Integral de Produto entre Potencias de Tangente e Secante

Prévia do material em texto

Ca´lculo Diferencial e Integral I
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Introduc¸a˜o
Nas aulas anteriores no´s estudamos te´cnicas para calcular integrais
envolvendo apenas uma poteˆncia de tangente ou de secante.
Nesta aula estudaremos como calcular integrais envolvendo o
produto entre poteˆncias de tangente e secante.
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sec x tg 4x dx .
Usando a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x , temos que∫
sec x tg 4x dx =
∫
sec x
(
tg 2x
)2
dx
=
∫
sec x
(
sec2 x − 1)2 dx
=
∫
sec5 x − 2 sec3 x + sec x dx
Note que a integral original sera´ reescrita como a combinac¸a˜o de
treˆs outras integrais envolvendo uma poteˆncia de secante. Isto e´,
temos que∫
sec x tg 4x dx =
∫
sec5 x dx − 2
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sec x tg 4x dx .
Usando a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x , temos que∫
sec x tg 4x dx =
∫
sec x
(
tg 2x
)2
dx
=
∫
sec x
(
sec2 x − 1)2 dx
=
∫
sec5 x − 2 sec3 x + sec x dx
Note que a integral original sera´ reescrita como a combinac¸a˜o de
treˆs outras integrais envolvendo uma poteˆncia de secante. Isto e´,
temos que∫
sec x tg 4x dx =
∫
sec5 x dx − 2
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sec x tg 4x dx .
Usando a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x , temos que∫
sec x tg 4x dx =
∫
sec x
(
tg 2x
)2
dx
=
∫
sec x
(
sec2 x − 1)2 dx
=
∫
sec5 x − 2 sec3 x + sec x dx
Note que a integral original sera´ reescrita como a combinac¸a˜o de
treˆs outras integrais envolvendo uma poteˆncia de secante. Isto e´,
temos que∫
sec x tg 4x dx =
∫
sec5 x dx − 2
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sec x tg 4x dx .
Usando a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x , temos que∫
sec x tg 4x dx =
∫
sec x
(
tg 2x
)2
dx
=
∫
sec x
(
sec2 x − 1)2 dx
=
∫
sec5 x − 2 sec3 x + sec x dx
Note que a integral original sera´ reescrita como a combinac¸a˜o de
treˆs outras integrais envolvendo uma poteˆncia de secante. Isto e´,
temos que∫
sec x tg 4x dx =
∫
sec5 x dx − 2
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule
∫
sec x tg 4x dx .
Usando a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x , temos que∫
sec x tg 4x dx =
∫
sec x
(
tg 2x
)2
dx
=
∫
sec x
(
sec2 x − 1)2 dx
=
∫
sec5 x − 2 sec3 x + sec x dx
Note que a integral original sera´ reescrita como a combinac¸a˜o de
treˆs outras integrais envolvendo uma poteˆncia de secante. Isto e´,
temos que∫
sec x tg 4x dx =
∫
sec5 x dx − 2
∫
sec3 x dx +
∫
sec x dx .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Podemos resolver cada uma das integrais envolvendo uma poteˆncia
de secante utilizando o procedimento descrito na aula anterior.
Por exemplo, usando a fo´rmula de recorreˆncia para integrais desse
tipo, podemos obter que∫
sec5 x dx =
sec3 x tg x
4
+
3
8
(sec x tg x + ln | sec x + tg x |) + c1,∫
sec3 x dx =
1
2
(sec x tg x + ln | sec x + tg x |) + c2.
Ale´m disso, temos tambe´m∫
sec x dx = ln | sec x + tg x |+ c3.
Desse modo, no final ficamos com∫
sec x tg 4x dx =
sec3 x tg x
4
− 5
8
sec x tg x +
3
8
ln | sec x + tg x |+c .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Podemos resolver cada uma das integrais envolvendo uma poteˆncia
de secante utilizando o procedimento descrito na aula anterior.
Por exemplo, usando a fo´rmula de recorreˆncia para integrais desse
tipo, podemos obter que∫
sec5 x dx =
sec3 x tg x
4
+
3
8
(sec x tg x + ln | sec x + tg x |) + c1,
∫
sec3 x dx =
1
2
(sec x tg x + ln | sec x + tg x |) + c2.
Ale´m disso, temos tambe´m∫
sec x dx = ln | sec x + tg x |+ c3.
Desse modo, no final ficamos com∫
sec x tg 4x dx =
sec3 x tg x
4
− 5
8
sec x tg x +
3
8
ln | sec x + tg x |+c .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Podemos resolver cada uma das integrais envolvendo uma poteˆncia
de secante utilizando o procedimento descrito na aula anterior.
Por exemplo, usando a fo´rmula de recorreˆncia para integrais desse
tipo, podemos obter que∫
sec5 x dx =
sec3 x tg x
4
+
3
8
(sec x tg x + ln | sec x + tg x |) + c1,∫
sec3 x dx =
1
2
(sec x tg x + ln | sec x + tg x |) + c2.
Ale´m disso, temos tambe´m∫
sec x dx = ln | sec x + tg x |+ c3.
Desse modo, no final ficamos com∫
sec x tg 4x dx =
sec3 x tg x
4
− 5
8
sec x tg x +
3
8
ln | sec x + tg x |+c .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Podemos resolver cada uma das integrais envolvendo uma poteˆncia
de secante utilizando o procedimento descrito na aula anterior.
