Apostila de Linhas de Influência com PTV

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FACENS 
FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA 
 
 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
LINHAS DE INFLUÊNCIA DOS SISTEMAS 
PLANOS ISOSTÁTICOS 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. JOSÉ LUIZ F. de ARRUDA SERRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
 
 
 01. Introdução ...................................................................................................... 01 
 02. Linhas de influência ....................................................................................... 02 
 03. Método cinemático para determinação de L.I. .............................................. 03 
 04. Leis de deslocamento das cadeias cinemáticas .............................................. 08 
 05. L.I. de Vigas Gerber ...................................................................................... 12 
 06. Utilidade das L.I. ........................................................................................... 13 
 07. L.I. de pórticos tri-articulados ....................................................................... 19 
 08. L.I. no caso de carregamento indireto ........................................................... 27 
 09. L.I. de treliças isostáticas ............................................................................... 29 
 9.1. Treliças de banzos paralelos ................................................................. 29 
 9.2. Exemplo número 1 ............................................................................... 31 
 9.3. Exemplo número 2 ............................................................................... 35 
 
 
 
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LINHAS DE INFLUÊNCIA 
DOS SISTEMAS PLANOS ISOSTÁTICOS 
 
01. INTRODUÇÃO: Diagramas de estado, diagramas de extremo. 
 As estruturas em sua maioria são formadas de barras, as quais devem ser dimensio-
nadas de acordo com os esforços solicitantes produzidos pelo carregamento. O dimensiona-
mento deve ser tal que a estrutura permaneça em equilíbrio estável, com segurança. 
 A verificação desta segurança contra ruptura ou deformações exageradas é feita com 
o auxílio dos diagramas dos esforços solicitantes, por exemplo esforço normal (N), esforço 
cortante (V) e momento fletor (M). 
 Quando o diagrama do esforço solicitante corresponde a uma certa posição dada do 
carregamento, recebe o nome de diagrama de estado. 
 Caso em cada barra da estrutura o esforço solicitante é constante, como ocorre com 
as forças normais nas barras de uma treliça, pode-se representar o “diagrama de estado” atra-
vés de uma tabela dos valores assumidos pelo esforço solicitante. 
 Existem na prática estruturas submetidas a um carregamento em uma determinada 
posição que permanece sempre. Este tipo de carregamento chama-se carga permanente ou 
carga morta, como por exemplo o peso próprio, o empuxo da terra em um muro de arrimo, 
etc. 
 Na maioria das estruturas, porém, além desta carga permanente temos uma carga 
acidental, que pode agir em várias posições. Como esta carga é acidental, para o dimensio-
namento da peça há necessidade de se determinar a combinação mais desfavorável do carre-
gamento total. Essa combinação nem sempre é simples. Quando a carga acidental contribui 
para aumentar o esforço solicitante devido a carga permanente este incremento deve ser con-
siderado. Entretanto, a carga acidental pode aliviar o esforço devido a carga permanente em 
uma certa seção, não devendo nesse caso ser considerada no dimensionamento desta seção. 
 Um caso bastante simples é o de treliças usadas para telhado. A carga permanente é o 
peso próprio e a única carga acidental é o vento. Neste caso, determina-se a maior intensidade 
do vento, estabelecido por experiência e fixado nas normas e aplica-se segundo alguns coefi-
cientes a máxima pressão do vento, nas direções transversal e longitudinal do edifício. Assim 
é suficiente combinar alguns valores determinados separadamente (cada carregamento atuan-
do isoladamente) na tabela das forças, para a determinação da força máxima e mínima em ca-
da barra. 
 No caso mais geral, de barras solicitadas por M, N e Q, traça-se o diagrama de ex-
tremos, que é a envoltória dos diagramas de estado para toda combinação possível das car-
gas. Este diagrama de extremos indica a solicitação máxima em qualquer seção. 
 Por exemplo, a figura 1.1 mostra o diagrama de extremos do momento fletor M de 
uma viga com balanço, carregada com carga permanente g (gravidade) e carga acidental p , 
ambas uniformemente distribuídas. 
 A carga g existe sempre e a carga p pode não ocorrer, ocorrer em toda extensão da 
viga ou parcialmente no trecho entre os apoios ou no balanço. Desta forma temos 4 combina-
ções do carregamento e podemos determinar o diagrama de extremos. Neste exemplo para o 
 
 2 
traçado da envoltória intervieram apenas os carregamentos 2 e 3 caindo os outros na região já 
limitada pelos dois citados. 
 
 
Figura 1.1 – Diagrama de extremos 
 
 No caso de haver cargas acidentais concentradas, que inclusive podem ser móveis, 
como ocorrem por exemplo em pontes rodoviárias e ferroviárias, há necessidade de se estabe-
lecer uma sistemática mais eficaz para a determinação dos valores extremos. Estes fatores le-
varam ao estudo das linhas de influência. 
 
 3 
02. LINHAS DE INFLUÊNCIA 
 Definição: Linha de influência é a curva de variação de uma reação de apoio ou de 
um esforço solicitante em uma determinada seção, quando uma carga concentrada unitária se 
desloca ao longo da estrutura. 
 A linha de influência (L.I.) é um diagrama traçado para um esforço em uma determi-
nada seção, e a carga unitária pode tomar qualquer posição na estrutura. 
 Por exemplo, vamos determinar a L.I. da reação no apoio A (RA) da viga simples-
mente apoiada mostrada na figura 2.1. 
 Como pode ser observado, enquanto nos diagramas de estado coloca-se o valor do 
esforço como ordenada na seção considerada, nos diagramas de influência, as ordenadas são 
colocadas no ponto de aplicação da carga unitária. 
 
