PROBABILIDADES na ENGENHARIA

Prévia do material em texto

UNIBAVE – ENGENHARIA CIVIL / 2ª FASE 	 			 		03/11/2015
 
PROBABILIDADES na ENGENHARIA
Em torno de 1930 surgem os primeiros tratados de cunho prático e destinado a engenheiros. Por essa mesma época surge às primeiras comissões tratando da uniformização das normas do controle estatístico da qualidade. A real difusão dos métodos estatísticos na engenharia só iniciou durante a Segunda Guerra. Entre 1941 e 1942 os americanos e os ingleses desenvolveram um grande programa, procurando disseminar a prática do controle de qualidade estatístico na produção militar. Terminada a guerra, rapidamente tornou-se norma a inclusão de cursos de Probabilidades e Estatística em todos os cursos de engenharia americanos, ingleses e, logo, de outros países.
Por exemplo: Uma fábrica estuda um novo processo de manufatura para a produção de tampões para pias e banheiras. Os tampões com mais de 2.5 cm deverão ser descartados. Numa amostra de 20 tampões determinou-se um diâmetro médio 2.49 cm e desvio padrão de 0.01 cm. Supondo que os diâmetros tenham uma distribuição de probabilidades gaussiana, que percentual da produção desse processo deverá ser descartada?
PROBABILIDADE
	Embora o cálculo das probabilidades pertença ao campo da Matemática, sua inclusão na disciplina de Estatística se dá pelo fato de, a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística ser de natureza aleatória ou probabilística.
	Em quase tudo, vislumbramos o acaso. 
Ex.: Da afirmação: “é provável que o meu time ganhe a partida hoje”, pode resultar:
a) que, apesar do favoritismo, ele perca;
b) que, como pensamos ele ganhe;
c) que empate.
 			O resultado final depende do acaso. Fenômenos como esse chamamos de experimentos ou fenômenos aleatórios. 
Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. A cada experimento correspondem vários resultados possíveis.
 Ex.: no lançamento de uma moeda pode ocorrer cara ou coroa; no lançamento de um dado pode apresentar seis possibilidades.
			Ao conjunto desses resultados damos o nome de Espaço Amostral ou Conjunto Universo, representado por S. 
Então: - lançamento de uma moeda: 
- lançamento de um dado: 
Chamamos de probabilidade de um evento A o numero real P(A), tal que:	, onde: n(A) é o numero de elementos de A e n(S) é o numero de elementos de S.
Ex.: 1) Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”.
2) Considerando o lançamento de um dado, calcular:
a) a probabilidade do evento A “obter um número par na face superior” 
b) a probabilidade do evento B “obter um número menor ou igual a 6 na face superior”
c) a probabilidade do evento C “obter um número 4 na face superior”
d) a probabilidade do evento D “obter um número maior que 6 na face superior”.
Eventos Complementares: Sabemos que um evento pode ou não ocorrer. Sendo “p” a probabilidade de que ele ocorra e “q” a probabilidade de que ele não ocorra, para um mesmo evento existe a relação: 
p + q = 1 .: q = 1 – p
Ex.: a) a probabilidade de realizar um evento é p =, então a probabilidade de que não ocorra é:
b) a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é . Logo a probabilidade de não tirar 4 no lançamento é: 
Eventos Independentes: dois eventos são independentes quando a realização ou não de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro. Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. P = p1.p2. Ex.: Lançados dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado é? 
Eventos Mutuamente Exclusivos: os eventos são mutuamente exclusivos, quando a realização de um exclui a realização do outro. Ex.: no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos. A probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: p= p1 + p2.
Ex.: Lançamos um dado. A probabilidade de se tirar 3 ou 5 é:
Exemplos:
1) Qual a probabilidade de sair um ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
2) Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
3) Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule: 
a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa.
b) a probabilidade de essa peça não ser defeituosa.
4) No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5. 
5) De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus?
6) Uma urna A contem: 3 bolas brancas. 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contem: 5 bolas brancas, 2 pretas e 1 verde; em urna C contem: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
7) De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus?
8) Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
9) Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
10) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não inferior a 5?
11) São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente nesta ordem?
12) Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou maior que 10.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
	Esta distribuição resolve problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obterem “k” sucessos em “n” tentativas, através da fórmula: 
Exemplos: 1) Uma moeda é lançada 5 vezes seguida e independente. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas.
2) Dois times de futebol A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos.