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ANGLO
ENSINO FUNDAMENTAL
ANGLO
ano9
º-
4
caderno
MANUAL 
DO 
PROFESSOR
MATEMÁTICA
capa_final_ANGLO_SOMOS_MP_matematica_cad4.indd 3 6/25/19 5:56 PM
9
o
 ano
Ensino Fundamental
Manual do
Professor
Matemática
Adair Mendes Nacarato
Cármen Lúcia B. Passos
Fabio Orfali
4
caderno
ANGLO_EF2_9ANO_MAT_001a064_CAD4_MP.indd 1 6/25/19 5:39 PM
Direção Presidência: Mario Ghio Júnior
Direção de Conteúdo e Operações: Wilson Troque
Direção executiva: Irina Bullara Martins Lachowski
Direção editorial: Luiz Tonolli e Lidiane Vivaldini Olo
Gestão de projeto editorial: Rodolfo Marinho
Gestão e coordenação de área: Julio Cesar Augustus de Paula 
Santos e Juliana Grassmann dos Santos
Edição: Roberto Paulo de Jesus Silva 
e Tadeu Nestor Neto
Planejamento e controle de produção: Patrícia Eiras (ger.), 
Juliana Batista (coord.), Daniela Carvalho
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Kátia Scaff Marques (coord.), 
Letícia Pieroni (coord.), Rosângela Muricy (coord.), Aline Cristina Vieira, 
Danielle Modesto, Marília Lima, Maura Loria, Paula Rubia Baltazar, 
Raquel A. Taveira, Tayra Alfonso; Amanda T. Silva 
e Bárbara de M. Genereze (estagiárias)
Arte: Daniela Amaral (ger.), Erika Tiemi Yamauchi (coord.) 
e Daniel Hisashi Aoki (edit. arte)
Diagramação: JS Design
Iconografia e tratamento de imagem: Sílvio Kligin (ger.), 
Roberto Silva (coord.), 
Carlos Luvizari (pesquisa iconográfica); 
Cesar Wolf, Fernanda Crevin (tratamento)
Licenciamento de conteúdos de terceiros: Thiago Fontana (coord.), 
Liliane Rodrigues, Flavia Zambon, Luciana Sposito e 
Angra Marques (licenciamento de textos), 
Erika Ramires, Luciana Pedrosa Bierbauer, Luciana Cardoso Sousa e 
Claudia Rodrigues (analistas adm.)
Ilustrações: Setup, JS Design, Luis Moura, Pedro Hamdan 
Cartografia: Eric Fuzii (coord.)
Design: Daniela Amaral (proj. gráfico e capa)
Foto de capa: Eric Isselee/Shutterstock/Glow Images 
Ilustração de capa: D’Avila Studio 
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Tel.: 3273-6000
© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Nacarato, Adair Mendes
 Ensino fundamental 2 : matemática 9º ano : cadernos de 1
a 4 : professor / Adair Mendes Nacarato, Cármen Lúcia B. 
Passos, Fabio Orfali. -- 1. ed. -- São Paulo : SOMOS
Sistemas de Ensino, 2019.
 1. Matemática (Ensino fundamental). I. Passos, 
Cármen Lúcia B. II. Orfali, Fábio. III. Título.
2018-0059 CDD-372.7
Julia do Nascimento – Bibliotecária – CRB-8/010142
2019
ISBN 978 85 468 1867 9 (PR)
1
a
 edição
1
a
 impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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SUMÁRIO
8
O Caderno 4 .............................................................................................4
29. Probabilidade: eventos dependentes e eventos independentes ........................................... 5
30. Volume de prismas e cilindros ............................................................................................ 11
31. Vistas e perspectivas .......................................................................................................... 18
32. Razões trigonométricas no triângulo retângulo................................................................... 24
33. Equações redutíveis a equações do 2o grau ........................................................................ 33
34. Frações algébricas e equações fracionárias ....................................................................... 39
35. Funções e seus gráficos ...................................................................................................... 45
36. Organização de dados de pesquisa .................................................................................... 55
37. Investigações matemáticas e resolução de problemas ........................................................ 58
Módulo Interdisciplinar............................................................................................................ 65
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4 Ensino Fundamental
O CADERNO 4
Este Caderno está organizado em 9 Módulos: 3 relativos a Álgebra; 3, a Geometria; 2, a Probabilidade e 
estatística; e 1 de Resolução de problemas e Investigações matemáticas.
O Módulo 29 amplia os estudos de probabilidade com as noções de eventos dependentes e eventos in-
dependentes, aproximando-se das habilidades da Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Uma das aulas 
desse Módulo é reservada ao planejamento de uma pesquisa de campo com os alunos, cujos dados serão 
sistematizados no Módulo 36. É fundamental que esse planejamento com o respectivo questionário para 
coleta de dados seja realizado no início do bimestre para que os alunos tenham tempo para as entrevistas, 
a partir da amostra definida pelo grupo.
No Módulo 30, retomamos e aprofundamos as ideias de volume, que haviam sido introduzidas no 
7o ano. Ampliamos o estudo do cálculo de volume para os prismas e os cilindros e abordamos o princípio 
de Cavalieri de maneira bem intuitiva, por meio de uma experiência que, certamente, ajudará no estudo da 
Geometria Espacial no Ensino Médio.
Ainda no campo da Geometria Espacial, o Módulo 31 traz um estudo das representações planas de ob-
jetos tridimensionais, com a discussão das vistas de um sólido e das representações em perspectiva.
No Módulo 32, introduzimos o estudo das razões trigonométricas em um triângulo retângulo. Eviden-
temente, não se pretende esgotar o assunto, que será retomado e ampliado no Ensino Médio. O objetivo é 
proporcionar aos alunos um primeiro contato com o tema, destacando sua relação com a semelhança de 
triângulos, assunto muito explorado ao longo do 9o ano.
No tópico de equações (Módulos 33 e 34), exploramos os tipos de equações que ainda não tinham sido 
abordados nos cadernos anteriores: literal, biquadrada, irracional e fracionária.
No Módulo 35, ampliamos o estudo de funções sem, no entanto, fazer uma abordagem muito formal, 
que ficará para o Ensino Médio. Para esse Módulo, sugerimos o uso de um software que possibilite a ex-
ploração de gráficos de funções.
Lembre-se do planejamento antecipado de suas aulas, certificando-se de possuir os materiais necessários 
para o trabalho em sala de aula com este Caderno. Neste bimestre, são eles:
• régua, compasso, par de esquadros e transferidor (1 jogo por aluno);
• calculadora (1 por aluno);
• papel milimetrado;
• tesoura;
• fita adesiva;
• grãos de arroz (ou outro material alternativo, como indicado nas orientações do Módulo 30);
• papel vergê (ou papel-cartão ou cartolina grossa).
Chegamos ao final de mais um ano e de um ciclo de cooperação. Esperamos que tenha tido sucesso 
com seu trabalho, que os alunos tenham permanecido motivados para aprender Matemática e que nosso 
Manual do Professor tenha sido um facilitador de seu cotidiano docente e uma importante ferramenta para 
a preparação de suas aulas.
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29. PROBABILIDADE: EVENTOS DEPENDENTES 
E EVENTOS INDEPENDENTES
AULAS 91 a 93
Objetivos
• Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de 
sua ocorrência, nos dois casos.
• Planejar uma pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social.
Roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
91
Retorno das tarefas 3 e 4 (Módulo 28)
Probabilidade em eventos independentes
Probabilidade condicional
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
92
Retorno das tarefas 1 e 2
A árvore de possibilidades
Exercício
Orientações para as tarefas 3 e 4 (Em casa)
93
Retorno das tarefas 3 e 4
Preparando uma pesquisa
Orientações para as tarefas 5 a 8
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 1 a 3.
Testes da seção Rumo ao Ensino Médio: 1 ao 4.
Noçõesbásicas
Espera-se que, ao final do Módulo, os alunos sejam capazes de identificar eventos dependentes e independentes 
e utilizem diferentes estratégias para calcular a probabilidade de ocorrência desses eventos.
Estratégias e orientações
Desde os anos iniciais os alunos vêm trabalhando com contextos de probabilidade. Exploraram diferentes ex-
perimentos aleatórios, construíram o espaço amostral e determinaram a probabilidade de ocorrência de diferentes 
eventos. Neste último Módulo da unidade temática vamos ampliar nosso estudo com as noções de eventos indepen-
dentes e dependentes e a probabilidade condicional, tal como consta da Base Nacional Comum Curricular (BNCC). 
Procuramos criar estratégias que não exijam o uso de fórmulas 2 orientando o uso da árvore de possibilidades ou 
da redução do espaço amostral.
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Ensino Fundamental
Se possível, sugerimos que as duas primeiras aulas 
sejam duplas para que haja tempo suficiente para explo-
rar todas as condições e realizar os exercícios.
Atividades de construção de conceitos
Probabilidade em eventos independentes
(página 279)
As discussões se iniciam com eventos independentes. 
Dê um tempo para que os alunos resolvam os cinco itens 
propostos; em seguida, promova a socialização das estra-
tégias adotadas na resolução e a leitura do boxe-síntese. 
No momento dessa leitura, reforce que a probabilidade 
será dada pelo produto das probabilidades de cada um 
dos eventos independentes.
Enquanto os alunos trabalham, você poderá fazer 
intervenções junto àqueles que apresentarem dificuldades 
na compreensão dos itens propostos.
Probabilidade condicional (página 281)
Acompanhe os alunos enquanto realizam as duas si-
tuações propostas. Oriente-os para que façam a redução 
do espaço amostral para o segundo evento, depois da 
ocorrência do primeiro. Ao final, leia o texto da síntese 
e esclareça os pontos em que os alunos apresentaram 
mais dúvida, se necessário.
A árvore de possibilidades (página 282)
Informe a eles que essa estratégia é muito útil 
quando se trabalha com eventos dependentes, ou seja, 
o segundo evento depende da ocorrência do primeiro. 
A árvore possibilita a determinação das probabilidades 
de cada evento realizado. Sugerimos que você realize 
o item 1 coletivamente com os alunos. Você pode, 
ainda, formular outras questões além das que foram 
propostas.
Ao final das três etapas verifique quais dúvidas os 
alunos ainda têm e faça as complementações necessárias.
Preparando uma pesquisa (página 286)
Esta aula tem como objeto de conhecimento, con-
templado na BNCC, o planejamento e a execução de 
pesquisa amostral e a apresentação de relatório. Como 
este é o primeiro módulo do Caderno 4, reservamos 
uma aula para que você planeje a pesquisa com os 
alunos. Deixamos a escolha do tema para decisão co-
letiva da turma, por acreditarmos que o tema deva ser 
de interesse dos alunos.