 
Figura 2.1 – L.I. de reação em viga simples 
 
03. MÉTODO CINEMÁTICO PARA A DETERMINAÇÃO DE L. I. 
 As linhas de influência podem ser determinadas com o auxílio do Princípio dos Tra-
balhos Virtuais aplicado aos corpos rígidos. Como já foi visto, o P. T. V. é bastante eficiente 
no caso de se procurar apenas um esforço em uma estrutura isostática, pois a sua aplicação 
constitui caminho direto e seletivo, estabelecendo apenas uma equação onde a única incógnita 
é o esforço procurado. 
 Vamos por exemplo calcular o valor da reação RA da viga simples mostrada na figura 
3.1. Para a aplicação do P. T. V., retira-se o vínculo que transmite a incógnita - no caso cor-
 
 4 
respondente ao esforço vertical em A - substituindo-o por sua ação RA sobre a estrutura, de 
modo a não se alterar o equilíbrio do sistema. Com a retirada de um, e apenas um vínculo, a 
estrutura isostática transforma-se em uma cadeia cinemática ou mecanismo, com um grau de 
liberdade de movimento. 
 Imaginemos agora a viga executar um movimento virtual onde apenas a reação RA e 
a carga aplicada P = 1 trabalhem. Para este movimento virtual escolhe-se sempre um deslo-
camento unitário do ponto de aplicação do valor procurado (RA no exemplo) e um sentido 
para o deslocamento de tal forma que o trabalho realizado pela incógnita seja negativo, ou 
seja, aplica-se um deslocamento unitário contrário à incógnita. No caso em foco o movimen-
to possível da viga (sem o apoio A) é um giro em relação ao apoio B, conforme indica a figu-
ra 3.1. 
 Pelo P. V. T. O trabalho total executado pelas forças RA e P = 1 durante este deslo-
camento deve ser nulo, ou seja: 
 0 1 1externo AT R v zeroS = Æ -­‐ ◊ + ◊ = 
 portanto, AR v= 
 
 
Figura 3.1 – L.I. determinada por processo cinemático 
 
 
 Isto é, a ordenada v do ponto de aplicação da força unitáriaé sempre igual ao esforço 
procurado. Assim, pode-se dizer que as ordenadas do diagrama contido entre a posição inicial 
e a posição deslocada do eixo da estrutura é igual aos valores das ordenadas da linha de in-
fluência do esforço considerado, ou seja, a forma deslocada é igual ao diagrama de L.I. 
 Obviamente, para não modificar a posição relativa das cargas, temos que nos limitar 
aos deslocamentos infinitesimais. Entretanto, para tornar acessível o processo aos estudos grá-
ficos, imaginemos o desenho concebido como um deslocamento unitário microscópico ampli-
ado, mas só na direção das ordenadas, ficando as abcissas na escala do desenho. 
 
 5 
 Esta ampliação unilateral exige certo cuidado a respeito dos ângulos. Nos desloca-
mentos não infinitesimais, a tangente de um ângulo com a horizontal aumenta na mesma rela-
ção que o aumento das ordenadas, enquanto que o ângulo e a tangente não tem o mesmo va-
lor, porém, no desenho microscópico, ângulo e tangente tem o mesmo valor. Para simplificar 
a expressão falaremos simplesmente "ângulo" mas sempre no sentido de tangente. Por exem-
plo o "ângulo" que forma a L. I. de RA com a horizontal é 1/l na figura 3.1. 
O fato de na prática o carregamento móvel que solicita uma estrutura ser sempre vertical e 
dirigido para baixo (gravidade) e o deslocamento dado para a aplicação do P. T. V. ser sempre 
contrário a incógnita leva a igualdade o trabalho realizado por estes dois esforços. Neste caso, 
o trabalho realizado pela carga unitária será positivo se a forma deslocada da estrutura for pa-
ra baixo, ou seja, nos casos usuais, as ordenadas da L. I. serão positivas quando para baixo. 
 As dimensões das Linhas de Influência tem que levar em consideração a unidade da 
carga aplicada. Assim, para reações de apoio, forças normais e forças cortantes, a L. I. é ad-
mensional e para momentos fletores a L.I. tem dimensão de comprimento. 
 Para sistematizar a determinação de L. I de estruturas isostáticas, podemos seguir 
sempre o roteiro: 
1o. passo: retira-se o vínculo que transmite o esforço correspondente a L.I. que se quer de-
terminar (incógnita), substituindo-o pelo esforço considerado positivo (nas convenções adota-
das). 
2o. passo: aplica-se um deslocamento virtual unitário, contrário ao sentido da incógnita su-
posta positiva, compatível com as ligações do sistema. Neste deslocamento apenas a incógnita 
e a carga móvel P = 1 trabalham. 
3o. passo: o diagrama contido entre a posição inicial e a posição deslocada é o diagrama de 
influência procurado. As ordenadas da L. I. são positivas quando estão no sentido da carga 
móvel (para baixo nos casos usuais). 
 Como há necessidade de se substituir vínculos por esforços positivos, convém recor-
dar as convenções para os esforços solicitantes e reação que atuam em uma viga horizontal. 
• M > 0 traciona as fichas inferiores 
• Q > 0 percorre a seção no sentido horário 
• N > 0 de tração 
• Reação > 0 dirigida de baixo para cima no caso de vigas horizontais 
 Esta sistemática para determinação de L. I. vale também para estruturas hiperestáti-
cas. Entretanto, neste caso, com a retirada de um vínculo a estrutura ou continua hiperestática 
ou na melhor hipótese se torna isostática, não se transformando em nenhuma hipótese em uma 
cadeia cinemática. Assim, quando se aplicar o deslocamento unitário contrário à incógnita, a 
forma deformada não será formada de trechos retos (poligonal) e sim por uma elástica cujas 
ordenadas podem apresentar razoável dificuldade para serem determinadas. 
 Para as estruturas isostáticas, a forma deslocada é em geral simples, formando sem-
pre uma poligonal. Como temos que provocar um deslocamento de tal forma que a incógnita 
tenha um deslocamento unitário, não trabalhando os outros esforços internos, a figura 3.2 ilus-
tra os dispositivos construtivos (imaginários) que permitem os deslocamentos relativos cor-
respondentes à força cortante, força normal e momento fletor, além da continuidade da estru-
tura - ou uma ligação rígida tipo engastamento perfeito - que transmite M, N e Q e que pode 
ser imaginada como 3 barras. 
 
