Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Matemática Básica Apostila CAPÍTULO 01 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} N* = N – {0} INTEIROS Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Z* = Z – {0} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} (inteiros não nulos) Z+ = (0, 1, 2, 3, 4, ...} (inteiros não negativos) Z - = {..., -3, -2, -1, 0} (inteiros não positivos) R – Reais I – Irracionais Q – Racionais Z – Inteiros N – Naturais R N Z Q I MÚLTIPLOS NATURAIS Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Dessa forma, para obter todos os múltiplos naturais de um número N, basta multiplicar N por todos os naturais. EXEMPLOS: Como os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais, então os múltiplos de 7 são: 7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ... EXEMPLOS: • M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} • M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} • M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...} LINK: Importante! Um número tem infinitos múltiplos. Zero é múltiplo de qualquer número natural. Existem também os múltiplos negativos (não naturais) DIVISORES NATURAIS Um número natural é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0, ou seja, quando um número natural N for dividido por qualquer de seus divisores, o resultado dessa divisão terá que ser inteiro. EXEMPLOS: • D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} • D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} M(35) = {1, 5, 7, 35} PRIMOS Um número natural é dito primo quando possui apenas dois divisores naturais distintos, onde um deles é o 1 e outro é ele mesmo. Entende diferença entre “divisível”, “divisor” e a “múltiplo”? É i mportante entender essas nomenclaturas! Observe que: se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, ou LINK: PRIMOS ENTRE SI Dois números inteiros A e B são ditos primos entre si quando seu maior divisor comum é o número 1, ou ainda, o m.d.c.(A, B) = 1 e o m.m.c.(A, B) = A.B. Sendo assim, A/B é sempre uma fração irredutível. EXEMPLO: Os números 14 e 45 são primos entre si, pois o maior divisor comum entre eles é 1, uma vez que o 14 é divisível pelos primos 2 e 7, enquanto o que o 45 só é divisível pelos primos 3 e 5. Dessa forma, a fração 14/45 será irredutível. OS 40 PRIMEIROS NOS PRIMOS 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 LINK: Interessante! Se um número maior que dez terminar em {0 , 2, 4, 5, 6, 8}, então não será primo . S e um número maior que dez for primo, LINK: Doi s números consecutivos N e N+1, sempre serão primos entre si. LINK: REGRAS DE DIVISIBILIDADE EXEMPLO: Verifique se o número N = 27720 é divisível pelos naturais de 2 a 12. SOLUÇÃO: • Como 27720 é par, então ele é divisível por 2; • A soma dos algarismos é 2+7+7+2+0 = 18. Como 18 é divisível por 3, N também é divisível por 3; • Os dois últimos algarismos formam o número 20, que é divisível por 4, logo N também é divisível por 4; • Como N termina em 0 ele é divisível por 5; • Como N é múltiplo de 2 e 3, ele será divisível por 6; • Aplicando a regra do 7, temos 2772 2.0 = 2772, 277 2.2 = 273 e 27 2.3 = 21, que é divisível por 7; • Os três últimos algarismos formam o número 720, que é divisível por 8, logo N também é divisível por 8; • A soma dos algarismos é 18. Como 18 é divisível por 9, N também é divisível por 9; • Como N termina em 0 ele é divisível por 10; • Somando os algarismos alternando o sinal temos 2 7+7 2+0 = 0, que é divisível por 11; • Como N é múltiplo de 3 e 4, ele será divisível por 12. INTERVALOS No conjunto dos números reais, definem-se alguns subconjuntos chamados de intervalos, sejam a e b reais a < b temos: LINK: IMPORTANTE! Número de páginas de um livro, para os seguintes intervalos: De 30 à 40 11 páginas (40 – + 1 ou 40 30 – 29 , incl ui os extremos) Entre 30 e 40 9 páginas (40 – 30 – ou 39 1 – 30 , não inclui os extremos) MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Podemos usar a abreviação m.m.c. EXEMPLOS: Vamos achar os múltiplos comuns de 10 e 15. • M(10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60,...} • M(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75,...} • Múltiplos comuns de 10 e 15 = {0, 30, 60, 90,...} Dentre os múltiplos desses números, percebe-se que o 30 é menor natural positivo que é múltiplo comum. Dessa forma, podemos chamar o 30 de mínimo múltiplo comum de 10 e 15, ou seja, mmc(10, 15) = 30. Dois ou mais números naturais sempre possuem múltiplos comuns a eles. CÁLCULO DO M.M.C. Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30: 1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: • 12 = 2 x 2 x 3 • 30 = 2 x 3 x 5 • m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5 O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado, onde dividimos os números por um mesmo número primo até que pelo menos um deles possa ser dividido. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60). Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 PROPRIEDADE DO M.M.C. Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe: m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe: m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6. O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c. EXEMPLOS: Vamos achar os divisores comuns de 30 e 24. • D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 30} • D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} • Divisores comuns de 30 e 24 = {1, 2, 3, 6} Dentre os divisores desses números, percebe-se que o 6 é maior natural positivo que é divisor comum. Dessa forma, podemos chamar o 6 de máximo múltiplo comum de30 e 24, ou seja, mdc(30, 24) = 6. CÁLCULO DO M.D.C. Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos. 1) decompomos os números em fatores primos; 2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5 O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18. Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 22 x 32 90 = 2 x 32 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18. O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA Esse processo de decomposição funciona de forma semelhante ao 24, 30, 60 2 m.m.c., onde todos os números são decompostos ao mesmo tempo, 12, 15, 30 3 num dispositivo como mostra a figura ao lado. Mas nesse caso, a divisão só poderá ser feita se todos os números ferem divisíveis ao mesmo tempo por cada um dos números primos. O produto dos fatores primos comuns que obtemos nessa decomposição é o m.d.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.d.c.(15,24,60). Portanto, m.d.c.(24,30,60) = 2 x 3 = 6 LINK: EM UMA QUESTÃO, COMO DIFERENCIAR MMC E MDC? • Quando a questão remeter a uma situação cíclica, pense em MMC. • Quando a questão quiser dividir em partes iguais de maior tamanho possível, pense em MDC. RACIONAIS Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de fração. p q EXEMPLOS: ▪ NATURAIS E INTEIROS Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como fração. Afinal, eles representam divisões exatas. Ex.: 6 6 30 81 9 2 0 1 5 ▪ DECIMAIS Esse número pode ser escrito na forma fracionária colocando-se o número sem vírgula sobre 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais, ou seja, após a virgula. Ex.: 4 12 8125 225 15 0,4 0,12 8,125 2,25 10 100 1000 100 10 DEMONSTRAÇÃO Seja x = 0,12 então 100.x = 12 ou seja x = 12 100 ▪ DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES Nem toda dízima pode ser escrita em forma de fração, só as periódicas. No caso das simples, elas possuem apenas uma parte periódica, ou seja, que se repete. Para Q = {x = / p Z e q Z*} LINK: POR QUE O DENOMINAD OR NÃO PODE SER ZERO? Observe, ao lado, que quando isso ocorre, gera uma situação impossível ou indeterminada. transformar em fração, basta escrever o número que se repete, sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem. Ex.: 0,4 0,444... 0,12 0,121212... 0,125 0,125125125 .... 0,5526 0,5526552655 26.... DEMONSTRAÇÃO Seja x = 0,222... então 10x = 2,222... 10x = 2 + 0,222... 10x = 2 + x 9x = 2 Logo x = 2 9 Seja x = 0,212121... então 100x = 21,212121... 100x = 21 + 0,212121... 100x = 21 + x 9 9x = 21 Log o x = 21 99 Seja x = 0,218218218... então 1000x = 218,218218218... 1000x = 218 + 0,218218218... 