ONDAS I

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ONDAS I 
PROF. ALEX SAMYR 
 Como uma onda no mar 
 
Nada do que foi será 
De novo do jeito que já foi um dia 
Tudo passa, tudo sempre passará 
A vida vem em ondas, como um mar 
Num indo e vindo infinito 
 
 
 
Tudo que se vê não é 
Igual ao que a gente viu a um 
segundo 
tudo muda o tempo todo no 
mundo 
 
 
Não adianta fugir 
Nem mentir pra si mesmo agora 
Há tanta vida lá fora 
Aqui dentro sempre 
 
Como uma onda no mar 
 
Como uma onda no mar 
 
Como uma onda no mar 
 
Lulu Santos 
Onde se encontram? 
O que são ondas? 
São perturbações que se propagam transportando 
energia sem transportar matéria. 
Tipos de Ondas 
 Mecânicas: necessitam de um meio material 
Tipos de Ondas 
 Eletromagnéticas: não necessitam de um meio material 
para existir. (v = 299 792 458 m/s = 3,0 . 108 m/s) 
Classificação das Ondas 
 Transversais: a direção da vibração é perpendicular a da 
propagação. 
Classificação das Ondas 
 Longitudinais: a direção da vibração coincide com a da 
propagação. 
Classificação das Ondas 
 Mistas: encontradas nas superfícies de líquidos. 
 Transversais + Longitudinais 
Parâmetros de uma onda 
f = 
1
𝑇
 
Lembrando que: 
Velocidade de propagação da onda 
v λ 
T 
Como: v = 
Δ𝑆
Δ𝑡
 
v = 
λ
𝑇
 f = 
1
𝑇
 
Como: 
v = λ . f 
Obs.: a velocidade de propagação depende apenas do meio. 
Descrição Matemática de um pulso 
Descrição matemática 
Supor: 
 
y = f(x) 
Em x=0  y = f(0) 
y = máximo 
Em x=a terá a mesma 
forma, logo podemos 
escrever: 
y = f(x – a) 
Em x=a  y = f(0) 
y = máximo 
y 
x 
0 x=a 
ymáx 
y 
x 
0 
ymáx 
Descrição matemática 
y 
x 
0 x=v.t 
a = v.t 
v 
Podemos escrever: 
y = f(x – v.t) 
Função que representa um pulso se deslocando para a 
direita com uma velocidade “v”. 
Exemplo 
Analise o comportamento da seguinte função: 
𝑦(𝑥, 𝑡) =
2
𝑥 − 3𝑡 2 + 1
 
Ondas Harmônicas 
Ondas Harmônicas 
Resultam de perturbações periódicas produzidas por um 
movimento harmónico simples. 
Função de onda harmônica 
A 
λ 
v 
Ajustando o argumento: 𝑦 𝑥 = 𝐴. cos(
2π
λ
𝑥) 
Observe: x=0  y(x)=A ; pois cos(0) = 1 
x=λ  y(x)=A ; pois cos(2π) = 1 
A 
λ 
v 
Função de onda harmônica 
Lembrete: 
Uma onda que 
se desloca para 
a direita com 
velocidade “v” 
terá o padrão: 
y(x,t) = f(x–v.t) 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴. cos[
2π
λ
𝑥 − 𝑣. 𝑡 ] Então: 
Função de onda harmônica 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴. cos[
2π
λ
𝑥 − 𝑣. 𝑡 ] 
Recordando... 
𝑣 = 
λ
𝑇
 𝑇 = 
2π
ω
 𝑣 = 
λ. ω
2π
 
Definiremos o número de onda (k) como: 
𝑘 = 
2π
λ
 
Portanto: 𝑣 = 
ω
𝑘
 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴. cos(𝑘𝑥 − ω𝑡) Concluímos que: 
Exemplo 16-2/Pág.122 
Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação: 
 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 0,00327. 𝑠𝑒𝑛 72,1. 𝑥 − 2,72. 𝑡 
 
Onde as constantes numéricas estão em unidades do S.I. 
(0,00327m), (72,1 rad) e (2,72 rad/s) 
a) Qual a amplitude da onda? 
b) Quais são o comprimento da onda, o período e a freqüência? 
c) Qual a velocidade da onda? 
d) Qual o deslocamento y para x=22,5cm e t=1,89s? 
𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟐𝟕. 𝒔𝒆𝒏 𝟕𝟐, 𝟏. 𝒙 − 𝟐, 𝟕𝟐. 𝒕 
Pergunta... 
E se a onda se mover para a esquerda? 
v 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴. cos(𝑘𝑥 + ω𝑡) 
Encontrando a Equação de Onda 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴. cos(𝑘𝑥 − ω𝑡) 
Onda transversal que se 
propaga para a direita 
Velocidade com que um determinado ponto se desloca em “y” 
𝑉𝑦 = 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 Para um 
x=constante 
𝑉𝑦 =
𝜕𝑦
𝜕𝑡
= ω.A.sen(kx - ωt) 
Aceleração Transversal em “y” 
𝑎𝑦 = 
𝑑𝑣𝑦
𝑑𝑡
 Para um 
x=constante 
𝑎𝑦 =
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑡
= -ω².A.cos(kx - ωt) 
Encontrando a Equação de Onda 
Verificando como a posição de um determinado pedaço do 
meio se modifica em relação à direção de propagação. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
Para um 
t=constante 
𝜕𝑦
𝜕𝑥
= −𝑘. 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝑘 − ωt) I) 
𝑑²𝑦
𝑑𝑥²
 
Para um 
t=constante 
𝜕²𝑦
𝜕𝑥²
= −𝑘². 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝑘 − ωt) 
II) 
Analisando as duas derivadas segundas, 
podemos concluir... 
𝜕²𝑦
𝜕𝑡²
= −ω2. 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − ωt) 
𝜕²𝑦
𝜕𝑥²
= −𝑘². 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝑘 − ωt) 
−
1
ω2
𝜕²𝑦
𝜕𝑡²
= 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − ωt) −
1
k2
𝜕²𝑦
𝜕𝑥²
= 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝑘 − ωt) 
−
1
k2
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
= −
1
ω2
𝜕²𝑦
𝜕𝑡²
 
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
=
𝑘²
ω2
𝜕²𝑦
𝜕𝑡²
 EQUAÇÃO DA ONDA 
Mas o que significa isso? 
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
=
𝑘²
ω2
𝜕²𝑦
𝜕𝑡²
 
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
=
1
v2
𝜕²𝑦
𝜕𝑡²
 
EQUAÇÃO DA ONDA 
𝑘²
𝑤²
=
(
2𝜋
λ
)²
(2𝜋.𝑓)²
=
1
(λ.𝑓)²
=
1
𝑣²