Orientações para a organização
e a realização da pesquisa
1. Construa com a turma o questionário que será 
utilizado para a coleta de dados. É importante 
que o questionário contemple questões abertas 
e fechadas (variáveis qualitativas e quantitati-
vas): sexo dos entrevistados, idade, faixa salarial 
familiar, tipo de escola onde pretende cursar o 
Ensino Médio; se pretende ou não fazer curso 
superior – em caso afirmativo, em que tipo de 
instituição (pública ou privada) e o curso que 
pretende fazer (ou pode-se escolher por área 
de conhecimento) –; e questões relacionadas à 
temática escolhida.
2. Defina com eles qual será a amostra. Não há a 
necessidade de seguir metodologias sofistica-
das; delimite apenas o público a ser entrevista-
do. Por exemplo, se escolherem adolescentes e 
jovens, o questionário poderá ser aplicado nas 
diferentes classes da escola e com os amigos 
dos alunos. A partir do tamanho da amostra, 
providencie o número necessário de cópias de 
questionários.
3. Escolha, com os alunos, uma data limite para 
a finalização dessa primeira etapa: coleta de 
dados. É fundamental no início do Módulo 36 
que os questionários respondidos já estejam 
disponíveis para o trabalho.
4. Estabeleça, ainda, em conjunto com a turma, 
como será a tabulação dos dados: se cada gru-
po fará a tabulação dos dados de seus ques-
tionários ou se a tabulação será única, feita 
por toda a sala. Nesse caso, planeje com eles 
como será a execução dessa parte do trabalho. 
Disponibilize aos grupos o modelo de tabela 
para a tabulação dos dados, afim de padro-
nizar o registro, o que facilita sua mediação. 
Se o grupo decidiu que os resultados serão 
analisados no coletivo da classe, isto é, con-
siderando o total dos questionários que cada 
aluno aplicou, sugerimos que você marque 
uma data antecipada para a entrega da tabu-
lação de cada um para que você reúna todos 
os dados num único arquivo, disponibilizan-
do-o aos alunos (impresso ou via eletrônica). 
Se você for usar meios tecnológicos para a 
elaboração do relatório, o arquivo eletrônico 
facilitará e agilizará o trabalho.
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Respostas e comentários
Probabilidade em eventos independentes 
(página 279)
1. a) Observando o espaço amostral, o aluno deve iden-
tificar que há 6 possibilidades de sair a face 2 no 
dado vermelho. Logo, a probabilidade é de 
1
6
.
b) Também há 6 possibilidades de sair a face 5 no 
dado azul. Logo, a probabilidade é de 
1
6
.
c) Só há uma possibilidade, ou seja, a probabilidade 
é de 
1
36
.
d) Espera-se que os alunos concluam que 
? 5
1
6
1
6
1
36
, ou seja, trata-se do produto das 
duas probabilidades.
e) A ocorrência do evento B não dependeu da ocor-
rência do evento A.
2. a) No espaço amostral há 18 possibilidades. Portanto, 
a probabilidade é de 5
18
36
1
2
.
b) A probabilidade é a mesma do item anterior: 
1
2
c) Há 9 possibilidades. Portanto, a probabilidade é 
de 5
9
36
1
4
.
d) Espera-se que os alunos percebam que 
? 5
1
2
1
2
1
4
, ou seja, trata-se do produto das 
probabilidades de ocorrência dos dois eventos.
3. a) Há 6 possibilidades. Portanto, a probabilidade é 
de 5
6
36
1
6
.
b) Há 18 possibilidades. Portanto, a probabilidade é 
de 5
18
36
1
2
.
c) Há 3 possibilidades. Portanto, a probabilidade é 
de 5
3
36
1
12
.
d) Espera-se que os alunos percebam que 
? 5
1
6
1
2
1
12
, ou seja, trata-se do produto das 
probabilidades de ocorrência dos dois eventos.
4. a) A ocorrência do evento B não depende da ocor-
rência do evento A.
b) O cálculo é realizado pelo produto das probabi-
lidades de ocorrência dos dois eventos.
5. a) Há 18 possibilidades de se obter números ímpares 
nas faces do dado vermelho e 18 nas faces do 
dado azul. Portanto: ? 5
1
2
1
2
1
4
b) Há 18 possibilidade de se obter número ímpar nas 
faces de um dado. Logo, a probabilidade é de 
1
2
.
Há 18 possibilidades de se obter número primo 
nas faces de um dado. Logo, a probabilidade é 
de 5
18
36
1
2
.
Multiplicando as duas probabilidades: 
? 5
1
2
1
2
1
4
Ou os alunos poderão consultar o espaço amostral 
e verificar que há 9 possibilidades de se obter um 
número ímpar na face do dado vermelho e um 
número primo na face do dado azul: (1, 2), (3, 2), 
(5, 2), (1, 3), (3, 3), (5, 3), (1, 5), (3, 5) e (5, 5). 
Portanto: 5
9
36
1
4
c) Probabilidade de se obter número par na face de 
um dado: 5
18
36
1
2
Probabilidade de se obter número múltiplo de 3 
na face de um dado: 5
12
36
1
3
Probabilidade de se obter número par na face 
de um dado e número múltiplo de 3 na face de 
outro: ? 5
1
2
1
3
1
6
. Pela observação do espaço 
amostral, conclui-se que há 6 possibilidades, ou 
seja, a probabilidade é de 5
6
36
1
6
.
Probabilidade condicional (página 281)
1. a) S 5 {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), 
(5, 1), (5, 3), (5, 5)}
b) Das 9 possibilidades, em apenas 3 a soma é igual 
a 6. Portanto, a probabilidade éde 
1
3
.
2. a) Vítor concluiu que não teria mais chance porque o 
número de seu canhoto não terminava em 5 (tinha 
o algarismo da ordem das unidades diferente de 5).
b) Construindo o espaço amostral para as possibi-
lidades de o número terminar em 5, temos: B 5
5 {05, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95}. Portanto, 
Ana Paula deve ter um canhoto com um desses 
números. Logo, a probabilidade de Ana Paula ga-
nhar é de 
1
10
.
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Ensino Fundamental
A árvore de possibilidades (página 282)
1. a), b)
c) ? 5 5
3
5
2
4
6
20
3
10
d) Duas bolas amarelas: ? 5 5
2
5
1
4
2
20
1
10
e) Probabilidade de se obter uma bola vermelha e 
uma bola amarela: ? 5 5
3
5
2
4
6
20
3
10
Probabilidade de se obter uma bola amarela e uma 
bola vermelha: ? 5 5
2
5
3
4
6
20
3
10
Somando-se as duas probabilidades:
1 5 5
3
10
3
10
6
10
3
5
2. a)
50 centavos
3
7
4
7
2
6
3
6
3
6
4
6
1 real
50 centavos
1 real
1 real
50 centavos
b) Probabilidade de se tirar uma moeda de 1 real e 
uma de 50 centavos: ? 5
3
7
4
6
12
42
Probabilidade de se tirar uma moeda de 50 cen-
tavos e uma de 1 real: ? 5
4
7
3
6
12
42
Logo, a probabilidade de se retirar uma moeda de 
cada tipo é: 1 5 5
12
42
12
42
24
42
4
7
c) ? 5 5
3
7
2
6
6
42
1
7
Exercício (página 283)
1. A probabilidade tanto para o primeiro como para o 
segundo filho é de 
1
2
. Logo: ? 5
1
2
1
2
1
4
2. Os alunos podem construir o espaço amostral para 
o cálculo da probabilidade.
Probabilidade de se obter um número maior que 3 
no primeiro lançamento: 5
18
36
1
2
Probabilidade de se obter o número 2 no segundo 
lançamento: 5
6
36
1
6
Probabilidade de se obter um número maior que 3 e 
o número 2: ? 5
1
2
1
6
1
12
3. Probabilidade de sair uma bolinha cujo número seja 
múltiplo de 10: 5
2
20
1
10
Probabilidade de sair uma bolinha cujo número seja 
ímpar: 
10
19
Probabilidade de sair uma primeira bolinha cujo nú-
mero seja múltiplo de 10 e uma segunda bolinha cujo 
número seja ímpar: 
1
10
10
19
1
19
? 5
4. Probabilidade de sair cara no lançamento de uma 
moeda: 
1
2
Probabilidade de sair um número primo no lança-
mento de um dado: 
1
2
1a bola
V
A
A
A
V
V
2a bola
3
5
2
5
2
4
2
4
3
4
1
4
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Probabilidade de sair cara na moeda e número primo 
no dado: ? 5
1
2
1
2
1
4
5. A árvore de possibilidades é uma boa estratégia para 
a resolução desse item. Seja V a bola vermelha, A, a 
amarela e R, a roxa.
a) ? 5 5
5
10
3
9
15
90
1
6
b) ? 5 5
3
10
2
9
6
90
1
15
c) ? 5 5
3
10
2
9
6
90
1
15
d) ? 5 5
2
10
1
9
2
90
1
45
6. Vamos construir a árvore de possibilidades, em que 
CH representa recheio de chocolate branco, CE, re-
cheio de cereja e CO, recheio de coco.
6
18
7
18
5
18
6
18
7
18
6
18
7
18
6
18
5
18
6
18
5
18
7
18
7
18
7
18
8
18
8
18
5
18
5
18
5
18
6
18
5
18
5
18
4
18
6
18
4
18
CE
CH
CO
CO
CE
CO
CH
CO
CH
CE
CO
CE
CH
CO
CO
CE
CH
CE
CE
CH
CO
CH
CO
CH
CH
CE
CE
CO
CH
CH
CO
CH
CO
CO
CE
CH
CE
CECE
6
18
6
19
6
19
8
20
6
20
6
20
7
19
8
19
5
19
8
19
6
19
5
19
6
18
6
19
a) ? ? 5
6
20
5
19
4
18
1
57
b) ? ? 5
8
20
6
19
6
18
4
95
c) ? ? 5
8
20
6
19
5
18
2
57
d) 
6
20
5
19
6
18
1
38
? ? 5
7. Bolas com números maiores que 6: {7, 8, 9, 10, 11, 
12, 13, 14, 15}
Bolas cujos números são múltiplos de 3: {9, 12, 15}
Probabilidade: 5
3
9
1
3
V
R
V
A
A
R
V
A
R
R
V
A
5
10
3
10
2
10
4
9
3
9
2
9
5
9
2
9
2
9
5
9
3
9
1
9
1
a
 bola 2
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Ensino Fundamental
8. a) Como haverá reposição, a probabilidade é: 
? 5
3
10
3
10
9
100
b) Como não haverá reposição, a probabilidade é: 
? 5 5
3
10
2
9
6
90
1
15
9. O espaço amostral do dado corresponde a 6 eventos 
e o espaço amostral da moeda equivale a 2 eventos. 
Ao considerar o dado e a moeda simultaneamente, o 
espaço amostral é de 12 eventos. A probabilidade de 
obtermos o resultado (cara, 2) é de 1 em 12. Portanto, 
a probabilidade é de 
1
12
.
Os alunos podem, ainda, calcular o produto das pro-
babilidades dos eventos independentes.
10. São 24 números; não há reposição. A probabilidade 
é: ? ? 5
24
75
23
74
22
73
12 144
405 150
11. Há 17 números maiores que 8: S 5 {9, 10, 11, 12, 13, 
14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}.
