A1_FTA_CDI_III-1

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Fórum Temático Avaliativo (até 6 alunos) 
Cálculo Diferencial e Integral III 
Flávia Borges 
Envio até 20/10/2020 
 
Escreva seu desenvolvimento de forma CLARA e COMPLETA. Escreva TODO O DESENVOLVIMENTO 
das questões. Não serão consideradas as questões sem desenvolvimento. 
 
1) De acordo com a lei de Newton do resfriamento, a taxa de variação de temperatura T de um objeto é 
proporcional à diferença entre a temperatura T do objeto e a temperatura T0 do meio ambiente, 
conforme descrito na equação abaixo: 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝐾(𝑇 − 𝑇0) 
Um lingote de aço, cuja temperatura é de 1.500°F é colocado em um ambiente de temperatura 
controlada na ordem de 90°F. Uma hora depois, a temperatura do lingote é de 1.120ºF. Determine a 
temperatura do lingote, 5 horas após ter sido colocado no compartimento. 
 
2) Um corpo foi encontrado em um cômodo cuja temperatura era de 70ºF. Seja T a temperatura do corpo 
t horas após a morte. De acordo com a Lei de Newton de resfriamento, T satisfaz uma equação 
diferencial da forma 𝑻′ = 𝑲(𝑻𝟎 − 𝑻), onde T0 é a temperatura do meio ambiente. Depois de várias 
medidas da temperatura do corpo, determinou-se que quando esta temperatura era de 80ºF, ela decrescia 
à taxa de 5 graus por hora. Suponha que no momento da morte a temperatura do corpo era de 98ºF. 
Quando o corpo foi encontrado, sua temperatura era de 85ºF. Determine quanto tempo antes a pessoa 
morreu. 
 
3) De acordo com a lei do aquecimento e resfriamento de um corpo, descrita por Newton, a taxa segundo 
a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a 
temperatura do meio que o rodeia (temperatura ambiente). Assim, considerando T(t) a temperatura do 
corpo no instante de tempo t e Ta a temperatura do ambiente em que se encontra o corpo, temos a 
seguinte equação que modela matematicamente o fenômeno do aquecimento ou resfriamento de um 
corpo 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝐾(𝑇(𝑡) − 𝑇𝑎) 
Um indivíduo é encontrado morto em seu escritório pela sua secretária que liga imediatamente para a 
polícia. Quando a polícia chegou imediatamente mediu a temperatura do defunto, achando 35ºC; uma 
hora depois mediu novamente obtendo 34, 2ºC. Sabendo que a temperatura do escritório é de 20ºC e 
supondo que a temperatura normal de uma pessoa viva seja constante e igual a 36,5ºC. 
 
a) Determine quanto tempo depois da morte do indivíduo a polícia chegou no escritório. 
 
b) Sabendo que a polícia chegou 2 horas depois que a secretária telefonou, decida se o indivíduo 
morreu antes da secretária telefonar para a polícia ou depois da secretária ter telefonado para a 
polícia. 
 
4) Quando uma barra de aço incandescente é mergulhada em uma bacia de água mantida à temperatura 
constante de 10º, a temperatura da barra no tempo t, T(t), satisfaz a equação diferencial 
 
𝑇′ = 0,2 ∙ (10 − 𝑇), 𝑘 > 0. 
 
Sabendo que a temperatura inicial da barra é 350º, determine a temperatura da barra em qualquer 
instante de tempo t. 
5) De acordo com a lei do resfriamento de Newton, se um objeto na temperatura T for imerso em um meio 
tendo a temperatura constante M, então a taxa de mudança de T é proporcional à diferença da 
temperatura M - T. Um termômetro com uma leitura de 100ºF é colocado em um meio tendo a 
temperatura constante de 70ºF. Depois de 6 minutos, o termômetro indica 80ºF. Determine a leitura do 
termômetro após 20 minutos. 
 
6) De acordo com a Lei de Newton, a taxa a que uma substância se resfria é proporcional à diferença das 
temperaturas da substância e do ar. Se a temperatura do ar é de 20°C e a substância se resfria de 100°C 
para 60°C em 30 minutos, determine em quanto tempo a temperatura da substância atingirá 40°C. 
 
