Resolução Questões 02 Estatística e Matemática Financeira

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AULA 02 
 Olá, amigos! 
 Hoje daremos seqüência ao nosso estudo, com mais uma bateria de questões! 
 O ritmo deste Curso, conforme vocês estão percebendo, é rápido! E nem poderia 
ser de outra forma, tendo em vista a real expectativa por um novo concurso da Receita 
Federal. É, pois, de fundamental importância, que você faça um esforço de superação, e 
encontre tempo para resolver nossos simulados! 
 Superação é a palavra de ordem! 
 Seguem, portanto, as nossas quatorze questões de hoje. 
 Novamente, marque a hora e comece o teste! Boa sorte! 
 
 
Q U E S T Õ E S 
 
14. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) 
foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X 
em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações 
coincidentes com os extremos das classes. 
 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de X 
menores ou iguais a 145. 
a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4% 
 
 
(AFRF-2000) 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção que 
representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de freqüências. 
a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10 e) 12,50 
 
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23. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma empresa eram de 
$285.000 e 1,1627x1010, respectivamente. O valor da variância do conjunto dos salários após 
o corte de três zeros na moeda é: 
a) 1,1627x107 b) 1,1627x106 c) 1,1627x105 d) 1,1627x104 
 
 
44. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) 
foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X 
em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não existem observações 
coincidentes com os extremos das classes. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de assimetria 
de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. 
a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0 
 
 
50. (FISCAL DO INSS-2002) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente de 
assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três µ3. Assinale a opção 
correta. 
a) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à média. 
b) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação à média. 
c) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à média. 
d) O valor de µ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média dos cubos 
das observações. 
e) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em relação à média. 
 
 
57. (AFRF-2000) Um índice de preços com a propriedade circular, calculado anualmente, 
apresenta a seqüência de acréscimos δ1 = 3 %, δ2 = 2% e δ3 = 2 %, medidos relativamente 
ao ano anterior, a partir do ano to . Assinale a opção que corresponde ao aumento de preço do 
período to + 2 em relação ao período to – 1. 
a) 7,00% b) 6,08% c) 7,16% d) 9,00% e) 6,11% 
 
 
3. (AFRF-2002/2) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na 
segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% 
sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de 
atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento 
devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. 
a)R$2.080,00 b)R$2.084,00 c)R$2.088,00 d)R$2.096,00 e)R$2.100,00 
 
 
8. (AFRF-2002/2) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são 
aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples 
durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anual de aplicação destes capitais. 
a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% 
 
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16. (AFRF-2002/1) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que 
vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e 
mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia. 
a)R$10.940,00 b)R$11.080,00 c)R$12.080,00 d)R$12.640,00 e)R$12.820,00 
 
 
21. (AFRF-2001) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a 
uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como 
porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear? 
a) 46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 50,36% 
 
 
33. (AFRF-1996) Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% ao ano 
capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final do primeiro 
mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês 
para liquidar o financiamento (juros + principal) é: 
a) $ 3.250 b) $ 3.100 c) $ 3.050 d) $ 2.975 e) $ 2.750 
 
 
43. (SEFAZ-PI-2001) Ana contraiu uma dívida, comprometendo-se a saldá-la em dois 
pagamentos. Em 1o de março de 2001, deveria ser efetuado o primeiro pagamento no valor de 
R$ 3.500,00. O segundo pagamento, no valor de R$ 4.500,00, deveria ser efetuado 6 meses 
após o primeiro, ou seja, em 1o de setembro de 2001. Contudo, no vencimento da primeira 
parcela, não dispondo de recursos, Ana propôs uma repactuação da dívida, com um novo 
esquema de pagamentos. O esquema apresentado foi o de efetuar um pagamento de R$ 
5.000,00 em 1º de junho de 2001, e pagar o restante em 1o de dezembro do mesmo ano. Se a 
dívida foi contratada a uma taxa de juros compostos igual a 5% ao mês, então o valor a ser 
pago em 1o de dezembro deveria ser igual a: 
a) R$ 3.200,00 d) R$ 5.432,00 
b) R$ 3.452,20 e) R$ 6.362,00 
c) R$ 3.938,48 
 
 
78. (TTN/94) Paulo colocou $200.000,00 à taxa de juros simples comerciais de 96% ao ano, 
pelo prazo de 10 meses. Entretanto, antes do término do prazo conseguiu um aumento da taxa 
de juros para 144% ao ano, para o restante do prazo. Sabendo-se que ao final do período 
recebeu o montante de $376.000,00, o tempo que o capital ficou aplicado à taxa menor foi de 
(juros simples comerciais para todo o período): 
a) 2 meses b) 3 meses c) 6 meses d) 8 meses e) 9 meses 
 
 
79. (Anal. Orçamento/1997) Um negociante, para efetuar o pagamento de encomendas, deve 
dispor de R$ 1.000,00 daqui a 4 meses e R$ 2.530,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja 
aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, 
ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juro simples, à taxa de 2,5% ao mês, o 
valor de Xdeve ser: 
(A) R$ 3 000,00 (D) R$ 3 150,00 
(B) R$ 3 050,00 (E) R$ 3 200,00 
(C) R$ 3 100,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2ª Etapa) Resolução das Questões 
 
14. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo 
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma 
empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes 
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de observações de 
X menores ou iguais a 145. 
a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4% 
 
Sol.: A questão nos trouxe uma distribuição de freqüências, com duas colunas: a das 
classes e uma outra, a qual chamou de P, acompanhada de um sinal de percentagem 
(%). Ora, esse sinal % é o indicativo, é a pista que precisamos para saber que se trata 
de uma coluna de freqüência relativa – F. 
 E se estamos bem lembrados, existem três tipos de freqüências relativas: a 
freqüência relativa simples (Fi), a freqüência relativa acumulada crescente (Fac) e a 
freqüência relativa acumulada decrescente (Fad). 
 As duas freqüências relativas acumuladas irão começar ou terminar com 100%. É 
esse nosso caso? Sim! Esta coluna terminou com 100%. Daí, sabemos que é uma 
coluna de freqüência relativa acumulada. Ora, para saber se é crescente ou 
decrescente, basta acompanhar os valores desta coluna. Eles crescem ou decrescem? 
Aumentam ou diminuem? Aumentam. Conclusão final: temos uma coluna de freqüência 
relativa acumulada crescente – Fac. 
 Podemos até reescrever a tabela, da seguinte forma: 
 
Classes Fac 
70-90 5% 
90-110 15% 
110-130 40% 
130-150 70% 
150-170 85% 
170-190 95% 
190-210 100% 
 
 O enunciado nos pede, com outras palavras, para indicarmos qual o percentual de 
elementos do conjunto que apresenta valor (dentro das classes) abaixo de 145. 
 Analisemos a tabela acima. Vejamos a primeira classe. O que podemos dizer 
sobre ela? 
Ora, a classe vai até o limite de 90, e a freqüência relativa acumulada crescente é 
5%. Então, podemos dizer que até esse limite 90, já acumulamos 5% dos elementos do 
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conjunto! Entendemos com isso que 5% dos elementos do conjunto tem valor abaixo de 
90. Compreendido? 
 Daí, afirmaremos que 5% é a Fac associada a esse limite 90. Certo? 
 Para a segunda classe, cujo limite superior é 110, temos Fac de 15%. Isso nos 
leva a concluir que já acumulamos 15% dos elementos do conjunto até esse limite 110. 
Ou seja, 15% dos elementos do conjunto estão abaixo do limite 110. Podemos, pois, 
dizer que 15% é a Fac associada a esse limite 110. Certo? 
 E assim por diante! 
 Teremos: Æ 40% é a Fac associada ao limite 130; 
 Æ 70% é a Fac associada ao limite 150; 
 Æ 85% é a Fac associada ao limite 170; 
 Æ 95% é a Fac associada ao limite 190; 
 O que pergunta a questão? Qual o percentual de elementos do conjunto que 
estão abaixo do limite 145. É isso! Observando as classes da nossa distribuição de 
freqüências, tentemos localizar esse valor 145. Façamos isso. 
 Ora, vemos que 145 não aparece nem como limite inferior, nem como limite 
superior de nenhuma das classes. Ao contrário, é um valor inserido na quarta classe. 
Vejamos: 
Classes Fac 
70-90 5% 
90-110 15% 
110-130 40% 
130-150 70% 
150-170 85% 
170-190 95% 
190-210 100% 
 
 O que fazer agora? Traremos aqui para o lado de fora da tabela aquela classe 
dentro da qual se encontra o limite 145 que nos interessa. Faremos o seguinte desenho: 
 
 130 150 
 
 
 
 Agora, na parte de baixo do desenho, colocaremos a Fac associada a cada limite 
da classe, ou seja, ao limite inferior (130) e ao limite superior (150). Ora, já sabemos 
quem são essas Fac associadas! Teremos, portanto: 
 
 130 150 
 
 
 40% 70% 
 
 Agora o desenho já está quase pronto! Para completá-lo, retornaremos à 
pergunta da questão. O que temos na pergunta? Temos o limite 145, que fica dentro da 
classe. Ora, como os limites da classe ficam na parte de cima do desenho, então 145 
também ficará lá. Teremos: 
 
 130 145 150 
 
 
 40% 70% 
 Queremos saber o percentual acima ou abaixo de 145? Abaixo. Logo: 
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6
 
 
 130 145 150 
 
 
 40% 70% 
 
 Pronto! Agora podemos matar a questão, fazendo uma regra-de-três simples com 
os seguintes valores: 
 
 20 
 
 
 15 
 
 130 145 150 
 
 
 40% 70% 
 
 X 
 
 
 30% 
 
 Daí, conhecendo esses quatro valores destacados em azul e vermelho, 
formaremos uma regra-de-três simples para descobrir o valor do X. Teremos: 
 
. 20 . = . 15 . Æ Daí: X=22,5% 
 30% X 
 
 Agora só nos resta compor o resultado! Até a classe anterior já estavam 
acumulados 40% dos elementos do conjunto. Avançando na quarta classe, até 
chegarmos ao limite 145, acumulamos mais 22,5% dos elementos. 
 Daí, concluímos que o percentual de elementos do conjunto abaixo do limite 145 
será: 
 Æ 40% + 22,5% = 62,5% Æ Resposta! 
 
 
Freqüências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
 
Classes de Salário Freqüências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
 
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Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a 
opção que representa a aproximação desta estatística calculada com base na 
distribuição de freqüências. 
a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10 e) 12,50 
 
Sol.: A questão pede o cálculo da média (aritmética). Como o conjunto está 
apresentado na forma de uma distribuição de freqüências, então encontraremos a 
média pelo método da variável transformada, cujos passos são os seguintes: 
 
1º Passo) verificar se já dispomos da coluna da freqüência absoluta simples (fi). Se já a 
tivermos, passamos ao passo seguinte. Caso contrário, será preciso construí-la. 
 Ora, a tabela fornecida nos traz a coluna das classes e uma coluna de freqüências 
absolutas acumuladas crescentes (fac). Descobrimos isso porque não há nenhum sinal 
indicativo de que fosse uma coluna de freqüência relativa. Ou seja, nenhum sinal de %, 
nem no cabeçalho da coluna, nem ao longo dela. É acumulada porque isso está dito 
sobre a tabela. E é crescente porque os valores da coluna estão sempre aumentando 
(12, 30, 50, ...). 
 Em suma: precisamos construir a coluna da freqüência absoluta simples – fi. Na 
primeira classe (a mais de cima) estas duas freqüências – fi e fac – são iguais. Logo: 
 
Classes de Salário fac fi 
( 3 ; 6] 12 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
 E o restante da coluna do fi? Qual o comando de construção? É uma subtração: 
próxima fac menos fac anterior. Daí, teremos: 
 
Classes de Salário fac fi 
( 3 ; 6] 12 12 
( 6 ; 9] 30 18 (=30-12) 
( 9 ; 12] 50 20 (=50-30) 
(12 ; 15] 60 10 (=60-50) 
(15 ; 18] 65 5 (=65-60) 
(18 ;21] 68 3 (=68-65) 
 
2º Passo) Construir a coluna dos Pontos Médios (PM). Teremos: 
 
Classes de Salário fac fi PM 
( 3 ; 6] 12 12 4,5 
( 6 ; 9] 30 18 7,5 
( 9 ; 12] 50 20 10,5 
(12 ; 15] 60 10 13,5 
(15 ; 18] 65 5 16,5 
(18 ; 21] 68 3 19,5 
 
 Estamos, obviamente, recordados de que o Ponto Médio de uma classe é aquele 
ponto que está exatamente no meio daquela classe! O próprio nome sugere isso! Caso 
não consigamos enxergar facilmente quem é o PM de uma classe, só teríamos que 
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somar o limite inferior da classe, mais o limite superior, e dividir esse resultado por 
dois. Ou seja: PM=(linf + lsup) / 2 
 Ainda existe um facilitador: se as classe são todas de mesma amplitude (como 
ocorre nesta tabela, em que h=3), basta encontrarmos o valor do primeiro ponto médio 
(o PM da primeira classe) e sair somando esse valor com o da amplitude (h). Lembrados 
disso? Pois bem, adiante! 
 
3º Passo) Construir a coluna de transformação da variável, aceitando a seguinte 
sugestão: (Ponto Médio menos 1º Ponto Médio) / amplitude da classe. Ou seja, 
construiremos a seguinte coluna: 
 
Classes de Salário fac fi PM ( ) YiPM =−
3
5,4
 
( 3 ; 6] 12 12 4,5 0 
( 6 ; 9] 30 18 7,5 1 
( 9 ; 12] 50 20 10,5 2 
(12 ; 15] 60 10 13,5 3 
(15 ; 18] 65 5 16,5 4 
(18 ; 21] 68 3 19,5 5 
 
 Analisemos o que foi feito: tomamos os Pontos Médios originais, ou seja, os 
Pontos Médios relativos à variável original e os transformamos por meio de duas 
operações: 1ª operação) subtraímos de 4,5 (que é o valor do primeiro ponto médio!); e 
2ª operação) dividimos por 3 (que é o valor da amplitude da classe!). 
 Com isso, deixamos de trabalhar com a variável original (os salários da primeira 
coluna) e passamos a trabalhar com uma chamada variável transformada! 
 Outra curiosidade é que, caso sigamos a sugestão de transformação da variável 
que foi aqui adotada [(PM menos 1º PM)/amplitude da classe] teremos que essa coluna 
será sempre formada pelos valores zero, um, dois, três, ... 
 Viram isso? Será sempre assim, desde que as classe tenham mesma amplitude! 
 