Desses, os múltiplos de 3 são: {9, 12, 15, 18, 21, 24}.
Logo, a probabilidade é: 
6
17
Em casa (página 287)
1. a)
1
2
b) 
1
2
c) ? 5
1
2
1
2
1
4
2. ? 5
1
4
1
5
1
20
3. São 16 bolas e a probabilidade de se retirar uma bola 
de cada cor é de 
4
16
. Como não haverá reposição, 
a probabilidade de retirar uma bola de cada cor na 
ordem indicada é: ? ? ? 5
4
16
4
15
4
14
4
13
8
1365
4. Os alunos poderão construir uma árvore de possibi-
lidades para facilitar os cálculos.
a) ? 5 5
5
15
4
14
20
210
2
21
b) ? 5
10
15
9
14
3
7
c) ? 1 ? 5
5
15
10
14
 
10
15
5
14
10
21
5. Os alunos poderão construir uma árvore de possibi-
lidades para facilitar o cálculo.
a) ? 5
9
21
8
20
6
35
b) ? 5
9
21
12
20
9
35
6. a) ? 1 ? 5
10
22
12
21
12
22
10
21
40
77
b) ? 5
10
22
9
21
15
77
c) ? 5
12
22
11
21
2
7
7. Número ímpar no dado: {1, 3, 5}
Probabilidade de sair um número ímpar e diferente 
do número ímpar que saiu no primeiro lançamento: 
? 5
2
6
1
3
8. O espaço amostral tem 8 elementos. Há 2 possibili-
dades de se obter as três faces iguais: 5
2
8
1
4
Os alunos poderão construir uma árvore de possibi-
lidades para facilitar o cálculo.
Rumo ao Ensino Médio (página 288)
1. Alternativa D.
5 5 5P
22
50
0,44 44%
2. Alternativa B.
O fato de a retirada dos cartões ocorrer sem reposição 
implica que a ocorrência do primeiro evento inter-
fere na probabilidade do segundo evento. Portanto, 
esses eventos são dependentes. Vamos determinar 
cada um deles.
A: sair um múltiplo de 10 ñ {10, 20, 30}. Probabili-
dade: 5
3
30
1
10
B: sair um número ímpar ñ {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 
17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}
Probabilidade (considerando a retirada do primeiro 
cartão): 
15
29
Probabilidade de sair um número múltiplo de 10 e 
um número ímpar: ? 5
1
10
15
29
3
58
3. Alternativa C.
5 ? 1 ? 5 1 5 5P(x)
1
2
10
24
1
2
16
30
10
48
16
60
5 5 5
114
240
57
120
19
40
4. Alternativa D.
Esse problema trabalha com probabilidade condicional, 
em que o espaço amostral não é o total de entrevistados, 
neste caso é apenas o total de pessoas que opinaram, de 
acordo com a condição imposta pelo problema. Temos 
12% os casos favoráveis (opinaram “Chato”) e o espaço 
amostral de 100% 2 21% 5 79%, logo a probabilidade 
de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opi-
naram, ter respondido que o “Contos de Halloween” é 
“Chato”, é de aproximadamente: ã
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30. VOLUME DE PRISMAS E CILINDROS
AULAS 94 a 96
Objetivos
• Retomar o conceito de volume de sólidos e as fórmulas para o cálculo do volume de cubos e paralelepípedos.
• Verificar experimentalmente o princípio de Cavalieri.
• Aplicar o princípio de Cavalieri para calcular o volume de um cilindro e de diferentes prismas.
• Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com 
uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
94
Retorno das tarefas 5 a 8 (Módulo 29)
Abertura do Módulo
Volume de um cilindro
Retomada do volume de um paralelepípedo
Cilindro e paralelepípedo: comparação de volumes
Orientações para as tarefas 1 a 3(Em casa)
95
Retorno das tarefas 1 a 3
Volume de um prisma
Exercício (itens 1 e 2)
Orientações para as tarefas 4 a 6 (Em casa)
96
Retorno das tarefas 4 a 6
Exercício (itens 3 e 4)
Orientações para as tarefas 7 a 9 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 4 e 5.
Testes da seção Rumo ao Ensino Médio: 1 ao 4.
Materiais
• Lata cilíndrica vazia (1 lata por grupo).
• Régua e esquadros (1 jogo por aluno).
• Papel vergê (ou papel-cartão ou cartolina grossa).
• Calculadora.
• Tesoura.
• Fita adesiva.
• Grãos de arroz (pode ser substituído por outro material, conforme orientação a seguir).
• Recipiente vazio cujo formato não seja de prisma nem de cilindro (1 recipiente por aluno).
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812
Ensino Fundamental
É importante providenciar os materiais com antece-
dência, além de testar o experimento proposto para a 
aula 94 em casa, antes de sua aplicação em sala de aula.
Como cada grupo deverá trabalhar com uma lata, 
sugerimos que peça aos alunos, com duas semanas de 
antecedência, que tragam latas cilíndricas para a escola. 
Recolha as latas e guarde -as para o dia da atividade.
Você deverá verificar se as latas são, de fato, perfei-
tamente cilíndricas. Dê preferência para latas não muito 
grandes, como as de leite condensado ou de extrato de 
tomate. Se usarem latas muito grandes (de achocolata-
do, por exemplo), os alunos deverão construir caixas 
também grandes, o que dificulta a realização de suas 
planificações em uma única folha de papel.
Certifique-se, também, de que a quantidade de arroz 
seja suficiente para todos os grupos. Você pode utilizar 
outros materiais para preencher a lata, como grãos de mi-
lho ou lentilha. Se não achar conveniente utilizar produtos 
alimentícios, providencie areia ou miçangas, por exemplo. 
Qualquer que seja o material definido, é importante testar 
previamente para certificar-se de que os recipientes de 
papel suportam o peso do material escolhido.
Para a aula 96, os alunos deverão trazer outro reci-
piente vazio; desta vez, um recipiente cujo formato não 
seja de prisma nem de cilindro. Oriente-os quanto ao 
tipo de recipiente.
Noções básicas
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos te-
nham compreendido o princípio de Cavalieri, sendo ca-
pazes de aplicá-lo para determinar as fórmulas de cálculo 
do volume de sólidos como cilindros e prismas.
Estratégias e orientações
O estudo do princípio de Cavalieri, que permite o 
cálculo do volume de diferentes sólidos geométricos, não 
é usualmente trabalhado no Ensino Fundamental. Esse 
princípio é apresentado no Ensino Médio, geralmente na 
2a série, durante o estudo da Geometria Espacial Métrica, 
quando é solicitado o cálculo de volumes de prismas, 
pirâmides, cilindros, cones e esferas.
Na maioria das vezes, porém, o princípio de Cavalieri 
acaba sendo trabalhado de maneira puramente teórica, 
sem que os alunos possam verificá-lo na prática. Esse 
tratamento pode estar associado à abordagem mais te-
órica que ocorre no Ensino Médio ou mesmo à falta de 
tempo decorrente da grande quantidade de conteúdo 
que costuma ser abordado nesse segmento.
Por esse motivo, optamos por fazer uma primeira 
abordagem do princípio de Cavalieri ainda no Ensino 
Fundamental, no final do 9o ano. Não se trata, portanto, 
de tentar esgotar o assunto. A finalidade é proporcionar 
aos alunos um primeiro contato com uma ideia tão fun-
damental para a Geometria Espacial, com um enfoque 
mais experimental do que teórico. Além disso, o princípio 
de Cavalieri permite fundamentar o cálculo do volume 
de importantes sólidos, como os prismas e os cilindros.
Ao construir uma caixa com formato de paralelepí-
pedo (cujo volume já é conhecido desde o 7 o ano), que 
tem mesma altura e a mesma área da base de uma lata 
cilíndrica, os alunos poderão verificar experimentalmente 
que os dois sólidos têm o mesmo volume. Tal constatação 
motiva-os a questionar o porquê de tal igualdade, que 
acaba sendo justificada pelo princípio de Cavalieri. Como 
se trata de uma atividade experimental, sugerimos que 
as aulas 94 e 95 sejam programadas para um dia em que 
você tenha aula dupla, caso exista essa possibilidade.
Não temos a pretensão de enunciar o princípio de 
Cavalieri da maneira mais completa possível, pois isso 
será feito durante o Ensino Médio.
Mostramos, a seguir, o modo como ele é enunciado 
nos materiais do Ensino Médio do sistema.
Princípio de Cavalieri
Considere dois sólidos, A e B, de mesma altura 
H, ambos com as bases contidas em um mesmo 
plano a. Suponha que as seções transversais deter-
minadas por um plano qualquer nos dois sólidos 
tenham sempre áreas iguais.
A B S
Hs
Nesse caso, os volumes de A e B são iguais.
Observe que, no Ensino Médio, usamos o termo “se-
ção transversal”. No Ensino Fundamental, optamos por di-
zer “fatia” obtida por um corte paralelo à base do sólido.
Além disso, no Ensino Médio, deixamos claro que 
a seção transversal não precisa ser constante, variando 
conforme nos afastamos da base (por isso, a figura mostra 
um cone e um poliedro que se assemelha a uma pirâmi-
de). Na abordagem proposta para o Ensino Fundamental, 
apresentamos apenas sólidos cuja seção transversal é a 
mesma, independentemente do plano de corte.
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Outra diferença: no Ensino Fundamental, trabalhare-
mos apenas com cilindros e prismas retos, enquanto no 
Ensino Médio o princípio de Cavalieri é aplicado também 
para sólidos oblíquos.
Na abertura do Módulo, ilustramos uma produção de 
queijos, que demanda a manipulação de grandes volumes 
de leite. A partir da imagem apresentada, é proposto aos 
alunos que estimem o volume de um tanque de produção 
cilíndrico. Nessa discussão introdutória, espera-se que eles 
façam uma primeira reflexão sobre as medidas que defi-
nem o volume de um cilindro (a sua altura e o diâmetro 
da base). Promova uma rápida discussão, informando-lhes 
que, ao final da primeira aula do Módulo, eles já poderão 
verificar as hipóteses levantadas.
A seguir, damos as orientações específicas para cada 
seção. Sugerimos que os alunos realizem em grupo todas 
as etapas do trabalho.
Atividades de construção de conceitos
Volume de um cilindro (página 289)
Retomada do volume de um paralelepípedo 
(página 289)
Nessa seção, serão retomadas as ideias fundamentais 
do cálculo de volume, partindo do padrão adotado para 
medir volumes (cubo de aresta unitária) até chegar ao 
cálculo do volume de um paralelepípedo em função de 
suas três dimensões.
Essa retomada é fundamental, pois o paralelepípedo 
será usado para determinar o volume dos demais sólidos 
trabalhados no Módulo (cilindro e prismas).
Cilindro e paralelepípedo: comparação de 
volumes (página 291)
Dependendo da turma, é conveniente iniciar a seção 
fazendo uma revisão dos principais elementos de um 
cilindro (bases, superfície lateral e altura). Essas noções, 
introduzidas no 7o ano, foram tratadas em outros mo-
mentos do curso. Mesmo assim, alguns alunos podem 
ter dificuldade para se lembrar delas.