Por exemplo, usando a fo´rmula de recorreˆncia para integrais desse
tipo, podemos obter que∫
sec5 x dx =
sec3 x tg x
4
+
3
8
(sec x tg x + ln | sec x + tg x |) + c1,∫
sec3 x dx =
1
2
(sec x tg x + ln | sec x + tg x |) + c2.
Ale´m disso, temos tambe´m∫
sec x dx = ln | sec x + tg x |+ c3.
Desse modo, no final ficamos com∫
sec x tg 4x dx =
sec3 x tg x
4
− 5
8
sec x tg x +
3
8
ln | sec x + tg x |+c .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Podemos resolver cada uma das integrais envolvendo uma poteˆncia
de secante utilizando o procedimento descrito na aula anterior.
Por exemplo, usando a fo´rmula de recorreˆncia para integrais desse
tipo, podemos obter que∫
sec5 x dx =
sec3 x tg x
4
+
3
8
(sec x tg x + ln | sec x + tg x |) + c1,∫
sec3 x dx =
1
2
(sec x tg x + ln | sec x + tg x |) + c2.
Ale´m disso, temos tambe´m∫
sec x dx = ln | sec x + tg x |+ c3.
Desse modo, no final ficamos com∫
sec x tg 4x dx =
sec3 x tg x
4
− 5
8
sec x tg x +
3
8
ln | sec x + tg x |+c .
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sec5 x tg 3x dx .
Usando a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x , temos que∫
sec5 x tg 3x dx =
∫
sec4 x sec x tg 2x tg x dx
=
∫
sec4 x(sec2 x − 1) sec x tg x dx
Usando a substituic¸a˜o u = sec x e du = sec x tg x dx , temos que∫
sec5 x tg 3x dx =
∫
u4(u2 − 1) du
=
u7
7
− u
5
5
+ c
=
sec7 x
7
− sec
5 x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sec5 x tg 3x dx .
Usando a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x , temos que∫
sec5 x tg 3x dx =
∫
sec4 x sec x tg 2x tg x dx
=
∫
sec4 x(sec2 x − 1) sec x tg x dx
Usando a substituic¸a˜o u = sec x e du = sec x tg x dx , temos que∫
sec5 x tg 3x dx =
∫
u4(u2 − 1) du
=
u7
7
− u
5
5
+ c
=
sec7 x
7
− sec
5 x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sec5 x tg 3x dx .
Usando a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x , temos que∫
sec5 x tg 3x dx =
∫
sec4 x sec x tg 2x tg x dx
=
∫
sec4 x(sec2 x − 1) sec x tg x dx
Usando a substituic¸a˜o u = sec x e du = sec x tg x dx , temos que∫
sec5 x tg 3x dx =
∫
u4(u2 − 1) du
=
u7
7
− u
5
5
+ c
=
sec7 x
7
− sec5 x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sec5 x tg 3x dx .
Usando a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x , temos que∫
sec5 x tg 3x dx =
∫
sec4 x sec x tg 2x tg x dx
=
∫
sec4 x(sec2 x − 1) sec x tg x dx
Usando a substituic¸a˜o u = sec x e du = sec x tg x dx , temos que∫
sec5 x tg 3x dx =
∫
u4(u2 − 1) du
=
u7
7
− u
5
5
+ c
=
sec7 x
7
− sec
5 x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sec5 x tg 3x dx .
Usando a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x , temos que∫
sec5 x tg 3x dx =
∫
sec4 x sec x tg 2x tg x dx
=
∫
sec4 x(sec2 x − 1) sec x tg x dx
Usando a substituic¸a˜o u = sec x e du = sec x tg x dx , temos que∫
sec5 x tg 3x dx =
∫
u4(u2 − 1) du
=
u7
7
− u
5
5
+ c
=
sec7 x
7
− sec
5 x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule
∫
sec5 x tg 3x dx .
Usando a identidade trigonome´trica tg 2x + 1 = sec2 x , temos que∫
sec5 x tg 3x dx =
∫
sec4 x sec x tg 2x tg x dx
=
∫
sec4 x(sec2 x − 1) sec x tg x dx
Usando a substituic¸a˜o u = sec x e du = sec x tg x dx , temos que∫
sec5 x tg 3x dx =
∫
u4(u2 − 1) du
=
u7
7
− u
5
5
+ c
=
sec7 x
7
− sec
5 x
5
+ c
Integral de Produto entre Poteˆncias de Tangente e Secante
Procedimento ∫
secn x tg mx dx (n, m ∈ N).
(i) Se m e´ par, enta˜o ele tem o formato m = 2k (com k ∈ N).
Desse modo, use a identidade tg 2x + 1 = sec2 x e reescreva
o integrando como poteˆncias apenas de secante. Em seguida,
use o procedimento adequado para esse tipo de integral.
secn x tg 2kx = secn x
(
sec2 x − 1)k ;
(ii) Se m e´ ı´mpar, enta˜o ele tem o formato m = 2k + 1 (com
k ∈ N). Desse modo, use a identidade tg 2x + 1 = sec2 x
para reescrever o integrando como indicado abaixo e use a
substituic¸a˜o u = sec x e du = sec x tg x dx .
secn x tg 2k+1x = secn−1 x
(
sec2 x − 1)k sec x tg x .