E-Book - Introdução à Resistência dos Materiais

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INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
FELIPE BIONDO
2INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
SUMÁRIO Esta é uma obra coletiva organizada por iniciativa e direção do CENTRO SUPERIOR 
DE TECNOLOGIA TECBRASIL LTDA – 
Faculdades Ftec que, na forma do art. 5º, 
VIII, h, da Lei nº 9.610/98, a publica sob sua 
marca e detém os direitos de exploração 
comercial e todos os demais previstos em 
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Caxias do Sul/ RS 
REITOR
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PRÓ-REITORA ACADÊMICA
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PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO
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DIRETOR DE ENSINO A DISTÂNCIA (EAD) 
Rafael Giovanella
Desenvolvido pela equipe de Criações para o 
ensino a distância (CREAD)
Coordenadora e Designer Instrucional 
Sabrina Maciel
Diagramação, Ilustração e Alteração de Imagem
Thaís Munhoz 
Revisora
Luana dos Reis
INTRODUÇÃO 3
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 5
Conceitos fundamentais 6
Forças – Princípios básicos 7
Momentos de uma força – Princípios básicos 12
Sistemas de forças 15
Operações vetoriais 18
Síntese 21
EQUILÍBRIO ESTÁTICO DOS CORPOS RÍGIDOS 25
Estática 26
Estruturas 27
Equilíbrio estático 28
Diagrama de corpo livre 29
Equilíbrio em duas dimensões 30
Estaticidade e estabilidade de estruturas planas 32
Equilíbrio de um corpo rígido 33
Síntese 39
PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS E 
MOMENTOS DE INÉRCIA 43
Centroide de uma área 44
Momento de inércia de uma área 47
Teoremas dos eixos paralelos ou teorema de Steiner 48
Síntese 51
EQUILÍBRIO INTERNO E 
SOLICITAÇÕES INTERNAS 53
Equilíbrio Interno 54
Cálculo das solicitações internas 60
Diagramas de força cortante e momento fletor 64
Síntese 73
TENSÕES, TENSÕES ADMISSÍVEIS, 76
DEFORMAÇÕES E LEI DE HOOKE 76
Tensão 77
Tensão admissível 82
Deformação 85
Lei de Hooke 90
TORÇÃO E FLEXÃO 93
Torção 94
Flexão 101
REFERÊNCIAS 111
3INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
INTRODUÇÃO 
Sejam todos bem-vindos à disciplina de introdução à resis-
tência dos materiais. Nesta disciplina aprenderemos os princípios 
da estática e a mecânica dos corpos rígidos, e quais suas relações 
entre as cargas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade 
das forças internas que atuam dentro de um corpo. Este assunto 
também abrange o cálculo da deformação do corpo e o estudo 
da sua estabilidade quando está submetido a forças externas.
Quando desenvolvemos projetos de qualquer estrutura ou 
máquina é necessário, primeiramente, utilizar os princípios da 
estática para determinar as forças que atuam tanto sobre quanto 
no interior de seus vários membros. As dimensões dos elementos, 
sua deflexão e estabilidade dependem não só das cargas internas 
como também do tipo de material do qual esses elementos são 
feitos. Assim, a determinação precisa e a compreensão do com-
portamento do material são de vital importância para o desen-
volvimento das equações utilizadas na resistência dos materiais. 
Hoje, muitas fórmulas e procedimentos de projeto, definidos 
nas normas da engenharia e usados na prática, baseiam-se nos 
fundamentos da resistência dos materiais e, por essa razão, 
compreender os princípios dessa matéria é muito importante.
A história por trás da disciplina iniciou-se com estudos feitos 
por Arquimedes (287 – 212 a.c), estudando os movimentos de 
alavanca. Estudos envolvendo roldanas, plano inclinado e chave 
inglesa também são registrados em escrituras antigas em épocas em 
que a engenharia era limitada principalmente à construção civil.