 6 
 Como exemplo vamos determinar as L. I das reações em A e B (RA e RB) e do mo-
mento fletor e força cortante na seção S (MS e QS) da viga da figura 3.3. 
 Em todas as L. I. O procedimento é sempre retirar apenas o vínculo que transmite a 
incógnita, dando um deslocamento unitário contrário à incógnita considerada positiva. Este 
valor unitário é o único dado numérico, a partir do qual - geralmente por considerações de 
semelhança - é possível determinar o valor de qualquer ordenada da L.I.. 
 No caso da L. I. de MS, temos que introduzir na seção S uma articulação e o deslo-
camento unitário correspondente é um giro da seção contrário ao momento suposto positivo. 
Neste caso, o valor 1 do ângulo (na realidade trata-se da tangente) tem por conseqüência as 
ordenadas verticais a e b sobre os apoios A e B respectivamente, pois as distâncias do vértice 
do ângulo unitário até os apoios devem ser iguais as respectivas ordenadas. 
 
 
Figura 3.2 – Dispositivos e deslocamentos correspondentes 
 
 
 7 
 No caso da L. I. de QS o dispositivo imaginário está desenhado ao lado da L.I. res-
pectiva. Para que apenas o esforço cortante Q "trabalhe", não pode haver giro entre as seções - 
para que o momento fletor não realize trabalho - nem deslocamento na direção do esforço 
normal N. Assim, mantém-se o paralelismo entre os trechos AS e SB, e o deslocamento rela-
tivo contrário ao esforço cortante Q dever ser unitário. Este paralelismo faz com que o valor 
da "ordenada" sobre os apoios também seja unitário. A partir deste valor, todas as ordenadas 
podem ser determinadas. 
 Uma observação interessante, pois permite conferir os resultados, é o fato de valer a 
relação L. I. de RA + L. I. de RB = 1 em toda extensão da viga. Este fato é conseqüência do 
equilíbrio das forças verticais, RA + RB = 1, independente da posição da carga unitária. 
 
 
Figura 3.3 – L.I. em viga simples 
 
 8 
04. LEIS DE DESLOCAMENTO DAS CADEIAS CINEMÁTICAS 
 Entende-se por cadeia cinemática um sistema móvel, com um ou mais graus de li-
berdade. Uma cadeia cinemática é formada de chapas ligadas entre si por articulações ou bar-
ras simples, como por exemplo os sistemas móveis mostrados na figura 4.1. 
 O sistema do 2o exemplo tem dois graus de liberdade, pois pode ocorrer um movi-
mento "vertical" na viga BCD independente do movimento de "balanço" das colunas. 
 
 
Figura 4.1 – Sistemas móveis 
 
 No caso das L. I. de estruturas isostáticas, interessa apenas as cadeias cinemáticas 
com um grau de liberdade obtida pela retirada de apenas um vínculo da estrutura isostática. 
 Em uma cadeia cinemática com um grau de liberdade, o movimento de qualquer 
ponto é imposto pelas vinculações e conhecendo-se o seu valor, a configuração de toda a ca-
deia pode ser determinada. Todo o nosso estudo será restrito aos deslocamentos infinitesi-
mais, onde a modificação das posições é muito pequena. 
 Seja a cadeia cinemática abaixo, composta pelas chapas (1) e (2), conforme ilustra a 
figura 4.2. 
 
 
Figura 4.2 – Cadeia cinemática com duas chapas 
 
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 Toda articulação entre as chapas (1) e (2) é POLO RELATIVO e indicado por (I, 
II). O apoio fixo da chapa (1) é POLO ABSOLUTO e indicado (I), porque o único movi-
mento possível da chapa (1) é em torno deste polo. 
 Para distinguir o deslocamento geral do deslocamento infinitesimal, que segue leis 
mais simples, fala-se de polo instantâneo do deslocamento. Trataremos sempre de desloca-
mentos infinitesimais, mas usaremos apenas a palavra polo, subtendendo instantâneo. 
 A seqüência lógica da noção dos pólos absolutos e relativos pode ser resumido nas 
nove leis seguintes, ilustradas na figura 4.3: 
 
1a lei: o vetor v do deslocamento de umponto P é normal ao raio vetor r traçado do polo ab-
soluto ao ponto P. Em um giro de ângulo ω , o valor de v é ωr. 
2a lei: conhecendo a direção do vetor v de deslocamento de um ponto em uma chapa, a nor-
mal de v pelo ponto é lugar geométrico (L.G.) do polo absoluto da chapa. 
3a lei: o polo relativo de duas chapas e os seus pólos absolutos estão situados em uma mesma 
reta. 
4a lei: conhecendo a direção dos deslocamentos de dois pontos de uma chapa, a interseção 
das normas é o polo absoluto da chapa. Assim, uma chapa apoiada por duas barras 
vinculares, tem polo absoluto na interseção dessas barras. 
5a lei: duas chapas ligadas por duas barras tem polo relativo na interseção dessas barras. 
6a lei: quando, numa fila de chapas com todos os pólos relativos contidos em uma reta, um 
dos pólos absolutos estiver nesta mesma reta, todos os pólos absolutos também estão. 
7a lei: a) a componente vertical de um deslocamento v = a⋅ω é igual a x⋅ω , onde a é a dis-
tância do ponto ao polo absoluto e x a projeção vertical de a. 
 b) analogamente a componente horizontal do deslocamento vale y⋅ω onde y é a pro-
jeção vertical de a. 
8a lei: se em um giro ω de uma chapa, a distância OA entre um ponto A da chapa e um ponto 
fixo O variar de ΔAO, teremos ΔOA = ω⋅r, onde r é a distância ao polo absoluto da 
reta OA. 
De um deslocamento unitário ΔOA = 1, resulta 1
r
w= . 
9a lei: quando a distância entre dois pontos A e B de duas chapas (1) e (2) aumenta com a 
unidade, resulta um giro relativo das chapas 12
12
1
r
w = , sendo r a distância do polo re-
lativo (I,II) até a reta AB. 
 
