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Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 1 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 1800 kgf/m C D 1200 kgf/m 1800 kgf/m A B C D E F 14400 x 4,0 10,0 5400 x (2,0 + 10,0) 10,0 V = 4680 kgfA V = 15120 kgfB 5760 kgf= 6480 kgf= 14400 x 6,0 10,0 8640 kgf= 10800 x 3,0 6,0 5400 kgf= 6,0 x 1800 = 10800 kgf resultante 10800 x 3,0 6,0 5400 kgf= 3,0 m 12,0 x 1200 = 14400 kgf resultante Primeiro calcula-se esta viga CD, pois ela está apoiada nas outras duas vigas ABC e DEF. 12,0 x 1800 = 21600 kgf resultante 5400 x 2,0 10,0 1080 kgf= 6,0 m 4,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m 6,0 m 6,0 m 2,0 m 10,0 m V = 19440 kgfE V = 7560 kgfF 21600 x 6,0 10,0 5400 x 2,0 10,0 12960 kgf= 1080 kgf= 21600 x 4,0 10,0 8640 kgf= 5400 x (2,0 + 10,0) 10,0 6480 kgf= 1200 kgf/m 1800 kgf/m1800 kgf/m A B C D E F 3,0 m Como um dos apoios da viga CD é o ponto C da viga ABC, aplica-se esta reação como carga concentrada nesse ponto C da viga ABC x1 x2 x3 x4 5400 kgf 5400 kgf Como um dos apoios da viga CD é o ponto D da viga DEF, aplica-se esta reação como carga concentrada nesse ponto D da viga DEF 10 m 2,0 m 1. Exercício 01 – Vigas Gerber 1.1 Reações de apoio Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 2 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 1.2 Diagrama de Esforço cortante - DEC Legenda: ��,� → ��� � � �� ��í��� �� ���ℎ� � ��,� → ��� � � �� ��� �� ���ℎ� � Convenção: ���� �� ��� ��� ℎ��á���, ��� � � ���� ���. ���� �� ��� ��� � � − ℎ��á���, ��� � � ��� ���. 1.2.1 Trecho 1 ��,� = ! = 4680 &�� (Positivo, pois gira no sentido horário para “dentro da viga”) ��,� = ��,� − '��() *+,-./ � = 4680 − 01200 ∙ 104 = − 7320 &�� 1.2.2 Trecho 2 ��,7 = ��,� + 9 = − 7320 + 15120 = 7800 &�� ��,7 = ��,7 − '��() *+,-./ 7 = 7800 − 01200 ∙ 24 = 5400 &�� Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 3 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 1.2.3 Trecho 3 ��,; = ��,7 = 5400 &�� ��,; = ��,; − '��() *+,-./ ; = 5400 − 01800 ∙ 84 = − 9000 &�� 1.2.4 Trecho 4 ��,= = ��,; + > = − 9000 + 19440 = 10440 &�� ��,= = ��,= − '��() *+,-./ = = 10440 − 01800 ∙ 104 = − 7560 &�� 1.2.5 Posição onde o cortante é nulo (?@) O gráfico de esforço cortante tem o valor nulo (zero) exatamente onde ele corta o eixo da viga, e isso ocorre nos trechos 1, 3 e 4 porque todos esses três trechos tem um cortante inicial positivo e um cortante final negativo, ou seja, isso indica que o gráfico corta o eixo da viga passando pela posição onde ele é zero, pois para sair de um número positivo e chegar em um negativo, obrigatoriamente temos que passar pelo zero. Em resumo, quando o cortante inicial de um trecho for positivo e o final negativo, quer dizer, que é nesse trecho que o gráfico do cortante passa pela posição onde é zero. E é a equação desse trecho que devemos utilizar para encontrar o valor de AB. Geralmente o cortante se anula em trechos entre dois apoios, veja que no primeiro trecho onde ele se anula, está entre os apoios A e B, no segundo trecho, está entre os apoios B e E, e no terceiro trecho está entre os apoios E e F. Sabendo disso, basta utilizarmos a equação de cortante dos trechos 1, 3 e 4 e igualarmos a zero cada uma delas, com isso encontraremos a posição onde ele é nulo a partir do início de cada um desses trechos. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 4 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 A equação do trecho 1 é: ��0A�4 = ��,� − � ����C�DEF�G ��0A�4 = 4680 − 1200A� 0 = 4680 − 1200AB,� 1200AB,� = 4680 AB,� = 46801200 ?