Lista da III Umidade

Prévia do material em texto

�PAGE �
�PAGE �6�
UFBA – Universidade Federal da Bahia
Curso: Computação
Disciplina: Complementes de Cálculo
Professor: José Roberto 
3a Lista de Exercícios 
1. Verifique se as funções abaixo dependentes de constantes arbitrárias satisfazem às equações diferenciais ao lado.
	Funções:
	Equações Diferenciais:
	a) y = C e( 3x
	y´+3y = 0
	b) y = C cos(x)
	y´ + y tgx = 0
	c) 
	
	d) y = C1 cos3x + C2 sen3x.
	y´´ + 9y = 0
	e) y = Cx3
	xy´= y
	f) y = ex + C1x + C2
	y´´ = ex
2. Resolva as seguintes equações diferenciais a variáveis separáveis:
	a) y´+ y = 1
	h) 
	n) 
	a) 
.
	b) x y´= 3y
	i) tg(x) y´ = y
	0) 2y(x+1)dy = x dx
	b) 
.
	c) y´= (2xy 
	j) tg(x) sen2(y) dx + cos2(x) cotg(y) dy = 0 
	p) 
	c) 
.
	d) 
	k) 3 ex tg(y) dx + (1 – ex) sec2(y) dy = 0
	 q) (y + yx2) dy + ( x + xy2) dx = 0 
	d) 
.
	e) 
	l) x y y´= 1 ( x2 
	 
r) y´ = x – 1 + xy ( y
	
	f) 
	m) ex dy = 2x dx
	s) (x + 1 ) dy – ( x + 6 ) dx = 0 
	
	g)
�� EMBED Equation.3 
	
	t) x2 y´ ( yx2 = y 
	
	 	 
3. Para as equações diferenciais a seguir determine as soluções particulares que satisfazem as condições iniciais.
	a) xy´= 2y y( ( 2) = 1
	d) 
	b) (1 + ex)y y´= ex, y(0) = 1
	e) 
	c) (xy2 + x) dx + ( x2y – y ) dy = 0; y(2) =1
	f) 
4. Para a família de curvas a seguir, onde C é uma constante arbitrária real, determine 
i) a equação diferencial ( derive uma vez e elimine a constante C ) ii) as trajetórias ortogonais.
	a) y = (2x + C
	e) x2 ( y2 = C
	b) y = ln( x3 + C )
	f) y2 = Cx3
	c) y = C e(x
	g) xy = C
	d) y2 = Cx
	h) y = C / e2x
5. 
a) Determine a equação da curva que passa pelo ponto P(1,0) e corta ortogonalmente as hipérboles 
.
b) Encontre a trajetória ortogonal da família de curvas y = C ( x (1) que passa pelo ponto ( 2, 2)
c) Encontre a curva que passa pelo ponto (1,0) e corta ortogonalmente a família de curvas 
.
d) Encontre a trajetória ortogonal da família de curvas x2 ( y2 = C que passa pelo ponto (1, 1)
6. Verifique se as equações a seguir são exatas ou não exatas. Para as equações exatas, encontre a solução.
	a) 
; 
	e) ( xlny + xy ) dx + ( y lnx + xy ) dy = 0 ( x > 0 e y > 0 )
	b) (2xy2 + 2y ) + ( 2x2y + 2x ) y´ = 0
	f) 
 ( x > 0 );
	c) 
; 
	g) (3x2 (2xy + 2 ) dx + (6y2 –x2 +3 ) dy = 0 
	d) (ex seny +3y)dx ( ( 3x ( ex seny ) dy = 0
	h) (xex + y) dx + ( x + yey) dy = 0; 
7. Encontre o valor da constante b para que as equações a seguir sejam exatas e resolva a equação com o valor de b encontrado
a) (xy2 + bx2y ) dx + ( x + y)x2 dy = 0; b) ( ye2xy + x ) dx + bxe2xy dy = 0
8. Mostre que as equações a seguir não são exatas, mas se tornam exatas quando multiplicadas pelo fator integrante indicado. Resolva as equações exatas assim obtidas
a) x2y3 + x(1 + y2) y´ = 0 
b) 
 