4º Passo) Construir a coluna fi.Yi e fazer seu somatório. Teremos: 
 
Classes de Salário fac Fi PM ( ) YiPM =−
3
5,4
 
Yi.fi 
( 3 ; 6] 12 12 4,5 0 0 
( 6 ; 9] 30 18 7,5 1 18 
( 9 ; 12] 50 20 10,5 2 40 
(12 ; 15] 60 10 13,5 3 30 
(15 ; 18] 65 5 16,5 4 20 
(18 ; 21] 68 3 19,5 5 15 
 68 123 
 
5º Passo) Calcular o valor da Média da Variável Transformada Y: 
 
 Ora, para fazer isso, aplicaremos a fórmula do cálculo da média para uma 
distribuição de freqüências. É a seguinte: 
 
n
Yifi
Y ∑= . 
 Daí, teremos: 
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9
n
Yifi
Y ∑= . Æ 81,1
68
123 ==Y 
 
6º Passo) Aplicarmos, à coluna de transformação, as propriedades da Média, para soma, 
subtração, produto e divisão. 
 Ou seja, se estamos trabalhando com Média Aritmética, só precisamos nos 
lembrar de uma frase: a média é influenciada pelas quatro operações. 
 Sabendo disso, faremos: 
 ( ) YPM =−
3
5,4
 Æ ( ) YX =−
3
5,4
 Æ ( ) YX =−
3
5,4
 
 
 Ou seja, onde há X passa a haver X e onde há Y passa a haver Y . Simplesmente 
isso! Daí, verificamos que o valor de Y já é nosso conhecido. Foi calculado no passo 
anterior. Logo, isolaremos o X e o calcularemos. É o próximo passo! Teremos: 
 ( ) YX =−
3
5,4
 Æ ( ) 81,1
3
5,4 =−X Æ X -4,5=5,43 Æ X =9,93 Æ Resposta! 
 
 
23. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma empresa 
eram de $285.000 e 1,1627x1010, respectivamente. O valor da variância do conjunto 
dos salários após o corte de três zeros na moeda é: 
b) 1,1627x107 b) 1,1627x106 c) 1,1627x105 d) 1,1627x104 
 
Sol.: Uma questão mais fácil, mas que envolve o conhecimento de propriedades da 
Variância. 
 O enunciado forneceu a variância original do conjunto: S2=1,1627x1010 
 Essa variância representa salários, ou seja, dinheiro. 
 Após, disse que os salários, que são os elementos do conjunto, sofreram um corte 
de três zeros na moeda! 
 Essa é a informação crucial do enunciado. Sofrer um corte de três zeros na 
moeda representa qual tipo de operação? Soma, subtração, produto ou divisão? 
 Imagine um salário de R$1000 (mil reais). Para sofrer um corte de três zeros, 
passaria a R$1 (um real). Ora para mil se transformarem em um, houve obviamente 
uma divisão! Por quanto? Por mil. 
 Conclusão: cortar três zeros de um salário corresponde à operação de dividir por 
mil. 
 O que precisamos saber agora é qual será o reflexo dessa divisão no tocante à 
Variância. Aí entra a propriedade: se multiplicarmos (ou dividirmos) todos os elementos 
de um conjunto original por uma constante, a nova Variância será a variância original 
multiplicada (ou dividida) pelo quadrado da mesma constante! 
 É isso que reza a propriedade. 
 Se a constante usada na divisão foi 1000 (=103), então a nova variância será a 
variância original dividida pelo quadrado de mil, ou seja, por (103)2 = 106. 
 Daí: 
 
 Nova Variância = (1,1627x1010)/106 = 1,1627x104 Æ Resposta! 
 
 Só para não perder a viagem, relembremos a propriedade da variância para soma 
e subtração. Ocorre alguma coisa com a variância de um conjunto, caso todos os 
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elementos deste sejam somados (ou subtraídos) por uma constante? Não! 
Absolutamente nada! Uma vez que a Variância é uma medida de dispersão, de modo 
que não será influenciada por operações de soma e subtração. 
 Próxima! 
 
 
44. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo 
financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma 
empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes 
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqüência 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
classes. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à medida de 
assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. 
a) 3/S b) 4/S c) 5/S d) 6/S e) 0 
 
Sol.: A questão pede o cálculo da Assimetria do conjunto, determinada pelo primeiro 
coeficiente de assimetria de Pearson. 
 Se não lembrássemos da fórmula, na hora de resolver essa questão na prova, 
nem seguiríamos adiante...! Conhecer a fórmula é, pois, fundamental! Teremos que: 
 ( )
S
MoXA −= Æ 1º Coeficiente de Pearson! 
 Se verificarmos as opções de resposta desta questão, elas já trazem o S (desvio-
padrão) no denominador. Ou seja, não será preciso calcular aqui o valor deste S. 
Precisaremos, portanto, para chegar à resposta, calcular as medidas que compõem o 
numerador da fórmula, quais sejam, Média e Moda. 
 
 Comecemos pelo cálculo da média: 
1º Passo) Fazer todo o trabalho preliminar necessário para construção da coluna de 
freqüência absoluta simples – fi. Esse trabalho já é nosso conhecido! Teremos o 
seguinte: 
 
Classes Fac Fi fi 
70-90 5% 5% 10 
90-110 15% 10% 20 
110-130 40% 25% 50 
130-150 70% 30% 60 
150-170 85% 15% 30 
170-190 95% 10% 20 
190-210 100% 5% 10 
 n=200 
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 Observe que constatamos que n (número de elementos do conjunto) é igual a 
200 quando lemos,no enunciado, que foram examinados 200 itens... Certo? Pois bem! 
Agora, passemos aos passos seguintes para cálculo da média. 
 
2º Passo) Construção da coluna dos pontos médios. Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi PM 
70-90 5% 5% 10 80 
90-110 15% 10% 20 100 
110-130 40% 25% 50 120 
130-150 70% 30% 60 140 
150-170 85% 15% 30 160 
170-190 95% 10% 20 180 
190-210 100% 5% 10 200 
 n=200 
 
3º Passo) Construir a coluna de transformação da variável. 
 Para isso, seguiremos a sugestão explicada na segunda questão que resolvemos 
hoje: PM menos primeiro PM, dividido pela amplitude da classe. Teremos: 
 
Classes Fac Fi fi PM ( ) YiPM =−
20
80
 
70-90 5% 5% 10 80 0 
90-110 15% 10% 20 100 1 
110-130 40% 25% 50 120 2 
130-150 70% 30% 60 140 3 
150-170 85% 15% 30 160 4 
170-190 95% 10% 20 180 5 
190-210 100% 5% 10 200 6 
 n=200 
 
4º Passo) Construir a coluna fi.Yi e somar esta coluna. Teremos: 
 