1000x = 218 + x 999x = 218 Logo x = 218 999 ▪ DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTAS No caso das compostas, elas possuem um parte não periódica (que não se repete) e outra parte periódica (que se repete). Para transformar em uma fração equivalente você pode escrever a parte não periódica seguida da parte periódica, menos a parte não periódica, tudo sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos que estão após a vírgula. EXEMPLO: 2,45 2,4555... 5,384 5,38444... 0,812 0,8121212... 5,384 5,3848484... 2,2 2,222... 5,384 5,384384384 ... IRRACIONAIS Como o próprio nome já sugere são aqueles números que não racionais, ou seja, que não podem ser escritos na forma de fração, tais como as dízimas não periódicas. p I = {x / p Z e q Z*} ou I = R – Q q EXEMPLOS: ▪ DÍZIMAS NÃO PERIÓDICAS Observe que a raiz de um inteiro que não é quadrado perfeito sempre será uma dízima não periódica. 2 = 1,414213562... 3 = 1,732050807... 5 = 2,236067977... = 3,141592658... REAIS É o conjunto formado pela reunião de todos os conjuntos racionais e irracionais. Dessa forma, temos: R = Q I EXERCÍCIOS 01. Dois fiscais, Pedro e Diego, visitam uma mesma empresa a cada 30 e 40 dias, respectivamente. Em uma segundafeira ambos estavam nessa empresa desempenhando seus trabalhos. Em que dia da semana eles voltarão a se encontrar? a) sexta-feira b) quinta-feira c) quarta-feira d) terça-feira 02. Três rolos de tecido: um Azul com 30m, um Vermelho com 24m e outro Branco com 18m, devem ser cortados em peças iguais, com o maior tamanho possível. Determine o menor número de peças após o corte. a) 24 peças com 3m cada b) 18 peças com 4m cada c) 15 peças com 5m cada d) 12 peças com 6m cada 03. Belarmino leu 3/5 de um livro e ainda faltam 48 páginas para ele terminar de ler o livro todo. Qual é o número mínimo de folhas que tem esse livro? a) 120 b) 80 c) 60 d) 45 04. Sabendo que após Rodolfo gastar 1/3 do seu salário com aluguel, 1/4 do salário com alimentação e 1/5 do salário com lazer e transporte, ainda lhe sobrou R$ 260,00. Qual o salário de Rodolfo? a) R$ 1200 b) R$ 1400 ANOTAÇÕES: c) R$ 1600 d) R$ 1800 05. Ao entrar em uma loja, Sophia gasta 1/3 do que tem na bolsa, ao entrar em uma segunda loja gasta 1/4 do que lhe restou e finalmente na terceira loja gasta 1/5 do que ainda tinha, ficando ainda com R$48,00 na bolsa. Determine a quantia que ela tinha antes de entrar na primeira loja. a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 06. Quantos algarismos um datilógrafo digita para numerar cada uma das 250 páginas de um livro? a) 151 b) 250 c) 453 d) 642 07. Um estudante terminou um trabalho que tinha n páginas. Para numerar todas essas páginas, iniciando com a página 1, ele escreveu 270 algarismos. Então determine o valor de n. a) 108 b) 126 c) 158 d) 194 08. Em um livro com 380 páginas, quantas vezes em sua numeração aparece o dígito 2? a) 178 b) 138 c) 98 d) 78 09. Em um domingo, Sophia, Lia e Mariana encontraram-se no shopping. Sabendo que Sophia vai sempre ao mesmo shopping de 12 em 12 dias, Lia vai de 10 em 10 dias e Mariana de 20 em 20 dias, determine em que dia da semana poderá ocorrer o próximo encontro. a) segunda-feira b) terça-feira c) quarta-feira d) quinta-feira 10. Geovane deseja embalar 60 apostilas de matemática e 24 apostilas de física, em pacotes com igual quantidade em cada um e sem misturar as disciplinas. Determine o maior número de apostilas que ele pode colocar em cada pacote. a) 24 b) 16 c) 12 d) 8 ANOTAÇÕES: 11. (FUNRIO) Num saco de bolinhas de gude, Fernando notou que elas poderiam ser divididas em grupos de 2, ou em grupos de 3, ou em grupos de 4, ou, ainda, em grupos de 5, sem que houvesse sobras em nenhum desses tipos de divisão. Esse saco pode conter um número de bolinhas igual a a) 180 b) 170 c) 160 d) 150 e) 140 12. Um biólogo, estudando espécies migratórias que cruzavam o estado do Ceará, observava um grupo de centenas de aves que estavam prestes a pousar nos galhos de uma grande árvore de galhos secos. Curiosamente, percebeu que se todas as aves pousassem nos galhos da árvore em ANOTAÇÕES: gruposde 3, ou de 4, ou de 5, ou de 6, ou de 7 aves em cada galho, sobrariam sempre uma ave sozinha em um galho. Dessa forma, determine o número mínimo de aves desse bando, de forma a satisfazer a curiosa condição. a) 420 b) 421 c) 840 d) 841 e) 842 13. Um estudante de direito que gostava muito de matemática percebeu que para numerar todas as páginas de seu volumoso livro a partir do número 1, seriam necessários 4893 dígitos. Determine quantas páginas têm o livro. a) 1500 b) 1850 c) 2520 d) 2889 14. Nair tem em seu cofre apenas moedas de 1 centavo, 5 centavos, 10 centavos, 25 centavos e 50 centavos, todas em quantidades iguais, totalizando R$15,47. Nessas condições, qual importância que ela tem em moedas de 25 centavos? a) 5,75 b) 5,25 c) 4,75 d) 4,25 15. No tempo em que os animais falavam, um gavião sobrevoando um bando de pombinhas, cumprimentou-as: - Bom dia, minhas cem pombinhas! E uma das pombinhas respondeu: - Cem pombinhas não somos nós, mas com outro tanto de nós, mais a metade de nós, mais a quarta parte de nós, mais vós, senhor gavião, cem pombinhas seríamos nós. Quantas pombinhas havia no bando? a) 28 b) 32 c) 36 d) 40 GABARITO 01. D 02. D 03. C 04. A 05. A 06. D 07. B 08. A 09. D 10. C 11. A 12. B 13. A 14. D 15. C DESAFIO 01. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma, gastou a metade do que possuía e, ao sair de cada uma das lojas pagou R$2,00 de estacionamento. Se, no final, ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa? a) 188 b) 178 c) 168 d) 158 02. (FCC) Certo dia, um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo número de páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45 minutos, adotando o seguinte procedimento: • nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia página; • nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais meia página; • nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia página. Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número compreendido entre a) 5 e 8 b) 8 e 11 c) 11 e 14 d) 14 e 17 e) 17 e 20 ANOTAÇÕES: 03. A mercearia do “Seu Zé” tinha certa quantidade de ovos em uma cesta. Ana entrou na mercearia e comprou a metade dos ovos que tinham na cesta e mais meio ovo. Em seguida, Bruna comprou a metade dos ovos que restaram na cesta e mais meio ovo. Por fim, Carine comprou a metade dos ovos restantes na cesta e mais meio ovo. Se ao final restou apenas um ovo na cesta, então podemos afirmar que Ana comprou: a) 15 ovos b) 8 ovos c) 7 ovos d) 3 ovos CAPÍTULO 02 UNIDADES DE MEDIDAS INTRODUÇÃO O mundo como conhecemos certamente não existiria sem que o homem tivesse inventado uma maneira de medir, pois isso o ajudou a contabilizar, mensurar, comparar, construir e até mesmo guardar O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é parte integrante do Sistema de Medidas. É adotado no Brasil tendo como unidade fundamental de medida o metro. Apenas três das 203 nações não adotaram oficialmente esse sistema como seu sistema principal ou único de medição: Mianmar, Libéria e Estados Unidos. O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de medição. Deste os tempos passados os povos criavam seu método próprio de unidades de medidas. Cada um, desta forma, tinha seus próprios métodos de medição. Com o comércio crescente e em expansão na época, ficava cada vez mais complicado operar com tamanha diversidade de sistemas de medidas e a troca de informações entre os povos era confusa. Assim foi necessário que se adotasse um “sistema padrão” de medidas em suas respectivas grandezas. Então no ano de 1795, um grupo de representantes de diversos países reuniu-se para discutir a forma de adotar um sistema de medidas único que facilitasse a troca de informações entre os povos. Após isso foi desenvolvido o sistema métrico decimal. AS PRIMEIRAS MEDIÇÕES No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que permitem ao homem moderno medir comprimentos. Porém nem sempre foi desta forma, há 3.000 anos, quando não se existia os recursos atuais, como o homem fazia para efetuar medidas de comprimentos? Esta necessidade de medir espaços é tão antiga quanto à necessidade de contar. Quando o homem começou a construir suas habitações e desenvolver sua agricultura e outros meios de sobrevivência e desenvolvimento econômico, que se fazia necessário medir espaços, então houve ai a necessidade de se medir espaços. Desta forma, para medir espaços o homem antigo, tinha como base seu próprio corpo, por