A atividade proposta nessa seção envolve diferentes 
tarefas, algumas inclusive exigem certo nível de precisão. 
Oriente os alunos a se organizar, de forma a cumprir 
todas as etapas da atividade dentro do tempo da aula 
e a evitar erros que comprometam as conclusões da 
atividade.
Por exemplo, enquanto uma parte do grupo dese-
nha a planificação da caixa no papel, outra parte pode 
preencher a lata cilíndrica com o arroz.
Durante o trabalho dos grupos, circule pela sala con-
ferindo se as medidas realizadas estão corretas antes que 
construam a caixa.
Quando todos os grupos terminarem o item 3, inicie 
uma discussão com a classe, questionando os alunos 
sobre a justificativa para o fato de os volumes da lata e 
da caixa serem iguais.
Em seguida, apresente o princípio de Cavalieri, re-
correndo ao texto do boxe “De olho no princípio de 
Cavalieri”.Como conclusão, discuta o item 4, em que 
é generalizado o cálculo do volume de um cilindro. Se 
julgar conveniente, apresente a situação explorada no 
item 3 da seção Em casa.
Volume de um prisma (página 293)
Nessa seção, os alunos vão explorar o princípio de 
Cavalieri para calcular o volume de um prisma. Dessa 
vez, não será feita uma verificação experimental, mas sim 
uma construção teórica a partir do que foi concluído na 
aula anterior.
Faça um fechamento que sistematize as fórmulas para 
o cálculo do volume de prismas e cilindros e destaque o 
caráter geral do princípio de Cavalieri, que, no contexto 
estudado, pode ser usado para calcular o volume de 
qualquer sólido cuja seção transversal seja constante. O 
item 4 da seção Rumo ao Ensino MŽdio traz um exemplo 
dessa ideia.
Proponha, ainda na aula 95, a resolução dos itens 1 e 
2 da seção Exercício, que trazem aplicações das fórmulas 
estudadas. Os itens 3 e 4 são sugeridos para a aula 96. 
Trata-se de situações mais trabalhosas, em que os alunos 
farão uma investigação em grupo e a elaboração de um 
problema. As orientações mais específicas para esses 
dois itens são dadas na seção Respostas e comentários.
Respostas e comentários
Volume de um cilindro (página 289)
Retomada do volume de um paralelepípedo 
(página 289)
1. a) A primeira camada tem 6 ? 2 5 12 cubos azuis.
b) Três camadas.
c) O total de cubos de aresta 1 cm que formam o 
paralelepípedo é dado por:
(3 camadas) ? (12 cubos/camada) 5 36 cubos.
Como o volume de cada cubo menor é 1 cm3, o 
volume do paralelepípedo é 36 cm3.
d) O produto das três dimensões: 6 ? 3 ? 2 5 36 cm3.
2. V 5 a ? b ? c
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814
Ensino Fundamental
Cilindro e paralelepípedo: comparação de 
volumes (página 291)
1. a), b) As respostas são pessoais, dependendo da lata 
utilizada pelos grupos.
Oriente os alunos a registrar as medidas internas 
da lata, pois são elas que determinam o volume. 
Isso porque o material do qual são feitas tem de-
terminada espessura, que, na maioria das vezes, 
não é desprezível.
A figura a seguir ilustra os diâmetros interno e ex-
terno de uma lata cuja espessura não é desprezível.
Diâmetro interno
Diâmetro externo
2. a) Ao fornecer o papel aos grupos para que proce-
dam à planificação da caixa, verifique as dimen-
sões a e b calculadas pelos alunos. Dependendo 
dessas medidas, uma folha de papel A4 pode não 
ser suficiente para o esboço da planificação. Nesse 
caso, você pode usar uma folha de cartolina ou 
uma folha maior que tenha disponível.
Para calcular a medida b, os alunos deverão usar a 
seguinte igualdade, em que R é a medida do raio 
do círculo da base da lata cilíndrica:
A Acírculo quadrado5 ~
R b2 2~ p 5
b R R2_ 5 p 5 p
Exemplo:
Vamos calcular os valores das dimensões a e b
considerando as seguintes medidas de uma lata 
cilíndrica fictícia:
Altura da lata 5 8,1 cm
Diâmetro da base da lata 5 7,6 cm
Nesse caso, teríamos: a 5 8,1 cm.
O raio da base da lata seria 7,6 : 2 5 3,8 cm. Assim, 
sua área A
b
 seria:
A
b
5 p ? (3,8)2 ã 3,14 ? 14,44 _ A
b
ã 45,34 cm2
Dessa forma, 5 ãb 45,34 6,7 cm.
Logo, para essa lata fictícia, a 5 8,1 cm e
b 5 6,7 cm.
b) Instrua os alunos a unir bem as faces da caixa, 
reforçando suas arestas com a fita adesiva. Esse 
procedimento impede que o arroz, ao ser colo-
cado na caixa construída, escape por algum vão.
c) A lata e a caixa têm a mesma altura. Além disso, 
suas bases, embora tenham diferentes formatos 
(circular e quadrado, respectivamente), possuem 
áreas iguais.
3. Oriente os alunos a transferir o arroz da lata para a 
caixa sobre uma folha de papel. Dessa forma, se uma 
parte dos grãos escapar durante a transferência, eles 
poderão recolocá-los na caixa.
a) Os alunos deverão constatar que os volumes da 
lata e da caixa são iguais. Essa conclusão é obtida 
a partir da observação de que a totalidade dos 
grãos que preenchiam a lata é suficiente para 
encher totalmente a caixa, não sobrando grãos 
nessa operação.
É possível que haja pequenas diferenças entre 
os volumes da lata e da caixa, decorrentes de 
imprecisões nas medidas das dimensões da lata 
e no processo de construção da caixa. Durante 
a conclusão da atividade, comente esse fato com 
os alunos.
b) O volume da caixa é dado pelo produto de suas 
três dimensões, ou seja:
V
caixa
5 a ? b ? b 5 ab2
Cada grupo deverá determinar o volume de sua 
caixa conforme as medidas a e b por ele deter-
minadas.
c) Como foi constatado que os volumes da lata e da 
caixa são iguais, conclui-se que o volume da lata 
é igual a ab2 cm3.
d) A lata e a caixa têm volumes iguais. A igualdade 
é justificada pelo fato de que ambas têm a mesma 
altura e de que as áreas de suas bases são iguais, 
embora a base da lata seja um círculo e a base da 
caixa seja um quadrado.
4. O volume do cilindro é dado pelo produto da área 
de sua base por sua altura, isto é: V 5 A
B
? H.
Para justificar esse fato, podemos imaginar um pa-
ralelepípedo cuja base é um quadrado de área A
B
 e 
cuja altura é H, como mostrado na figura a seguir.
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H H
A
B
A
B
O volume V do paralelepípedo é o produto de suas 
três dimensões. Sendo x a medida do lado que cor-
responde à sua base, temos:
V 5 x ? x ? H
_ V 5 A
B
? H
Como os dois sólidos têm a mesma altura (H) e as 
áreas de suas “fatias”, obtidas quando cortamos cada 
sólido paralelamente às bases, são ambas iguais a A
B
, 
seus volumes são iguais.
Volume de um prisma (página 293)
1. a) 5 ?
?
_ 5
A 6
10 3
4
A 150 3  cm
B
2
B
2
b) • 5 ?
_ 5
A 10 3 15
A 150 3  cm
ABCD
ABCD
2
• Sua altura seria 8 cm.
• 5 ?
_ 5
V 150 3 8
V 1 200 3  cm3
c) O volume da caixa sextavada é igual ao volume 
da caixa com formato de paralelepípedo, ou seja, 
1200 3   cm3.
Isso ocorre porque as duas caixas têm a mes-
ma altura (8 cm) e suas bases têm áreas iguais
(150 3  cm2).
2. O volume V é: V 5 A
B
? H.
Para justificar essa resposta, de maneira análoga ao 
que foi feito no item 4 da seção Cilindro e parale-
lep’pedo: compara•‹o de volumes, podemos imaginar 
um paralelepípedo cuja base é um quadrado de área 
A
B
 e cuja altura é H.
O volume V do paralelepípedo é o produto de suas 
três dimensões. Sendo x a medida do lado que cor-
responde à sua base:
V 5 x ? x ? H _ V 5 A
B
? H
Como os dois sólidos têm a mesma altura (H) e as 
áreas de suas “fatias”, obtidas quando cortamos cada 
sólido paralelamente às bases, são ambas iguais a A
B
, 
podemos concluir, pelo princípio de Cavalieri, que 
os seus volumes são iguais.
Exercício (página 294)
1. A base do prisma é um triângulo retângulo de catetos 
medindo x cm e 16 cm e hipotenusa de medida 20 cm. 
Aplicando o teorema de Pitágoras a esse triângulo:
x2 1 162 5 202 _ x 5 12
Assim, a área S da base do prisma é tal que:
S
12 16
2
96 cm25
?
5
Portanto, o volume V do pedaço de queijo é dado 
por:
V 96 10 960 cm35 ? 5
Resposta: O volume do pedaço de queijo é 960 cm3.
2. a) 5
?
_ 5A
6 3
4
A 9 3
2
 cm2
b) O furo tem o formato de um prisma de base trian-
gular. Assim, seu volume V é dado pelo produto 
da área de sua base por sua altura:
5 ? _ 5V 9 3 20 V 180 3 cm3
c) Como o triângulo equilátero está inscrito no cír-
culo, cujo raio mede R, temos:
5 ~ 5 _ 5R 3 6 R 3 R 2 33l
Resposta: O raio do círculo mede 2 3 cm.
d) O volume pedido é igual ao volume do cilindro 
menos o volume do furo com formato de prisma 
triangular. Assim:
V 2 3 20 180 3
2
5 p ? ? 2 5( )
240 180 3  5 p 2
 V 60 4 3 3_ 5 p 2( )
Admitindo p 5 3 e 53 1,7, obtemos:
V 5 60(4 ? 3 2 3 ? 1,7) 5 414
Resposta: Cada peça de metal possui aproxima-
damente 414 cm3 de volume.
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816
Ensino Fundamental
3. Realizar estimativas e aproximações é uma habilida-
de fundamental para a aplicação do conhecimento 
matemático a situações reais. Por isso, essa questão 
propõeo cálculo de volume por meio de uma estima-
tiva, complementando o que foi trabalhado ao longo 
do Módulo. A seguir, sugerimos alguns aspectos que 
podem ser discutidos em cada item.
a) Oriente os alunos sobre a escolha do recipien-
te com o qual vão trabalhar. Para definirem o 
recipiente, é importante que considerem a que 
formato ele poderá ser associado.
É igualmente importante que os alunos tenham 
tempo para discutir e registrar os critérios usa-
dos nas aproximações realizadas. Por exemplo, 
por que o volume de determinada garrafa pode 
ser aproximado pela soma dos volumes de dois 
cilindros.