Classes Fac Fi Fi PM ( ) YiPM =−
20
80
 
fi.Yi 
70-90 5% 5% 10 80 0 0 
90-110 15% 10% 20 100 1 20 
110-130 40% 25% 50 120 2 100 
130-150 70% 30% 60 140 3 180 
150-170 85% 15% 30 160 4 120 
170-190 95% 10% 20 180 5 100 
190-210 100% 5% 10 200 6 60 
 n=200 580 
 
5º Passo) Calcular a Média a variável transformada Y. Teremos: 
 
n
Yifi
Y ∑= . Æ 9,2
200
580 ==Y 
 
6º Passo) Aplicar as propriedades da Média à transformação da variável e calcular a 
Média da variável original. 
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 Já aprendemos que a média é influenciada pelas quatro operações. Daí, teremos 
que: 
 ( ) YiPM =−
20
80
 Æ ( ) YX =−
20
80
 Æ X -80=2,9x20 Æ X =58+80 Æ X =138,00 
 Agora, passemos ao cálculo da Moda! 
 Para se calcular a Moda de uma distribuição de freqüências, temos antes de mais 
nada que conhecer a fórmula. É a seguinte: 
 
Æ h
pa
alMo .
)(
inf ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∆+∆
∆+= 
 
 Esta fórmula corresponde à Moda de Czuber, onde ∆a significa diferença anterior 
e ∆p significa diferença posterior. Diferença de quem em relação a quem? 
 
Æ ∆a = Diferença entre a freqüência absoluta simples da classe modal e a 
freqüência simples da classe anterior; 
Æ ∆p = Diferença entre a freqüência absoluta simples da classe modal e a 
freqüência simples da classe posterior; 
 
E este limite inferior que inicia a fórmula? É o limite inferior da classe modal. 
E essa amplitude (h)? É a amplitude da classe modal. 
Ou seja, os valores que irão compor a nossa equação referem-se a uma 
determinada classe da distribuição de freqüências, chamada classe modal. 
Daí, saber qual das classes da tabela é a classe modal será nosso primeiro 
trabalho. E é facílimo! A classe modal será sempre aquela que tem maior freqüência 
absoluta simples (maior fi). Só isso! Teremos, portanto, que a classe modal será a 
quarta classe. Vejamos: 
 
Classes Fac Fi fi 
70-90 5% 5% 10 
90-110 15% 10% 20 
110-130 40% 25% 50 
130-150 70% 30% 60 
150-170 85% 15% 30 
170-190 95% 10% 20 
190-210 100% 5% 10 
 n=200 
 
Sabendo disso, teremos: 
Æ ∆a=60-50=10 
Æ ∆p=60-30=30 
Æ linf=130 
Æ h=20 
 
Lançando os dados na fórmula, encontraremos que: 
 
Æ h
pa
alMo .
)(
inf ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∆+∆
∆+= Æ 20.
)3010(
10130 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++=Mo Æ Mo=135,00 
 
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 Agora, retornando ao nosso objetivo, que é o cálculo do primeiro coeficiente de 
assimetria de Pearson, teremos que: 
 
Æ ( )
S
MoXA −= Æ ( )
SS
A 3135138 =−= Æ A=3/S Æ Resposta! 
 
 
50. (FISCAL DO INSS-2002) Uma estatística importante para o cálculo do coeficiente 
de assimetria de um conjunto de dados é o momento central de ordem três µ3. Assinale 
a opção correta. 
a) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios absolutos em relação à 
média. 
b) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos quadrados dos desvios em relação 
à média. 
c) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos desvios positivos em relação à 
média. 
d) O valor de µ3 é obtido subtraindo-se o cubo da média da massa de dados da média 
dos cubos das observações. 
e) O valor de µ3 é obtido calculando-se a média dos cubos dos desvios em 
relação à média. 
 
Sol.: Essa questão foi mais fácil um pouco. Desde que, é claro, você conhecesse o 
conceito de momento central de ordem três. 
 Isso porque não foi exigido aqui cálculo de nada! O enunciado só queria mesmo 
saber se o candidato conhecia aquele conceito. 
 Os momentos estatísticos são utilizados para cálculos de assimetria, e também 
para cálculos de curtose. 
 No caso da assimetria, faz-se uso deste terceiro momento central, ou ainda, 
terceiro momento centrado na média aritmética, cuja fórmula é a seguinte: 
 
Æ ( )
n
XXi∑ −= 33µ 
 
 Agora restava apenas procurar a opção de resposta que traduzisse a equação 
acima. A opção “e” faz isso perfeitamente. 
 Olhando para a fórmula, vemos que o numerador corresponde ao cubo dos 
desvios em relação à média. E o denominador é n, que significa número de elementos 
do conjunto. Daí, dividir por n seria encontrar uma média. 
 Logo, o terceiro momento central se traduz como a média dos cubos dos 
desvios em relação à média aritmética. Æ Resposta! 
 
 
57. (AFRF-2000) Um índice de preços com a propriedade circular, calculado 
anualmente, apresenta a seqüência de acréscimos δ1 = 3 %, δ2 = 2% e δ3 = 2 %, 
medidos relativamente ao ano anterior, a partir do ano to . Assinale a opção que 
corresponde ao aumento de preço do período to + 2 em relação ao período to – 1. 
a) 7,00% b) 6,08% c) 7,16% d) 9,00% e) 6,11% 
 
Sol.: A questão é de Números Índices, e nos fala acerca de preços sujeitos a uma tal de 
propriedade circular. 
 Esta tal propriedade circular será entendida da seguinte forma: 
 
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P0,1 x P1,2 x P2,3 x ... x Pn-1, n = P0,n 
 
 Em lugar de P (preço) poderia haver Q ou V, caso estivéssemos trabalhando com 
quantidades. 
 Se, em uma questão qualquer, dispusermos dos dados relativos a variações de 
preço (ou de quantidade) de um bem, em diversos anos consecutivos, poderemos 
trabalhar com o uso desta propriedade! 
 
Nesta questão, anotemos as variações apresentadas pelo enunciado: 
 
 Æ Variações de preço: δ1=3% ; δ2=2% ; δ3=2% 
 
 Ora, temos que: 
 
Po,n = 100 + variação de preço 
 
Daí, o segredo agora é ter atenção! O enunciado falou que os acréscimos são 
medidos em relação ao ano anterior, a partir do ano t0. Logo, o ano anterior a t0 é a 
ano t0-1! Daí, a primeira variação (o primeiro δ) será exatamente a do ano t0 em relação 
ao ano t0-1! 
 
Teremos, portanto, os seguintes relativos de preço: 
 Æ %103%3%1000,10 =+=− ttp 
Æ %102%2%10010,0 =+=+ttp 
Æ %102%2%10020,10 =+=++ ttp 
 
Daí, aplicando a propriedade circular, teremos que o relativo de preço em t0+2 com 
relação a t0-1 será o seguinte: 
 
Pt0-1,t0+2=(1,03)x(1,02)x(1,02) = 1,0716 = 107,16% 
 
Daí, restaria fazer: Variação de Preço = Pt0-1,t0+2 - 100% 
 
Daí: Variação de Preço = 7,16% Æ Resposta! 
 