@,H = I, J@ K (a partir do início do trecho 1, ou seja, a partir do apoio em A) A equação do trecho 3 é: �;0A;4 = ��,; − � ����C�DEF�G �;0A;4 = 5400 − 1800A; 0 = 5400 − 1800AB,; 1800AB,; = 5400 AB,; = 54001800 ?@,I = I, @@ K (a partir do início do trecho 3, ou seja, a partir da rótula em C. Lembrar que rótula não separa trecho, a separação neste caso, foi devido a diferença de cargas distribuídas) Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 5 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 A equação do trecho 4 é: �=0A=4 = ��,= − � ����C�DEF�G �=0A=4 = 10440 − 1800A= 0 = 10440 − 1800AB,= 1800AB,= = 10440 AB,= = 104401800 ?@,L = M, N@ K (a partir do início do trecho 4, ou seja, a partir do apoio em E) Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 6 Prof. Winston Zumaeta14/10/2012 x1 x2 x3 x4 A B C D E F DEC [kgf] 4680 = 2,34 cm 7800 = 3,90 cm 7320 = 3,66 cm 10440 = 5,22 cm 9000 = 4,50 cm 7560 = 3,78 cm 5400 = 2,70 cm 5400 = 2,70 cm x = 3,90 m x = 3,00 m x = 5,80 m0,1 0,3 0,4 Escala horizontal (eixo da viga): 1 cm = 1,0 m (Dica: Com esta escala escolhida, todo comprimento de viga deverá ser divido por 1,0 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") Escala vertical (esforço cortante): 1 cm = 2000 kgf (Dica: Com esta escala escolhida, todo esforço cortante deverá ser dividido por 2000 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") 1.2.6 Traçado do diagrama de esforço cortante - DEC Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 7 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 1.3 Diagrama de Momento fletor - DMF Legenda: O�,� → O���� � �� ��í��� �� ���ℎ� � O�,� → O���� � �� ��� �� ���ℎ� � → Reação de apoio → Resultante de um carregamento distribuído → Força concentrada → Distância, lembrar que momento é o produto de uma força pela distância. → Momento Convenção, percorrendo a viga da esquerda para a direita: ���� �� ��� ��� ℎ��á���,����� � ���� ���. ���� �� ��� ��� � � − ℎ��á���,����� � ��� ���. 1.3.1 Trecho 1 1.3.1.1 Momento no início do trecho 1 O�,� = 0 (pois não existe engaste e nem momento aplicado) Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 8 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 1.3.1.2 Momento no fim do trecho 1 O�,� = ! ∙ 10 − 1200 ∙ 10 ∙ 102 O�,� = 4680 ∙ 10 − 12000 ∙ 5 O�,� = −13200 �. &�� 1.3.2 Trecho 2 1.3.2.1 Momento no início do trecho 2 O�,7 = O�,� (pois não existe momento aplicado) O�,7 = −13200 �. &�� 1.3.2.2 Momento no fim do trecho 2 O�,7 = ! ∙ 010 + 24 − 01200 ∙ 124 ∙ 122 + 9 ∙ 2 O�,7 = 4680 ∙ 12 − 14400 ∙ 6 + 15120 ∙ 2 O�,7 = 56160 − 86400 + 30240 O�,7 = 0 (deveria ser zero mesmo, pois é uma rótula, e nela sempre o momento é zero) Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 9 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 1.3.3 Trecho 3 1.3.3.1 Momento no início do trecho 3 O�,; = O�,7 (pois não existe momento aplicado) O�,; = 0 1.3.3.2 Momento no fim do trecho 3 O�,; = ! ∙ 010 + 2 + 6 + 24 − 1200 ∙ 010 + 24 ∙ P010 + 242 + 6 + 2Q + 9 ∙ 02 + 6 + 24 − 1800 ∙ 06 + 24 ∙ 06 + 24 2 O�,; = 4680 ∙ 20 − 14400 ∙ 14 + 15120 ∙ 10 − 14400 ∙ 4 O�,; = −14400 �. &�� 1.3.4 Trecho 4 1.3.4.1 Momento no início do trecho 4 O�,= = O�,; (pois não existe momento aplicado) O�,= = −14400 �. &�� Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 10 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 1.3.4.2 Momento no fim do trecho 4 O�,= = ! ∙ 010 + 2 + 6 + 2 + 104 − 1200 ∙ 010 + 24 ∙ P010 + 242 + 6 + 2 + 10Q + 9 ∙ 02 + 6 + 2 + 104 − 1800 ∙ 06 + 2 + 104 ∙ 06 + 2 + 104 2 + > ∙ 10 O�,= = 4680 ∙ 30 − 14400 ∙ 24 + 15120 ∙ 20 − 32400 ∙ 9 + 19440 ∙ 10 O�,= = 0 (deveria ser zero mesmo, pois no fim do trecho 