Figura 1 – Ilustração do estudo das alavancas feito por Arquimedes 
Já a origem da resistência dos materiais remonta ao início do 
século XVII, época em que Galileu realizou experiências para 
estudar os efeitos em cargas, hastes e vigas feitas de vários ma-
teriais. Entretanto, para a compreensão adequada, foi necessário 
4INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
estabelecer descrições experimentais precisas das propriedades 
mecânicas de um material. Os métodos para tais descrições fo-
ram consideravelmente melhorados no início do século XVIII. 
Naquela época, estudos sobre o assunto, tanto experimentais 
como teóricos, foram realizados principalmente na França, por 
notáveis como Saint-Venant, Poisson, Lamé e Navier. Como 
seus estudos baseavam-se em aplicações da mecânica a corpos 
materiais, eles denominaram esses estudos de resistência dos 
materiais. A Figura 2 mostra algumas aplicações atuais para os 
princípios já comentados, onde, através de ferramentas com-
putacionais, é possível analisar sistemas altamente complexos.
Figura 2 - Exemplos de análise estrutural via simulação computacional, utilizando os princípios de 
estática e resistência dos materiais.
5INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
CONCEITOS 
FUNDAMENTAIS
O que é mecânica?
Caros, alunos! Antes de começarmos a estudar os conteúdos 
de resistência mecânica, é importante entender o significado de 
certos conceitos e princípios fundamentais. Mecânica pode ser 
definida como o ramo das ciências físicas que estuda o estado 
de repouso ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças. 
Geralmente, este assunto é subdividido em 3 áreas: mecânica 
de corpo rígido, mecânica de corpo deformável e mecânica dos 
f luídos. Este ebook tratará da mecânica dos corpos rígidos e 
deformáveis, onde a mecânica dos corpos rígidos nos permitirá 
ter uma base para fazer projetos e análise de diversos tipos de 
estruturas. A mecânica dos corpos deformáveis estuda as re-
lações entre as cargas aplicadas a um corpo deformável, assim 
como a intensidade das forças internas. O esquema mostrado na 
Figura 3 resume o que é mecânica e os temas abordados nesta 
6INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
disciplina são os hachurados, também mostrados nesta figura.
Figura 3 - Áreas de estudo da disciplina grifadas em amarelo
Conceitos fundamentais
Antes de iniciarmos nossos estudos, é importante relembrar 
o significado de alguns conceitos e princípios fundamentais 
da mecânica. Abaixo estão listadas algumas das unidades de 
quantificação básicas:
• Comprimento: descreve a posição de um ponto no 
espaço e a dimensão de um sistema físico.
• Tempo: importante em problemas de dinâmica. Trata 
da sucessão de eventos.
• Massa: propriedade da matéria que permite comparar a 
ação de um corpo com a de outro. Essa propriedade se manifesta 
como atração gravitacional entre dois corpos e fornece uma 
medida quantitativa da resistência da matéria a uma mudança 
na velocidade.
• Força: ação direta ou indireta de um corpo sobre outro. 
Isso pode ocorrer quando há contato direto entre corpos ou 
com corpos fisicamente separados. Exemplos de forças são: 
gravitacional, elétrica e magnética. Uma força é caracterizada 
pela sua magnitude, direção e sentido.
Como forma de simplificar a teoria, modelos ou ideali-
zações são utilizados para descrever alguns conceitos, os mais 
importantes estão definidos a seguir:
7INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
• Partícula: uma partícula tem massa e um tamanho que 
pode ser negligenciado. Por exemplo, o tamanho do planeta 
terra é insignificante se comparado a sua órbita, e, portanto, a 
terra pode ser modelada como uma partícula quando estuda-
mos seu movimento de órbita. Quando um corpo é idealizado 
como partícula, os princípios da mecânica são simplificados, 
não incluindo a geometria do corpo na análise.