Uma outra forma de resolver esta questão, talvez até mais simples, consistia 
apenas em adotar o valor 100 para o primeiro preço (o preço em t0-1). Daí, faríamos as 
variações descritas no enunciado, até chegarmos ao preço do ano desejado, que é o 
t0+2. Vejamos: 
 
Æ Pt0-1=100 
 
A primeira variação será de 3%. Ora, 3% de 100 é 100x0,03=3. Daí, passaríamos 
a: 
Æ Pt0=103 
 
O próximo delta é 2%. Daí, calcularemos 2% de 103. Chegaremos a: 
103x0,02=2,06. Somando este valor ao último preço, teremos: 103+2,06=105,06. Daí:Æ Pt0+1=105,06 
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Finalmente, a última variação foi de 2%. Calculando 2% de 105,06, teremos: 
105,06x0,02=2,1012. Daí, somando este valor ao último preço encontrado, chegaremos 
a: 
Æ Pt0+2=107,16 
 
Pronto! Como a questão quer saber a variação do preço de Pt0+2 em relação a 
Pt0-1, só teremos agora que subtrair! 
 
Daí, teremos: 107,16-100=7,16 Æ E poderemos colocar o sinal de %, uma vez 
que a referência é 100. 
 
Teremos, finalmente: 7,16% Æ Resposta! 
 
 
3. (AFRF-2002/2) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na 
segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 
2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por 
dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor 
do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum 
feriado bancário no período. 
a) R$ 2.080,00 d) R$ 2.096,00 
b) R$ 2.084,00 e) R$ 2.100,00 
c) R$ 2.088,00 
 
Sol.: Esta questão é para calar a boca de quem fala que não vale a pena resolver 
questões de provas passadas...! Quem acompanhou a nossa aula passada, vai ver que 
este enunciado é quase uma réplica de uma questão que resolvemos na Aula 01. 
 Existe uma conta, no valor de R$2.000 (dois mil) a ser paga na segunda-feira, dia 
08. Caso haja atraso no pagamento, o devedor incorrerá em dois encargos: uma multa 
fixa de 2% sobre o valor da conta; e juros simples, calculados à taxa de 0,2% ao dia 
útil de atraso. 
 Daí, o enunciado diz que a conta só foi paga no dia 22 do mesmo mês. 
 Iniciemos com o cálculo da Multa Fixa, que independe do número de dias de 
atraso: 
Æ Multa Fixa = (2/100) x 2000 = R$40,00 
 
 Agora, para calcularmos os juros simples, precisaremos, obviamente, contar os 
dias úteis de atraso. Faremos um pequeno calendário: 
 
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
08 09 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 
22 
 
 Como só nos interessam os dias úteis, vamos excluir sábados e domingos da 
contagem dos dias de atraso. Teremos: 
 
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
08 09 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 
22 
 
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 Sabemos ainda que o dia 08 não é dia de atraso! Se a conta fosse paga até o 
último minuto do horário bancário do dia 08, então não haveria nenhum encargo 
adicional. O dia 08, portanto, está fora da contagem dos dias de atraso. Teremos: 
 
SEG TER QUA QUI SEX SAB DOM 
08 09 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 
22 
 
Contamos, portanto, dez dias úteis de atraso! 
Conforme aprendemos na última aula, para cada dia de atraso, o valor dos juros 
a ser pago será de: 
 
 Æ Juros por dia útil de atraso: (0,2/100) x 2000 = R$4,00 
 
 Como foram 10 dias úteis de atraso no total, teremos: 
 Æ Juros por todo o atraso: 10 x R$4,00 = R$40,00 Æ Juros! 
 
 Compondo o resultado final, teremos que somar o valor da conta, mais os valores 
da multa fixa e dos juros. Teremos, finalmente, que: 
 
 Æ R$2.000,00 + R$40,00 + R$40,00 = R$2.080,00 Æ Resposta! 
 
 
8. (AFRF-2002/2) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 
4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no 
regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional 
anual de aplicação destes capitais. 
a) 4% b) 8% c) 12% d) 24% e) 48% 
 
Sol.: Questão de Taxa Média. Via de regra, questão de aplicação direta da fórmula. Ou 
seja, que se resolve em pouco tempo! Neste enunciado, surgiu um detalhe importante, 
mas nada complicado. 
 Vejamos: as taxas originalmente fornecidas estão todas na mesma unidade. São 
taxas mensais. Daí, aplicando-se a fórmula da Taxa Média, encontraremos como 
resultado também uma taxa mensal. 
 O perigo é alguém não prestar atenção no que a questão está pedindo! 
 O que a questão quer como resposta é uma taxa anual. Ou seja, a taxa mensal 
que será encontrada pela aplicação da fórmula terá, em seguida, que ser alterada para 
a unidade anual. Para se fazer essa alteração, uma vez que estamos trabalhando no 
regime simples, será feito, obviamente, pelo conceito de Taxas Proporcionais. 
 Até o enunciado foi camarada, ao usar as palavras taxa média proporcional 
anual. Foi para ninguém errar! 
 A fórmula da Taxa Média é a seguinte: 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )3.32.21.1
3.3.32.2.21.1.1
nCnCnC
niCniCniCTM ++
++= 
 
 Uma vez que as taxas originais estão na mesma unidade, e os prazos das quatro 
aplicações são iguais, já podemos lançar os dados na equação acima. Teremos: 
 
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )3.32.21.1
3.3.32.2.21.1.1
nCnCnC
niCniCniCTM ++
++= 
 
Æ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nnnn
nxnxnxnxTM
.4000.3000.6000.7000
.24000.43000.36000.67000
+++
+++= 
 
 Percebamos que as parcelas do numerador têm um fator comum, que é o tempo 
“n”. O mesmo ocorre com as parcelas do denominador. Daí, colocando “n” em 
evidência, em cima e em baixo, o “n” será cortado, desaparecendo da fórmula! 
Vejamos: 
Æ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )nnnn
nxnxnxnxTM
.4000.3000.6000.7000
.24000.43000.36000.67000
+++
+++= 
 
Æ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) n
nxxxxTM
]4000300060007000[
]24000430003600067000[
+++
+++= = 4
20000
80000 = % ao mês! 
 
 Agora dê uma olhada nas opções de resposta! Olha lá quem é a opção “a”! 
Coincidência? Absolutamente! A Esaf põe propositadamente os 4% na primeira opção de 
resposta, para pegar os mais apressados. Por isso, nada de precipitação! Quando acabar 
as contas, vale a pena voltar e reler o enunciado, para confirmar o que é mesmo o que 
a questão está pedindo. Aplicando agora o conceito de taxas proporcionais, faremos: 
 
Æ 4% ao mês x 12 = 48% ao ano Æ Resposta! 
 