 
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Figura 4.3 - Leis de deslocamento das cadeias cinemáticas
 
 
 11 
05. L. I. DE VIGAS GERBER 
 Viga Gerber é uma viga sobre mais de dois apoios, sendo um apoio fixo ou engasta-
mento e todos os outros móveis, isostática pela existência de articulações. 
 Como exemplo vamos determinar as L. I. das reações em A e B (RA e RB), força cor-
tante à esquerda e à direita do apoio B (Qbesq e Qbdir); força cortante em α (Qα); momento fle-
tor em B (MB); momento fletor e força cortante na seção S (MS e QS) da viga Gerber da figura 
5.1. 
 Para obtenção da linha de influência de RA, retira-se o vínculo que transmite RA, 
substituindo-o pela reação considerada positiva (para cima), obtendo-se uma cadeia cinemáti-
ca. A chapa ABα tem polo absoluto em B e a chapa αβ em β, ficando a chapa restante βCD 
fixa. A articulação α é polo relativo entre as chapas ABα e αβ. Pelo deslocamento unitário 
contrário a RA obtêm-se a forma indicada da linha de influência. 
Convém observar que os pólos absolutos (B e β) obviamente se mantêm fixos nos 
"deslocamentos virtuais infinitesimais" e o polo relativo (α) não permite que as duas chapas 
separem, ou seja, polo relativo é ponto comum entre as chapas (ou seus prolongamentos). 
Sempre que uma chapa estiver vinculada à terra por 3 barras não concorrentes, como o caso 
da chapa βCD, ela é fixa. 
 No caso da cortante à esquerda do apoio B, o vínculo retirado na seção à esquerda de 
B relativo à cortante, estabelece as chapas ABesq, Bα, αβ e βCD, conforme ilustra a figura 
5.2. 
 
 
Figura 5.2 – Cadeia cinemática para L.I. de QBesq. 
 
 Os pólos absolutos são os pontos A, B e β, ficando a chapa βCD fixa. O polo relativo 
entre as chapas ABesq e Bα está no infinito (5a lei), e então o único movimento possível entre 
as chapas é tal que uma translada em relação à outra, não havendo giro relativo entre elas (in-
clusive porque o trabalho realizado pelo momento deve ser nulo), isto é, há necessidade de se 
manter o paralelismo entre as chapas (adjacentes) sempre que se estiver determinando a L.I. 
de força cortante (ou normal) em seção contínua de uma estrutura. Como o ponto B não pode 
se mover na vertical, devido o apoio, a seção B à esquerda se desloca contrário à sua cortante, 
isto é, sobe até o valor unitário do deslocamento relativo. A chapa Bα tendo que se manter 
paralela à chapa ABesq, provoca a forma indicada na linha de influência respectiva. 
 Convém seguir o raciocínio respectivo para o caso das L I. de cortantes, exceto na L. 
I. de Qα. Neste caso, por se tratar de articulação, já possui normalmente apenas 2 vínculos. 
Quando se retirar o vínculo que transmite a cortante, sobrará apenas uma barra vincular, não 
precisando portanto manter o paralelismo entre as duas chapas adjacentes, inclusive porque 
sendo nulo o momento em articulação, não há risco de haver trabalho do momento qualquer 
que seja o giro relativo entre as chapas. 
 
 12 
Figura 5.1 - Linhas de Influência em uma Viga Gerber
 
 
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 Como nas vizinhanças do apoio B a soma das forças deve ser nula (assim como em 
qualquer outro ponto), podemos conferir as L. I de RB , Qesq e Qdir, calculando o equilíbrio das 
forças verticais conforme mostra a figura 5.3. 
 No caso dos momentos fletores, introduz-se na seção considerada uma articulação. O 
deslocamento unitário no caso é um giro relativo. Como o deslocamento é contrário à incógni-
ta, a forma deslocada nesta seção apresentará sempre um ponto anguloso “apontado para bai-
xo”, conforme nota-se nas L. I. de MB e MS (figura 5.1). No caso de MB, o ponto B não pode 
ser deslocado pois o apoio não permite - o apoio só é retirado para determinar a L. I. de sua 
reação - mantendo então fixa a chapa AB. Neste caso apenas o movimento da chapa Bα com-
pleta o deslocamento unitário. 
 
 
Figura 5.3 – Equilíbrio de forças no apoio B 
 
 Convém notar que o único dado numérico é o valor 1 do deslocamento relativo con-
trário a incógnita. Entretanto, por se tratar de cadeia cinemática com um grau de liberdade, 
todas as ordenadas da L.I. podem ser determinadas a partir deste valor, pela aplicação das leis 
de deslocamento, ou simples proporcionalidade. 
06. UTILIDADE DAS L.I. 
 Uma obtida a L.I. para um certo esforço em determinada seção, podemos calcular o 
valor do esforço para qualquer carregamento na estrutura, usando-se o princípio da superposi-
ção de efeitos. 
 No caso de pontes rodoviárias e ferroviárias, este procedimento é muito útil para a 
determinação dos esforços máximos e mínimos em determinada seção, bastando fixar o carre-
gamento móvel na posição mais desfavorável. 
 Por exemplo vamos calcular o valor da reação no apoio B da viga Gerber da figura 
6.1, devido ao sistema de cargas concentradas P1, P2 --- Pn . 
O princípio da superposição de efeitos aplicado ao sistema de cargas concentradas da 
figura 6.1 conduz a: 
 RB = P1 v1 + P2 v2 + . . . + Pn vn 
 Ou seja, para se calcular o valor de um esforço qualquer devido a cargas concentra-
das, conhecendo-se sua L.I. basta determinar o resultado da somatória dos produtos das cargas 
pelas correspondentes ordenadas no diagrama de L.I.. 
 
 
 14 
 
Figura 6.1 – Sistema de cargas concentradas 
 
 Caso o carregamento seja distribuído, conforme ilustra a figura 6.2, teremos em um 
elemento ds a força resultante p ds e devido a esta força, temos: 
BdR pdx v= ◊ 
e daí, 
N
B M
R p vdx= ◊Ú 
 
 
Figura 6.2 – Cargas distribuídas 
 
 Nos casos usuais com a carga p uniformemente distribuída, portanto cons-
tante, p pode ser retirada da integral e notando que 
N
M
vdxÚ é igual a área (π) da L. I. entre 
os pontos M e N por onde se estende a carga distribuída, resulta: 
( )BR p Area p= ◊ 
 