7) Em dinâmica populacional, um dos modelos matemáticos usados para descrever o crescimento ou 
decaimento de uma população, é o modelo conhecido como Malthusiano, proposto em 1798, devido ao 
economista inglês Thomas Malthus. Nesse modelo, Malthus se baseia na hipótese de que a taxa de 
variação de uma população em um determinado instante é proporcional à população total naquele 
instante, ou seja, se tomarmos as variáveis t como tempo e P(t) como a quantidade de indivíduos da 
população no instante t, matematicamente, Malthus quer dizer que 
𝑑𝑃 
𝑑𝑡
= 𝑘 ∙ 𝑃(𝑡), onde 
𝑑𝑃 
𝑑𝑡
 é a taxa de 
variação da população e k é a constante de proporcionalidade. 
 
a) A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população presente num instante de 
tempo t. A população inicial de 500 cresce 15% em 10 anos. Determine qual será a população em 
30 anos. 
 
b) Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de 
pessoas em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, determine em quanto tempo ela 
triplicará. 
 
8) Quando a capitalização é feita de maneira contínua, a quantidade de dinheiro S aumenta a uma taxa 
proporcional à quantidade presente em qualquer tempo, isto é: 
𝒅𝑺
𝒅𝒕
= 𝒌 𝑺, em que k é a taxa anual de 
juros. Determine: 
 
a) A quantidade de dinheiro acumulado no final de 5 anos, quando R$5000,00 são depositados em 
uma poupança com taxa anual de 5,75% e capitalização contínua; 
 
b) Em quantos anos a quantidade inicial depositada duplicará. 
 
9) A taxa de crescimento de um investimento na bolsa de valores é proporcional ao investimento a cada 
instante. 
 
a) Determine a equação (modelo matemático) que rege o investimento com o tempo. 
 
b) Se um investimento de R$ 100 rendeu R$ 44 após 6 anos, determine qual foi o rendimento deste 
investimento nos 3 primeiros anos. 
 
10) Se P(t) é o valor em dólares em uma conta bancária de poupança que rende uma taxa de juros anual de 
r% compostos continuamente, então 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
𝑟
100
𝑃 
 
t em anos. Considere que os juros sejam de 5% anualmente, 𝑃(0) = $1000 e nenhum dinheiro seja 
sacado. Determine: 
 
a) Quanto estará na conta depois de 2 anos. 
 
b) Em quanto tempo a conta chegará a $4000. 
11) A taxa de variação da quantidade de uma substancia é proporcional à quantidade de substancia presente: 
 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝐾𝑄 
 
Sabe-se que o nuclídeo radioativo tório 234 desintegra-se a uma taxa proporcional à quantidade 
presente. Em uma semana, 100 mg deste material são reduzidos a 82,04 mg. Determine: 
 
a) Uma expressão que dê a quantidade presente em qualquer instante. 
 
b) O tempo necessário para que a massa do material decaia à metade do seu valor original. 
 
12) O nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a equação 
𝒅𝑸
𝒅𝒕
= −𝟎, 𝟎𝟓𝟐𝟓𝑸, onde Q está em 
mg e t em anos. Determine: 
 
a) A meia vida do plutônio 241, ou seja, em quanto tempo a quantidade inicial se reduz à metade. 
 
b) Quanto plutônio existira em 10 anos, se 50 mg de plutônio estiverem presentes em uma amostra 
no dia de hoje. 
 
13) Uma pedra contém dois isótopos radioativos RA1 e RA2, que pertencem à mesma série radioativa; ou 
seja, RA1 decai para RA2, que então decai para átomos estáveis. Suponha que a taxa em que RA1 decai 
para RA2 seja 50𝑒−10𝑡 𝑘𝑔/𝑠. Como a taxa de decaimento de RA2 é proporcional à massa 𝑄(𝑡) de RA2 
presente, a taxa de mudança de RA2 é: 
 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 50𝑒−10𝑡 − 𝑘𝑄 
 
Onde 𝑘 > 0 é a constante de decaimento. Se 𝑘 = 2 e se inicialmente 𝑄(0) = 40 𝑘𝑔, determine a massa 
𝑄(𝑡) de RA2 para 𝑡 ≥ 0. 
 
14) Uma substância radioativa decompõe-se a uma razão proporcional à quantidade presente, e no fim de 
1500 anos reduz-se à metade da quantidade original. Determine: 
 
a) Em quantos anos a quantidade original se reduz a três quartos. 
 
b) A quantidade de substância encontrada no fim de 2000 anos. 
 