 
16. (AFRF-2002/1) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 
que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de 
cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros 
simples de 0,1% ao dia. 
a) R$ 10.940,00 c) R$ 12.080,00 d) R$ 12.640,00 
b) R$ 11.080,00 e) R$ 12.820,00 
 
Sol.: Questão de Equivalência de Capitais! Questão de receita de bolo, ou seja, basta 
seguir o passo-a-passo. 
Passos Preliminares: vamos fazer tudo de uma vez: desenhar a questão; definir 
quem é primeira e segunda obrigação; colocar taxa e tempos na mesma unidade; 
definir se o regime é simples ou é composto; definir a data focal. Tudo feito, teremos o 
seguinte: 
 X 
 
 4.620, 
 4000, 
 3.960, 
 
 
 
 
 
 -20d 0 50d 100d 
 (II) (I) (II) (II) 
 (DF) 
 
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 A equivalência é no regime simples, e como foi expresso no enunciado que a taxa 
da operação é uma taxa de juros, concluímos que as operações de desconto que 
realizaremos serão operações de desconto racional – desconto por dentro! 
 Taxa e tempos já estão na mesma unidade (dias!). 
 Uma observação importante quanto a escolha dessa data focal. A regra que 
aprendemos é a seguinte: se a questão é de equivalência simples, então quem manda 
na data focal é o enunciado! Ou seja, seja qual for a data focal que a questão indicar, 
estaremos obrigados a adotá-la. E se o enunciado da equivalência simples silenciar 
quanto à data focal, valerá aconvenção de adotar a data zero! 
 Agora, atenção! Lendo e relendo o enunciado acima, você certamente não 
encontrará, em momento nenhum, qualquer alusão à data focal. E a questão é de 
equivalência simples! Só que há uma explicação a ser feita: sempre que o enunciado 
trouxer um texto, pedindo que se calcule um valor na data tal, que seja equivalente a 
outras parcelas em datas distintas, então aquela data tal será a data focal. 
 Por exemplo, se a questão diz: indique o capital hoje, que é equivalente ao capital 
de R$4.620 na data 50 dias, ao capital R$3960 na data cem dias e ao capital R$4000 há 
vinte dias... então pronto! Já está definido: a data focal é justamente aquele hoje! 
 Entendido? Passemos agora aos passos efetivos de resolução. 
 
1º Passo) Levar para a data focal os valores da primeira obrigação. 
 Ora, este passo já está feito! Claro! Se há somente uma parcela de primeira 
obrigação, que a parcela X, e que já está sobre a data focal, então esta parcela não 
precisará ser levada para lugar nenhum! Passemos logo ao passo seguinte: 
 
2º Passo) Levar para a data focal os valores da segunda obrigação. 
 
Comecemos pela parcela R$4000, na data -20d. Esse sinal de menos, 
obviamente, só tem efeitos didáticos! Só quer indicar que a parcela seria devida vinte 
dias antes do dia de hoje. Só lembrando: faremos, nesta questão, operações de 
desconto simples por dentro! 
 
 E 
 4000, 
 
 
 
 
 
 
 -20d 0 
 (DF) 
 
Teremos: 
201,0100100
4000
x
E
+= Æ E=4.080,00 
 
 
Agora, levaremos para a data focal a parcela que está na data 50 dias. 
 
Teremos: 
 
 
 
 
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19
 4.620, 
 
 F 
 
 
 
 
 
 0 50d 
 (DF) 
 
 
Teremos: 
501,0100
4620
100 x
F
+= Æ F=4.400,00 
 
 Por fim, resta a parcela de R$3.960 que está na data 100 dias. 
Teremos: 
 
 3.960, 
 
 G 
 
 
 
 0 100d 
 (DF) 
 
Teremos: 
1001,0100
3960
100 x
G
+= Æ G=3.600,00 
 
 Finalmente, passemos ao terceiro e último passo da nossa resolução, que consiste 
na aplicação da equação de equivalência. 
 
3º Passo) ∑(I)DF = ∑(II)DF 
 
Teremos: X=4.080+4.400+3.600 Æ Daí: X=12.080, Æ Resposta! 
 
 
21. (AFRF-2001) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez 
dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros 
obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear? 
b) 46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 50,36% 
 
Sol.: Já temos obrigação de resolver essa questão em pouco tempo, sobretudo depois 
da aula passada, em que aprendemos a utilizar uma equação para trabalhar questões 
de convenção linear! Lembrados? 
 Aqui, mais uma vez, o enunciado pede que calculemos o valor de um elemento 
(juros) como porcentagem de um outro elemento (capital). Como artifício, adotaremos 
para esse último, que é o nosso elemento de referência, o valor cem. Daí, nossos 
dados são os seguintes: 
 
 Æ C=100,00 
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20
 Æ i=6% ao mês 
 Æ n=6meses e 10dias 
 Æ J=? 
 
 Ora, sabemos que temos que trabalhar com taxa e tempo na mesma unidade! E 
sendo o tempo quebrado em duas unidades (meses e dias, neste caso) temos que ter 
ambas na mesma unidade da taxa. Logo, diremos que 10 dias é o mesmo que um 
terço de mês. Daí: 
 
 Æ n=6 meses + (1/3) mês 
 
 Ok! Estamos prontos para aplicar a fórmula. Teremos: 
 
( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= 
 
 Onde: n é a parte inteira do tempo da operação, e K é parte quebrada! 
Daí, teremos: 
 
Æ ( ) ( )kiiCM n .1.1. ++= Æ M=100.(1+0,06)6.(1+0,06x
3
1
) Æ M=144,69 
 
 Encontramos o montante da operação, mas não é isso o que está sendo 
solicitado! A questão quer os Juros. E este se calcula pela diferença entre montante e 
capital. Daí, teremos: 
 
 Æ J=M – C Æ J=144,69-100 Æ J=44,69 
 
 Como o enunciado pede os juros como porcentagem do capital, e pelo fato de 
termos adotado o capital como valendo 100, basta acrescer o símbolo de porcentagem 
aos juros. Teremos: 
 
 Æ J=44,69% do Capital Æ Resposta! 
 
 
33. (AFRF-1996) Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000 à taxa de 120% 
ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000 ao final 
do primeiro mês e $ 3.000 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao 
final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é: 
a) $ 3.250 b) $ 3.100 c) $ 3.050 d) $ 2.975 e) $ 2.750 
 
Sol.: Esta questão expressa uma das formas de apresentação da questão de 
equivalência de capitais. O entendimento é muito fácil: se eu pego uma quantia de 
dinheiro emprestada de alguém no dia de hoje, obviamente que terei que devolver no 
futuro. Logicamente que o valor a ser devolvido no futuro terá de ser maior que aquele 
que foi tomado emprestado! 
 Daí, o raciocínio é o seguinte: as parcelas que servirão de devolução do 
empréstimo têm que ser equivalentes ao valor que foi pegue emprestado! Aqui, neste 
enunciado, empréstimo fica como sinônimo de financiamento. 
 Em suma: se eu chamar o que peguei hoje de primeira obrigação, a segunda 
obrigação recairá para a parcela (ou as parcelas) de devolução. 
 Resta fazermos o desenho da questão, e deixar prontos, de uma feita, todos os 
passos preliminares. Teremos: 
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21
 10.000, 
 
 6000, 
 X 
 3000, 
 
 
 
 0 1m 2m 3m 
 (I) (II) (II) (II) 
 