9. Verifique se as equações a seguir possuem fatores de integração dependendo de uma só variável. Em caso afirmativo encontre os fatores e resolva a equação 
	(3x2y + 2xy + y3 ) dx + (x2 + y2) dy = 0: 
	b) y´= e2x + y ( 1 
	dx + ( x/y ( seny ) dy = 0
	d) ydx + ( 2xy ( e–2y ) dy = 0
	ex dx + ( ex cotgy + 2ycossecy ) dy = 0
	f) 
	g) 
	h) 
10) Uma equação diferencial linear de 1a ordem se escreve na forma 
. Verifique quais das seguintes equações são lineares, identificando as funções P(x) e Q(x) e resolva as equações lineares
	a) y´+exy =x2y2; 
	b) y´ + 2y = 2ex; 
	c) x y´+ y + 4 = 0 ; 
	d) yy´ = y2 + senx
	e) ( y ( senx ) dx + x dy = 0 ; 
	f) y´ ( 4y = 2x (4x2 ; 
g) xy´+ y = 2x + ex h) 
Algumas aplicações de E.D.O.’s de 1a ordem.
11. Uma importante ferramenta na pesquisa arqueológica é a determinação da idade por radio carbono. Este é o modo de determinar a idade de certos restos de madeira, plantas, ossos humanos ou de animais, artefatos, etc. O procedimento foi desenvolvido pelo químico W. Libby (1908-1980) no início dos anos 50 e isso lhe deu o prêmio Nobel de Química em 1960. A determinação de idade por radio carbono está baseada no fato de que alguns restos de madeira ou plantas contém quantidades residuais de carbono 14 – C14, isótopo radioativo de carbono. Este isótopo é acumulado durante a vida da planta e começa a decair com a sua morte. A meia vida de um isótopo radioativo significa o tempo em que a metade da quantidade original se decompõe. Como a meia vida do carbono 14 é longa (aproximadamente 5745 anos), quantidades mensuráveis de carbono 14 estão presentes após milhares de anos. Libby mostrou que se aproximadamente 0,002 ou mais da quantidade original de carbono 14 ainda está presente, então pode-se determinar precisamente a proporção de quantidade original de carbono 14 que resta, por dosagem de laboratório adequada. Em outros termos:
Se Q(t) é a quantidade de carbono 14 no tempo t e Q0 é a quantidade original, então a razão 
 poderá ser determinada, pelo menos se esta quantidade não for muito pequena.
a) Supondo que Q(t) satisfaça a equação 
, determine a constante k de decaimento para o carbono 14.
b) Encontre a expressão Q(t) em qualquer tempo, se 
.
c) Suponha que se descubram certos restos arqueológicos em que a quantidade residual de carbono 14 seja de 20% da quantidade original. Determine a idade desses restos.
12. Em 1988 o Vaticano autorizou o Museu Britânico a datar a relíquia de pano conhecida como o Sudário de Turim, possivelmente o sudário de Jesus de Nazaré. Este pano que apareceu em 1356 contém o negativo da imagem de um corpo humano que se acreditava no mundo inteiro ser o de Jesus Cristo. O relatório do Museu Britânico mostrou que as fibras no pano continham entre 92% e 93% do carbono original. Usando que a meia-vida do Carbono-14 é de 5745 estime a idade do sudário..
13. Numa caverna da França, famosa pelas pinturas pré-históricas, foram encontrados pedaços de carvão vegetal nos quais a radioatividade do C14 era 0,145 vezes a radioatividade normalmente encontrada num pedaço de carvão feito hoje. Calcule a idade do carvão encontrado e com isto dê uma estimativa para a época em que as pinturas foram feitas.
14. Suponha que um acidente nuclear tenha elevado o nível de radiação por cobalto, em uma certa região, a 100 vezes o nível aceito para a habitação humana, isto é, Qo = 100Qa, sendo Qa o nível aceito para a habitação humana. Ignorando a presença provável de outros elementos radioativos, determine quanto tempo deverá passar para que a região seja novamente habitável, sabendo que a meia-vida do cobalto radioativo é 5,27 anos. 
15. Depois de três dias uma amostra de radônio-222 decaiu para 58% da sua quantidade original. Com base nesses dados, determine a meia-vida do radônio-222. 
16. Conhecemos de observações experimentais, que a temperatura superficial de um objeto varia numa taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta é a lei do resfriamento de Newton. Portanto, se T(t) é a temperatura do objeto no tempo t e 
 é a temperatura ambiente constante, temos a relação 
depende do material de que é constituída a superfície do objeto.
Aplicação: Usando estes dados, considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar 30oC e resfriando a substância de 100oC para 70oC em 15 minutos, encontre o momento em que a temperatura da substância será de 40oC.
17. O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto. O perito da polícia chegou à 1:00h da madrugadae, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8oC. Uma hora mais tarde ele tomou novamente a temperatura e encontrou 34,1oC. A temperatura do quarto onde se encontrava a vítima era constante a 20oC. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é 36,5oC.
18. Um termômetro é retirado de uma sala e colocado do lado de fora em que a temperatura é de 10(C. Depois de 1 minuto a leitura do termômetro é de 15(C e após 2 minutos 12(C. Use a “Lei do resfriamento de Newton” para determinar qual a temperatura da sala onde se encontrava o termômetro inicialmente.
19. Um objeto com temperatura desconhecida é colocado em um quarto que é mantido à temperatura constante igual a 20(C. Se, após 10 minutos, a temperatura do objeto é de 30(C e após 20 minutos a temperatura é de 25(C, determine a temperatura inicial do corpo, supondo válida a Lei do Resfriamento de Newton:
Utilize os resultados do texto abaixo para resolver as questões 20 e 21.
	A equação básica que rege a quantidade de corrente I (em ampères) em um circuito simples do tipo RL (figura 1), consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henryes) e uma força eletromotriz (fem) E (em volts) é
.
	Para um circuito do tipo RC (figura 2) consistindo de uma resistência R, um capacitor C (em farads), uma força eletromotriz E, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é
 e a relação entre q e I é dada por 
.
 
20. Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry. A corrente inicial é zero. Determine a corrente no circuito no instante t.
21. Um circuito RC tem fem de 5 volts, resistência de 10 ohms, capacitância de 10-2 farads e inicialmente uma carga de 5 coulombs no capacitor. Determine:
a) A corrente transitória; b) A corrente estacionária. 
22. A equação diferencial que descreve a variação da carga num circuito RC, como já foi visto, é igual 
. Esta é uma equação linear que no caso da força eletromotriz ser constante tem variáveis separáveis. 
Suponha num circuito RC que R= 20ohms, C = 0,01 farad, E(t) decaindo exponencialmente, ou seja, E(t) = 60 e (2t volts e q(0) = 0. Determine:
q(t)
O instante em que q(t) atinge um máximo e a carga máxima.
23. A equação diferencial que descreve a variação da corrente num circuito RL, como já foi visto, é igual 
. Esta é uma equação linear que no caso da força eletromotriz ser constante tem variáveis separáveis. 
Suponha num circuito RL que R = 12 ohms; L = 4 henrys; i(0) = 0 e que um gerador produza uma voltagem variável de E(t) = 60 sen30t volts. Encontre i(t)
Obs: Use que 
 ou 
24. Uma força eletromotriz 
 é aplicada a um circuito RL no qual a indutância é de 20 henrys e a resistência de 2 ohms. Encontre a corrente i(t), se i(0) = 0
Respostas
	1.	a) sim. b) sim. c) sim. d) sim. e) não. f) sim
	2. a) y = 1 ( Ce(x. b) x3 = Cy. c) 
 d) 
. e) 
 
f) y2 + cos(x2) = C. g) 
. h) 2 + y2 = C ( 4 + x2 ) i) y = C sen(x) 
j) tg2(x) (cotg2(y) = C k) 
 l) 
 m) 
 
n ) 2 ln(1+u) = 4t + t2 + C 0) 
 p) 4 arctgy = x4 (4x2 +4lnx + C 
q) (1+y2) = C(1+x2)–1 r) ln( 1+y)2 = x2 (2x + C s) 
 t) lny = (1/x + x + C 
	3.	a) y = x2/4. b) 
 c) (x2 (1)(y2 +1) = 6. d) lny = cossecx – cotgx
	e) 
.	f) 
.
	4.	a) i) y´= ( 2 ; ii) y = (x/2) + K .	 b) i) y´ey = 3x2 ii) 
.	
 c) i) y´+ y = 0 ii) y2 = 2x + K. d) i) 2xy´= y ii) y2 + 2x2 = K.
	e) i) y y´= x ii) y = K / x.	 f) i) 2xy´= 3y ii) 3y2 + 2x2 = K.
	g) i) x y´+ y = 0 ii) y2 ( x2 = K.	 h) i) y´+ 2y = 0 ii) x ( y2 = K..
	5. a)	x2 + y2 ( ln(x2) = 1. b) 
 c) 
 d) xy = 1 
	