isto que surgiram: polegadas, a braça, o passo, o palmo. Algumas destas medidas ainda são usadas até hoje, como é o caso da polegada. Há algum tempo, o povo egípcio usava como padrão para comprimento, o “cúbito”, que é a distância do cotovelo a ponta do dedo médio. Como as pessoas, é claro, tem tamanhos diferentes, o “cúbito” variava de uma pessoa para outra, fazendo com que houvesse muita divergência nos resultados finais de medidas. Então, vendo este problema de variação de medidas, o povo egípcio resolveu adotar uma outra forma de medir o “cúbito”, passaram então ao invés de usar seu próprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo comprimento, assim deu-se origem então o “cúbito padrão”. Como era impossível realizar medições em extensões grandes, o povo egípcio então começou a usar cordas, para medir grandes áreas. Tinham nós que eram igualmente colocados em espaços iguais, e o intervalo entre estes nós, poderia medir “x” cúbitos fixos. Desta forma de medição com cordas, originou-se o que chamamos hoje de “trena”. SISTEMA IMPERIAL Embora atualmente não sejam usadas com muita frequência, principalmente no meio científico, poderemos nos deparar com unidades expressas no Sistema Imperial. A Tabela a seguir fornece dados para conversão entre os Sistemas Imperial e Internacional de Unidades. ` Sistema Imperial Sistema Internacional 1 in (polegada ) = 2 ,54 cm ) 1 ft (pé) = 12 in (polegadas = 30 ,48 cm 1 yd (jarda) = 3 ft (pés) = 36 in (polegadas ) = 0 ,9144 m 1 mile (mi lha) = 1760 yd (jardas) = 1 ,609 km O METRO O metro (m) é uma unidade de medida de comprimento padrão do sistema numérico decimal, sendo criado com base nas dimensões da Terra. O nome “metro” é oriundo da palavra grega “métron” e tem como significado “o que mede”. Inicialmente a medida do “metro” foi definida como a décima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte e Equador, medida pelo meridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O metro padrão foi criado no de 1799 e hoje é baseado no espaço percorrido pela luz no vácuo Atualmente o metro é definido como sendo "o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo". SISTEMA MÉTRICO DECIMAL O Sistema Métrico Decimal tem o metro (m) como unidade fundamental do comprimento e dele foram criadas outras unidades menos ou maiores a partir de seus múltiplos e submúltiplos. Os nomes prefixos destes múltiplos e submúltiplos são: quilo (k), hecto (h), deca (da), deci (d), centi (c) e mili (m). Os múltiplos do metro são usados para realizar medição em grandes áreas/distâncias, enquanto os submúltiplos para realizar medição em pequenas distâncias. Outras unidades foram criadas de forma direta ouindireta a partir de relação com o metro. Por exemplo, para criar uma unidade específica de volume foi definido que um cubo de 1dm de aresta, ou seja, com volume igual a 1dm3, seria denominado de litro (L). Para definir uma unidade específica para medidas de massa, foi usada a água como referência, onde exatamente um litro de água pura pesaria o que se conhece por quilograma. Dessa forma, outras unidades surgiram. LINK: NOMES E FUNÇÕES DE ALGUMAS MEDIDAS COMPRIMENTO O metro é uma das unidades básicas do Sistema Internacional de Unidades. A partir dele são denominadas outras unidades de medida apenas com o uso de prefixos, pois nem sempre ele é prático Se queremos medir grandes extensões ela é muito pequena. Por outro lado, se queremos medir extensões muito "pequenas", a unidade metro é muito "grande", daí a necessidade do uso de múltiplos e submúltiplos do metro, que são chamados de unidades secundárias de comprimento. OBSERVE A TABELA ABAIXO: 10 10 10 10 10 10 km hm dam m dm cm mm quilômetr o hectômetr o decâmetr o metr o decímetr o centímetr o milímetr o x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 ÁREA As unidades de área representam ao mesmo tempo duas dimensões e por isso tem um tratamento particular. Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de superfície. Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vírgula anda uma casa para esquerda e para cada unidade que mudamos para direita, a vírgula anda uma casa para direita. EXEMPLOS: 4 , 58 m = 45 , 8 d m 4 , 58 m = 458 c m 4 ,58 m = 4580 mm MÚLTIPLOS E SUBMÚTIPLOS DO METRO Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos. São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire. OBSERVE A TABELA ABAIXO: 100 100 100 100 100 100 km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 quilômet ro quadrad o hectômet ro quadrado decâmet ro quadrad o metro quadrad o decímetr o quadrad o centímet ro quadrad o milímetr o quadrad o x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vírgula anda duas casas para esquerda e para cada unidade que mudamos para direita, a v írgula desloca duas casas para direita. EXEMPLOS: 4 , 58 m 2 = 458 d m 2 4 , 58 m 2 = 45800 c m 2 4 ,58 m 2 = 4580000 mm 2 VOLUME POR QUE A VÍRGULA DESLOCA DUAS CASAS? Para unidades de área ocorrem duas transformações, nas duas dimensões: largura e comprimento. Po r isso, 1 m 2 equivale a 100 dm 2 . SABE QUANTO MEDE UM QUARTEIRÃO PADRÃO? O quarteirão padrão é um quadrado de 100 m de lado. QUARTEIRÃO: 100 m x 100 m 10000 m 2 1 hm x 1 hm 2 O volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo. Volume tem unidades de tamanho cúbicas (por exemplo, cm³, m³, in³, etc.). Sua unidade no Sistema internacional de unidades é o metro cúbico (m³). A seguinte tabela mostra a equivalência entre volume e capacidade. Contudo, não é considerado uma unidade fundamental do SI, pois pode ser calculado através dos comprimentos. A unidade mais comum utilizada é o litro. OBSERVE A TABELA ABAIXO: 1000 1000 1000 1000 1000 1000 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 quilômetr o cúbico hectômetr o cúbico decâmetr o cúbico metro cúbic o decímetr o cúbico centímetr o cúbico milímetr o cúbico x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vírgula anda três casas para esquerda e para cada unidade que mudamos para direita, a vírgula desloca três casas para direita. EXEMPLOS: 4 , 58 m 3 = 4580 d m 3 4 , 58 m 3 = 4580000 c m 3 4 ,58 m 3 = 4580000000 mm 3 PREFIXOS As abreviações das unidades derivadas do metro estão expressas na Tabela 1, bem como a medida equivalente: Nome Símbolo Fator de multiplicação da unidade yotta Y 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 zetta Z 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000 exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 tera T 1012 = 1 000 000 000 000 POR QUE A VÍRGULA DESLOCA TRÊS CASAS? Para unidades de volume ocorrem três transformações, nas três dimensões: largura, comprimento e altura. 3 3 giga G 109 = 1 000 000 000 mega M 106 = 1 000 000 quilo k 10³ = 1 000 hecto h 10² = 100 deca da 10 deci d 10-1 = 0,1 centi c 10-2 = 0,01 mili m 10-3 = 0,001 micro µ 10-6 = 0,000 001 nano n 10-9 = 0,000 000 001 pico p 10-12 = 0,000 000 000 001 femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 zepto z 10-21 = 0,000 000 000 000 000 000 001 yocto y 10-24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001 UNIDADES DE BASE As unidades de base do SI são sete, consideradas independentes do ponto de vista dimensional, definidas para as grandezas e simbolizadas de acordo com o seguinte quadro: GRANDEZA UNIDADE SI SÍMBOLO Comprimento metro m Massa quilograma kg http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de comprimento http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de comprimento http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de comprimento http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de massa http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de massa http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de massa Tempo segundo s Intensidade de corrente eléctrica ampere A Temperatura termodinâmica kelvin K Quantidade de matéria Mole mol Intensidade luminosa candela cd UNIDADES DERIVADAS São formadas pela combinação de unidades de base, unidades suplementares ou outras unidades derivadas, de acordo com as relações algébricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os símbolos para as unidades derivadas são obtidos por meio dos sinais matemáticos de multiplicação e divisão e o uso de expoentes. Algumas unidades SI derivadas têm nomes e símbolos especiais. ALGUMAS UNIDADES SI DERIVADAS SIMPLES EM TERMOS DAS UNIDADES DE BASE Grandeza Unidade