 15 
Assim, para se calcular o valor de um esforço em determinada seção, devido a um 
carregamento composto de cargas concentradas e cargas uniformemente distribuídas, basta 
efetuar a somatória (superposição de efeitos) do produto das forças concentradas pelas orde-
nadas L. I. na posição da respectiva força, com o valor do produto da carga distribuída pela 
área do diagrama de L. I. subentendido sob essa carga distribuída. 
 Para se determinar os valores máximose mínimos, procura-se para as cargas móveis 
a posição mais desfavorável, que geralmente é obtida fazendo corresponder as maiores cargas 
sobre as maiores ordenadas da L.I.. As cargas acidentais móveis recebem o nome de trem-tipo 
e são prescritas em norma no caso de pontes rodoviárias e ferroviárias. 
 Vamos agora analisar uma maneira para a determinação da posição mais desfavorá-
vel de um sistema móvel de forças concentradas, que leve a valores máximos a incógnita. Esta 
posição recebe o nome de posição de máximo. 
 Suponhamos que a linha de influência correspondente a uma incógnita X de uma es-
trutura qualquer, seja triangular e que a estrutura esteja carregada com um sistema de cargas 
concentradas que se desloca ao longo da mesma, mantendo invariável a distância entre as for-
ças conforme figura 6.3. 
 
 
Figura 6.3 – Cargas concentradas móveis 
 
 Ao variar a posição das forças, variam as correspondentes ordenadas da linha de in-
fluência e o valor de X = ΣPivi também varia, e entre todos os valores que podem tomar, ha-
verá um que é máximo. 
O Sistema de cargas móveis corresponde geralmente ao peso dos eixos de um comboio de 
cargas e consequentemente as cargas podem percorrer a estrutura em sentido inverso, ou seja, 
invertendo-se o ordem de sucessão das forças. 
 É evidente que para o valor de X resultar máximo, é necessário que os produtos Pivi 
sejam o maior possível. Como a intensidade de cada força é invariável, deve-se procurar os 
maiores valores possíveis para vi. Assim, para que o valor da incógnita X alcance um máxi-
mo, é necessário: 
1) fazer entrar o comboio de cargas (trem tipo) do lado da linha de influência que 
tem menor inclinação, pois deste lado a variação das ordenadas será menor. 
2) fazer incidir as forças de maior intensidade com as maiores ordenadas da Linha de 
Influência. 
 
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 Além destes fatos, um teorema e um procedimento gráfico devido a WINKLER aju-
dam a determinação da posição mais desfavorável do trem tipo, nos casos mais complicados. 
Teorema: para que a posição de um sistema de forças possa corresponder a um máximo va-
lor da incógnita, é necessário que uma das forças incida sobre um vértice da linha 
de influência. 
Vamos supor conforme figura 6.4, um sistema de cargas P1, ---, P6. Para se determi-
nar a posição que leva ao máximo a incógnita, cuja linha de influência é a indicada logo abai-
xo do sistema de cargas (figura 6.4), procede-se da seguinte maneira: em uma escala qualquer, 
marca-se as forças P1, --- , P6 , na seqüência, obtendo-se o segmento A’B’ paralelo a AB. Pelas 
extremidades A’ e B’ traça-se paralelas aos segmentos AC e BC da L.I. obtendo-se o triângu-
lo A’ C’ B’ , semelhante a forma ACB da L.I.. A perpendicular por C’ encontra no segmento 
A’ B’ a força que deve ser colocada na posição correspondente ao vértice da L.I.. 
 
 
Figura 6.4 – Diagrama de WINKLER 
 
 Para ilustrar os procedimentos acima descritos, a figura 6.5 resolve um exemplo da 
determinação dos valores extremos do momento fletor em um engastamento de uma Viga 
Gerber. 
 O valor de MA devido a carga permanente g = 2,5 t/m que atua em toda estrutura vale 
g x Área total da L.I., ou seja: 
MA permanente = 2,5 (-18 + 24 - 10,8) = - 12,00 tm 
 Devido a carga acidental, devemos calcular os valores máximos positivo e negativo 
de MA. A posição mais desfavorável para as cargas concentradas do trem tipo pode ser deter-
minada por "bom senso" através de tentativas. O procedimento usando o diagrama de WIN-
KLER fornece a posição exata para "parar" o trem tipo. Como o sistema de cargas concentra-
 
 17 
das deste exemplo é composto de várias cargas com valores variados, é aconselhável usar o 
diagrama de WINKLER. 
Para o caso de MA máximo negativo, o comboio de cargas concentradas deve entrar 
no trecho AB que possui as maiores ordenadas negativas, no sentido BA, pois por ai a incli-
nação é menor. Para o cálculo de MA máximo positivo, o trem tipo deve entrar no trecho BC 
vindo da esquerda pois o trecho Bβ da L. I. possui menor inclinação. Os respectivos diagra-
mas de WINKLER desenhados na parte final da figura 6.5 fornece a posição da carga que de-
ve ser colocada no vértice da L.I.. 
 A carga de 5t no caso de MA máximo negativo não deve ser considerada, pois a or-
denada da L.I. correspondente, imposta pela posição do trem tipo, é positiva, aliviando o mo-
mento negativo. Como se trata de carga acidental, os eventuais alívios não devem ser conside-
rados. Analogamente, a carga distribuída acidental (1,5 t/m) não é aplicada nos trechos "de 
sinal trocado". 
 Efetuando-se os cálculos para as respectivas posições do trem tipo obtém-se: 
 MA máximo acidental = 10 (4,8 + 2,4) + 4 (1,6 + 3,2) + 1,5 (24,0) = +127,20 tm 
 MA mínimo acidental = 10 (-2 -4)+4 (-2,4 -0,8) + 1,5 (-18,0 -10,8) = - 116,00 tm 
 Como a carga permanente está sempre presente, temos os resultados finais: 
 MA máximo positivo = -12,00 + 127,20 = +115,2 tm 
 MA máximo negativo = -12,00 - 116,00 = 128,00 tm 
 
 
 18 
Exemplo: determinar os valores extremos positivo e negativo do momento fletor no 
engastamento A da Viga Gerber da figura, devido ao carregamento: 
a) carga permanente (peso próprio): g = 2,5 t/m; 
b) carga acidental conforme trem tipo abaixo. 
 