	6. a) não é exata; b) x2y2 +2xy = C; c) ex seny +2ycosx = C; d) e e) não são exatas;
f) ylnx+3x2 –2y = C; g) x3 ( x2y +2x +2y3 + 3y = C; h) xex (ex + xy + yey (ey = C
	7. a) b = 3; x2y2 + 2x3y = C; b) b = 1; e2xy + x2 = C; 
	8. a) x2 + lny2 ( y(2 = C ; b) exseny +2ycosx = C
	9. a) ((x) = e3x; (3x2y + y3) e3x = C; b) ((x) = e(x; y = Cex +e2x +1; c) ((y) = y; xy +ycosy (seny = C; d) 
; e) ((y) = seny; exseny + y2 = C; f) ((y) = y2; x4 + 3xy + y4 = C
g) ((y) = y e ((x) = 1/x; x2y2 + 2xy = C; h) não possui fatores de integração dependentes de uma só variável.
	10. a) não é linear; b) y = (2/3)
; c) y = 
; d) não é linear; e) 
 f) y = x2+Ce4x; 
	 g) f) y = ( 1/x) (x2 + ex + C); h) 
; 
	
	11. a) 
; b) 
; c) 
 anos; 
	12.	Entre 604 e 695 anos
	13. 
 (aproximadamente 16000 anos atrás). 14.
 35 anos 
15. a) Aproximadamente 3,8 dias. 16. t ( 52 min; 17. t ( 2,24 horas, tome 
 e subtraia de 1 hora. 
	18. 22,5(. 19. 40 (C; 20. Resp.: 
 amp.
Comentário: A quantidade 
 é chamada corrente transitória, pois tende a zero (se desvanece) quando t((. A quantidade 
 é chamada corrente estacionária. Quando t(( a corrente I(t) tende para a corrente estacionária.
21. Resp.: (a) 
 amp.; (b) 0 amp.
	
22. a) q(t) = e(2t ( e(5t; 
 b) 
 e a carga máxima é 
coulombs 23. 
24. 
Figura 1: circuito RL Figura 2: circuito RC
_1090474501.unknown
_1125303535.unknown
_1153757569.unknown
_1336147688.unknown
_1336147720.unknown
_1336147861.unknown
_1336147893.unknown
_1336147742.unknown
_1336147702.unknown
_1169443573.unknown
_1169443770.unknown
_1219383169.unknown
_1153758222.unknown
_1153760766.unknown
_1153761606.unknown
_1153758003.unknown
_1125303827.unknown
_1140166000.unknown
_1153757370.unknown
_1153757382.unknown
_1140166082.unknown
_1140166135.unknown
_1140164018.unknown
_1140164201.unknown
_1125303828.unknown
_1125303613.unknown
_1125303699.unknown
_1125303825.unknown
_1125303826.unknown
_1125303703.unknown
_1125303691.unknown
_1125303551.unknown
_1125303567.unknown
_1125303548.unknown
_1122205991.unknown
_1122206083.unknown
_1125303526.unknown
_1125303531.unknown
_1122206200.unknown
_1122206211.unknown
_1122206251.unknown
_1122206089.unknown
_1122206054.unknown
_1122206079.unknown
_1122206037.unknown
_1122205945.unknown
_1122205955.unknown
_1108970292.unknown
_1122194993.unknown
_1090474666.unknown
_1078327916.unknown
_1078327955.unknown
_1078327961.unknown
_1080457191.unknown
_1081576509.unknown
_1081942376.unknown
_1081430143.unknown
_1078327966.unknown
_1078329284.unknown
_1078327962.unknown
_1078327959.unknown
_1078327960.unknown
_1078327957.unknown
_1078327947.unknown
_1078327951.unknown
_1078327954.unknown
_1078327948.unknown
_1078327944/�~
_1078327945.unknown
_1078327925.unknown
_1078327942.unknown
_1078327909.unknown
_1078327911.unknown
_1078327912.unknown
_1078327910.unknown
_1078327907.unknown
_1078327908.unknown
_1078327906.unknown