4 não existe momento aplicado e é um apoio do 1º gênero) 1.3.5 Cálculo dos momentos máximos 1.3.5.1 Trecho 1 Da esquerda pra direita, + ↻ : OSáT,� = ! ∙ 3,9 − 1200 ∙ 3,9 ∙ 3,92 OSáT,� = 4680 ∙ 3,9 − 4680 ∙ 1,95 UKá?,H = JHVW K.XYZ Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 11 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 Da direita pra esquerda, + ↺ : Sabemos que AB,� = 3,90 a partir de A, como a análise será da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distância do cortante nulo para o apoio B, essa distância é 10,0 − 3,90 = 6,10 �. Dessa maneira, tem-se: OSáT,� = \ ∙ 010 + 2 + 6 + 2 + 6,14 − 1800 ∙ 010 + 2 + 64 ∙ P010 + 2 + 642 + 2 + 6,1Q + > ∙ 02 + 6 + 2 + 6,14 − 1200 ∙ 02 + 6,14 ∙ 02 + 6,14 2 + 9 ∙ 6,1 OSáT,� = 7560 ∙ 26,1 − 32400 ∙ 17,1 + 19440 ∙ 16,1 − 9720 ∙ 4,05 + 15120 ∙ 6,1 OSáT,� = 197316 − 554040 + 312984 − 39366 + 92232 UKá?,H = JHVW K.XYZ 1.3.5.2 Trecho 3 Da esquerda pra direita, + ↻ : OSáT,; = ! ∙ 010 + 2 + 34 − 1200 ∙ 010 + 24 ∙ P010 + 242 + 3Q + 9 ∙ 02 + 34 − 1800 ∙ 3 ∙ 3 2 OSáT,; = 4680 ∙ 15 − 14400 ∙ 9 + 15120 ∙ 5 − 5400 ∙ 1,5 UKá?,I = NH@@ K.XYZ Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 12 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012Da direita pra esquerda, + ↺ : Sabemos que AB,; = 3,0 a partir de C, como a análise será da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distância do cortante nulo para a rótula D, essa distância é 6,0 − 3,0 = 3,0 �. Dessa maneira, tem-se: OSáT,; = \ ∙ 010 + 2 + 34 − 1800 ∙ 010 + 2 + 34 ∙ P010 + 2 + 342 Q + > ∙ 02 + 34 OSáT,; = 7560 ∙ 15 − 27000 ∙ 7,5 + 19440 ∙ 5 OSáT,; = 113400 − 202500 + 97200 UKá?,I = NH@@ K.XYZ 1.3.5.3 Trecho 4 Da esquerda pra direita, + ↻ : OSáT,= = ! ∙ 010 + 2 + 6 + 2 + 5,84 − 1200 ∙ 010 + 24 ∙ P010 + 242 + 6 + 2 + 5,8Q + 9 ∙ 02 + 6 + 2 + 5,84 − 1800 ∙ 06 + 2 + 5,84 ∙ 06 + 2 + 5,84 2 + > ∙ 5,8 OSáT,= = 4680 ∙ 25,8 − 14400 ∙ 19,8 + 15120 ∙ 15,8 − 24840 ∙ 6,9 + 19440 ∙ 5,8 OSáT,= = 120744 − 285120 + 238896 − 171396 + 112752 UKá?,L = HMN]W K.XYZ Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 13 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 Da direita pra esquerda, + ↺ : Sabemos que AB,= = 5,8 a partir de E, como a análise será da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distância do cortante nulo para o apoio F, essa distância é 10,0 − 5,8 = 4,2 �. Dessa maneira, tem-se: OSáT,= = \ ∙ 4,2 − 1800 ∙ 4,2 ∙ 4,22 OSáT,= = 7560 ∙ 4,2 − 7560 ∙ 2,1 OSáT,= = 31752 − 15876 UKá?,L = HMN]W K.XYZ Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 14 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 Escala horizontal (eixo da viga): 1 cm = 1,0 m (Dica: Com esta escala escolhida, todo comprimento de viga deverá ser divido por 1,0 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") Escala vertical (momento fletor): 1 cm = 3000 m.kgf (Dica: Com esta escala escolhida, todo momento fletor deverá ser dividido por 3000 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") DMF [m.kgf] x1 x2 x3 x4 A B C D E F 13200 = 4,40 cm 9126 = 3,04 cm 15876 = 5,29 cm 14400 = 4,80 cm x = 3,90 m x = 3,00 m x = 5,80 m 0,1 0,3 0,4 8100 = 2,70 cm q.L 2 8 = 1200 x 10,0 2 8 = 15000 m.kgf = 5,0 cm q.L 2 8 = 1800 x 8,0 2 8 = 14400 m.kgf = 4,80 cm M m á x M m á x M m á x q.L 2 8 = 1800 x 10,0 2 8 = 22500 m.kgf = 7,50 cm Mmáx Mmáx Mmáx Parábola trecho 1 Parábola trecho 3 q.L 2 8 = 1200 x 2,0 2 8 = 600 m.kgf = 0,20 cm Parábola trecho 2 Parábola trecho 4 Parábola do 2º Grau Parábola do 2º Grau Parábola do 2º Grau Parábola do 2º Grau 1.3.6 Traçado do diagrama de momento fletor - DMF
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