• Corpo rígido: é um corpo considerado como a combi-
nação de um número de partículas no qual todas as partículas 
permanecem a uma distância fixa da outra antes e depois da 
aplicação da carga, logo, esse corpo não sofre deformação sobre 
a ação de forças.
• Forças concentradas: representa o efeito de um carre-
gamento que atua num ponto. Podemos representar um car-
regamento por uma força concentrada, dada a área na qual a 
carga é aplicada, torna-se muito pequena se comparada a todo 
o corpo.
Forças – Princípios básicos
Com os conceitos acima em mente, exploraremos algunsdeles de forma mais aprofundada, sendo essenciais para obter 
um bom desempenho na disciplina. O primeiro conceito que 
relembraremos é o de força, que é toda a grandeza capaz de 
provocar movimento, alterar o estado de movimento ou pro-
vocar deformação em um corpo. É uma grandeza vetorial cuja 
intensidade pode ser obtida pela expressão da física:
onde: 
F = força 
m = massa do corpo 
a = aceleração provocada 
8INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 4 - (a) Força provocando movimento - (b) Força provocando deformação
 Como a força é uma grandeza vetorial ela é caracterizada 
por possuir:
• Direção
• Sentido
• Módulo ou intensidade
Figura 5 - Grandeza vetorial
Outra força necessária a ser relembrada é a força peso, que 
tem origem gravitacional e é o resultado da atração gravitacional 
exercida pela Terra, não somente sobre os objetos localizados 
próximo à sua superfície, mas atuando também a distâncias 
relativamente longas. Trata-se do exemplo mais simples de 
forças de ação à distância. O fato dos objetos caírem sobre a 
superfície terrestre é a consequência mais perceptível da mes-
ma. A força peso é aplicada ao centro de gravidade do corpo, 
na direção vertical e com sentido de cima para baixo (Figura 
6). A força peso pode ser escrita como:
F = peso 
m = massa do corpo 
g = aceleração gravitacional = 9,81 m2/s 
9INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 6 - Força peso sendo aplicada num corpo
 Características das forças
As principais características de uma força são:
1. Princípio de ação e reação: quando dois corpos se en-
contram, toda a ação exercida por um dos corpos cobre 
o outro, que corresponde a uma reação do segundo 
sobre o primeiro de mesmo módulo e direção, mas com 
sentidos contrários, que é a 3ª lei de Newton. 
2. Princípio da transmissibilidade de uma força: quando 
se aplica uma força em um corpo sólido, a mesma se 
transmite com seu módulo, direção e sentido em toda a 
sua reta suporte ao longo deste corpo, desde que esta seja 
aplicada ao longo de sua linha de aplicação (Figura 7).
Figura 7 - Princípio da transmissibilidade 
10INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Decomposição das forças
Qualquer força no espaço pode ser decomposta segundo 
três direções que desejarmos e veremos que fazendo isso é 
possível simplificar os cálculos para a resolução de problemas. 
Normalmente, usam-se como referência três direções orto-
gonais entre si, escolhidas de acordo com a conveniência do 
problema (Figura 8).
Figura 8 – Representação de uma força F no plano cartesiano e sua decomposição em cada eixo 
 Nestes casos, pode-se usar a resultante ou suas com-
ponentes Fx, Fy e Fz para obter o efeito desejado. Qualquer 
força contida em um plano também pode ser decomposta se-
gundo duas direções. Normalmente, são usadas duas direções 
perpendiculares entre si, também escolhidas de acordo com a 
conveniência do problema. O caso plano é o mais comum de 
ser analisado e pode ser representado como na Figura 9.
Figura 9 - Decomposição de força no plano
Onde:
= força a ser decomposta;
x, y = componentes da força nas direções x e y;
α = ângulo formado por F em relação à x;
x,y = direções ortogonais de referência; 
11INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A decomposição das forças pode ser realizada através de 
cálculos trigonométricos, sendo para este caso:
x = × cos(α); y = × sen(α); y ⁄ x = tan(α); 
A força decomposta também pode ser chamada de re-
sultante da soma vetorial de suas componentes x e y. Nos 
problemas que serão estudados, pode-se utilizar apenas a força 
resultante, como também suas componentes, o que for mais 
fácil para a resolução do problema.