Símbolo área metro quadrado m2 volume metro cúbico m3 http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de tempo http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de tempo http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de tempo http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de intensidade de corrente el�ctrica http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de intensidade de corrente el�ctrica http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de intensidade de corrente el�ctrica http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de intensidade de corrente el�ctrica http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade deintensidade de corrente el�ctrica http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de temperatura termodin�mica http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de temperatura termodin�mica http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de temperatura termodin�mica http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de temperatura termodin�mica http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de temperatura termodin�mica http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de quantidade de mat�ria http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de quantidade de mat�ria http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de intensidade luminosa http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de intensidade luminosa velocidade metro por segundo m/s aceleração metro por segundo quadrado m/s2 número de onda metro recíproco m-1 densidade quilograma por metro cúbico kg/m3 UNIDADES DE USO PERMITIDO COM AS DO SISTEMA INTERNACIONAL Grandeza Unidade Símbolo Conversão tempo minuto hora dia mim h d 1 min = 60s 1h = 60 min = 3600s 1d = 24h = 86400 s volume litro(a) l, L 1 L = 1 dm3 = 10-3 m3 massa tonelada(b) t 1 t = 103 kg TEMPO Este é um item que é muito pedido em grande parte de concursos que exigem matemática, e é justamente onde muitas pessoas que estudam este tema tem comprometido seus resultados. POR QU E DIVIDIRAM A HORA E O MINUTO EM 60 PARTES? O número 60 é interessante porque é fácil de fracionar, uma vez que é LINK: 1 / 2 hora 1 / 3 hora 1 / 4 hora 1 /5 hora 1 / 6 hora 2012 Copyright. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor. RESOLVIDOS 01. Determine a equivalência dos tempos a seguir. Matemática 41 6 a) 47/2 de hora 47 46 1 h = 23h 30min 2 x 60 b) 47/3 de hora 47 45 2 h = 15h 40min 3 x 60 c) 47/4 de hora 47 44 3 h = 11h 45min 4 x 60 d) 47/5 de hora 47 45 2 h = 9h 24min 5 x 60 e) 47/6 de hora 47 42 5 h = 7h 50min 6 6 x 60 f) 47/10 de hora 47 40 7 h = 4h 42min 10 10 10 x 60 g) 21/5 de hora 21 20 1 ANOTAÇÕES: 2 2 3 3 4 4 5 5 Matemática 42 5 5 3 3 4 8 10 3 5 5 h = 4h 12min 5 x 60 h) 63/10 de hora 63 60 3 h = 6h 18min 10 10 10 x 60 i) 16/3 de minuto min 15 1 = 5min 20s x 60 j) 35/4 de minuto 32 3 min = 8min 45s min 4 x 60 f) 35/8 de um dia dia 32 3 = 4d 9h 8 X24 g) 3/10 do dia 36 35 1 dia = h = 7h 12min 5 X24 X60 Matemática 43 36 17 3 3 h) 17/36 do dia dia = 34 h 33 1 = 11h 20min 3 X24 X60 i) 5,85 horas 0,85h = 51min 5,85h = 5h 51min X60 j) 8,43 horas 0,43h = 25,8min 0,8min = 48s X60 X60 8,43h = 8h 25min 48s k) 14,76 horas 0,76h = 45,6min 0,6min = 36s X60 X60 14,76h = 14h 45min 36s 24h – 19h 14min 20s 23h60mi n 23h59min60s 23h 59min 60s – 19h 14min 20s 4h 45min 40s EXERCÍCIOS 02. Qual a diferença de tempo entre 24h e 19h14min20s? ANOTAÇÕES: Matemática 44 01. Qual a área de um terreno retangular que mede 3 hm de largura por 500 m de comprimento? a) 0,15 ha b) 1,5 ha c) 15 ha d) 150 ha e) 1500 ha 02. Podemos afirma que 0,3 semana corresponde a: a) 2 dias e 1 hora; b) 2 dias, 2 horas e 4 minutos; c) 2 dias, 2 horas e 24 minutos; d) 2 dias e 12 horas; e) 3 dias. 03. (FCC) Durante todo o mês de março, o relógio de um técnico estava adiantando 5 segundos por hora. Se ele só foi acertado às 7h do dia 2 de março, então às 7h do dia 5 de março ele marcava a) 7h05min b) 7h06min c) 7h15min d) 7h30min e) 6h54min 04. Na última sexta-feira, cheguei ao trabalho às 8h20min da manhã, trabalhei durante 21/5 de hora, saí para o almoço e retornei 32/15 de hora depois, trabalhei por mais 23/6 de hora e finalmente acabei meu expediente. A que horas terminei o expediente? a) 18h30min ANOTAÇÕES: Matemática 45 b) 17h30min c) 19h20min d) 16h50min 05. Considerando que um dia equivale a 24 horas, 1,8 dias equivale a: a) 1 dia e 8 horas; b) 1 dia e 18 horas; c) 1 dia e 19 horas; d) 1 dia, 19 horas e 2 minutos; e) 1 dia, 19 horas e 12 minutos. GABARITO 01. C 02.C 03. B 04. A 05. E CAPÍTULO 03 RAZÃO A razão entre duas grandezas é o quociente estabelecido entre elas, ou melhor, é o resultado da divisão entre as grandezas. Assim, dados dois números reais a e b, com b 0, calcula-se a razão entre a e b através do quociente da divisão de a por b. a Para indicarmos a razão entre a e b usamos: ou a : b (“a” está para “b”). b Na razão de a por b, o número “a” é chamado de antecedente e o número “b” é chamado de conseqüente. RAZÕES INVERSAS Razão entre a e b = b a Matemática 46 Duas razões são inversas quando o antecedente de uma é igual ao conseqüente da outra e vice-versa aeb . Note que, o produto de duas razões b a inversas é sempre igual a 1. RAZÕES ESPECIAIS CONCORRÊNCIA DE UM CONCURSO É a razão entre o número de candidatos inscritos no concurso e o número de vagas oferecidas por ele. VELOCIDADE MÉDIA É a razão entre a distância percorrida por um móvel e o tempo gasto para percorrê-la. DENSIDADE DE UM CORPO É a razão entre a massa do corpo e o volume por ele ocupado. DENSIDADE DEMOGRÁFICA DE UMA REGIÃO É a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. 1 . a b b a Concorrência = oferecidas vagas de n inscritos cand de n º . º Velocidade média = t S V m gasto tempo a percorriad distância Densidade = V m d volume massa Densidade demográfica = região dessa região uma de habitantes de área n o Matemática 47 ESCALA NUMÉRICA É a razão entre um comprimento no desenho e o seu correspondente comprimento no tamanho real, medidos na mesma unidade. Tamanhos de escala • Escala grande: É aquela que possui um pequeno denominador, ou seja, é aquela destinada a pequenos comprimentos reais (áreas urbanas). É rica em detalhes. É usada em cartas ou plantas. • Escala pequena: É aquela que possui um grande denominador, ou seja, é aquela destinada a grandes comprimentos reais (áreas continentais). É pobre em detalhes gráficos. É usada em mapas e globos. Obs.: Há ainda um outro tipo de escala, chamada escala gráfica, que se apresenta sob a forma de um segmento de reta graduado. Nele, cada graduação representa 1cm de compr0km 200km 400km 600km 800km imento no desenho. Exemplo: 1cm 1cm Escala = ou 1: 20.000.000. 200km 20.000.000cm EXEMPLO Numa prova com 50 questões, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. Responda os itens à seguir. a) Qual a razão entre o nº de questões certas e erradas? b) Qual a razão entre o nº de questões erradas sobre o total de questões da prova? c) Qual a razão entre o nº de questões em branco sobre o nº de questões certas? SOLUÇÃO: O importante é dividir seguindo a ordem dada, logo CERTAS 35 7 a) = 7 : 2 ERRADAS 10 2 erradas) (proporção de 7 certas para cada 2 questões ERRADAS 10 1 b) = 1 : 5 (proporção de 1 errada para cada 5questões da TOTAL 50 5 prova) Escala = real desenho no o compriment o compriment D d E Matemática 48 BRANCO 5 1 c) = 1 : 7 (proporção de 1 em branco para cada 5 questões CERTAS 35 7 certas) VAZÃO (FLUXO) A vazão de um líquido é o volume desse fluido que passa por uma determinada seção de um conduto por uma unidade de tempo. Geralmente a unidade adotada é litros por segundo (l/s), embora existam outras unidades. Volume Vazão tempo SOMA DAS VAZÕES Por exemplo, quando temos duas ou mais torneiras enchendo um mesmo balde, devemos somar as vazões dessas torneiras para encontrar a vazão A B equivalente, ou seja, Vazão VA VB O volume do recipiente pode ser representado por uma unidade qualquer. Podemos então dizer que a vazão da torneira A é de 1 balde em tA minutos, da torneira B é de 1 balde a cada tB minutos e a vazão equivalente é de 1 balde em tE minutos, ou seja 1 1 1 te tA tB O conceito de fluxo pode ser aplicado a outras situações diferentes dos líquidos, dessa forma podemos ter fluxo de carros, de pessoas, de dinheiro, de trabalho, etc. EXEMPLO Uma torneira enche um tanque em 3 horas, uma outra em 4 horas e uma terceira pode esvaziá–lo em 2 horas. Se forem abertas as três torneiras ao mesmo tempo, em quantas horas o tanque ficará completamente cheio? SOLUÇÃO: Observe que quanto mais torneiras, menor o tempo, portanto o tempo equivalente será dado por 1 1 1 1 ... te t1 t2 tn Nesse caso duas torneiras enchem e uma das torneiras esvazia, logo Matemática 49 1 1 1 1 1 3 4 6 1 1 te = 12 horas te 4 3 2 te 12 te 12 PROPORÇÃO A grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcional. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas “x” e “y” são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é constante. Além disso, quando o valor absoluto de “x” cresce, o valor absoluto de “y” cresce na mesma proporção. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas “x” e “y” são inversamente proporcionais quando o produto entre elas é constante. Pode-se afirmar também que quando o valor absoluto de “x” cresce, o valor absoluto de “y” decresce em proporção inversa. SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS Uma série de razões iguais é uma igualdade de duas ou mais razões. Também, pode ser chamada de proporção múltipla. Em símbolos, temos: a1 a2 a3 ... an k b1 b2 b3 bn A principal propriedade a ser utilizada é: a1 a2 a3 ... an a1 a2 a3 ... an = k b1 b2 b3 bn b1 b2 b3 ... bn Matemática 50 DIRETAMENTE PROPORCIONAL Os números de uma sucessão numérica A = (x, y, z) são ditos diretamente proporcionais aos números da sucessão numérica B = (a, b, c), quando as razões de cada termo de A pelo seu correspondente em B forem iguais , isto é: Este valor “k” é chamado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade, que pode corresponder a razão entre a soma dos termos de A em relação a soma dos elementos de B. k c z b y a x c b a z y x c z b y a x Matemática 51 EXEMPLO Verificar se os números da sucessão (20, 16, 12) são ou não diretamente proporcionais aos números da sucessão (5, 4, 3). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade “k”. SOLUÇÃO: Note que: 4; 4 e 4. Então as sucessões são diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade k = 4. EXEMPLO Encontrar x e y sabendo que os números da sucessão (20, x, y) são diretamente proporcionais aos números da sucessão (4, 2, 1) SOLUÇÃO: Pela definição de números diretamente proporcionais, temos: 20 x y x y x 10 5 4 2 1 2 1 y 5 EXEMPLO (FCC) Certo dia, em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar judiciário observou que o número de pessoas atendidas no período da tarde excedera o das atendidas pela manhã em 30 unidades. Se a razão entre a quantidade de pessoas atendidas no período da manhã e a quantidade de pessoas atendida no período da tarde era 3/5, então é correto afirmar que, nesse dia, foram atendidas a) 130 pessoas. b) 48 pessoas pela manhã. c) 78 pessoas à tarde. d) 46 pessoas pela manhã. e) 75 pessoas à tarde. SOLUÇÃO: Seja T – número de pessoas atendidas no período da tarde; Matemática 52 M – número de pessoas atendidas no período da manhã; Do enunciado, temos: T M 30 T M 30 M 3 M T T 5 3 5 Então T M T M 5 3 5 3 logo T 30 M 30 T = 75 e T = 45 5 2 3 2 Matemática 53 INVERSAMENTE PROPORCIONAL Os números de uma sucessão numérica A = (x, y, z) são inversamente proporcionais aos números da sucessão numérica B = (a, b, c), quando os produtos de cada termo da sucessão A pelo seu correspondente em B forem iguais, isto é: x . a = y . b = z . c = k Este valor k também é chamado de fator ou coeficiente de proporcionalidade. Na situação exposta, podemos dizer também que os elementos da sucessão A são diretamente proporcionais aos inversos dos elementos da sucessão B, assim como a soma dos elementos de A são proporcionais a soma dos inversos de B. EXEMPLO1 Verificar se os números da sucessão (3, 6, 8) são ou não inversamente proporcionais aos números da sucessão (24, 12, 9). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade “k”. SOLUÇÃO: Note que: 3 . 24 = 72; 6 . 12 = 72; 8 . 9 = 72. Então as sucessões são inversamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é 72. EXEMPLO Encontrar x, y e z, sabendo que os números das sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são inversamente proporcionais e têm coeficiente de proporcionalidade k = 36. SOLUÇÃO: Pela definição, temos: x . 9 36 x 4. 3 . y 36 y 12. z . 36 36 z 1. c / 1 b / 1 a / 1 z y x c / 1 z b / 1 y a / 1 x Matemática 54 EXEMPLO Repartir o número 18 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4. SOLUÇÃO: Sejam x e y as partes procuradas: x y 18 x y x y x y 18 2 x 10 5 4 5 4 5 4 9 y 8 Matemática 55 03. (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos judiciários do TRF de uma certa circunscrição judiciária. IDADE TEMPO DE SERVIÇO JOÃO 36 8 ANOS ANOS MARIA 30 12 ANOS ANOS Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, determine o total de laudas do processo. SOLUÇÃO: Sejam – Laudas de João: x – Laudas de Maria: y Então x = y = x y Como x = 27, temos 27 = x y ou seja 8 x y 27. 6 = x y 7 então x+y = 42 Matemática 56 DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAL • Grandeza diretamente proporcional a dois valores ao mesmo tempo: • Grandeza diretamente proporcional a um valor e inversamente a outro: • Grandeza diretamente proporcional a dois valores e inversamente a um terceiro valor: (FCC) Valdete deu R$ 32,00 a seus dois filhos, apenas em moedas de 25 e 50 centavos. Eles dividiram a quantia recebida entre si, na razão direta de suas respectivas idades: 7 e 9 anos. Se o mais jovem ficou com todas as moedas de 25 centavos, o número de moedas de 50 centavos era a) 28 b) 32 c) 36 d) 48 e) 56 SOLUÇÃO: Do enunciado temos:A B A B n m b a y x n m y b a x . . . . p n m c b a y x p n m y c b a x . . . . n m b a y x n m y b a x / / / / Matemática 57 7 9 7 9 Sabendo que A+B = 32, então B 32 B = 18 reais 9 16 Como o mais jovem ficou com todas as moedas de 25 centavos, o mais velho ficou com todas as de 50 centavos, portanto o número de moedas dele será: nB = 18/0,50 = 36 moedas REGRA DE SOCIEDADE O fato é que: para ser justo em uma sociedade os lucros e os prejuízos devem ser distribuídos entre os vários sócios proporcionalmente aos capitais empregados (C) e ao tempo (T) durante o qual estiveram empregados na constituição dessa sociedade. É uma aplicação prática da divisão em partes diretamente proporcionais, portanto: x y z x y z (lucro a ser dividido) C1.T1 C2.T2 C3.T3 C1.T1 C2.T2 C3.T3 EXEMPLO: Três sócios lucraram juntamente R$20.200,00. Para tanto, o primeiro entrou com um capital de R$7.000,00 durante 1 ano, o segundo com R$8.000,00 durante 8 meses e o terceiro com R$9.000,00 durante 1 semestre. Quanto lucrou cada um? SOLUÇÃO: Sejam: Lucro Investimento Tempo 1º Sócio x R$ 7 mil 12 meses 2º Sócio y R$ 8 mil 8 meses 1º Sócio x R$ 9 mil 6 meses Como x y z x y z (lucro a ser dividido) C1.T1 C2.T2 C3.T3 C1.T1 C2.T2 C3.T3 Então x y z 20200 Matemática 58 7.12 8.8 9.6 7.12 8.8 9.6 x y z 20200 84 64 54 84 64 54 Ou seja x 20200 x = 8400 84 202 y 20200 y = 6400 64 202 z 20200 y = 5400 54 202 PROPORÇÃO Dados quatro números reais a, b, c e d, todos diferentes de zero, dizemos que eles formam, nesta ordem, uma proporção, quando a razão entre o primeiro e o segundo (a:b) é igual à razão entre o terceiro e o quarto (c:d). Representamos isto por: a c ou a : b = c : d b d E lemos: “a está para b assim como c está para d”. a c Na proporção , destacamos que os termos a e d são chamados b d extremos e os termos b e c são chamados meios. a : b = c : d ou MEIOS EXTREMOS d c b a MEIOS EXTREMOS Matemática 59 PROPRIEDADES DE UMA PROPORÇÃO PROPRIEDADE FUNDAMENTAL Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. a c a . d b . c b d SOMA DOS TERMOS Em toda proporção, temos: a b c d a c a c ou b d a b c d b d DIFERENÇA DOS TERMOS Em toda proporção, temos: a b c d a c a c b d a bouc d b d SOMA DOS ANTECEDENTES E CONSEQÜENTES Em toda proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente. a c a c b d b d QUARTA PROPORCIONAL Dados três números reais, a, b e c, não-nulos, chama-se de quarta proporcional desses números dados o número x tal que: a c b x Note que, a quarta proporcional forma uma proporção com os números a, b e c, nessa ordem. TERCEIRA PROPORCIONAL Matemática 60 Dados dois números reais a e b, não-nulos, chama-se de terceira proporcional desses números o número x tal que: a b b x REGRA DE TRÊS SIMPLES É uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionando dois valores de A e dois valores de B. Nos problemas, haverá um desses quatro valores que será desconhecido e deverá ser calculado com base nos três valores dados. Daí o nome regra de três. Dependendo das grandezas A e B, podemos ter: • Regra de três direta A e B são grandezas diretamente proporcionais. A1 B1 A2 B2 • Regra de três inversa A e B são grandezas inversamente proporcionais. A1.B1 = A2.B2 EXEMPLO: Se uma dúzia de ovos custa R$1,40, então quanto deve custar uma bandeja com 30 ovos? SOLUÇÃO: Faça uma tabela relacionando a quantidade de ovos ao preço, e por meio de setas verifique se estas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Quantidade de ovos Preço (R$) 12 1,40 30 xxx As setas têm o mesmo sentido porque as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, quanto mais ovos se quer comprar, mais dinheiro se tem que gastar. Logo: 12 1,40 30 . 