15) Um circuito RC é um circuito que tem um resistor de resistência R, um capacitor de capacitância C e 
um gerador que gera uma diferença de potencial, ou força eletromotriz, V(t), ligados em série. A queda 
de potencial em um resistor de resistência R é igual a RI e em um capacitor de capacitância C éigual a 
𝑸
𝑪
. Pela segunda lei de Kirchhoff, a soma das forças eletromotrizes (nesse caso apenas V(t)) é igual à 
soma das quedas de potencial (nesse caso RI na resistência e 
𝑸
𝑪
 no capacitor), ou seja, 𝑹𝑰 +
𝑸
𝑪
= 𝑽(𝒕). 
Como 𝑰(𝒕) =
𝒅𝑸
𝒅𝒕
, então a carga 𝑸(𝒕) no capacitor satisfaz a equação diferencial: 
 
𝑅
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑄 = 𝑉(𝑡) 
 
Sabe-se que em um circuito RC uma bateria gera uma diferença de potencial de 10 volts enquanto a 
resistência é de 103 ohms e a capacitância é de 10-4 farads. Determine a carga Q(t) no capacitor em 
cada instante t, se 𝑄(0) = 0. 
 
 
16) A segunda lei de Newton declara que a força é igual à massa multiplicada pela aceleração. Podemos 
expressar isso pela expressão 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝐹, onde 𝑭 representa a força total sobre o objeto, m a massa do 
objeto e 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 é a aceleração, expressa como a derivada da velocidade em relação ao tempo. É conveniente 
definir v como positiva quando estiver direcionada para baixo. Perto da superfície da terra, a força da 
gravidade é simplesmente o peso dos objetos e também é direcionada para baixo. Essa força pode ser 
expressa por mg, onde g é a aceleração devido à gravidade. Nenhuma lei geral modela com precisão a 
resistência do ar atuando sobre o objeto, pois essa força parece depender da velocidade do objeto, da 
densidade do ar e da forma do objeto, entre outras coisas. Porém, em alguns casos, a resistência do ar 
pode ser razoavelmente representada por –bv, onde b é uma constante positiva dependente da densidade 
do ar e da forma do objeto. Usamos o sinal negativo porque a resistência do ar é uma força que se opõe 
ao movimento. As forças atuando sobre o objeto são representadas na figura. 
 
 
Aplicando a lei de Newton, obtemos a equação diferencial de primeira ordem 
 
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑚𝑔 − 𝑏𝑣 
 
Se 𝑚 = 100 𝑘𝑔, 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠2, 𝑏 = 5 𝑘𝑔/𝑠, 𝑣(0) = 10 𝑚/𝑠, determine 𝑣 em qualquer instante de 
tempo. 
 
17) Seja 𝑦 = 𝑣(𝑡) a velocidade de queda (em pés por segundo) de um paraquedista após t segundos de 
queda livre. Esta função satisfaz a equação diferencial 𝑦′ = 0,2(160 − 𝑦), 𝑦(0) = 0. Determine a 
aceleração do paraquedista quando sua velocidade de queda é de 60 pés por segundo. 
 
18) Um exemplo da ocorrência de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes é como 
modelo de fluxo de corrente no circuito elétrico simples ilustrado na figura. A corrente I, medida em 
ampères (A), é uma função do tempo t. A resistência R em ohms (Ω), a capacitância C em farads (F) e 
a indutância L em henrys (H) são todas constantes positivas que supomos conhecidas. A tensão aplicada 
E em volts (V) é uma função do tempo dada. Outra quantidade física que entra na discussão é a carga 
total Q em coulombs (C) no capacitor no instante t. A relação entre a carga Q e a corrente I é 𝐼 =
𝑑𝑄
𝑑𝑡
. 
 
 
 
O fluxo de corrente no circuito é governado pela segunda lei de Kirchhoff: Em um circuito fechado, a 
tensão aplicada é igual à soma das quedas de tensão no resto do circuito. 
De acordo com as leis elementares da eletricidade, sabe-se que a queda de tensão no resistor é IR, a 
queda de tensão no capacitor é 
𝑄
𝐶
, a queda de tensão no indutor é 𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
. Portanto, pela lei de Kirchhoff, 
 
𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝑅𝐼 +
𝑄
𝐶
= 𝐸(𝑡). 
 
a) Suponha que um circuito em serie tenha um capacitor de 0,25 ∙ 10−6𝐹, um indutor de 1 H, R=0 e 
E=0 . Se a carga inicial no capacitor é de 10−6𝐶 é não há corrente inicial, determine a carga Q no 
capacitor em qualquer instante t. 
 
b) Suponha que um circuito em serie tenha um capacitor de 10−5𝐹, um indutor de 0,2 H, E=0 V e 
𝑅 = 3 ∙ 102 Ω. Se a carga inicial no capacitor é de 10−6𝐶 é não há corrente inicial, determine a 
carga Q no capacitor em qualquer instante t. 
 
19) Uma mola (de massa desprezível) possui uma massa m presa à sua extremidade inferior, é fixa por sua 
parte superior a uma trave, e encontra-se em repouso. O sistema é posto em movimento puxando-se a 
massa e soltando-a, com velocidade inicial 𝒗𝟎, a uma distancia 𝒙𝟎 abaixo da posição de equilíbrio, e 
simultaneamente aplicando-se à massa m uma força externa F(t) no sentido “para baixo”. 
 
 
 
Por conveniência, escolhemos como positivo o sentido “para baixo”, e tomamos como origem do 
sistema o centro de gravidade da massa na posição de equilíbrio. Além disso, admite-se a resistência 
do ar proporcional à velocidade da massa. Assim, no instante t, há três forças atuando no sistema: F(t), 
medida no sentido positivo; uma força restauradora dada pela Lei de Hooke como 𝐹𝑠 = −𝑘𝑥, 𝑘 > 0; e 
uma força devida à resistência do ar dada por 𝐹𝑎 = −𝑎𝑥′, 𝑎 > 0, onde a é a constante de 
proporcionalidade. A força restauradora sempre atua em um sentido tal que tende a fazer o sistema 
voltar a sua posição de equilíbrio: se a massa está abaixo da posição de equilíbrio, então x é positivo e 
−𝒌𝒙 é negativo; enquanto que se a massa está acima da posição de equilíbrio, então x é negativo e −𝒌𝒙 
é positivo. Além disso, como 𝑎 > 0, a força devida à resistência do ar atua no sentido oposto ao da 
velocidade, tendendo assim a retardar, ou amortecer, o movimento da massa. Pela segunda de Newton, 
𝑚𝑥′′ = −𝑘𝑥 − 𝑎𝑥′ + 𝐹(𝑡), ou 
 
𝑥′′ +
𝑎
𝑚
𝑥′ +
𝑘
𝑚
𝑥 =
𝐹(𝑡)
𝑚
 
 
Considere uma massa de 1 kg, presa a uma mola com rigidez de 3 N/m. Uma força externa F(t) é 
aplicada ao sistema, 𝐹(𝑡) = 2𝑒 𝑡 e a constante de amortecimento para o sistema é 2 N-s/m. Sabendo 
que no instante 𝑡 = 0 a massa encontra-se no ponto de equilíbrio com velocidade inicial de 2 m/s, 
determine a equação do movimento da massa. 
 
 
 
 
 
20) Considere o sistema massa-mola da figura. 
 
 
 
Usando a Lei de Hooke (𝐹𝑚 = −𝑘 ∙ 𝑥, 𝑘 > 0) e a 2ª Lei de Newton (𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑚 ∙ 𝑥′′) a equação 
que descreve o movimento x de um corpo de massa m, preso a uma mola de rigidez k é dada por: 
𝑚 ∙ 𝑥′′ = 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝐹 = −𝑘 ∙ 𝑥. 
Se considerarmos a existência de uma força de amortecimento ou resistência agindo contra o 
movimento do corpo proporcional à velocidade, temos: 
𝑚 ∙ 𝑥′′ = 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝐹 = −𝑘 ∙ 𝑥 − 𝑐 ∙ 𝑥′. 
Podemos ainda ter a atuação de uma força externa 𝐹(𝑡). Assim, 
𝑚 ∙ 𝑥′′ = 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝐹 = −𝑘 ∙ 𝑥 − 𝑐 ∙ 𝑥′ + 𝐹(𝑡). 
Vemos então que a equação de movimento da massa é uma equação diferencial linear de 2ª ordem com 
coeficientes constantes: 
𝑚 ∙ 𝑥′′ + 𝑐 ∙ 𝑥′ + 𝑘 ∙ 𝑥 = 𝐹(𝑡). 
 
a) Em uma mesa horizontal está uma massa de 2 𝑘𝑔 presa a uma mola com constante de elasticidade 
𝑘 = 10 𝑁/𝑚 em um meio viscoso com constante de resistência proporcional à velocidade, de 
8 𝑁/(𝑚/𝑠). Além disto, há uma força externa igual a 2𝑠𝑒𝑛(2𝑡) + 16 𝑐𝑜𝑠(2𝑡) agindo sobre o 
sistema. A mola parte a 1 𝑚 da posição de equilibrio com uma velocidade inicial de 2 𝑚/𝑠. 
Determine a posição 𝑥(𝑡) da massa. 
 
b) Considere uma massa de 1 kg, presa a uma mola com rigidez de 4 N/m. Uma força externa 𝐹(𝑡) é 
aplicada ao sistema, 𝐹(𝑡) = 𝑡2 + 3𝑒𝑡. Sabe-se que no instante 𝑡 = 0 massa encontra-se no ponto 
de equilíbrio com velocidade inicial de 2 m/s. Desprezando o amortecimento, determine a equação 
do movimento da massa.