Classificação das forças
As forças podem ser classificadas de acordo com a sua ori-
gem, modo de se comportar, etc., como por exemplo, as forças 
de contato e as de ação a distância. Em análise estrutural, as 
forças são divididas conforme esquema mostrado na Figura 10.
Figura 10 - Classificação das forças
As forças externas atuam a uma estrutura e são divididas em 
forças ativas e reativas. As forças ativas são forças independentes 
que podem atuar em qualquer ponto de uma estrutura. Correspon-
dem às cargas as quais a estrutura está submetida, normalmente 
conhecida ou avaliada. Como exemplo, podemos citar o peso de 
uma pessoa sobre uma sacada, carros sobre uma ponte, etc.
As forças reativas: são forças que surgem em determina-
dos pontos de uma estrutura (vínculos ou apoios), tendo sua 
origem como consequência de outras forças, logo, devem ser 
calculadas para se equivalerem as ações e assim preservarem 
o equilíbrio do sistema.
12INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
As forças internas são aquelas que mantêm unidos os pontos 
materiais que formam um corpo sólido. Se o corpo é estrutu-
ralmente composto de diversas partes, as forças que mantém 
estas partes unidas também são chamadas de forças internas.
Momentos de uma força – Princípios básicos
Conceito
O momento de uma força em relação a um ponto (eixo) 
é a grandeza física que dá uma medida da tendência daquela 
força provocar rotação em torno de um ponto (eixo). 
O momento de uma força em relação a um ponto também 
pode ser denominado de momento polar ou torque. O momento 
de uma força em relação a um eixo é uma grandeza vetorial. 
O módulo do momento “M” é definido como sendo o produto 
do módulo da força “F” pela distância “d” entre a linha de ação 
da força e o eixo. 
Onde:
 O efeito do vetor momento é o de provocar um giro 
com determinado sentido em relação ao ponto “O”, como o 
exemplo mostrado na Figura 11. O vetor momento apresenta 
as seguintes características:
• Direção: perpendicular ao plano formado pela força e 
pelo vetor AO.
• Sentido: regra da mão direita.
• Módulo: produto do módulo da força pela menor 
distância do ponto “0” a reta suporte da força.
M=F×d
M= momento;
F= força;
d= distância de aplicação da força em relação ao eixo.
13INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 11 – Efeito do vetor momento
A unidade de medida no sistema internacional para o mo-
mento é em N.m. Por convenção, o momento pode ser positivo 
ou negativo. Adota-se o sinal (+) se a força F girar no sentido 
anti-horário e (-) no sentido horário. O momento de uma força 
em relação a um eixo é nulo sempre que a força e o eixo forem 
coplanares (concorrentes ou paralelos).
Um exemplo fácil de compreender um momento é obser-
vando a Figura 12, onde duas situações estão propostas por 
(a) e (b). Ao analisarmos a equação do momento, é possível 
verificar que para movimentar a porta, a situação representada 
em (a) necessita de uma aplicação de força maior do que em 
(b), pois o momento necessário para girar a porta é o mesmo 
em ambas as situações, porém, como a distância d_1 é menor 
que d_2, é necessário aplicar uma força maior na situação (a). 
Figura 12 - Momento de uma força
Um exemplo prático para testarmos o que já foi aprendido, 
dar-se-á através da aplicação destes conceitos neste exercício: 
determine o peso que devemos colocar na extremidade direita 
da gangorra, a fim de que ela permaneça em equilíbrio estático.