A questão não apresenta uma única possibilidade 
de resposta, variando de acordo com o recipiente 
escolhido pelo grupo e com os critérios adotados 
na aproximação. Mais importante do que o valor 
obtido é a análise da razoabilidade desse resulta-
do, como pedido no item b.
b) Uma possibilidade para se proceder à compa-
ração pedida é a realização de uma verificação 
experimental, utilizando água e um recipiente 
graduado, como uma pipeta: despejando-se a 
água da pipeta graduada na embalagem posta 
sob análise, até preenchê-la completamente, é 
possível medir a quantidade de água que falta 
na pipeta e determinar o volume do recipiente 
para compará-lo à estimativa do grupo. Também 
é possível utilizar o volume indicado na embala-
gem, caso ele esteja visível.
4. Para elaborar um problema sobre o cálculo do volume 
proposto no item anterior, os alunos poderão pensar 
na forma como é utilizado aquele recipiente, no seu 
processo de fabricação, nos custos envolvidos e em 
outros aspectos.
Trata-se de uma proposta que demanda reflexão dos 
alunos sobre os conteúdos trabalhados e suas apli-
cações cotidianas. Sobre esse aspecto do ensino de 
Matemática na escola básica, vale citar a Base Nacio-
nal Comum Curricular, que assim se posiciona sobre 
a elaboração de problemas pelos alunos:
Na Matemática escolar, o processo de aprender 
uma noção em um contexto, abstrair e depois aplicá-
-la em outro contexto envolve capacidades essenciais, 
como formular, empregar, interpretar e avaliar 2 criar, 
enfim 2, e não somente a resolução de enunciados 
típicos que são, muitas vezes, meros exercícios e ape-
nas simulam alguma aprendizagem. Assim, algumas 
das habilidades formuladas começam por: “resolver e 
elaborar problemas envolvendo...”. Nessa enunciação 
está implícito que se pretende não apenas a resolução 
do problema, mas também que os alunos reflitam e 
questionem o que ocorreria se algum dado do pro-
blema fosse alterado ou se alguma condição fosse 
acrescida ou retirada. Nessa perspectiva, pretende-se 
que os alunos também formulem problemas em ou-
tros contextos.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular 
(BNCC). Brasília, 2017. p.277. Disponível em: <http://base
nacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/12/BNCC_
19dez2018_site.pdf >. Acesso em: 2 fev. 2019.
Verifique os problemas elaborados por cada grupo, 
sugira os ajustes necessários e, em seguida, peça aos 
grupos que troquem seus problemas entre si. No final, 
os alunos podem confrontar as duas interpretações 
2 a do grupo que elaborou e a do que resolveu o 
problema.
Em casa (página 296)
1. a) 72 cm3
b) 80 cm3
c) 8 cm3
2. Analisando a figura, podemos concluir que o volume 
de uma peça azul é o dobro do volume de uma peça 
amarela. Assim, chamando de V o volume, em cm3, 
de uma peça amarela, temos:
V 1 V 1 2V 1 2V 1 2V 5 24 ~ 8V 5 24
_ V 5 3
a) O volume de uma peça amarela é 3 cm3.
b) O volume de uma peça azul é 6 cm3.
3. a) 10 moedas.
b) O volume de cada pilha é 10 vezes 1,2 cm3, ou 
seja, 12 cm3.
c) Se cortarmos qualquer uma das pilhas paralela-
mente à sua base, obteremos “fatias” de mesma 
área (a área de uma face da moeda). Como as pi-
lhas têm a mesma altura, seus volumes são iguais.
4. a) 96p dm3
b) 72 cm3
c) 9 3 cm3
5. a) 4 000p cm3
b) O volume de cada reservatório é igual a 160p cm3. 
Dividindo-se 4 000p por 160p, obtemos 25. Assim, 
é possível abastecer 25 vezes um desses reserva-
tórios com sabonete líquido usando o conteúdo 
de uma embalagem grande.
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6. Oriente os alunos sobre o objeto que eles deverão 
trazer para a aula 96.
7. Para calcular a área S da base do prisma pentagonal, 
podemos decompô-la em um retângulo e um triân-
gulo. Assim:
S 16 5
16 2
2
5 ? 1
?
_ S 5 96 m2
Como a altura do prisma que limita o galpão é 20 m, 
o volume V do galpão é:
V 96 20 V5 ?
0 V 1920 m3_ 5
Assim, o volume do galpão é 1 920 m3.
No desenho fornecido no enunciado, o prisma não 
está apoiado em uma de suas bases. Por isso, alguns 
alunos podem se confundir ao identificar a altura do 
prisma, associando-a erroneamente à medida 7 m. 
Durante o retorno da tarefa, chame atenção para 
esse fato.
8. De maneira aproximada, podemos considerar que a 
garrafa é formada pela união de dois cilindros. Assim, 
sendo V o volume da garrafa, em cm3, temos:
V 1,5 8 4 222 2( )ã p ? ? 1 p ? ?
V 18 352ã p 1 p
V 370ã p
ãV 1161,8
Portanto, uma estimativa para o volume da garrafa é 
1 160 cm3, ou 1,16 litro.
9. Verifique as anotações do glossário.
Rumo ao Ensino Médio (página 299)
1. Alternativa C.
Sendo r a medida do raio da nova cisterna, temos:
81 r 32 25 p ? ?
81 3 r 3 r2 25 ? ?
3 r 9 2~ 5
 r 3_ 5
Como o raio da cisterna atual mede 1 m, o aumento 
no raio deve ser 3 2 1 5 2 m.
2. Alternativa A.
Do enunciado, o raio máximo r deve ser tal que:
12 2 pr2 ? 1 5 4
3r2 2 8
_ 5 ã  r
8
3
2,67
Como 1,62 5 2,56 e 1,72 5 2,89, concluímos que o 
valor máximo de r estará mais próximo de 1,6.
Observação: utilizando uma calculadora, basta veri-
ficar que ã
8
3
1,63 , que está mais próximo de 1,6.
3. Alternativa C.
Como pode ser inscrito em uma circunferência de 
raio 2 m, o hexágono regular correspondente a uma 
das bases do prisma tem lados medindo 2 m. Assim, 
sua área S é igual a:
S 6
2 3
4
   
2
5 ?
   S 6 3_ 5
A altura do prisma é o dobro da medida do lado 
desse hexágono, isto é, 4 m. Então, o volume V do 
prisma é tal que:
V 6 3 4 5 ?( )
   V 24 3  m3_ 5
4. Alternativa A.
A área do triângulo AEB é igual a 
x 3
4
2
. Então, 
calculando o volume do prisma, temos:
2 ? 5 2 ~ ?( )


x
x 3
4
x 2 4 3       2
2 2
~ ? 2 ? 5 2( ) ( )   x
4
4 3 x 2 4 3
2 2
Dividindo os dois membros da igualdade por 
2( )4 3 , obtemos:
x
4
2  x 8
3
3
5 ~ 5 _
x 25 _ 5
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Ensino Fundamental
31. VISTAS E PERSPECTIVAS
AULAS 97 e 98
Objetivos
• Compreender noções de perpendicularidade entre reta e plano.
• Definir a projeção ortogonal de um ponto sobre um plano.
• Reconhecer e construir vistas ortogonais de figuras espaciais.
• Desenhar objetos em perspectiva com um ponto de fuga.
• Resolver problemas de Geometria enunciados a partir de representações planas de figuras espaciais.
Roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
97
Retorno das tarefas 7 a 9 (Módulo 30)
Abertura do Módulo
Representações bidimensionais de figuras tridimensionais
Projeção ortogonal sobre um plano
Vistas ortogonais
Exercício 1
Orientações para as tarefas 1 a 3 (Em casa)
98
Retorno das tarefas 1 a 3
Perspectiva
Exercício 2
Orientações para as tarefas 4 a 6 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 6.
Testes da seção Rumo ao Ensino Médio: 1 e 2.
Materiais
• Régua e esquadros (1 jogo por aluno).
É preferível que se trabalhe com réguas maiores de 30 cm, para facilitar as construções em perspectiva.
Noções básicas
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos tenham aprimorado sua visão espacial por meio do estudo de 
representações planas de figuras espaciais 2 especificamente as vistas ortogonais e a perspectiva com ponto de fuga.
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Estratégias e orientações
Oassunto deste Módulo já foi apresentado, de ma-
neira introdutória, no Caderno 4 do 6o Ano (Módulo 
39). Lá, foram trabalhadas as vistas de um poliedro e a 
representação em perspectiva isométrica.
Neste Módulo, vamos retomar o assunto vistas or-
togonais, formalizando sua definição a partir de dois 
conceitos da Geometria Espacial 2 perpendicularidade 
entre reta e plano e projeção ortogonal sobre um plano. 
Além disso, será apresentado um novo tipo de represen-
tação em perspectiva, a perspectiva com ponto de fuga.
O principal objetivo do Módulo é proporcionar aos 
alunos o aprimoramento de sua visão espacial a partir 
do estudo de representações planas de uma figura tridi-
mensional. Trata-se de uma habilidade fundamental para 
a leitura e representação da realidade que nos cerca, 
explorada em uma das 30 habilidades de Matemática 
do Enem:
H6 2 Interpretar a localização e a movimentação 
de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua re-
presentação no espaço bidimensional.
BRASIL. Ministério da Educação. Matriz de Referência Enem. Dis-
ponível em: <http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/
downloads/2012/matriz_referencia_enem.pdf>.
Acesso em: 2 fev. 2019.
Para motivar os alunos, a abertura do Módulo traz 
um desenho em perspectiva, propondo uma primeira 
análise sobre a representação de retas paralelas utili-
zando essa técnica. Organize-os em grupos e peça a 
eles que discutam a situação a partir das duas perguntas 
propostas no texto. Não é necessário que as duas per-
guntas sejam respondidas nesse primeiro momento; elas 
servirão como gancho para o estudo da teoria que virá 
nas seções seguintes.
A seguir, são dadas as orientações específicas para 
cada seção.
Atividades de construção de conceitos
Representações bidimensionais de figuras 
tridimensionais (página 300)
Essa seção é composta de um pequeno texto que es-
tabelece a ligação entre a discussão proposta na abertura 
e o conteúdo que será estudado ao longo do Módulo. 
Nesse texto, destacam-se as técnicas usadas na represen-
tação plana (ou bidimensional) de figuras tridimensionais, 
em especial as vistas ortogonais e a perspectiva.
Sugerimos que você faça uma breve apresentação 
do assunto como fechamento da discussão que iniciou 
o Módulo.
Projeção ortogonal sobre um plano (página 301)
A seção é iniciada com a retomada da definição de 
projeção ortogonal sobre uma reta, estudada no Cader-
no 3, para que se possa introduzir a projeção ortogonal 
sobre um plano.