 Ora, é bastante claro que se eu peguei dez mil emprestados hoje, e depois paguei 
seis mil um mês depois e mais três mil no segundo mês, é evidente que ainda não 
liquidei a minha dívida! Resta aquela parcela X, na data três meses. Ainda nos passos 
preliminares, precisamos saber se estamos trabalhando no regime simples ou no 
composto. 
 Daí, ficou fácil, uma vez que o enunciado apresentou uma taxa nominal, qual 
seja, 120% ao ano capitalizados mensalmente. A questão ainda foi camarada e colocou 
entre parênteses que essa taxa significa regime composto. Não precisava fazer isso! Já 
era nossa obrigação saber disso. Ora, se o regime é o composto, então a equivalência é 
a composta. E assim sendo, as operações de desconto que realizaremos para resolver a 
questão serão todas de desconto composto por dentro (desconto racional)! Antes de 
mais nada, transformemos nossa taxa nominal em taxa efetiva, por meio do conceito de 
taxas proporcionais. Teremos: 
 
Æ 120% ao ano, c/ capitalização mensal = (120/12) = 10% ao mês 
 
 Agora temos taxa e tempos na mesma unidade! Resta escolher uma data focal. 
 Vale o lembrete: se a equivalência é no regime composto, a escolha da data focal 
é livre! Qualquer uma serve, e a resposta é sempre a mesma. A título de sugestão, é 
bom escolher por data focal aquela que fica mais à direita do desenho! Por quê? Porque 
fazendo assim, estaremos evitando divisões! Estaremos trocando contas de dividir por 
contas de multiplicar. Particularmente, prefiro multiplicar a dividir. E vocês? 
 Nesta questão temos ainda outro motivo para escolher a data três meses como 
sendo a nossa data focal. Além de ser a data mais à direita do desenho, é tambémaquela em que está o valor X, que é por quem estamos procurando! Decidido: a data 
focal será a data três meses. 
 Passemos ao primeiro passo efetivo de resolução, que consiste em levar para a 
data focal, uma a uma, as parcelas da primeira obrigação! 
 
1º Passo) Só temos uma parcela de primeira obrigação. É o valor do financiamento. Do 
empréstimo! Teremos: E 
 
 10.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 0 3m 
 DF 
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22
 O desconto é composto e é por dentro. Daí, teremos: 
 
 Æ E=10000.(1+0,10)3 Æ E=10000x1,331 Æ E=13.310,00 
 
 Acabou o primeiro passo. Não há mais ninguém que seja primeira obrigação. 
Passemos ao segundo passo, que consiste em levar para a data focal as parcelas da 
segunda obrigação. 
 
2º Passo) Começando com a parcela de seis mil, na data um mês. Teremos: 
 
 F 
 
 
 6000, 
 
 
 
 
 
 1m 3m 
 DF 
 
 Estou certo que todos já perceberam, desde a operação anterior, que o desconto 
composto por dentro é a mesmíssima operação do juros compostos, aqui que estamos 
projetando uma parcela para uma data futura. 
 Prosseguindo, novamente usando o desconto composto racional, teremos: 
 
 Æ F=6000.(1+0,10)2 Æ F=6000x1,21 Æ F=7.260,00 
 
 Ainda no segundo passo, trabalharemos agora com a parcela de R$3000, que 
está na data dois meses. Teremos: 
 
 G 
 3000, 
 
 
 
 2m 3m 
 DF 
 
 Æ G=3000.(1+0,10)1 Æ G=3000x1,1 Æ G=3.300,00 
 
 A pergunta agora é a seguinte: terminou o segundo passo? Para responder isso, 
basta dar uma olhada no desenho completo da questão. Ainda há alguma parcela que 
seja segunda obrigação? Sim! Há ainda a parcela X que servirá para liquidar o 
pagamento do empréstimo (financiamento). 
 Pois bem! Mas ocorre que o segundo passo nos manda levar essa parcela X para 
a data focal. Daí, concluímos que não precisaremos fazer isso: já está feito! A parcela X, 
que é parcela de segunda obrigação, já está onde queremos que esteja: sobre a data 
focal. Não precisará ser transportada para lugar nenhum! 
 E quanto vale o X na data focal? Ora, vale ele próprio! 
 Daí, dizemos que nosso segundo passo está concluído. Passemos ao terceiro e 
último, que consiste em aplicar a equação de equivalência de capitais. 
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23
3º Passo) Teremos: 
 
∑(I)DF = ∑(II)DF 
 
Já sabemos o que representam a primeira e a segunda partes da equação acima. 
Passemos aos valores: E = F + G + X 
 
Æ 13.310 = 7.260 + 3.300 + X Æ X=2.750,00 Æ Resposta! 
 
 
43. (SEFAZ-PI-2001) Ana contraiu uma dívida, comprometendo-se a saldá-la em dois 
pagamentos. Em 1o de março de 2001, deveria ser efetuado o primeiro pagamento no 
valor de R$ 3.500,00. O segundo pagamento, no valor de R$ 4.500,00, deveria ser 
efetuado 6 meses após o primeiro, ou seja, em 1o de setembro de 2001. Contudo, no 
vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos, Ana propôs uma 
repactuação da dívida, com um novo esquema de pagamentos. O esquema apresentado 
foi o de efetuar um pagamento de R$ 5.000,00 em 1º de junho de 2001, e pagar o 
restante em 1o de dezembro do mesmo ano. Se a dívida foi contratada a uma taxa de 
juros compostos igual a 5% ao mês, então o valor a ser pago em 1o de dezembro 
deveria ser igual a: 
a) R$ 3.200,00 d) R$ 5.432,00 
b) R$ 3.452,20 e) R$ 6.362,00 
c) R$ 3.938,48 
 
Sol.: Mais uma questão de equivalência. Havia uma forma original de pagamento de 
uma dívida. Por um motivo qualquer, pretende-se agora alterar essa forma 
originalmente contratada por uma outra maneira de se pagar a mesma dívida. É preciso 
que a segunda forma de pagamento seja equivalente à primeira. 
 O desenho da questão, acompanhado dos passos preliminares, será o seguinte: 
 
 5.000, 
 4500, 
 3500, 
 X 
 
 
 
 
 0 3m 6m 9m 
 (I) (II) (I) (II) 
 
 Percebamos que, se chamarmos o dia 01/março de data zero; daí, 01/junho virou 
três meses; 01/setembro virou seis meses; e 01/dezembro virou nove meses. Foi 
exatamente isso o que fizemos. 
 O enunciado falou que a taxa é de juros compostos! Daí, estamos na equivalência 
composta de capitais. Operações, portanto, de desconto composto por dentro. 
 Falta escolher a data focal. A escolha é nossa, já que o regime é o composto. Se 
seguirmos a sugestão aprendida na questão anterior, adotaremos a data focal nove 
meses. Pode ser? Claro! Pelos mesmos dois motivos: é a data mais à direita do desenho 
(trocamos divisões por multiplicações!) e é a data em que está o X da questão! 
 Passemos aos três passos efetivos de resolução. 
 
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24
1º Passo) Levar para a data focal os valores da primeira forma de pagamento (primeira 
obrigação). Começando pela parcela $3.500 que está na data zero. Teremos: 
 E 
 
 3500, 
 
 
 
 
 
 0 9m 
 DF 
 
Daí: Æ E=3500.(1+0,05)9 Æ E=3500x1,551328 Æ E=5.429,65 
 
 O valor do parênteses famoso acima (1+0,05)9 será encontrado com auxílio da 
Tabela Financeira! 
 