1,40 x x 3,50 30 x 12 Resposta: Uma bandeja com 30 ovos deve custar R$3,50. Matemática 61 REGRA DE TRÊS COMPOSTA É uma regra prática utilizada na resolução de problemas que envolvem várias grandezas proporcionais. A regra de três composta é realizada da seguinte maneira. 1º Passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza. 2º Passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referência. 3º Passo: Comparamos esta grandeza de referência a cada uma das outras grandezas, isoladamente, identificando se há proporcionalidade direta (seta de mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas). 4º Passo: Colocamos a razão da grandeza de referência isolada no 1º membro e, no 2º membro, colocamos o produto das razões das outras grandezas, lembrando que se há proporcionalidade inversa em relação a uma grandeza, devemos inverter os elementos da respectiva coluna e escrever a razão inversa no produto. EXEMPLO: Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias, conseguem realizar um determinado serviço. Trabalhando 9 horas por dia, 12 operários farão o mesmo serviço em quantos dias? 1ª SOLUÇÃO: Montando a tabela e tomando a quantidade de dias como referência, temos: Operários Horas por dia 2ª SOLUÇÃO: Montando a tabela e tomando o no de operários como referência, temos: Dias 12 Operários 18 18 7 12 9 x Logo: 7 9 . 18 12 12 x 18.7 = 9.x x = 14 dias Resposta: São necessários 14 dias. Matemática 62 Horas por dia Dias 12 x 7 12 9 Matemática 63 Logo: 18 9 . x 18.7 = 9.x x = 14 dias 12 7 12 Resposta: São necessários 14 dias. Matemática 64 EXERCÍCIOS Matemática 65 01. Um balde de 5 litros pode ser cheio por uma torneira A em 3 min ou em 6 min por uma torneira B. Caso sejam ligadas as duas torneira concomitantemente, em quanto tempo o balde estará cheio? a) 2 min b) 2 min e 30 seg c) 4 min e 30 seg d) 9 min 02. Antônio demora 6 horas para pintar uma parede, enquanto seu auxiliar Baltazar demoraria mais tempo para executar o mesmo serviço. Sabendo que juntos eles pintariam essa parede em 4 horas, determine em quantas horas o auxiliar pintaria sozinho. a) 7 b) 9 c) 12 d) 16 03. Sophia tenta encher sua piscina de plástico usando duas mangueiras do jardim, sem perceber que o plástico estava com um pequeno furo na parte inferior e que poderia esvaziar completamente a piscina em 60 min. Uma das mangueiras encheria toda a piscina em 10 min e a outra mangueira, também sozinha e sem furo, enche a piscina em 20 min. Dessa forma, mesmo com o furo, em quanto tempo as duas mangueiras enchem completamente a piscina? a) 6 min e 40 seg b) 7 min e 10 seg c) 7 min e 30 seg d) 8 min e 20 seg ANOTAÇÕES: Matemática 66 04. No Banco Dimdim será dividido um prêmio de R$2.400,00 entre os três funcionários que mais se destacaram no último ano. A parte que caberá a cada funcionário é diretamente proporcional ao tempo de serviço prestado a empresa. Sabendo que Aurisvanderson tem 3 anos de empresa,Belarmino 4 anos e Cleosvaldo 5 anos, determine quanto coube ao funcionário que ficou com a maior quantia. a) R$ 1.200,00 b) R$ 1.000,00 c) R$ 800,00 d) R$ 600,00 05. O dono de uma empresa resolveu distribuir uma gratificação de R$2.100,00 entre seus dois gerentes, de forma inversamente proporcional às faltas de cada um num determinado mês. Quanto caberá ao mais assíduo, se os gerentes faltaram 5 e 2 vezes? a) 600 b) 900 c) 1200 d) 1500 06. (FCC) Curiosamente, dois técnicos bancários observaram que, durante o expediente de certo dia os números de clientes que haviam atendido eram inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 36 e 48 anos. Se um deles atendeu 4 clientes a mais que o outro, então o total de pessoas atendidas pelo mais velho foi: a) 20 b) 18 c) 16 d) 14 e) 12 07. Uma empresa irá dividir R$ 24.000,00 entre quatro funcionários de forma diretamente proporcional ao tempo de empresa e inversamente proporcional ao número de faltas mais um. Determine o maior valor recebido por ANOTAÇÕES: Matemática 67 um dos quatro, sabendo que André trabalha a 6 anos e faltou 2 vezes, Bruno trabalha a 2 anos e nunca faltou, Cléber trabalha a 12 anos e faltou 3 vezes e Daniel trabalha a 10 anos e faltou apenas uma vez. a) R$ 2.000,00 b) R$ 4.000,00 d) R$ 6.000,00 d) R$ 10.000,00 e) R$ 12.000,00 08. O lucro de R$ 14.000,00 da lanchonete WR, será dividido entre seus dois sócios. Wendel aplicou na empresa R$2.000,00 por 6 meses e Rinaldo aplicou R$4.000,00 por 4 meses. Quanto, respectivamente, coube a cada um deles? a) R$ 4.000,00 e R$ 10.000,00 b) R$ 6.000,00 e R$ 8.000,00 c) R$ 7.000,00 e R$ 7.000,00 d) R$ 9.000,00 e R$ 5.000,00 09. (FCC) Um técnico bancário foi incumbido de digitar as 48 páginas de um texto. Na tabela abaixo, têm-se os tempos que ele leva, em média, para digitar tais páginas. NÚMERO DE PÁGINA S TEMPO (MINUTO S) 1 12 2 24 3 36 4 48 Nessas condições, mantida a regularidade mostrada na tabela, após 9 horas de digitação desse texto, o esperado é que: a) ainda devam ser digitadas 3 páginas. b) Todas as páginas tenham sido digitadas. c) Ainda devam ser digitadas 9 páginas. d) Ainda devam ser digitadas 8 páginas. e) Ainda devam ser digitadas 5 páginas. 10. Desenvolvendo uma velocidade média de 18km por hora, um pedestre correu durante 1h 20min. Se tivesse desenvolvido a velocidade média de 15km por hora, teria feito o mesmo percurso em quanto tempo? a) 1h 16min b) 1h 26min Matemática 68 c) 1h 36min d) 1h 46min 11. Quinze teares trabalhando 6 horas por dia, durante 20 dias, produzem 600m de pano. Quantos teares são necessários para fazer 1200m do mesmo pano, em 30 dias, com 8 horas de trabalho por dia? a) 15 b) 16 c) 18 d) 20 12. No Banco Dimdim, em dias normais, na agência central, 10 caixas atendem 900 pessoas trabalhando 6 horas diárias. Em uma segunda-feira chuvosa dois caixas faltaram por conta de uma virose e o gerente quer uma previsão de quantas pessoas poderão ser atendidas nas 2 horas iniciais desse dia atípico, quando o nível de dificuldade é duas vezes maior. Podemos afirmar que o número de pessoas atendidas nesse intervalo é de aproximadamente: a) 240 b) 150 c) 120 d) 90 ANOT AÇÕES: Matemática 69 01. A 02. C 03. C 04. B 05. D 06. E 07. D 08. B 09. A 10. C 11. A 12. C GABARITO Matemática 70 CAPÍTULO 04 PORCENTAGEM INTRODUÇÃO A expressão por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento. Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como "Grande liquidação: 20 por cento de desconto em todos os artigos", significa que você terá 20 reais de desconto para cada 100 reais do preço do artigo que comprar. Estabelecemos, então, a razão e podemos afirmar que: Assim, é o mesmo que 20 por cento. A expressão por cento pode ser substituída pelo símbolo %. Dessa forma, temos: = 20 % Veja os exemplos: • 8 pessoas em um grupo de 10 correspondem a ou ou 80% do grupo. • Num total de R$ 300,00, a quantia de R$ 21,00 equivale a ou ou 7% do OBSERVAÇÃO: Toda razão a/b na qual b = 100, chama - se taxa de porcentagem. Matemática 71 total. EXEMPLO: Se uma barra de chocolate é dividida em 5 pedaços e uma pessoa come 3 deles, ela terá comido 3/5 do total, mas se tivesse dividido em 100 partes ela teria comido 60 partes, o que na verdade representa a mesma coisa. Veja a ilustração. 