Figura 6.5 - Exemplo 
 
 19 
07. L. I. PARA PÓRTICOS TRI-ARTICULADOS 
 Estudaremos agora as linhas de influência do pórtico tri-articulado mostrado na figu-
ra 7.1. A carga móvel percorre o trecho DE. Assim só interessam as componentes verticais 
dos deslocamentos no trecho DCE. Em benefício da simplicidade trabalharemos com valores 
numéricos ao invés de literais. 
 O processo a priori será sempre o cinemático segundo o roteiro já estabelecido. Nas 
figuras 7.2 e continuações estão determinadas as L. I. das reações horizontal e vertical no 
apoio A (HA e VA); esforços solicitantes M, N e Q nas seções S e R e cortante e normal na ar-
ticulação C. 
 As chapas da cadeia cinemática serão indicadas (1) , (2) , etc., seus pólos absolutos 
por (I), (II), ... e os relativos por (I,II), ... . Os giros ω1, ω2, ... das chapas (1) , (2) , ... estão in-
dicados com o sentido respectivo. Os giros relativos entre as chapas .(i) e (j) quando necessá-
rios, serão indicados por ωij. As distâncias das retas suportes dos deslocamentos unitários até 
os pólos respectivos serão chamados r1, r2, ... quando o deslocamento unitário for absoluto de 
um ponto da chapa e rij quando for relativo entre pontos das chapas (i) e (j). 
 
 
Figura 7.1 – Pórtico tri-articulado 
 
 Os pólos são obtidos através das leis de deslocamento das cadeias cinemáticas. A 
interseção de duas retas lugar geométrico de um mesmo polo, determina esse polo. Toda cha-
pa ligada a terra por três barras vinculares não concorrentes é fixa. Barras paralelas serão con-
sideradas concorrentes no ponto impróprio (infinito). 
 Cada linha de influência tem seu raciocínio respectivo, entretanto vamos aqui deta-
lhar apenas como foram obtidas as L. I. de HA e VA que servirá de orientação para os outros 
casos. 
 No caso da L. I. De HA (vide figura respectiva), substituímos o apoio A por barras 
vinculares vertical e horizontal, retirando o vínculo horizontal. Resulta uma cadeia formada 
pelas chapas (1) e (2). O polo absoluto (II) é o apoio fixo B e o polo relativo (I,II) é a arti-
culação C. Para a obtenção do polo absoluto (I) temos um lugar geométrico que é a reta (II) - 
(I, II), pois os pólos absolutos e o relativo de 2 chapas são colineares (3a lei). A projeção dos 
 
 20 
pólos absolutos (I) e (II) sobre a reta horizontal de referência para traçado da L. I., fornece 
os pontos pelos quais passam as retas que representam a projeção vertical do deslocamento 
das chapas (1) e (2) e que são os próprios trechos da L. I. Obtém-se a linha de influência 
aplicando um deslocamento unitáriona direção mas de sentido contrário a HA. Neste deslo-
camento as chapas (1) e (2) formarão um ponto anguloso na articulação C ou polo relativo 
(I,II), pois polo relativo tem a propriedade de prescrever o deslocamento comum das chapas 
na sua posição. A ordenada da L. I. No ponto (I,II) ou C é obtido pelo giro ω1 calculado atra-
vés de r1 (ω1=1/r1 ; 8a lei). 
 Para a L. I. de VA, retira-se a barra vincular vertical no apoio A, obtendo a cadeia 
formada pelas chapas (1) e (2). Os pólos (II) e (I,II) são evidentemente o apoio fixo B e a 
articulação C, respectivamente. Um lugar geométrico do polo (I) é o prolongamento do víncu-
lo horizontal em A (2a lei) e o outro é a reta (II) - (I,II) pois os pólos absolutos (I), (II) e o re-
lativo (I,II) devem estar alinhados (3a lei). O deslocamento unitário contrário à VA permite 
traçar toda a L. I., sempre respeitando as propriedades dos pólos absoluto e relativo: 
1) O movimento de uma chapa é sempre em torno do seu polo absoluto ou seja, polo 
absoluto é ponto fixo, ou ainda, toda chapa - ou seu prolongamento - passa pelo 
seu polo absoluto que é fixo. 
2) O polo relativo, é ponto comum entre as chapas, isto é, as chapas - ou seus pro-
longamentos, como ocorre na L. I. de Qc - são concorrentes no polo relativo. 
 Os valores das ordenadas indicadas na L. I. resultam por simples proporcionalidade. 
Certamente, se os pólos forem determinados geometricamente em uma escala conveniente, 
procurando-se eliminar os erros que sempre acompanham os processos gráficos, pode-se tra-
çar toda a L. I. graficamente, sem recorrer às determinações algébricas dos segmentos envol-
vidos na solução. As ordenadas da L.I. em qualquer ponto é obtida diretamente no gráfico pe-
la "leitura" na escala considerada. 
 As L.I. resolvidas nas figuras 7.2 são acompanhadas de várias observações relevantes 
que devem ser analisadas pelo leitor. Por exemplo, a solução geométrica da L.I. de NS não 
pode ser realizada somente com a projeção na horizontal, conforme explicado na figura res-
pectiva. Algumas alternativas analíticas quando já se determinou a forma da L.I. através dos 
pólos também são explicitadas nas figuras, e devem ser consideradas como alternativas para o 
traçado das L.I.. 
 Em muitos casos convém combinar o método cinemático com uma determinação di-
reta da linha de influência. O método cinemático, pode por exemplo, fornecer pelos pólos 
apenas a forma da L. I. e através do cálculo direto - usando a própria definição de L.I. - acha-
se o valor de algumas ordenadas. Usou-se o cálculo direto para verificar as ordenadas das L.I. 
de HA, VA, M, N e Q nas seções S e R e QC e NC, situadas na posição correspondente da arti-
culação C do pórtico recém resolvido. Basta para tanto colocar uma carga P = 1 na articulação 
C e determinar os esforços respectivos. Essa determinação é bastante simples conforme figura 
7.2 - continuação 5, apresentada no final das L.I.. Os valores calculados de HA, VA, M, N e Q 
nas seções S e R, QC e NC são os valores das ordenadas nas respectivas linhas de influência 
situados na projeção da articulação C. No caso particular de QC, há necessidade de se colocar 
a carga unitária imediatamente à esquerda ou à direita de C para evitar a descontinuidade que 
ocorre na seção onde existe uma carga concentrada. 
 