 Ainda não acabou o primeiro passo. Trabalharemos agora com a parcela de 
R$4.500, que está na data seis meses. Teremos: 
 F 
 
 4500, 
 
 
 
 
 
 
 6m 9m 
 DF 
 
Daí: Æ F=4500.(1+0,05)3 Æ F=4500x1,157625 Æ F=5.209,31 
 
 
Nova consulta à Tabela Financeira do parênteses famoso, para chegarmos ao 
valor F. Fim do primeiro passo. Passemos ao segundo, e levemos para a data focal os 
valores da segunda forma de pagamento (segunda obrigação). 
 
2º Passo) Começando com a parcela R$5000, na data 3 meses. Teremos: 
 
 G 
 
 5.000,3m 9m 
 DF 
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25
 
 Daí: Æ G=5000.(1+0,05)6 Æ G=5000x1,340096 Æ G=6.700,47 
 
 Terminou o segundo passo? Sim, uma vez que a outra parcela de segunda 
obrigação, que é a parcela X, já está sobre a data focal. E quanto vale esse X na data 
focal? Ele próprio! 
 Passemos ao terceiro passo efetivo de nossa resolução. 
 
3º Passo) Teremos: ∑(I)DF = ∑(II)DF 
 
Æ E + F = G + X 
 
Æ 5.429,65 + 5.209,31 = 6.700,47 + X Æ X=3.938,49 Æ Resposta! 
 
 
78. (TTN/94) Paulo colocou $200.000,00 à taxa de juros simples comerciais de 96% 
ao ano, pelo prazo de 10 meses. Entretanto, antes do término do prazo conseguiu um 
aumento da taxa de juros para 144% ao ano, para o restante do prazo. Sabendo-se que 
ao final do período recebeu o montante de $376.000,00, o tempo que o capital ficou 
aplicado à taxa menor foi de (juros simples comerciais para todo o período): 
a) 2 meses b) 3 meses c) 6 meses d) 8 meses e) 9 meses 
 
Sol.: 
Os dados fornecidos pelo enunciado foram os seguintes: 
 
Æ C=200.000,00 
Æ M=376.000,00 
 
Com esses dois acima, já podemos concluir que: 
 
Æ J = M – C = 376000 - 200000 Æ J=176.000,00 
Æ Na parte inicial da aplicação (tempo n1): i1 = 96% a.a.=8% a.m. 
Æ Na parte final da aplicação (tempo n2): i2 =144% a.a.=12% a.m. 
Æ Tempo total da aplicação = 10 meses , logo: n1+n2=10 meses 
 
Queremos encontrar o tempo relativo à taxa menor, ou seja, o valor de n1. 
 
Daí, torna-se conveniente definirmos n2 como função de n1. Da seguinte forma: 
 
Æ n2 = 10 – n1 
 
Nosso próximo passo será montar a equação de Juros Simples. 
 Como a taxa de juros varia ao longo da aplicação, devemos calcular o produto 
taxa vezes tempo (i.n), para cada uma das taxas. Teremos: 
 
 1) Para a taxa de 8% a.m. ⇒ 1111 88 nnni =⋅=⋅ 
 2) Para a taxa de 12% a.m. ⇒ )10(1212 1222 nnni −⋅=⋅=⋅ 
 
 Atenção: Sempre que ocorrerem taxas diferentes ao longo da aplicação, 
devemos calcular o valor de (i.n) a ser utilizado na fórmula de juros simples, 
considerando a soma desses produtos (i.n) de cada taxa, ou seja: 
2211. ninini ⋅+⋅= 
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26
 Substituindo os produtos (i.n) obtidos para cada taxa, teremos: 
)10(128. 11 nnni −+= → 11 121208. nnni −+= → 1204. 1 +−= nni 
 
 Montando a fórmula: 
 
 
 
 
 
 Daí, 
 
1204
000.176
100
000.200
1 +−
=
n
 → 
1204
176
1
2
1 +−
=
n
 
 
1762408 1 =+− n → 648 1 =n → n1 = 8 meses Æ Resposta! 
 
 
79. (Anal. Orçamento/1997) Um negociante, para efetuar o pagamento de 
encomendas, deve dispor de R$ 1.000,00 daqui a 4 meses e R$ 2.530,00 daqui a 8 
meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as 
quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for 
feita a juro simples, à taxa de 2,5% ao mês, o valor de X deve ser: 
(A) R$ 3 000,00 (D) R$ 3 150,00 
(B) R$ 3 050,00 (E) R$ 3 200,00 
(C) R$ 3 100,00 
 
Sol.: 
 
 Vamos por partes! É preciso uma leitura muito atenta deste enunciado! O 
indivíduo irá aplicar uma certa quantia X. Esse X terá que ser suficiente para ao fim de 
4 meses termos condições de retirar R$1000 e ainda sobrar um outro valor que 
continuará aplicado! Claro! Não queremos que o montante da primeira aplicação seja 
mil. Queremos que seja maior que mil! Caso contrário, não haveria como dar 
seguimento à aplicação, e não teríamos como resgatar R$2.530, daqui a 8 meses. 
 Daí, o mais conveniente, neste caso, será fazer a questão de trás para frente! Ou 
seja, buscaremos saber quanto terá que ser aplicado, a uma taxa de juros simples de 
2,5% ao mês, para que ao fim de 4 meses possamos alcançar um montante de 
R$2.530,00. Vejamos o desenho da questão: 
 2.530, 
 
 Y 
 X 
 
 
 0 4m 8m 
 
 Trabalharemos agora a segunda operação, considerando Y como sendo 
nosso Capital e R$2.530, como nosso montante. Teremos: 
200000 
-4n1+120 
100 100+(-4n1+120) 
 
176000 
376000 
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27
 2.530, 
 
 Y 
 100 100+i.n 
 
 
 4m 8m 
 
Daí, teremos: 
 
Æ 
45,2100
2530
100 x
Y
+= Æ Y=253.000/110 Æ Y=2.300,00 
 
Pois bem! Agora resta trabalharmos a primeira operação de juros simples! 
O que não podemos esquecer, de jeito algum, é que o sujeito vai fazer, nessa 
data 4 meses, uma retirada de R$1000. Ou seja, aquele valor R$2.300 que 
encontramos no passo anterior – necessário para chegarmos ao montante final de 
R$2.300 – foi o que sobrou, após termos retirado mil reais! 
Assim, o montante que esperamos alcançar na primeira aplicação, partindo de um 
Capital X, será na verdade igual a R$3.300,00 (=2.300+1.000). 
Certo? 
Teremos: 
 3.300, 
 
 X 
 100 100+i.n 
 
 
 0 4m 
 
 
Æ 
45,2100
3300
100 x
X
+= Æ X=330.000/110 Æ X=3.000,00 Æ Resposta! 
 
Essa questão merece destaque nessa lista! Embora simples, requer muita atenção 
de quem a resolve! 
 
 
É isso! 
Encerramos nossa aula, e eu espero que todos estejam se saindo bem com as 
questões e que esse curso esteja se prestando bem a seu propósito! 
Um abraço a todos e fiquem com Deus!