60% 10 100 FRAÇÃO x PORCENTAGEM 60 6 5 3 Matemática 72 AUMENTOS E DESCONTOS AUMENTO DE 20% • Valor inicial x • Valor do aumento 20% de x • Valor após o aumento 120% de x DESCONTO DE 20% • Valor inicial x • Valor do desconto 20% de x • Valor após o desconto 80% de x Matemática 73 Para ganhar tempo ( o que é fundamental em concursos ) lembre - se que se um capital x aumenta %, ele irá para 120% de x. Dessa forma não é nec 20 essário fazer o desenvolvimento: x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x Observe os aumentos e descontos a seguir: x +20 % 120 %x x + 5 % 0 1 5 0 %x x + 84 % 1 84 %x x + 136 % 236 %x x % 20 80 %x x 5 0 % 5 0 %x x 84 % 16 %x x +100 % 200 %x x + 10 % 0 2 x = % 200 x x +2 0 0 % 3 x = 3 % 00 x x + 40 % 0 5 x = 500%x x + 800 % 9 x = 900%x Matemática 74 PORCENTAGEM DE CABEÇA O segredo para calcular porcentagem de cabeça é perceber como é fácil calcular 10% e 1%. Para fazer porcentagem de cabeça, basta entender a relação de todas as porcentagens com 10%. • 10% de 120 = 12 (1/10 de 120 = 120/10 = 12) • 20% de 120 = 24 (20% = 10% + 10%, ou seja 12 + 12 = 24) • 30% de 120 = 36 (30% = 10% + 10% + 10%, ou seja 12 + 12 + 12 = 3.12 = 36) • 5% de 120 = 6 (5% é a metade de 10%, logo a metade de 12 é 6) • 1% de 120 = 1,20 (1/100 de 120 = 120/100 = 1,20) • 21% de 120 = 25,2 (21% = 10% + 10% + 1%, ou seja 12 + 12 + 1,2 = 25,2) • 35% de 120 = 42 (35% = 10% + 10% + 10% + 5%, ou seja 12 + 12 + 12 + 6 = 42) • 52% de 120 = 62,4 (52% = 50% (metade) + 1% + 1%, ou seja 60 + 1,2 + 1,2 = 62,4) • 90% de 120 = 108 (90% = 100% (o todo) – 10%, ou seja 120 – 12 = 108) • 95% de 120 = 114 (95% = 100% (o todo) – 5%, ou seja 120 – 6 = 114) Matemática 75 • 99% de 120 = 118,8 (99% = 100% (o todo) – 1%, ou seja 120 – 1,2 = 118,8) • 125% de 120 = 150 (125% = 100% (o todo) + 25% (um quarto), ou seja 120 + 30 = 150) • 151% de 120 = 181,2 (151% = 100% (o todo) + 50% (metade) + 1%, ou seja 120 + 60 + 1,2 = 181,2) Matemática 76 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Em uma sala com 50 alunos, sendo 38 mulheres, qual o percentual de homens? SOLUÇÃO: Lembre-se que porcentagem é fração, mas uma fração cujo denominador é 100. Então, para calcular o percentual que os 12 homens representam diante dos 50 alunos, basta escrever a fração que isso representa, procurando a fração equivalente cujo denominador seja 100. Observe: 02. Em uma viagem de 200km, já foram percorridos 126km, qual o percentual já percorridos? SOLUÇÃO: A fração do que já foi percorrido, em relação ao total da viagem, pode ser escrito da seguinte forma: 03. Se João gastou 18/25do seu salário, qual o percentual que ainda resta? SOLUÇÃO: Quem gasta 18 partes de 25 é por que ainda restam 7 partes de 25, logo essa fração equivale a: Matemática 77 04. Sabendo que 7/20 dos vereadores de um município votaram contra uma determinada obra, qual o percentual que votou a favor? SOLUÇÃO: Se 7 entre 20 vereadores votaram contra é por que os 13 restantes entre 20 votaram a favor, logo: 05. Após uma prova, de cada 8 recursos, 5 foram indeferidos. Qual o percentual de deferidos? SOLUÇÃO: Se foram indeferidos 5 dentre 8 recursos, então foram deferidos 3 dentre 8. Nesse caso, multiplicaremos o numerador e o denominador por 100, para em seguida dividir tudo por 8, pois dessa forma surge o denominador 100. Observe: 06. Em uma festa, o DJ tocou 8 músicas nacionais para cada 11 estrangeiras. Qual o percentual de nacionais nesse repertório? SOLUÇÃO: Matemática 78 07. Dois aumentos sucessivos de 30% e 20% são equivalentes a um único aumento de quanto? SOLUÇÃO: Podemos empregar nessa questão um artifício aritmético que costumo chamar de “truque do 100”. A idéia consiste em escrever o número 100 e seguir os comandos, ou seja, aumentar 30% em cimas dos 100 e em seguida aplicar mais 20% em cima do novo valor, no caso 130. Isso de forma cumulativa, observe: Dessa forma, como iniciamos com 100 e terminamos com 156, percebe-se facilmente que houve aumento de 56 partes pra cada 100 que colocamos no início, ou seja, aumento de 56 por 100, ou ainda aumento de 56%. Um fato interessante é que a ordem dos aumentos não altera o resultado final, observe: Isso ocorre pois quando aumentamos 20% estamos multiplicando por 1,20 e quando aumentamos 30% basta multiplicar por 30%, portanto x.1,20.1,30 = x.1,30.1,20 = x.1,56 = 156%.x (aumento de 56%). 08. Descontos sucessivos de 30% e 20% são equivalentes a um único desconto de quanto? SOLUÇÃO: Da mesma forma que na questão anterior podemos aplicar o “truque dos 100”, veja: Portanto, redução de 44 para cada 100, ou seja, diminuição de 44%. Matemática 79 09. Uma loja, realizando uma promoção, oferece um desconto de 20% nos preços dos seus produtos. Pra voltar aos preços iniciais, os preços promocionais devem sofrer um acréscimo de A%. Determine o valor A. SOLUÇÃO: Observe que para cada 100 aplicado desconta-se 20, mas na voltar ao original deve aumentar 20 em relação a 80, ou seja, 1/4 de 80, ou ainda, aumento de 25%. Observe: Portanto, para retornar aos preços iniciais, os preços promocionais devem sofrer acréscimo de 25%. 10. Após um desconto de 30%, Maria pagou por um sofá o valor de R$350,00. Quanto era o valor original do sofá, sem o desconto de 30%? SOLUÇÃO: Do enunciado, temos: Dessa forma, podemos afirmar que os 350 reais correspondem a 70% do valor original do sofá, ou seja 70%.x = 350 Logo 70/100.x = 350 Portanto Matemática 80 x = 500 Matemática 81 EXERCÍCIOS 01. Na loja de Bosco, os produtos são anunciados por 80% a mais que seu custo. Quando vendidos a vista, ele dá um desconto de 20% sobre o valor marcado na etiqueta. Dessa forma, após o desconto, qual o percentual de lucro que ele obtém sobre o custo? a) 20% b) 24% c) 36% d) 44% e) 60% 02. Um comerciante resolve aumentar em 40% o preço de todos os produtos de sua loja, para em seguida, anunciar uma liquidação com desconto de 40% em todos eles. Podemos afirmar que, após o desconto, o valor do produto: a) aumentou 16% em relação ao valor antes do aumento. b) reduziu 16% em relação ao valor antes do aumento. c) não pode ser definido, pois depende do valor marcado na etiqueta. d) não sofreu alteração em relação ao valor antes do aumento. 03. No semestre passado, sabe-se que 30% dos alunos matriculados no curso de idiomas “Spanglish” estudavam espanhol e os outros 70% estudavam inglês, mas nenhum deles estava matriculado nos dois idiomas. No semestre seguinte, a ANOTAÇÕES: Matemática 82 turma de espanhol teve aumento de 50% no número de matrículas, enquanto que a turma de inglês reduziu em 10% o número de alunos matriculados. Com base nessas informações, podemos afirmar que, em relação ao número de alunos do semestre passado, o total de alunos matriculados no semestre: a) aumentou 8% b) diminuiu 8% c) aumentou 18% d) diminuiu 18% 04. Dona Menina investiu 20% de suas economias comprando Euro e o restante comprando Dólar. Sabendo que o Euro valorizou 10% em 6 meses e o Dólar caiu 20% ao final do mesmo período, determine o que aconteceu com o investimento que ela fez. a) rendeu 10% b) reduziu 10% c) rendeu 14% d) reduziu 14% 05. A massa crua com que é fabricado um certo tipo de pão é composta de 40% de água, 58% de farinha e 2% de sal e fermento. Enquanto é assada, 75% da água contida na massa crua evapora, sendo esta a única substância perdida nesse processo. Nessas condições, calcule a massa crua de pão necessária para obter-se um pão assado de 42g. a) 65g b) 60g c) 55g d) 50g 06. Que número deve ser somado ao numerador e ao denominador da fração 2 3 para que ela tenha um aumento de 20%? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Matemática 83 07. (FUNRIO) A rede “Lojas BBB”, numa promoção relâmpago, estava oferecendo um desconto de 20% em todas as suas mercadorias. Maria se interessou por um sofá e pagou pelo mesmo o valor de R$400,00. O valor original do sofá, sem o desconto de 20%, era de a) R$480,00 b) R$500,00 c) R$520,00 d) R$540,00 e) R$560,00 08. (FUNRIO) Um reservatório para água tem a seguinte propriedade: quando está 40% vazio, o volume da água excede em 40 litros o volume do reservatório quando este está 40% cheio. Dessa forma, podemos concluir que a capacidade do reservatório é a) 240 litros b) 220 litros c) 200 litros d) 180 litros e) 160 litros 09. Uma sala de aula, com 50 alunos, tem 60% de mulheres e o restante de homens. Entram mais N mulheres e o percentual de homens passa a ser de 25%. Determine o valor de N. a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 ANOTAÇÕES: Matemática 84 10. Uma pessoa gasta 15% do seu salário com aluguel. Se o aluguel aumenta 26% e o salário 5%, que percentagem do salário esta pessoa passará a gastar com aluguel? a) 15% b) 16% c) 18% d) 20% 11.Dois aumentos sucessivos de 40% e 10% são equivalentes a um único aumento de: a) 58% b) 54% c) 50% d) 44% 12. Descontos sucessivos de 30% e 10% são equivalentes a um único desconto de: a) 40% b) 37% c) 33% d) 20% 13. Um produto alimentício sofreu dois aumentos mensais seguidos de 20% e 30% e no terceiro mês sofreu uma redução de 50% em seu valor. Podemos então afirmar que, ao final desses 3 meses, o valor do produto, em relação ao valor inicial, sofreu: a) aumento de 10% b) redução de 22% c) redução de 15% d) nem aumento, nem redução 14. Uma loja, realizando uma promoção, oferece um desconto de 50% nos preços dos seus produtos. Pra voltar aos preços iniciais, os preços promocionais devem sofrer um acréscimo de A%. Determine o valor A. a) 25 Matemática 85 b) 50 c) 80 d) 100 15. (CESGRANRIO) Um aparelho de som pode ser comprado em 4 prestações de R$ 150,00 ou à vista com 10% de desconto. Quanto será pago, em reais, se a compra for feita à vista? a) 480,00 b) 500,00 c) 520,00 d) 540,00 e) 560,00 16. Um refrigerador sofre dois aumentos anuais sucessivos: o primeiro de 25% em um ano e outro de 35% no ano seguinte.Se ele custava R$1.200,00, determine quanto passou a custar depois desses aumentos. a) R$ 1.250,00 b) R$ 2.025,00 c) R$ 1.750,00 d) R$ 2.250,00 17. O salário de Rafaela sofreu um aumento de 32% e passou a valer R$ 2.640,00. Quanto era seu salário antes desse aumento? a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.100,00 c) R$ 2.200,00 d) R$ 2.400,00 18.Em uma sala de aula de 80 alunos, o número de mulheres é o triplo do número de homens. A seguir, aponte a única alternativa ERRADA. a) as mulheres representam mais 70% da sala. ANOTAÇÕES: Matemática 86 b) os homens representam 25% do total de alunos. c) o número de mulheres é 200% maior que o número de homens. d) o número de homens é 300% do número de mulheres. 19. João recebeu um aumento salarial de 15% no início do mês de março e, no último dia do mesmo mês, recebeu um outro aumento de 20% sobre seu novo salário. Qual o percentual total de aumento que João recebeu em março? a) 32% b) 35% c) 38 % d) 135% 20. Joãozinho gastou a metade do dinheiro que tinha com um presente que comprou para a sua mãe. Em seguida, gastou 30% do que lhe restou, na compra de um jogo, e ainda ficou com R$ 63,00. Quantos reais tinha Joãozinho antes das compras? a) 120 b) 150 c) 180 d) 200 e) 420 21. Um produto custava, em certa loja, R$ 200,00. Após dois aumentos consecutivos de 10%, foi colocado em promoção com 20% de desconto. Qual o novo preço do produto (em R$)? a) 176,00 b) 192,00 c) 193,60 d) 200,00 22. Sérgio vendeu um relógio por 150% a mais do que lhe custou. Determine o percentual de lucro que ele obteve em relação ao preço de venda. a) 40% b) 50% ANOTAÇÕES: Matemática 87 c) 60% d) 75% 23. Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preço de venda (margem de lucro). Dessa forma, qual seria o percentual de lucro em relação ao preço de custo? a) 50% b) 75% c) 100% d) 150% 24. Um comerciante obtém lucro de 75% sobre o preço de venda. Determine o percentual do lucro calculado sobre o preço de custo. a) 25% b) 100% c) 300% d) 400% 25. O preço de certo produto alimentício dobrou três vezes seguidas, ou seja, durante o período da entressafra, que durou três meses, o produto dobrava de preço em relação ao mês passado. Esses aumentos consecutivos podem ser representados por um único aumento trimestral de: a) 300% b) 500% c) 600% d) 700% e) 800% 26. (CESGRANRIO) Três aumentos mensais sucessivos de 30%, correspondem a um único aumento trimestral de: a) 0,9% b) 90% c) 190% d) 219,7% Matemática 88 e) 119,7% 27. (FUNRIO) Constatou-se num vilarejo que, em determinado ano, 120 pessoas foram vitimadas pela dengue. No ano seguinte, esse número caiu para 90 pessoas. Podemos dizer, então, que houve uma redução no número de vitimados da ordem de a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40 % 28. (FUNRIO) Luís investiu uma determinada quantia comprando ações de uma indústria. No final do primeiro ano ele verificou que as ações tinham valorizado 25%. No final do ano seguinte, ele afirmou: “puxa, eu tenho hoje o dobro do dinheiro que investi”. Dessa forma, a valorização das ações no segundo ano foi de a) 45% b) 50% c) 55% d) 60% e) 65% 29. (FUNRIO) Uma jarra tem 800 ml de refresco, em que 60% dessa quantidade corresponde a água e 40% corresponde ao concentrado de suco de uva. Para que o concentrado corresponda a 25% da mistura final, a quantidade de água que deve ser acrescido ao refresco é de a) 320 ml b) 400 ml c) 480 ml ANOTAÇÕES: Matemática 89 d) 560 ml e) 640 ml Matemática 90 30. (FCC) O preço de um aparelho é P reais. Como eu só possuo X reais, que correspondem a 70% de P, mesmo que me fosse concedido um abatimento de 12% no preço, ainda faltariam R$ 54,00 reais para que eu pudesse comprar esse aparelho. Nessas condições, a quantia que possuo: a) 210,00 b) 230,00 c) 250,00 d) 270,00 GABARITO 01. D 02. B 03. A 04. D 05. B 06. B 07. B 08. C 09. D 10. C 11. B 12. B 13. B 14. D 15. D 16. B 17. A 18. D 19. C 20. C 21. C 22. C 23. C 24. C 25. D 26. E 27. B 28. D 29. C 30. A ANOTAÇÕES: Matemática 91 CAPÍTULO 05 JUROS SIMPLES INTRODUÇÃO A matemática financeira está presente em nosso cotidiano de forma direta ou indireta. Quanto mais dominarmos esse assunto, maiores serão os benefícios que teremos, tanto para ganhar dinheiro como para evitar perde-lo. Como por exemplo, na escolha do melhor financiamento de um bem ou onde fazer aplicações financeiras. O estudo da Matemática Financeira é todo feito em função do crescimento do capital (C) aplicado com o tempo. Definiremos capital como qualquer quantidade de moeda ou dinheiro. O montante (M), ou seja, o valor final do capital aplicado é dado pela soma do capital inicial e uma segunda parcela, que é uma fração do capital inicial, à qual damos o nome de juro. Juro (J) é, portanto, a compensação financeira conseguida por um aplicador durante um certo tempo ou ainda o aluguel pago por uma pessoa que, durante algum tempo, usa o capital de outra. O juro é cobrado em função de um coeficiente, chamado taxa de juro (i), que é dado geralmente em percentagem e sempre se refere a um intervalo de tempo (ano, semestre, mês, etc), tomado como unidade, denominado período financeiro ou, abreviadamente período (t ou n). Existem duas formas de serem calculados os juros a cada período: calculando sobre o capital inicial ou sobre o montante acumulado. Entenda que no primeiro caso esse crescimento se comporta como um progressão aritmética (P.A.) e no segundo caso o montante aumenta segundo uma progressão geometrica (P.G.). De outra forma temos: Matemática 92 • Quando os juros são acrescentados, ao capital inicialmente aplicado, somente após o término da aplicação, podemos dizer que estamos calculando juros simples. • Quando os juros são incorporados ao capital após cada período de tempo, criando assim um novo capital a cada período, dizemos que estamos fazendo uma capitalização ou calculando juros compostos. Observe que na figura a seguir, a pilha de moedas da esquerda cresce linearmente, ou seja, aumenta a mesma quantidade de moedas por vez (juros simples), enquanto que a da direita cresce muito mais rápido, pois seu aumento é exponencial (juros compostos). CAPITAL (C): Aplicação, investimento, saldo MONTANTE (M): Resgate, valor amontoado, inicial, valor inicial, valor atual, valor presente saldo devedor, saldo credor, valor futuro e e principal. capital futuro. TEMPO (t): Prazo, período, número de períodos e unidades de tempo. JUROS (J) : Ganho, rendimento, excedente e compessação financeira . TAXA (i) : Taxa de juros, indice da taxa de juros e percentual de juros . Matemática 93 JUROS SIMPLES Na capitalização simples, o juro produzido em vários períodos financeiros é constante em cada período e proporcional ao capital aplicado, sendo este coeficiente de proporcionalidade chamado de taxa de juros. CONSIDEREMOS A SEGUINTE QUESTÃO: A importância de R$ 600,00 é aplicada numa instituição financeira à taxa de 6% ao mês (a.m.), durante 3 meses. Qual o montante após esse tempo? No problema apresentado anteriormente, temos: • capital aplicado .............. R$ 600,00 • taxa % ao mês .............. 6% = 6/100 = 0,06 • tempo em meses .......... 3 meses Temos que: • Após o 1º período, os juros serão: 0,06 . R$ 600,00 = R$ 36,00 • Após
Compartilhar