 
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08. L.I. NO CASO DE CARREGAMENTO INDIRETO 
 Em muitos sistemas estruturais o carregamento atua indiretamente sobre as vigas ou 
estruturas principais, por intermédio de um sistema estrutural secundário. É o que ocorre por 
exemplo nas treliças de aço, onde elementos construtivos secundários transmitem as cargas 
aos nós, evitando o carregamento direto nas barras da treliça. A figura 8.1 ilustra esquema de 
estruturas secundárias no caso de uma treliça e de um arco tri-articulado usado em pontes e 
viadutos. 
 
 
Figura 8.1 – Estruturas com carregamento indireto 
 
Nos casos em que o carregamento atua indiretamente, este fato deve ser levado em 
consideração no traçado da L. I. da estrutura principal. Para estudarmos o esquema de um car-
regamento indireto, vamos supor o caso da viga simples representada na figura 8.2 a). 
 A figura 8.2 b) mostra o deslocamento para obter a linha de influência do momento 
na seção C, MC. Os pontos 1, 2, 3 e 4 da construção auxiliar são obrigados pelos seus víncu-
los a seguir o movimento da viga principal ficando as barras a-1, 1-2, 3-4 e 4-b paralelas a 
esta viga. Apenas a barra 2-3 não é paralela, adaptando-se à nova posição dos pontos 2 e 3. 
Entretanto a poligonal a-1-2-3-4-b obtida pelo deslocamento é a linha de influência do sistema 
considerado. Este fato conduz à L. I. Mostrada na figura 8.2 c). Aplicando-se a mesma regra, 
foi obtida a L. I. de QC da figura 8.2 d). 
 
 28 
 Podemos então tirar a seguinte conclusão geral: 
a existência de uma construção secundária não invalida as ordenadas da 
linha de influência primitiva nos pontos de apoio da construção secundá-
ria. A linha definitiva é o polígono que une os pontos assim obtidos. 
 
 
Figura 8.2 – L.I. de carregamento indireto 
 
 29 
09. L. I. DE TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 
 No caso de treliças, é sempre conveniente começar o estudo com um raciocínio ci-
nemático. Retira-se a barra correspondente ao esforço normal da L.I. procurada, substituindo-
a pela força de tração aplicada nos nós de sua extremidade. Com o esforço de tração nestes 
nós procura aproximá-los, o deslocamento contrário a incógnita resulta num afastamento uni-
tário desses nós. A partir dos pólos e do afastamento unitário dos nós extremos da barra in-
cógnita é que se estuda a forma deslocada das chapas da cadeia cinemática. 
 Quando a determinação dos pólos oferecer dificuldade, pelo menos o estabelecimen-
to das chapas indica os trechos retos da L.I.. Neste caso convém combinar o método cinemáti-
co com uma determinação direta de algumas ordenadas que permita calcular toda a linha. 
9.1 - Treliça de banzos paralelos 
 Uma treliça de banzos paralelos como o da figura 9.1, funciona como uma viga sim-
ples, pois a continuidade em uma seção da viga pode ser imaginada como um dispositivo 
formado por três barras. A repetição sucessiva deste dispositivo na viga a transformada na tre-
liça correspondente. 
 
 
Figura 9.1 – Analogia entre treliça de banzos paralelos e viga 
 
 Certamente o momento fletor e a força cortante em uma seção da viga, devem ter na 
treliça esforços correspondentes, resultantes das forças normais nas barras da treliça. Este fato 
é ilustrado na figura 9.2, na qual se supôs M e Q positivos na viga e as forças normais - posi-
tivas de tração - nas barras da treliça foram denominadas NS, Ni e Nd respectivamente para as 
barras do banzo superior, banzo inferior e diagonais. 
 Igualando o momento no ponto k e componente vertical das forças tanto na viga co-
mo na treliça, tem-se: 
Mk = Ni⋅h 
Qk = Nd⋅senα 
 Caso o raciocínio seja feito para a seção correspondente ao ponto ℓ da treliça temos: 
Mℓ = -Ns⋅h 
 
 30 
Qℓ = Nd⋅senα 
 
 
Figura 9.2 – Esforços correspondentes em treliça e viga 
 
 Tomando-se o devido cuidado com o sinal no caso das diagonais, pois dependem da 
sua orientação descendente ou ascendente e em relação a que ponto ( k ou l ) se faz o equilí-
brio de momento, estes resultados podem ser úteis para controle de cálculo. Convém notar 
que este procedimento nada mais é que a solução através da aplicação do "corte de RITTER", 
que é conveniente para solução de treliças horizontais de banzos paralelos submetida a carre-
gamento vertical. 
A menos do sinal no caso das diagonais e montantes (α = 90°), esta analogia com a viga sim-
ples valerá sempre para as L.I. de treliças de banzos paralelos e também para os trechos com 
"banzos"paralelos de treliças menos simples, sinalizando como se desenvolve a L.I. nestes 
trechos. Para eventuais futuras referências, repete-se aqui as expressões deduzidas. 
inf
. .. . k
banzo erior
L I de ML I de N
h
= ........................................................... (9.1) 
sup
. .. .
banzo erior
L I de ML I de N
h
-­‐= l ........................................................ (9.2) 
. .. .
sen
k
diagonais
L I de QL I de N
a
= ± .............................................................. (9.3) 
 Isto é, as L.I. dos esforços normais nas barras do banzo inferior e superior de uma 
treliça de banzos paralelo são proporcionais - a menos do sinal no caso do banzo superior - às 
L.I. do momento fletor em uma viga simples, determinadas na seção correspondente ao polo 
relativo das duas chapas formadas pela treliça quando se retira a barra "incógnita", reduzidas 
do fator h (equações 9.1 e 9.2). As L.I. dos esforços normais nas diagonais são (em módulo) 
proporcionais às do esforço cortante na viga simples, ampliada do fator 1/sen α, onde α é o 
ângulo que a diagonal forma com a horizontal (equação 9.3). 
 
 31 
 Para efeito de referência, vamos repetir aqui, através da figura 9.3 as L.I. de M e Q 
em uma seção qualquer de uma viga simples. 
 
 
Figura 9.3 – L.I. de viga simples (repetida) 
 
9.2 - Exemplo número 1 
 Inicialmente vamos analisar as L.I das forças normais em algumas barras da treliça 
da figura 9.4. Começaremos sempre com um raciocínio cinemático. 
 Para a L.I. da força normal na barra 5-7 (barra do banzo inferior), retiramos esta bar-
ra, estabelecendo as chapas (1) e (2) conforme figura 9.5. O polo absoluto da chapa (1) é o 
apoio fixo 1 e o polo relativo (I,II) é o nó 6. O polo (II) é o encontro das retas (I) - (I,II) com a 
vertical pelo apoio móvel 13, pois o único movimento permitido no ponto 13 é horizontal (3a 
e 2a lei). Como o deslocamento unitário (afastamento) é entre os nós 5 e 7, pertencentes as 
chapas (1) e (2) respectivamente, trabalharemos com o movimento relativo entre essas cha-
pas (1) e (2). O valor do giro relativo ω12 é 1/r12 ou 1/4m-1 segundo a 9a lei. A partir deste va-
lor, toda a L.I. pode ser determinada, lembrando que no caso da treliça, é sempre suposto car-
regamento indireto, isto é, vigas secundárias apoiadas nos nós. 
 
 
 32 
 
Figura 9.4 – Treliça de banzos paralelos - exemplo 
 
 Comparando a L.I. de N5-7 com a L.I. do momento em uma viga simples, onde a = 
6m, b = 12 m e l = 18 m. podemos verificar a validade da expressão deduzida na equação 
(9.1). Para todas as barras do banzo inferior o raciocínio é análogo. A L.I. de N1-3 é nula pois 
neste caso o polo da chapa 2 se encontra no infinito e portanto esta chapa só translada (na ho-
rizontal). Esse resultado era de se esperar pois neste caso a = zero na viga correspondente. 
 As barras do banzo superior não apresentam nada especial, conforme mostra a figura 
9.5 onde foi determinada a L.I. de N6-8 (comparar com a L.I. de M da viga simples - equação 
9.2). 
 Na figura 9.5 - continuação está determinada a L.I. do esforço normal na barra dia-
gonal 6-7, obtida da linha de influência da cortante em uma viga simples, ampliada com o fa-
tor 1/sen α (equação 9.3). 
 Finalmente vamos analisar a L.I. do esforço normal na barra montante 5-6. As cha-
pas se deslocam paralelamente porque as barras 4-6 e 5-7 que unem as chapas são parale-
las, determinando o polo relativo (I,II) no infinito. Um raciocínio estático leva a igualdade o 
valor da normal de tração nesta barra vertical com a cortante em uma viga simples (com o si-
nal trocado), assim a L.I. de N5-6 é igual a menos a L.I. da cortante na viga, também porque 
neste caso α = 90o e sen α = 1 (equação 9.3). 
A L.I. definitiva de N5-6 deve acompanhar o deslocamento dos nós do banzo inferior 
ou superior, conforme o banzo onde a carga móvel é aplicada. Para treliças deste tipo, apenas 
para as L.I. dos montantes houve necessidade de se fixar o banzo em que atua o carregamento 
para obter-se a linha definitiva, pois nos outros casos há coincidência das componentes verti-
cais dos deslocamentos dos nós de uma mesma vertical, independente do banzo a que perten-
ça. 
 
 
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 34 
 
 
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9.3 - Exemplo número 2 
 Vamos estudar a treliça simétrica da figura 9.6, para a qual determinaremos a L.I. das 
forças normais nas barras 2-4, 3-4, 3-5, 2-3 e 4-5. A carga móvel percorre o trecho 1-2-4-6-8. 
 
 
Figura 9.6 – Treliça – exemplo número 2 
 
 As L.I. de N2-4, N3-4 e N3-5 não apresentam nada especial. Nas figuras 9.7 estão indi-
cadas as chapas e seus respectivos pólos. Como o movimento unitário é sempre relativo entre 
pontos de duas chapas, trabalha-se com os raios e giros relativos. 
 A barra 2-3 tem linha de influência apenas no trecho 1-2-4, porque a chapa (1) se 
mantém fixa, por estar ligada à terra por 3 barras não concorrentes: apoio móvel 5 (barra ver-
tical), barra 1-3 e barras horizontais 1-2-4, que em movimento infinitesimal não permitem o 
deslocamento horizontal dos pontos 2 e 4, funcionado então como uma ligação horizontal pa-
ra a chapa (1). A forma desta L.I. (N2-3) é de fácil compreensão quando se faz um raciocínio 
estático: para cargas aplicadas nos nós 1, 4, 6 e 8 a normal na barra 2-3 é nula e quando a car-
ga vertical unitária estiver aplicada no nó 2, a normal na barra 2-3 valerá 1 (positiva, de tra-
ção). 
 Finalmente, vamos analisar a determinação da L.I. de N4-5. Apenas as chapas (1) e 
(2) não são suficientes para a determinação da L.I., pois o deslocamento unitário, único dado, 
não é entre pontos destas chapas. Há necessidade de se definir a chapa 3 (barra 3-5) e estudar 
o movimento relativo entre (1) e (3). O polo (I,II) é o nó 3 e o polo (II,III) está na interces-
são dos prolongamentos das barras 3-4 e 5-7 que unem as chapas (2) e (3) (5a lei). O polo 
absoluto (III) é a interseção das retas (I)-(I,III) com (II)-(II,III) (3a lei). Com os pólos (I), 
(I,III) e (III) determinados podemos estudar o movimento das chapas (1) e (3) através de r13 
= 4 m e ω13 = 1/4 m-1, obtendo o deslocamento vertical do nó 3. A partir daí, toda a linha é 
determinada. 
 Nos sistemas mais complicados, convém controlar numericamente as ordenadas v 
das L.I.. Para este exemplo, colocando uma carga P = 1 no ponto 4, e determinando as forças 
normais nas barras (por Cremona por exemplo), teremos que essas forças são as ordenadas v 
no ponto 4 das respectivas linhas de influência. Este cálculo está executado na figura 9.7 - 
imediatamente após a figura correspondente à L.I. de N4-5 - onde optou-se pela determinação 
dos esforços normais por equilíbrio de nó em benefício da precisão. 
 
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