Lista 1 Bloco 3 Sequências

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI 
DIAMANTINA – MINAS GERAIS 
LICENCIATURA EM MATEMÀTICA 
www.ead.ufvjm.edu.br ead@ufvjm.edu.br 
Lista – Bloco 03 
EADMAT026 – Fundamentos de Análise 
Prof. Eduardo Fernandes 
Sequências 
 
1) Fazer exercícios 1 a 4 da página 58 da Apostila Introdução a Análise Real. 
 
No exercício 3, complete a tabela a seguir para cada um dos exercícios: 
 

 
N
 
n
 
na
 
La n 
 
 
 
 
 
 
 
5) (Unicidade do Limite) Prove que uma sequência só pode convergir para um único limite. 
6) (Teorema do Confronto ou Sanduíche) Sejam 
     nnn ceba ,
 três sequências tais que 
nnn bca 
. Se 
   nn bea
 convergem para L, então 
 nc
 também irá convergir para L. 
7) Encontre o limite de cada sequencia convergente: 
(a) 
n
n
a n
31
12



 (b) 
34
4
8
51
nn
n
a n



 (c) 
65
3
2 


nn
n
a n
 
(d) 
2
3
470
1
n
n
a n



 (e) 
1
2


n
n
a n
 (f) 







n
sena n
1
2
 
(g) 
nn
nsen
a
2
2

 (h) 
nn
n
a
2

 (i) 
3
3
n
a
n
n 
 
(j) 
n
n
a n
2ln
ln

 (k) n
n
n
a 






1
1
 (l) 
n n
na
123 
 
(m) 
nn n
n
a
!

 (n) 
!
2
n
a
n
n 
 (o) n
n
n
n
a 








13
13 
 
 8) Sejam 
   nn bea
 duas sequências convergentes, com limites A e B respectivamente. 
Prove que: 
(a) 
  ;lim BAba nn 
 (b) 
  ;lim BAba nn 
 
(c) 
  ;limlim nn bkBkbk 
 (d) Se 
0B
, então 
B
A
b
a
n
n









lim
 
9) Determine se a sequência 
1
13



n
n
a n
 é crescente e se possui um limite superior. 
 na
 
converge? Justifique. 
 
 
10) Utilizando o TCM determine quais sequências convergem e quais divergem. 
 
(a) 
n
n
a n
1

 (b) 
n
nn
na
4
34 1 

 (c) 
32,1 11   nn aaa
 
 
11) Seja 
 na
 a sequência de números reais definida por 









 1,
5
62
1
1
1
n
a
a
a
n
n
 
Mostre que a sequência 
 na
 é convergente pelo TCM e determine seu limite. 
 
12) Prove que a sequência de números reais 
,222,22,2 
 converge para 
2. 
 
13) Defina 














n
nn
a
a
aa
a
2
1
0
1
1
. 
Prove que: 
(a) 
1 nn aa
 (b) 
aan 
 (c) 
aan 
 
 
14) Seja 
 na
 a sequência de números reais definida por 









 1,
5
4
0
1
1
n
a
a
a
n
n
 
Mostre que: 
(a) A sequência é estritamente crescente. 
(b) A sequência é limitada superiormente por 2. 
(c) A sequência é convergente, e seu limite é 1. 
 
15) Uma sucessão real 
 na
 satisfaz 
67
3
1  nn aa
 para 
.1n
 Se 
,
2
1
1 a
 prove que 
a sucessão é crescente e determine seu limite.