03 TEORIA FUNCAO MODULAR

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APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 37
- TÓPICO 8.10 - 
=8.10. FUNÇÃO MODULAR 
 
8.10.1. FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA 
 
EXEMPLO 1: 
 
 
EXEMPLO 2: 
 
 
 
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 38
- TÓPICO 8.10 - 
 
8.10.2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 
 
Dado um número real x, chama-se módulo ou valor absoluto de x, e indica-se com o 
número real não negativo tal que: 
|x| ,
 





0xse,x|x|
ou
0xse,x|x|
 
Exemplos: 






7|7|
0|0|
4|4|
 
 
Observação: |x|x 2  , assim, a informação 1)1( 2  É FALSA! 
 
 
8.10.3. DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO MODULAR 
 
Chama-se função modular a função de IR em IR dada pela lei .|x|)x(f  
 




0xse,x
0xse,x
)x(f|x|)x(f 
 
8.10.4. GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 39
- TÓPICO 8.10 - 
|
 
8.10.5. GRÁFICOS DE FUNÇÕES EM MÓDULO 
 
Exemplo 1: 1x|)x(f 
 
 
 
 
Exemplo 2: |4x|)x(f 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 40
- TÓPICO 8.10 - 
1
 
 
 
 
Exemplo 3: |x|)x(h  
 
 
 
 
 
Obs.: Uma maneira prática para deslocarmos o gráfico do exemplo anterior é, na fig 1, deslocarmos o eixo 
das abscissas para cima uma unidade. 
 
 
 
Exemplo 4: 2)3x()x(f  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 41
- TÓPICO 8.10 - 
g e
 
Exemplo 5: |1x||1x|)x(f 
 
1º passo: fazer ; )x(h)x(g)x(f 
2º passo: analisar o comportamento algébrico de g(x) e de h(x) individualmente, ou seja: 
 




1xse,1x
1xse,1x
|1x|)x( 



1xse,1x
1xse,1x
|1x|)x(h 
 
3º passo: 
 
 
 
 
Assim, 







1xse,x2
1x1se,2
1xse,x2
|1x||1x|)x(f
 
 
 
Exemplo 6: Construa o gráfico de |1x||x|2)x(f  e determine suas raízes. 
 
 
Analogamente ao exemplo anterior, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do gráfico vemos que há duas raízes, 
 A primeira é 1 ; 
 A segunda está entre 0 e 1. De fato, se 
3
1x01x3  . 
 
 
 
 
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 42
- TÓPICO 8.10 - 
|
 
 
Exemplo 7: 2|3x2||)x(f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 43
- TÓPICO 8.10 - 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Construir o gráfico da função 2|1x|)x(f  . RESPOSTA: 
 
 
2) Construir o gráfico da função | e 
determinar o seu domínio e conjunto imagem. 
x4x|)x(f 2  RESPOSTA: 
 
 
3) Construir o gráfico da função 
 e determinar seu domínio 
e conjunto imagem. 
2|3x4x|)x(f 2 
RESPOSTA: 
 
4) Determine o conjunto imagem da função 
 definida no intervalo real |2x|)x(f  ]3,1[ . 
RESPOSTA: 
}3x1|IRy{  
 
 
 
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 44
- TÓPICO 8.10 - 
 
8.11. EQUAÇÕES MODULARES NA VARIÁVEL x 
 
Basicamente existem quatro tipos de equações modulares: 
 
TIPO 1: realºn)xemressão(exp  
 
Exemplo: . 2|1x| 
 






1x21x
ou
3x21x
2|1x| 
}3;1{S  
 
TIPO 2: )xemressãoexpoutra(k)xemressão(exp  , onde k .IR
 
Exemplo: . |2x|2|2x| 
 






3
2x)2x(22x
ou
6x)2x(22x
|2x|2|2x| 
}
3
20;6{S  
 
TIPO 3: )xemressão(exp (outra expressão em x). 
 
Atenção, observe que temos uma expressão em x no segundo membro da equação 
representando o resultado do módulo presente no primeiro membro; sabemos que o resultado 
de um módulo não pode ser negativo. 
 
Assim, para este tipo de equação modular, deveremos iniciar sua resolução impondo a 
condição de existência do módulo em questão, vejamos o exemplo abaixo: 
 
Exemplo: . 1x5|5x3| 
 
 Condição de existência do módulo: 
5
1x01x5  
 
 Resolvendo a equação: 
 






4
3x1x55x3
ou
2x1x55x3
1x5|5x3| 
 Verificando na condição de existência: 



4
3S 
 
 
 
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 
- TÓPICO 8.10 - 
45
 
 
TIPO 4: A equação apresenta 2x . 
 