Para isso, discute-se brevemente o conceito de per-
pendicularidade entre reta e plano. Trata-se de um assun-
to que será apresentado de maneira bem mais formal no 
Ensino Médio. Nessa primeira abordagem, pretendemos 
apenas introduzir as principais noções do conteúdo, re-
lacionando-as às ideias intuitivas dos alunos.
Na atividade, os alunos poderão perceber que uma 
reta perpendicular a um plano é perpendicular a duas
retas concorrentes desse plano, a partir da análise de 
três arestas de um cubo que concorrem em um mesmo 
vértice.
Se julgar conveniente, você pode ir além, mostrando 
que, se uma reta r é perpendicular a um plano a e inter-
secta esse plano em um ponto P, então r é perpendicular 
a todas as retas de a que passam por P. O que acabamos 
de dizer pode ser ilustrado por uma experiência simples: 
basta traçar várias retas em uma folha de papel, todas 
concorrentes em um mesmo ponto P, e posicionar um 
lápis perpendicularmente à folha, com a ponta em P. 
Para verificar que o lápis é perpendicular a cada reta 
desenhada, pode-se utilizar um esquadro.
Em seguida, é definida a projeção ortogonal de um 
ponto sobre um plano, a partir do traçado de uma reta 
que passa por esse ponto e é perpendicular ao plano. A 
ideia é ampliada para a projeção ortogonal de uma figura 
qualquer sobre um plano. Assim, podemos definir as 
vistas ortogonais com um rigor compatível à faixa etária 
de uma turma de 9o ano.
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Ensino Fundamental
Em relação à condução da atividade, sugerimos que 
os alunos, organizados em grupos, façam a leitura da 
parte inicial da seção e trabalhem nos itens 1 e 2. Depois 
disso, você pode propor uma discussão com a turma 
partindo das respostas deles aos dois itens e chegando à 
sistematização apresentada no boxe “De olho na projeção 
ortogonal sobre um plano”.
Vistas ortogonais (página 304)
Nessa seção, sugerimos que você faça a apresentação 
da definição de vistas ortogonais a partir dos exemplos 
ilustrados no Caderno.
É possível enriquecer a aula recorrendo à ideia de som-
bra: se iluminarmos um objeto com raios de luz perpendicu-
lares a um anteparo plano, a sombra do objeto projetada no 
anteparo será uma vista ortogonal desse objeto. A ideia, que 
já foi utilizada no 6o ano, quando o assunto foi apresentado 
pela primeira vez, pode servir como uma retomada antes 
da apresentação da definição mais formal. A figura, utiliza-
da no material do 6o ano, traz uma ilustração da proposta.
Iluminação frontal
Vista
frontal
Como um fechamento da aula, proponha aos alunos 
o problema da seção Exercício 1, em que eles poderão 
aplicar as ideias apresentadas ao longo da aula.
Perspectiva (página 305)
Sugerimos organizar os alunos em grupos para a 
realização da atividade proposta na seção. Peça a eles 
que sigam as instruções dadas no Caderno e circule 
pela sala, orientando os grupos que apresentarem mais 
dificuldade. Você poderá verificar o entendimento dos 
alunos e sistematizar as definições apresentadas 2 ponto 
de fuga e linha do horizonte 2 ao resolver os problemas 
propostos na seção Exercício 2.
Optamos por tratar apenas da perspectiva com um 
ponto de fuga, uma vez que o Módulo não tem o ob-
jetivo de aprofundar excessivamente o assunto. Porém, 
dependendo da disponibilidade de tempo e da conve-
niência, você pode acrescentar outras atividades à aula, 
envolvendo a perspectiva com dois pontos de fuga. No 
item 4 da seção Em Casa, ilustramos a perspectiva com 
dois pontos de fuga com um exemplo bem simples.
Respostas e comentários
Representações bidimensionais de figuras 
tridimensionais (página 300)
Projeção ortogonal sobre um plano (página 301)
1. a) Sim, pois as retas que determinam F
1
 são perpen-
diculares ao plano a.
b) Não, pois as retas que determinam F
2
 não são 
perpendiculares ao plano a.
2. a) A reta r forma ângulo reto com as retas AB
s ruu
 e BC
s ruu
, 
pois ABFE e BCGF são quadrados.
b) Sim, as retas AB
s ruu
 e BC
s ruu
 estão contidas no plano a.
c) As retas AB
s ruu
 e BC
s ruu
 são concorrentes.
Exercício 1 (página 305)
Analisando as três vistas, concluímos que o sólido re-
presentado é um cilindro. A altura do cilindro é 8 cm e o 
raio de sua base mede 2 cm. Portanto, o seu volume V é:
V 2 8 2 3( )5 p ? ?
V 32  cm2 3_ 5 p
Perspectiva (página 305)
1. O ponto de fuga é o ponto F. Para obtê-lo, basta pro-
longar as linhas paralelas até que elas se intersectem, 
como mostrado na figura.
2. a) As arestas paralelas a AP são: BQ , CR e DS. Sim, 
as quatro arestas são representadas no desenho 
sobre retas paralelas.
b) As arestas paralelas a AB são: CD , PQ e RS. Sim, 
as quatro arestas são representadas no desenho 
sobre retas paralelas.
c) As arestas paralelas a AD são: BC , QR e PS. Não, 
as quatro arestas não são representadas no dese-
nho sobre retas paralelas. As retas sobre as quais 
elas estão desenhadas encontram-se no ponto F.
H
R
U
I/
S
H
U
T
T
E
R
S
T
O
C
K
 
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d) Na perspectiva com um ponto de fuga, as linhas 
paralelas horizontais (paralelas à linha do hori-
zonte) e as linhas paralelas verticais mantêm o 
paralelismo na representação. Já as linhas per-
pendiculares à linha do horizonte e às linhas 
verticais, que são paralelas entre si, são repre-
sentadas sobre retas que se interceptam em um 
ponto, o ponto de fuga.
3. a) Estão acima da caixa, pois é possívelenxergar a 
sua face superior.
b) Olhando de frente para o paralelepípedo (face 
ABQP), o observador está à esquerda.
c) Se o objeto está posicionado abaixo da linha do 
horizonte, então ele é visto de cima pelo observador.
Se o objeto está posicionado acima da linha do ho-
rizonte, então ele é visto de baixo pelo observador.
Isso ocorre porque os olhos do observador en-
contram-se sobre a linha do horizonte.
d) Se o objeto está posicionado à direita do ponto 
de fuga, então sua parte esquerda é vista pelo 
observador.
Se o objeto está posicionado à esquerda do pon-
to de fuga, então sua parte direita é vista pelo 
observador.
Exercício 2 (página 307)
1. a) 7 caixotes compõem a pilha.
b), c) Após a realização dos itens b e c, deve-se obter 
a seguinte figura.
Note que, para encontrar o ponto de fuga F, basta 
prolongar as linhas paralelas representadas no de-
senho. E a linha do horizonte é a reta que passa 
pelo ponto F e é paralela a uma reta horizontal.
h Fh F
d) Vista frontal
Vista lateral
Vista superior
e) O desenho com o novo caixote deve ficar como 
o ilustrado abaixo.
h F
Observação: Algumas linhas do desenho original 
não seriam mais visíveis após o desenho do novo 
caixote. Porém, optamos por mantê-las pois o aluno 
não teria como apagar partes do desenho original 
do Caderno.
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Ensino Fundamental
2. a) h
A P Q B
M
D C
F
b) Na representação dada no enunciado, os vértices 
dos losangos coincidem com os pontos médios 
dos lados dos quadrados. Assim, basta determinar 
esses pontos médios na representação em pers-
pectiva.
Observação: Para a figura não ficar ex-
cessivamente poluída, omitimos as linhas tra-
cejadas que se encontram no ponto de fuga.
h
A P Q B
M
D C
F
c) Em perspectiva, o círculo é representado como 
uma elipse (ou oval). Para construí-lo, tomamos 
os pontos médios dos lados do quadrado no qual 
ele está inscrito e ligamos os pontos obtidos por 
meio de uma linha curva, construída a mão livre.
h
A P Q B
M
D C
F
Em casa (página 309)
1. Sim. A reta AG
s ruu
 é perpendicular à reta AB
s ruu
, uma vez 
que ABHG é um retângulo. Da mesma forma, AG
s ruu
 é 
perpendicular a AF
s ru
, pois AFLG também é retângulo.
As retas AB
s ruu
 e AF
s ru
 são concorrentes e estão conti-
das no plano da base ABCDEF. Então, como AG
s ruu
 é 
perpendicular a duas retas concorrentes do plano da 
base, ela é perpendicular a esse plano.
2. Vista frontal
Vista lateral
Vista superior
3. a)
x cm
3 cm
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r
b) O prisma tem altura 3 cm e sua base é um hexá-
gono regular com lado de medida 2 cm. Assim, 
seu volume V é tal que:
5 ?
?
? _ 5




V 6
2 3
4
3     V 18 3  cm
2
3
c) Seja o hexágono regular ABCDEF, de centro O, uma 
das bases do prisma. Então, a medida x é igual ao 
comprimento de BD, como indicado na figura.
A B
CF
E D
2 cm
H
O
Os triângulos OCB e OCD são equiláteros de lado 
de medida 2 cm, e os segmentos BH e DH são 
alturas desses triângulos. Então:
5 1 5 ?
?
_ 5x BH DH 2
2 3
2
     x 2 3
Logo, a medida x, em centímetros, vale 2 3 .
4. Para encontrar cada ponto de fuga, basta prolongar 
duas retas paralelas quaisquer da figura. Os pontos 
de fuga são F
1
 e F
2
.
5. As respostas não são únicas, pois dependem da po-
sição escolhida para a linha do horizonte e para o 
ponto de fuga, além da escala adotada. A seguir, 
apresentamos uma possibilidade.
h
F
6. Verifique as anotações do glossário.
Rumo ao Ensino Médio (página 311)
1. Alternativa C.
Vamos chamar de a o plano de projeção correspon-
dente à vista lateral da cadeira. Então, temos a figura:
O segmento A'B' re-
presenta a projeção 
ortogonal dos seg-
mentos AE e BD
sobre a.
Além disso, vamos 
considerar a figura 
ao lado, com as pro-
jeções dos pontos 
assinalados.
Assim, dentre as alternativas dadas, a úni-
ca que satisfaz a condição determinada 
pelos pontos projetados sobre a é a da 
alternativa C:
2. Alternativa B.
Os pontos A e B descrevem arcos de uma circun-
ferência contida em um plano vertical. Como todas 
as projeções ortogonais de curvas contidas nesse 
plano, sobre o plano do chão da gangorra, perten-
cem a uma mesma reta, conclui-se que a projeção 
ortogonal da trajetória dos pontos A e B é dada por 
dois segmentos de reta, contidos em uma mesma 
reta, como indicado na figura.
F
1
F
2
ANON_TAE/SHUTTERSTOCK
A
B
a
D
E
C
A
B
C'
B' Ë E'
A' Ë D'
a
D
E
C
a
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824 Ensino Fundamental
32. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
AULAS 99 a 102
Objetivos
• Compreender a conveniência de trabalhar com as razões entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo.
