prova colegiada CVV

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Questões da prova colegiada – 1° semestre de 2014 
1) Em uma refinaria atua existe um reservatório cuja finalidade é acumular 
determinado material liquido não homogêneo cuja densidade volumétrica de 
massa é progressivamente menor do fundo para cima, sendo dada por 
𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2 − 𝑧. A superfície lateral cônica do reservatório tem equação 
2𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2. Sabe-se que sua tampa está no plano 𝑧 = 1. 
Estando inteiramente cheio, a massa do líquido 𝑚, contida no reservatório pode 
ser calculada, em coordenadas cilíndricas, por meio da integral: 
(A) 𝑚 = ∫ ∫ ∫ (2 − 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃
1
𝑟 2⁄
2
0
2𝜋
0
 
(B) 𝑚 = ∫ ∫ ∫ (2 − 𝑧)𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑟 2⁄
1
2
0
2𝜋
0
 
(C) 𝑚 = ∫ ∫ ∫ 𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃
1
𝑟 2⁄
2
0
2𝜋
0
 
(D) 𝑚 = ∫ ∫ ∫ (2 − 𝑧)𝑟𝑑𝑧𝑑𝑟𝑑𝜃
1
𝑟 2⁄
2
0
2𝜋
0
 
 
2) Um artista plástico está construindo uma escultura que contém um pêndulo 
formado por uma semiesfera com dois metros de diâmetro. Como o material 
utilizado para a fabricação da semiesfera tem densidade variável dada por 
𝛿(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑘𝑔 𝑚3⁄ , ficou em dúvida quanto a posição que o 
cabo de aço deveria ser instalado para manter a semiesfera em equilíbrio. Nesse 
sentido, para definir a posição correta tornou-se preciso conhecer as coordenadas 
horizontais (eixos x e y) do centro de massa deste sólido. 
Recorrendo aos conhecimentos de cálculo, esta profissional, descreveu integrais 
triplas, em coordenadas esféricas, necessárias para este dimensionamento. 
Determinou a massa 𝑚 por meio da integral: 
𝑚 = ∫ ∫ ∫ (𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜑)𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑 =
2𝜋
3
1
0
2𝜋
0
𝜋 2⁄
0
 
 E apontou as integrais: 
�̅� =
3
2𝜋
∫ ∫ ∫ 4𝜌4𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑
1
0
2𝜋
0
𝜋 2⁄
0
 
 
�̅� =
3
2𝜋
∫ ∫ ∫ 4𝜌4𝑠𝑒𝑛2𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜌𝑑𝜃𝑑𝜑
1
0
2𝜋
0
𝜋 2⁄
0
 
 Para o cálculo da coordenada horizontal do centro de massa (�̅�, �̅�). 
 Considerando estes cálculos foram apresentados a um engenheiro para uma 
revisão precisa. Após essa revisão, é possível afirmar que: 
(A) A coordenada �̅� do centro de massa pode ser encontrada por meio dos cálculos 
descritos. 
(B) Há um erro na representação da integral que permite o cálculo da massa 𝑚. 
Logo, não é possível encontrar as coordenadas horizontais do centro de massa, 
com o valor calculado para 𝑚. 
(C) A coordenada �̅� do centro de massa poderá ser encontrada por meio dos cálculos 
descritos. 
(D) A integral que permite o cálculo da massa 𝑚 está correta. Logo, é possível 
encontrar as coordenadas horizontais do centro de massa, com o valor calculado 
para 𝑚. 
 
3) Numa edificação foi construída uma estrutura metálica, semelhante ao sólido 
conhecido como tetraedro. A estrutura pode, então, ser vista como o sólido 
delimitado pelos planos: 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, 𝑥 = 2𝑦 𝑒 𝑧 = 0. 
Escreva uma integral dupla que represente o volume limitado por essa estrutura 
metálica. 
 
4) Silo é uma benfeitoria agrícola destinada ao armazenamento de produtos 
agrícolas, geralmente depositado no seu interior sem estarem ensacados. As 
dimensões e as características técnicas de um silo dependem da finalidade a que 
se destina, propiciando, principalmente, a manutenção da qualidade do produto 
armazenado e a facilidade de enchimento e esvaziamento do silo. Os silos 
destinados ao armazenamento de grãos são conhecidos como silos graneleiros e 
tem por objetivo manter os grãos secos de modo a evitar a sua deterioração. Já 
os silos destinados ao armazenamento da silagem têm como característica 
principal a manutenção do ambiente anaeróbico. Se um silo graneleiro tem como 
paredes laterais o cilindro de equação 𝑥2 + 𝑦2 = 49, o fundo dado pelo plano 
𝑧 = 2 e a superfície superior é o plano 𝑧 = −𝑥 + 7, qual a capacidade máxima 
de estocagem deste silo, estando todas as medidas em metros?