Lista de Exercicios_Algebra Linear_Professor Fabiano_2013.2

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IFMA - DEMAT
Algebra Linear Aplicada e1 EE / EM
Prof. Fabiano Tavares
Questo˜es
(1) O conjunto R2 com adic¸a˜o usual e multiplicac¸a˜o definida por λ(x, y) =
(λx, 0) e´ um espac¸o vetorial? Justifique.
(2) Seja V o conjunto dos pares ordenados de nu´meros reais. V na˜o e´ um
subespac¸o vetorial em relac¸a˜o a nenhum dos dois dois seguintes pares de operac¸o˜es
sobre V:
a)(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e a(x, y) = (x, ay)
b)(x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) e a(x, y) = (ax, ay)
Diga em cada caso quais dos oito axiomas na˜o se verificam.
(3) O conjunto de todas as matrizes quadradas da forma A = (aij)2×2 onde
a11a22 = 0 munido da operac¸a˜o usual de adic¸a˜o e´ um espac¸o vetorial? Justifique.
(4) Use as relac¸o˜es 2(u + u) = 2u + 2u e 2w = w + w para provar que a
comutatividade u+v = v+u pode ser demonstrada a partir dos demais axiomas
de espac¸o vetorial.
Dica: Prove que em qualquer espac¸o vetorial vale a formula 2u = u+ u.
(5) Seja W o conjunto de todas as matrizes 2x2 com determinante 0. W e´
subespac¸o de M2×2? Justifique.
(6) Quais dos seguintes conjuntos W abaixo sa˜o sub-espac¸os de V? Justifique.
a) V = R3
W = {(x, y, z)/x2 + y + z = 0}
b) V = P(R) = {p(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + .../ai ∈ R, i ∈ N∗}
W = {p(x)/p(x) + p′(x) = 0}
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(7) Seja A ∈ Mn(R). Definimos trac¸o da matriz A, que denotamos por
tr(A), da seguinte forma: tr(A) =
∑n
i=1 aii. Mostre que o conjunto S = {A ∈
Mn(R); tr(A) = 0} e´ um subespac¸o vetorial de Mn(R)
(8) Mostrar que o conjunto S = {(x, y, z)/x+ 2y − 3z = 0}e´ um subespac¸o
do R3. Da´ um sistema de geradores para S.
(9)Seja V = R3. Determinar o subespac¸o gerado pelo conjunto A = {v1, v2},
sendo v1 = (1,−2,−1) e v2 = (2, 1, 1).
(10) Dados v = (1, 2) e w = (−2, 1), sejam V e W respectivamente as retas
que passam pela origem em R2, e contem v e w. Mostre que R2 = V ⊕W e
tente interpretar geometricamente.
sic enim dilexit Deus mundum ut Filium suum unigenitum daret ut
omnis qui credit in eum non pereat sed habeat vitam aeternam
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