• Identificar os lados de um triângulo retângulo em relação a um de seus ângulos agudos.
• Calcular as razões trigonométricas em um triângulo retângulo (seno, cosseno e tangente).
• Explorar a tabela das razões trigonométricas.
• Justificar os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis (30°, 45° e 60°) com base nas propriedades 
do quadrado e do triângulo equilátero.
• Resolver problemas que envolvam razões trigonométricas e medidas de ângulos em triângulos.
Roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
99
Retorno das tarefas 4 a 6 (Módulo 31)
Abertura do Módulo
Determinação de distâncias inacessíveis
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
100
Retorno das tarefas 1 e 2
As razões trigonométricas em um triângulo retângulo
Exercício 1
Orientações para as tarefas 3 a 5 (Em casa)
101
Retorno das tarefas 3 a 5
A tabela de razões trigonométricas
Exercício 2
Orientações para as tarefas 6 a 8 (Em casa)
102
Retorno das tarefas 6 a 8
Razões trigonométricas dos ângulos notáveis
O quadrado e o ângulo de 45°
O triângulo equilátero e os ângulos de 30° e 60°
Exercício 3
Orientações para as tarefas 9 a 12 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 7 a 14.
Testes da seção Rumo ao Ensino Médio: 1 a 5.
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Materiais
• Régua, esquadros e transferidor (1 jogo por aluno).
• Calculadora (1 por aluno).
Noções básicas
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos sejam 
capazes de identificar a razão trigonométrica adequada 
para relacionar os dados de um problema que envolva 
triângulos retângulos, pesquisá-la na tabela de senos, 
cossenos e tangentes e aplicá-la na resolução do proble-
ma. Espera-se, ainda, que compreendam as justificativas 
geométricas dos valores de seno, cosseno e tangente dos 
ângulos notáveis (30°, 45° e 60°).
Estratégias e orientações
O assunto deste Módulo são as relações trigonométri-
cas em um triângulo retângulo. Trata-se de um conteúdo 
que será utilizado em diversos momentos ao longo do 
Ensino Médio. Além de servir como base para o desen-
volvimento de toda a Trigonometria na circunferência 
trigonométrica, auxilia na resolução de diferentes proble-
mas da Geometria Plana, além de ser bastante explorado 
também na disciplina de Física.
Por isso, a abordagem da Trigonometria no Ensino 
Fundamental deve garantir que os alunos dominem muito 
bem seus fundamentos. Se eles não perceberem, neste mo-
mento, o motivo de se atribuir nomes especiais às razões 
entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo, é 
possível que, no Ensino Médio, tentem aplicar as relações 
trigonométricas mecanicamente, o que causa dificuldade 
no entendimento dos conceitos que delas dependem.
Dessa forma, o caminho que propomos até a introdu-
ção da nomenclatura das relações trigonométricas (seno, 
cosseno e tangente) é relativamente longo, ocupando as 
duas primeiras aulas do Módulo.
Inicialmente, mostramos a possibilidade de se calcular 
medidas em um triângulo retângulo construindo um segun-
do triângulo retângulo, semelhante ao primeiro.Em seguida, 
discutimos as desvantagens de usar medições e construções 
geométricas para resolver problemas de Geometria.
Nesse momento, o uso das razões entre as medidas 
dos lados de um triângulo retângulo acaba aparecendo 
de maneira natural. Ao manipular essas razões, os alu-
nos percebem que, em cada triângulo, três delas podem 
ser calculadas. Por isso, nomeá-las costuma facilitar sua 
identificação.
Somente então definimos o seno, o cosseno e a tan-
gente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo e 
apresentamos a tabela de razões trigonométricas.
Na terceira aula do Módulo, são propostos diferentes 
problemas em que os alunos deverão aplicar as razões 
trigonométricas.
Por tudo que foi exposto anteriormente, não reco-
mendamos que você acelere a primeira parte do Módulo 
para chegar rapidamente às aplicações. Pelo contrário, 
somente passe para a parte mais procedimental (identifi-
cação de cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa e 
cálculo das razões trigonométricas) depois que as ideias 
estiverem bem fixadas, de forma que seno, cosseno e 
tangente não signifiquem para os alunos apenas três 
fórmulas a ser memorizadas.
Como trabalhamos, na tabela de razões trigonométri-
cas, com valores aproximados para três casas decimais, 
os cálculos podem ficar um pouco trabalhosos e os alu-
nos poderão, em algumas situações, usar a calculadora. 
É importante motivá-los a explorar as teclas de seno, 
cosseno e tangente de uma calculadora científica, ex-
plorando a comparação dos valores obtidos na máquina 
com os da tabela.
Na última aula do Módulo, são retomadas as proprie-
dades do quadrado e do triângulo equilátero vistas no 
Caderno 2 para deduzir os valores exatos do seno, do 
cosseno e da tangente dos chamados ângulos notáveis 
(30°, 45° e 60°).
A maioria das provas de vestibulares e vestibulinhos 
não fornece esses valores aos alunos, que acabam tendo 
de memorizá-los. Por outro lado, não vemos qualquer 
inconveniente no fato de que alunos do 9o ano possam 
sempre consultar uma tabela.
Dessa forma, sugerimos que, dependendo da reali-
dade de sua escola, você decida se fornecerá ou não os 
valores das razões trigonométricas dos ângulos notáveis 
em suas avaliações. Nas avaliações do Sistema para o En-
sino Fundamental, tais valores serão sempre fornecidos.
Durante as aulas, também serão propostos muitos 
exercícios que exploram as propriedades dos ângulos 
de um triângulo. Dessa maneira, sugerimos que você 
faça uma breve retomada da propriedade dos triângulos 
isósceles (os ângulos da base têm medidas iguais) e do 
ângulo externo (sua medida é igual à soma das medidas 
dos dois ângulos internos não adjacentes).
Na abertura do Módulo, fornecemos a imagem de uma 
sequoia-gigante, a maior árvore do mundo, e propomos 
aos alunos que imaginem uma forma de estimar sua altura. 
Promova uma rápida discussão com a turma sobre essa 
questão e passe para a primeira seção do Módulo, em 
que o problema será analisado com mais profundidade.
A seguir, apresentamos as orientações específicas 
para cada seção.
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826
Ensino Fundamental
Atividades de construção de conceitos
Determinação de distâncias inacessíveis 
(página 313)
Dando prosseguimento à discussão iniciada na aber-
tura do Módulo, os alunos vão estimar uma distância 
inacessível, representada pela altura de uma árvore. Peça 
a eles que, organizados em grupos, trabalhem no pro-
blema proposto.
Eles deverão realizar algumas construções com régua, 
esquadros e transferidor. Circule pela sala para auxiliar 
os grupos que encontrarem dificuldades nessa parte da 
atividade.
Ao finalizar a atividade, discuta com os alunos quais 
são as condições mínimas que devemos garantir para 
que dois triângulos retângulos sejam semelhantes. Essa 
questão será retomada na seção seguinte.
Comente, também, sobre os erros que naturalmente 
cometemos quando realizamos construções geométri-
cas e medições. Tais erros justificam a existência de 
diferenças entre os resultados obtidos pelos vários 
grupos.
As razões trigonométricas em um triângulo 
retângulo (página 316)
Retome o problema da determinação da altura de 
uma árvore discutido na seção anterior e proponha a 
discussão que aparece no início dessa seção, sobre as 
condições para que dois triângulos retângulos sejam se-
melhantes.
Em seguida, peça aos grupos que trabalhem nos itens 
1 a 3.
Quando os grupos tiverem finalizado as resoluções, 
conduza com a classe a discussão da proposta apresen-
tada após o item 3. Desenhe vários triângulos retângulos 
na lousa e mostre como as posições de seus três lados 
podem variar, o que gera a necessidade de fixar um ân-
gulo agudo e identificar os lados como cateto oposto, 
cateto adjacente e hipotenusa.
Por último, trabalhe as definições do boxe “De olho 
nas razões trigonométricas do triângulo retângulo” e pas-
se para a seção Exercício 1.
A tabela de razões trigonométricas (página 320)
Retome mais uma vez os princípios trabalhados nas 
duas primeiras seções. É importante reforçar para os alu-
nos como o uso das razões determinadas no item 1 da 
seção anterior foi importante para resolver o problema 
proposto no item 3. Isso facilita a apresentação da tabela 
das razões trigonométricas.
Optamos por fornecer as razões com três casas deci-
mais. Para a maior parte dos cálculos, duas casas seriam 
suficientes; porém, tal arredondamento traria inconve-
nientes em alguns casos (por exemplo, os cossenos de 
todos os ângulos de 1° a 6° seriam iguais a 1,00).
Sugerimos que você mostre aos alunos como obter 
os valores da tabela em uma calculadora científica.
Depois de explicar o funcionamento da tabela, passe 
para a seção Exercício 2. Nos itens 1 e 2, o principal 
objetivo é praticar a identificação dos lados de um tri-
ângulo retângulo (hipotenusa, cateto oposto e cateto 
adjacente) e da razão trigonométrica mais conveniente 
para solucionar cada situação proposta. Destaque para os 
alunos que a tabela de razões trigonométricas pode ser 
usada para calcular a medida tanto de um lado quanto 
de um ângulo de um triângulo retângulo, o que ocorre 
nos itens 1 e 2, respectivamente.
Finalmente, nos itens 3 e 4, propomos situações-pro-
blema que envolvem as razões trigonométricas em um 
triângulo retângulo.
Razões trigonométricas dos ângulos notáveis 
(página 324)
Nessa seção, serão deduzidos os valores do seno, do 
cosseno e da tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60° a 
partir das propriedades do quadrado e do triângulo equi-
látero vistas no Caderno 2. Por isso, se julgar necessário, 
comece a aula retomando alguns dos procedimentos 
utilizados naquela ocasião.
O quadrado e o ângulo de 45° (página 324)
Por ser uma atividade de retomada de propriedades já 
trabalhadas no Caderno 2, sugerimos que você dê maior 
autonomia de trabalho para os grupos, que deverão se-
guir as instruções do Caderno.
Ao final, comente sobre a vantagem de se racionalizar 
o denominador da fração que representa os valores de 
sen 45° e cos 45°. Nos casos em que for necessária uma 
aproximação, adotando, por exemplo, 52 1,414, temos 
as seguintes possibilidades:
(1) 5 ã
2
2
1,414
2
0,707
(2) 5 ã
1
2
1
1,414
0,707
Claramente, o cálculo feito no primeiro caso é bem 
menos trabalhoso que o do segundo.
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M
a
n
u
a
l 
d
o
 P
r
o
fe
s
s
o
r
O triângulo equilátero e os ângulos de 30° e 60° 
(página 325)
Mais uma vez, a atividade faz uma retomada de con-
ceitos já explorados no Caderno 2. Como os cálculos 
relativos ao triângulo equilátero costumam apresentar 
mais dificuldades algébricas que no caso do quadrado, 
é provável que os alunos precisem de um pouco mais 
de tempo para realizar as atividades da seção.