Exemplo: 08x2x 2  
Para resolvermos este tipo de equação deveremos fazer yx  . 
Assim, .08y2y 2 
 







2y
ou
4y
08y2y 2 
Efetuando o retorno à variável x: 
 
4x  2x  
4x
ou
4x


 IRx 
Resposta: }4;4{S 
 
 
Nota: Existem basicamente estes quatro tipos de equações modulares, entretanto, é 
necessário estar atento às diversas combinações de equações geradas a partir 
destes tipos. 
 
Exemplo: Resolva, em IR, a equação . 02|1x|3|1x|2 2 
Resolução: 
 
Resposta:  3;1S 
 
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – INEQUAÇÕES MODULARES 46
- TÓPICO 8.12 
 
8.12. INEQUAÇÕES MODULARES 
 
Sendo “EEX” uma expressão em x e “k” um número real positivo, de modo geral temos dois 
casos de inequações modulares: 
 
CASO 1: kEEX  CASO 2: kEEX  
 
 
 kEEXk 
 
 





kEEX
ou
kEEX
 
Exemplo-1: Resolva 21x  . 
 
3x1
21x2


 
  3,1S  
Exemplo-2: Resolva 52x  . 
 





7x52x
ou
3x52x
 
  7xou3x|IRxS  
 
 
Obs.: Os casos 1 e 2 também se verificam, respectivamente, para as situações de "."e""  
 
Exemplo 3: Resolva, em IR, a inequação 1x|1x2|  . 
 
Neste exemplo temos, no segundo membro, outra expressão em x; assim, teremos que 
analisar duas situações: 
Como sabemos que 






)II(
2
1xse,1x2
)I(
2
1xse,1x2
|1x2| 
Em ( I ): 
2
1x  (a) e  1x1x2 2x  (b) 
 
Então teremos  }2x|IRxS)b()a( 1  
 
Em ( II ): 
2
1x  (c) e  1x1x2 0x  (d) 
 
Então teremos  }0x|IRxS)d()c( 2  
 
Logo, a solução da inequação dada é: 
  }2xou0x|IRxSS 21  
 
 
 
 
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – INEQUAÇÕES MODULARES 
- TÓPICO 8.12 
47
EXERCÍCIOS 
 
1) Resolva, em IR, a inequação 31x2  . Resposta: 
}2xou1x|IRx{S  
2) Resolva, em IR, a inequação 14x  . Resposta: 
}5x3|IRx{S  
3) Resolva a inequação 03x4x 2  , em IR. Resposta: }3xou3xou1x1|IRx{S 
 
4) Resolva a inequação 0
1x
4x 
 , em IR. Resposta: }1xe4x|IRx{S  
5) Determine o domínio D da função . Resposta: }4xou1x|IRx{D  35x2
1)x(f


 
 
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 48
 
TESTES COMPLEMENTARES 
 
1) 
 
Resposta:A 
2) 
 
Resposta:C 
3) 
 
Resposta B 
4) 
 
Resposta A 
5) 
 
Resposta: D 
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 49
6) 
 
Resposta: B 
7) 
 
Resposta: B 
8) 
 
Resposta: C 
9) 
 
Resposta: C 
10) 
 
Resposta: C 
11) 
 
Resposta: B 
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 50
12) 
 
Resposta: A 
13) 
 
Resposta: B 
14) 
 
Resposta: A 
15) 
 
Resposta: C 
16) 
 
Resposta: A 
17) 
 
Resposta: B 
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 51
18) 
 
Resposta: D 
19) 
 
Resposta: E 
20) 
 
Resposta: C 
 
APOSTILA 4 – MATEMÁTICA –1 (ÁLGEBRA) – FUNÇÃO MODULAR 52
QUESTÕES DISCURSIVAS 
D1) 
 
 Respostas: 
a) 
 
b) Somente para 
6
7x  
c) 
2
7xe
4
5x  
 
D2) 
 
 Respostas: 
a) -1, 0 e 1 
b)c) 
 
 
	apostila 04 Mat 1 - pag 37 a 45 OK
	apostila 04 Mat 1 - pag 46 a 47 OK
	apostila 04 Mat 1 - pag 48 a 51 OK
	apostila 04 Mat 1 - pag 52