Os autores que utilizam esse procedimento são: Bianchini, Machado, 
Paiva e Smole & Ignez.
52
3.2. Área da Superfície do Cilindro Circular Reto
 1ª forma:
mapa B.1
Área da Superfície Lateral do Cilindro = Área do Retângulo
Essa abordagem pode ser vista nos textos de Bianchini, Dante, Iezzi, 
Júnior, Machado, Paiva e Smole & Ignez. Aqui a superfície lateral do cilindro 
circular reto é aberta de modo que esta tome forma de um retângulo. A área 
da superfície lateral do cilindro é determinada pela área desse retângulo com 
base igual ao comprimento da circunferência e altura igual ao do próprio 
cilindro. 
53
 2ª forma:
mapa B.2
    2 2pV r x h r h    2p
V
h r x
x

 para 0x    2 0LA h r   2LA rh
Essa abordagem foi apresentada apenas por Dolce, numa seção 
separada, dentro do capítulo sobre esfera. Aqui o autor utiliza a idéia de ter 
dois cilindros circulares retos, um dentro do outro, um de raio r e o outro de 
raio r + x. Em seguida, para calcular a área da superfície lateral do cilindro, ele 
faz a diferença entre os volumes dos dois cilindros e divide essa diferença por 
x, fazendo depois disso x tender a zero. Neste procedimento, o autor está 
usando, em verdade, a idéia de que:
     
0
lim
x
V x r V rA r
x
 
isto é:
   dA r V r
dr

54
3.3. Volume do Cilindro Circular Reto
 1ª forma:
mapa C.1
Área do Círculo
Cubo unitário
“h camadas, onde h é um n° decimal”
Volume do Cilindro = 2 r h
Esta forma foi apresentada por Imenes4. O procedimento inicia-se com 
a visualização de um círculo de raio 10 unidades sendo coberta por 314 
unidades quadradas. Em seguida cobre-se esta figura com cubinhos de aresta 
 
4 O autor também utilizou este procedimento no cálculo da área do círculo.
55
medindo 1 unidade. Observa-se então que a figura formada por todos os 
cubinhos é aproximadamente um cilindro de 1 unidade de altura com volume 
igual 314 unidades cúbicas. Seguindo o mesmo raciocínio para uma altura h e 
raio r , o autor chega à fórmula do volume do cilindro usando a idéia de 
proporcionalidade, ou seja,
Altura Volume
1 314 ~ 2r
H V
O que implica 2V r h .
56
 2ª forma:
mapa C.2
Área do Círculo
Volume do Cilindro
Essa forma é similar a primeira. Todavia o autor utiliza como base o círculo 
fracionado e não uma região poligonal que o aproxima. Tal procedimento pode 
ser observado em Dante5. 
 
5 Em seu livro Tudo é Matemática – 8ª série.
57
 3ª forma:
mapa C.3
Pilha de Cilindros Circulares e Pilha de Paralelepípedos
Superfícies Equivalentes e Sólidos Equivalentes
Principio de Cavalieri
Volume do Paralelepípedo = Volume do Cilindro Circular
Esta forma foi apresentada por Bigode. O autor utiliza uma bolacha 
cilíndrica de espessura de 0,5 cm, cuja base circular tem a mesma área que a 
base quadrada de outra bolacha, em forma de paralelepípedo, também com 0,5 
cm de espessura. Assim ao empilhar “as bolachas cilíndricas” uma sobre a 
outra e também “as bolachas em forma de paralelepípedos” uma sobre a outra, 
de modo que a altura h das pilhas seja a mesma, o autor conclui que esses 
sólidos têm o mesmo volume, citando como justificativa o princípio de 
Cavalieri, isto é, quando dois sólidos têm seções planas de mesma área e os 
sólidos têm a mesma altura, então os volumes são iguais.
58
 4ª forma:
mapa C.4
Cilindro Prisma
Bases Equivalentes e Altura = h
Princípio de Cavalieri
Volume do Cilindro = Volume do Prisma
Esta forma de abordagem é predominante nos textos do ensino médio, 
como pode ser visto em: Bianchini, Dante6, Dolce7, Júnior, Machado e Paiva. O 
autor, através da comparação de um prisma e um cilindro de bases de mesma 
área e altura iguais, concluem a partir do princípio de Cavalieri8, que o volume 
do cilindro é igual ao volume do prisma, ou seja, seu volume .bV A h , ou ainda, 
2V r h .
Cabe ressaltar que o procedimento adotado por esses autores pode ser 
aplicando tanto no cilindro circular oblíquo como no cilindro circular reto. 
 
6 Em Matemática - Contextos & Aplicações – volume 2.
7 Em Fundamentos da Matemática Elementar – volume 10.
8 Sejam os S1 e S2 dois sólidos apoiados num plano  e seja  um plano paralelo a  , que ao 
seccionar S1, também secciona S2, determine duas regiões planas de áreas A1 e A2. Se para 
todo plano  temos A1 = A2, então volume S1 = volume S2. 
59
 5ª forma:
mapa C.5
PRINCÍPIO DE CAVALIERI
Volume do Cilindro Circular Reto = 2 r h
Esta forma foi apresentada por Smole & Ignez. As autoras afirmam que 
a fórmula do volume do cilindro circular reto é conseqüência do princípio de 
Cavalieri, que foi apresentado por elas em outra seção do livro.
60
 6ª Forma:
mapa C.6
h “camadas”, tão finas quanto se queira, cada uma com a mesma área
2
 ou bV A h V r h 
Esta forma de abordagem é apresentada por Andrini. Neste caso, 
visualizamos claramente a idéia de quantidade infinitamente pequena quando o 
autor fala que cada fatia pode ser tão pequena quanto se queira. Ele também 
utiliza de forma intuitiva a noção de limite. A idéia do autor se aproxima muito 
com a que conhecemos como integral, o cálculo do volume é o limite de uma 
soma cada vez maior de pequenos volumes que se aproximam de zero. O autor 
consegue passar através do cálculo de volume uma idéia básica do conceito de 
integração, preparando assim, o aluno para um “estágio” mais avançado. 
Também vale ressaltar que esta abordagem é feita pelo autor em um livro 
destinado ao ensino fundamental, o que sugere que realmente seja possível 
realizarmos algumas antecipações das idéias do Cálculo no ensino básico de 
matemática.
61
 7ª forma:
mapa C.7
VOLUME DO CILINDRO CIRCULAR RETO = VOLUME DO PRISMA
2
bV A h r h 
Esta forma foi apresentada por Iezzi9. Aqui o autor apenas apresenta a 
fórmula do volume do cilindro como sendo a mesma do prisma, ou seja, é igual 
ao produto da área da base pela altura. O autor não menciona, em nenhum 
momento, a existência do “princípio” de Cavalieri.9 Em Matemática – Ciências e Aplicações – volume 2.
62
3.4. Área da Superfície do Cone de Revolução
 1ª forma:
mapa D.1
Área da Superfície do Cone = Área do setor circular
Essa abordagem pode ser vista em Bianchini, Dante, Iezzi, Júnior, 
Machado, Paiva e Smole & Ignez. Aqui os autores utilizam-se do mesmo 
procedimento usado no caso da superfície lateral do cilindro. Ao abrir a 
superfície lateral do cone tem-se uma figura plana que é um setor circular de 
raio igual a geratriz do cone e cujo arco tem comprimento igual ao 
comprimento da circunferência. Assim conclui-se que a área da superfície 
lateral do cone é igual a área desse setor circular, ou seja, LA rg
63
 2ª forma:
mapa D.2
  e g y gz
x r x h
  ( ) ( )cone r y cone rp
V V
V
x


0
lim pxA V A rg
Essa abordagem pode ser vista no texto de Dolce. O autor faz uma 
demonstração utilizando a noção de limite. O raciocínio mais detalhado 
podemos ver a seguir: 
Observando a figura
e por semelhança entre triângulos, podemos obter os valores de y e z
em função de x.
  g z = 
r
gz x
x r
  g y = 
h
y g x
x h
64
Segue-se:
    2 21 1( ) .( )
3 3p
V r y h z r h
Substituindo y e z, temos:
                 
2
21 . 
3p
g gV r x h x r h
h r
          
2 2 3
2 2 3
2
21 2 
3p
g g gV rgx rgx x x x
h h h r
       
2 3
2
2
31 3 
3
pV g grg x x
x h h r
Então, para = 0x , temos:
        
2 3
2
L2
31 3 .0 .0 A
3L
g gA rg rg
h h r
.
Este último passo do autor equivale a calcularmos o seguinte limite:
     
0
lim
x
V x r V rA r
x
 
isto é:
   dA r V r
dr

65
3.5. Volume do Cone de Revolução
 1ª forma:
mapa E.1
Altura do Cone = Altura do Cilindro
Raio da base do cone = Raio da base do cilindro
Volume do Cone = 1
3
do Volume do Cilindro
Esta forma foi apresentada por Dante10. Aqui o autor “deduz” a fórmula 
do volume do cone através de um experimento. Ele utiliza-se de três cones 
idênticos de mesma base e mesma altura de um dado cilindro. Enche os três 
cones de um certo líquido e depois entorna o conteúdo dos três cones no 
cilindro, verificando então que o volume do cilindro é três vezes o volume do 
cone. Isto posto, conclui que o volume do cone é 1 3 do volume do cilindro.
 
10 Em Tudo é Matemática - 8ª série.
66
 2ª forma:
mapa E.2
Cone Pirâmide
Bases Equivalentes e Altura = h
Princípio de Cavalieri
Volume do Cone = Volume da Pirâmide
Esta forma foi predominante nos textos pesquisados, somente os de ensino 
médio continham o tema, são eles: Bianchini, Dante11, Dolce12, Júnior, Machado 
e Paiva. Os autores, comparando uma pirâmide e um cone de bases de mesma 
área e altura iguais, concluem a partir do princípio de Cavalieri, que o volume 
do cone é igual ao volume da pirâmide. Assim, o volume do cone é determinado 
por 
3
bA hV  
2
3
r h
V
 .
 
11 Em Matemática - Contextos & Aplicações – volume 2.
12 Em Fundamentos da Matemática Elementar – volume 10.
67
 3ª Forma:
mapa E.3
PRINCÍPIO DE CAVALIERI
Volume do Cone =
2
3
 r h
Esse método foi utilizado por Smole & Ignez. As autoras apenas 
mencionam o princípio de Cavalieri, mas não mostram de que forma o princípio 
participa do processo.
 4ª Forma:
mapa E.4
VOLUME DO CONE = VOLUME DA PIRÂMIDE
2
3 3
bA h r hV
 
Esta forma foi apresentada por Iezzi13. Aqui o autor apenas apresenta a 
fórmula do volume do cone como sendo a mesma de uma pirâmide, sem 
mencionar que instrumentos são necessários para chegar a essa fórmula. De 
forma análoga ao mapa C.7 (seção 3.5), o autor novamente não faz nenhuma 
menção a existência do “princípio” de Cavalieri.
 
13 Em Matemática – Ciências e Aplicações – volume 2.
68
3.6. Volume da Esfera
 1ª Forma:
mapa F.1
Esfera Anticlepsidra14
Seções planas Equivalentes e Altura = 2R
Princípio de Cavalieri
Volume da Esfera = Volume da Anticlepsidra
Essa maneira foi a apresentada na maioria dos textos. Podemos ver tal 
procedimento em: Bianchini, Dante15, Dolce16, Machado e Paiva. Nesta 
abordagem os autores fazem uso de um sólido auxiliar conhecido como 
anticlepsidra. Verificam que as áreas das “seções planas equivalentes” na 
 
14 Anticlepsidra é um sólido obtido retirando-se de um cilindro eqüilátero reto dois cones de 
revolução cujas bases coincidem com as bases do cilindro e cujos vértices coincidem com o 
centro do cilindro. 
15 Em Matemática - Contexto & Aplicações – volume 2
16 Em – Fundamentos da Matemática Elementar – volume 10.
69
esfera e na anticlepsidra são iguais. Concluem em seguida usando o princípio de 
Cavalieri, que o volume da esfera é igual ao volume da anticlepsidra, ou seja, 
34
3
r . 
 2ª Forma:
mapa F.2
Semi-Esfera Cone
raio da Esfera = raio do cone = altura do cone = R
dobro do volume do cone = volume da semi-esfera
Volume da Esfera = 4 vezes o volume cone
Esse procedimento é apresentado por Smole & Ignez. As autoras 
utilizam esse raciocínio para poder compreender o resultado acima. Todavia 
elas citam que esse resultado deve-se a Arquimedes.
 3ª Forma:
mapa F.3
Volume da Esfera = 34
3
r
70
Essa maneira é encontrada nos textos de Iezzi17 e de Júnior. Os autores 
apenas informam qual é a fórmula do volume da esfera. Destaca-se a ausência 
do aparecimento do “princípio” de Cavalieri para tratar desse assunto.
 
17 Em Matemática - Ciência e Aplicações – volume 2.
71
3.7. Área da Superfície Esférica
 1ª Forma:
mapa G.1
3 34 ( ) 4
3 3C
R h RV   
2 24 (3 3 )
3
CV h R Rh h
h
   0h 24A R
Essa forma é utilizada por Biachinni, Dolce18 e Paiva. Aqui o autor se 
baseia em duas superfícies esféricas de mesmo centro, sendo r o raio da 
menor e r h o raio da maior. À região do espaço, compreendida entre elas, 
chamaremos “casca” esférica (figura abaixo). 
 
18 Em Fundamentos de Matemática Elementar – volume 10.
72
Podendo assim calcular precisamente o volume CV (volume da casca) do 
seguinte modo:
3 34 ( ) 4
3 3C
R h RV   
3 2 2 3 34 ( 3 3 ) 4
3 3C
R R h Rh h RV     
 3 2 2 3 34 3 33CV R R h Rh h R
    
dividindo os dois membros por h , temos:
2 24 (3 3 )
3
CV h R Rh h
h
  
Fazendo agora h “tendendo” a zero, a expressão CV
h
 do primeiro 
membro é, por definição, a área da superfície esférica de raio r .
Dessa forma, temos:
2 24 (3 3 .0 0 )
3
hA R R  
 2 24 3 43A R A R
    .
73
 2ª Forma:
mapa G.2
esfera constituída por pirâmides19
1 2
1 1 1...
3 3 3 n
V AR A R A R   
3
1 2
4 1 ( ... )
3 3 n
r A A A R    
34 1
3 3
r AR 
24A R
 
19 São n pequenas pirâmides de mesma altura igual ao raio R da esfera.
74
Essa forma é vista por Dante20 e Smole & Ignez. Aqui os autores 
utilizam raciocínio similar ao da forma anterior. Todavia essa forma tem sua 
solução mais breve, como veremos abaixo:
O volume da esfera é dado por:
1 2
1 1 1...
3 3 3 n
V AR A R A R   
e como 34
3
V r , temos:
3
1 2
4 1 ( ... )
3 3 n
r A A A R     ,
onde 1 2 ... nA A A A    é a área da superfície da esfera.
34 1
3 3
r AR  .