No final, os alunos farão um resumo das conclusões 
obtidas completando a tabela das razões trigonométricas 
dos ângulos notáveis fornecida no Caderno. Reforçamos 
que fica a seu critério exigir ou não a memorização dosvalores da tabela.
Finalize a aula com as questões propostas na seção 
Exercício 3.
Respostas e comentários
Determinação de distâncias inacessíveis 
(página 313)
1. Após a resolução dos itens a a d, os alunos deverão 
obter a seguinte figura:
1,6 m
E D
B
H
A
C 33º
56 m
2. O desenho depende das medidas escolhidas pelos 
alunos. Ilustramos a seguir o desenho obtido após os 
traçados solicitados nos itens a a d para RS 5 8 cm.
S
T
R
3. As medidas dependem da escolha feita no item 2. 
Indicamos na tabela os valores correspondentes à 
escolha RS 5 8 cm.
Lado Medida (cm)
RS 8,0
ST 5,2
RT 9,5
4. Sim, os triângulos CBA e RST são semelhantes, pois: 
5 5( ) ( ) °m Ĉ m R̂ 33 e 5 5( ) ( ) °m B̂ m Ŝ 90 .
5. Considerando as medidas obtidas para RS 5 8,0 cm, 
como nCBA á nRST, temos a proporção:
5 ~ 5 _ 5
CB
RS
BA
ST
56
8
BA
5,2
     BA 36,4
Como H 5 AB 1 BD, segue:
5 1 5H 36,4 1,6  38
Logo, a altura da árvore é aproximadamente 38 m.
6. Considerando que os cálculos estejam corretos, todos 
os grupos deverão encontrar aproximadamente os 
mesmos valores para a estimativa da altura da árvo-
re. Independentemente da medida RS escolhida, os 
triângulos CBA e RST serão semelhantes. Assim, a 
razão entre as medidas dos dois catetos do triângulo 
RST será aproximadamente a mesma para todos os 
grupos (exceto pequenas diferenças provenientes de 
imprecisões nas construções e nas medidas).
As razões trigonométricas em um triângulo 
retângulo (página 316)
1. a) Sim, pois todos eles possuem um ângulo reto e 
outro que mede 37°.
b)
5
BC
AB
0,75 5
BC
AC
0,6 5
AB
AC
0,8
5
EF
DE
0,75 5
EF
DF
0,6 5
DE
DF
0,8
5
HI
GH
0,75 5
HI
GI
0,6 5
GH
GI
0,8
c) Tomando-se lados correspondentes nos três triân-
gulos, as razões obtidas em cada triângulo sempre 
são iguais.
2. As razões de cada par apresentado são iguais. Isso 
se justifica pelo fato de que os triângulos são seme-
lhantes, levando às seguintes proporções:
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828
Ensino Fundamental
a) 
b
b'
c
c'
    
b
c
b'
c'
5 _ 5
b) 
b
b'
a
a'
    
b
a
b'
a'
5 _ 5
c) 
c
c'
a
a'
    
c
a
c'
a'
5 _ 5
3. Nessa questão, é fundamental que os alunos identi-
fiquem e relacionem os dois fatos citados a seguir:
• o triângulo dado na figura é semelhante aos triân-
gulos do item 1, pois todos são retângulos e têm 
um ângulo de 37°;
• como consequência, a razão entre as medidas de 
dois lados de um dos triângulos é igual à razão 
entre as medidas dos dois lados correspondentes 
nos outros triângulos.
Os dois fatos acima resumem tudo o que foi discu-
tido até aqui.
Nesse caso, porém, eles deverão perceber um terceiro 
ponto: “Dentre as três razões que se pode estabelecer 
entre as medidas de dois lados de um triângulo, qual 
é a indicada aqui?”
Ao chamar a atenção dos alunos para essa questão, o 
problema mostra a necessidade de nomear as razões 
trigonométricas, para que elas sejam identificadas 
mais facilmente nas diferentes situações.
Notando que a altura H do edifício é igual à medida 
do cateto oposto ao ângulo de 37° e que a medida 
do cateto adjacente a esse ângulo é 40 m, concluí-
mos que a razão indicada nesse caso é 0,75. Dessa 
forma, temos:
5 _ 5
H
40
0,75     H 30
Logo, a altura do edifício é 30 m.
Exercício 1 (página 319)
1. a) PR
b) PQ
c) QR
d) PQ
e) PR
2. a)
a 5sen
a
c
b 5sen
b
c
a 5cos
b
c
b 5cos
a
c
a 5tg
a
b
b 5tg
b
a
b)
j 5sen
p
r
d 5sen
q
r
j 5cos
q
r
d 5cos
p
r
j 5tg
p
q
d 5tg
q
p
c)
a 5sen
3
5
b 5sen
4
5
a 5cos
4
5
b 5cos
3
5
a 5tg
3
4
b 5tg
4
3
Exercício 2 (página 322)
1. a) cos20
x
10
0,940
x
10
 ° 5 ~ 5
_ x 5 9,4
b) tg 39
24,3
x
0,810
24,3
x
° 5 ~ 5
_ x 5 30
c) sen 32
x
8
0,530
x
8
° 5 ~ 5
_ x 5 4,24
d) 5
1
~ 5
1
cos 60
x
x 2
0,500
x
x 2
  °
_ 5 x 2
2. a) tg B̂
11,5
10
tg B̂ 1,15 ( ) ( )5 ~ 5 _
 m B̂ 49( ) °5 _ 5
tg Ĉ
10
11,5
tg Ĉ 0,869   ( ) ( )5 ~ 5 _
   m Ĉ 41( ) °5 _ 5
b) sen R̂
47
50
sen R̂ 0,94  ( ) ( )5 ~ 5 _
    m R̂ 70( ) °5 _ 5
cos Q̂
47
50
cos Q̂ 0,94 ( ) ( )5 ~ 5 _
   m Q̂ 20( ) °5 _ 5
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M
a
n
u
a
l 
d
o
 P
r
o
fe
s
s
o
r
35°42°
192 m
D
h
A CBx 192 2 x
3. Na figura, o ponto P representa a posição da pipa e 
d é a sua distância até o chão.
100 m
40º
d
P
No triângulo retângulo representado, temos:
5 ~ 5 _sen 40
d
100
0,643
d
100
  °
_ 5 d 64,3
Então, a distância da pipa até o chão vale aproxima-
damente 64,3 m.
4. Na figura a seguir, h é a altura do edifício e x é a 
distância entre o carro preto (A) e o prédio, ambas 
medidas em metros.
No triângulo retângulo ABD:
5 ~ 5 _°tg 42
BD
AB
0,9
h
x
  
_ 5  h 0,9x
No triângulo retângulo BCD:
5 _ 5
2
°tg 35
BD
BC
     0,7
h
192 x
Substituindo a primeira igualdade na segunda, che-
gamos a:
5
2
~ 2 5 _0,7
0,9x
192 x
134,4 0,7x 0,9x
5 _ 5    x 84
Portanto, 5 ? 5h 0,9 84 75,6 .
a) A distância do carro preto até o prédio é 84 m.
b) A altura do edifício é 75,6 m.
Razões trigonométricas dos ângulos notáveis 
(página 324)
O quadrado e o ângulo de 45° (página 324)
1. a) O ângulo BÂC mede 45°. Como o triângulo ABC 
é isósceles e retângulo em B, cada ângulo agudo 
mede 45°.
b) Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo 
ABC, temos:
5 1 ~ 5d  d 2  2 2 2 2 2l l l l
_ 5  d 2l l
Logo: AC 5 2l
2. a) sen 45
2
1
2
° 5 5
l
l
Racionalizando: sen 45
2
2
° 5
b) cos 45
2
 
1
2
° 5 5
l
l
Racionalizando: cos 45
2
2
° 5
c) ° 5 5tg 45 1
l
l
3. Os valores da tabela são aproximações dos valores 
reais com três casas decimais. Já os valores calculados 
no item 2 são exatos e, portanto, mais precisos.
O triângulo equilátero e os ângulos de 30° 
e de 60° (página 325)
1. a) Cada ângulo interno de um triângulo equilátero 
mede 60°.
b) 5( ) °m EF̂H 60 e 5( ) °m FÊH 30
c) Como o triângulo EFG é equilátero, a altura coin-
cide com a mediana. Logo, H é ponto médio de 
FG e 5FH
2
l
.
d) Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo 
EFH, temos:
)(1 5 ~ 5 2 ~h 2    h 4
2
2
2 2 2
2
l
l l
l l
2 ~ 5 _ 5h
3
4
h
3
2
2
2
l l l
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830
Ensino Fundamental
2. a) ° 5 5sen 60
3
2 3
2
l
l
b) ° 5 5cos 60 2  
1
2
l
l
c) tg 60
3
2
2
  3° 5 5
l
l
d) sen 30 2
1
2
° 5 5
l
l
e)  cos 30
3
2 3
2
° 5 5
l
l
f ) tg 30 2
3
2
1
3
° 5 5
l
l
Racionalizando: tg 30
3
3
° 5
3. Os valores do quadro são aproximações dos valores 
reais com três casas decimais. Já os valores calculados 
no item 2 são exatos e, portanto, mais precisos.
30° 45° 60°
sen
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1 3
Exercício 3 (página 327)
1. Do enunciado, temos a figura a seguir, em que d é a 
distância a que o pé da escada se encontra da parede 
e l é o comprimento da escada.
3 m
d
L
30¼
a) 5 ~ 5 _ 5°tg 30
d
3
 
3
3
d
3
     d 3
Logo, o pé da escada se encontra a 3 m (apro-
ximadamente 1,73 m) da parede.
b) 5 ~ 5 ~°cos 30
3 3
2
3 6
l l
5 ~ 5 _ 5
3 6
3
2 3l l
Portanto, o comprimento da escada é 2 3 m 
(aproximadamente 3,46 m).
2. No triângulo PSQ, temos:
5 ~ 5 _ 5°sen 45
PS
4 2
2
2
PS
4 2
     PS 4
No triângulo PSR, temos:
5 ~ 5 _ 5°sen 30
PS
PR
 
1
2
4
PR
     PR 8
Assim, o comprimento do segmento PR é 8.
3. O problema pode ser representado pela figura a se-
guir, em que A é o topo do prédio, BC é uma linha 
paralela ao chão na altura dos olhos do observador 
e C e D são as posições dos olhos do observador nas 
duas situações descritas no enunciado.
D
A
C
28 m
30º
30º
60º
120º
B
x
Marcando todos os ângulos da figura, notamos que o 
triângulo ADC é isósceles. Logo, AD 5 CD 5 28 m.
Destaque para os alunos a importância de marcar as 
medidas dos diferentes ângulos da figura em proble-
mas que envolvem triângulos retângulos e ângulos 
notáveis. É muito comum obtermos triângulos isós-
celes que simplificam bastante a resolução.
No triângulo ABD, temos:
5 ~ 5 _ 5°sen 60
AB
AD
3