Figura 13 - Exemplo 1
14INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
No exemplo proposto acima, temos que a condição do con-
junto está em equilíbrio, logo, para isso acontecer, o somatório 
dos momentos em relação a “O” é zero. Para isso ser verdade, 
o valor da força “P” é encontrado como mostrado abaixo:
Momento axial 
O momento axial é o valor algébrico da projeção ortogonal 
sobre o eixo do momento polar produzido pela força em rela-
ção a um ponto qualquer do eixo. Pode ser representado por 
uma grandeza escalar quando se adota uma convenção para a 
orientação do eixo. 
Figura 14 - Força perpendicular ao eixo do plano
Figura 15 - Força inclinada em relação ao plano do eixo
Figura 16 - Força no espaço - Qualquer direção
15INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Sistemas de forças
Conceito
Por definição um sistema de forças, é o conjunto de forças 
que atuam simultaneamenteem um corpo rígido ou em um 
ponto material. A resultante de várias forças que concorrem em 
um ponto é a soma geométrica a partir do ponto, de forças que 
têm mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido às que 
constituem o sistema, formando um polígono. Lembrando que 
uma força pode ser decomposta segundo eixos de referência, 
pode-se determinar a resultante de uma forma mais simples, 
obtendo-se cada componente pela soma algébrica das projeções 
de todas as forças sobre este eixo.
Quando desejamos obter a resultante de mais de duas 
forças, podemos aplicar a regra do paralelogramo sucessivas 
vezes. No entanto, é mais fácil determinar os componentes em 
eixos específicos, somar algebricamente estes componentes e, 
a partir destes, gerar a resultante (Figura 17). 
Figura 17 - Somatório de forças
 Vamos decompor cada força em seus componentes re-
tangulares Fx e Fy, que se localizam ao longo dos eixos x e y, 
respectivamente, como mostram as figuras. 
Figura 18 - Decomposição de vetores
A resultante de forças concorrentes em um ponto de um 
plano, também pode ser calculada através da decomposição 
destas forças em relação a duas direções ortogonais escolhi-
das, sendo a força resultante podendo ser calculada através da 
fórmula de Pitágoras.
16INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 19 - Exemplo 2 - Somatório de forças
O princípio da superposição de efeitos é definido como: o 
efeito produzido por um conjunto de forças atuando simultane-
amente em um corpo é igual a soma do efeito produzido por cada 
uma das forças atuando isolada. Deve-se fazer a ressalva de que 
a validade deste princípio se resume a casos em que o efeito 
produzido pela força seja diretamente proporcional à mesma. 
Isto acontece na maioria dos casos estudados. A partir deste 
princípio pode-se dizer que:
• O momento polar resultante de um sistema de forças 
é a soma algébrica dos momentos polares, produzidos 
em relação ao mesmo ponto, por cada uma das forças 
atuando isolada.
• O momento axial produzido por um sistema de forças, 
atuando simultaneamente em um corpo, é igual à soma 
algébrica dos momentos axiais, produzidos em relação 
ao mesmo eixo de cada uma das forças atuando isolada.
Binários 
Denomina-se binário a um sistema constituído por um 
par de forças paralelas, de módulos iguais e sentidos opostos. 
A resultante em termo de forças é nula, entretanto, há um 
momento polar resultante de módulo igual ao produto da força 
pela distância entre as duas direções paralelas.
17INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 20 - Equivalências de um binário
O binário ou momento é um vetor livre, pois seu efeito 
independe do ponto de aplicação, sendo que para qualquer 
ponto do plano, o binário tem o mesmo valor.
Translação de forças
A translação de uma força é transportá-la de sua direção 
para outra direção paralela. Isto implica no acréscimo de um 
momento devido à translação, cujo módulo é igual ao produto 
da força pela distância de translação.
Figura 21 - Translação de forças
Redução de um sistema de forças a um ponto 
Qualquer sistema de forças pode ser reduzido a um sistema 
vetor-par, onde o vetor é a resultante das forças, localizada a 
partir de um ponto arbitrariamente escolhido e o par é o mo-
mento polar resultante do sistema em relação ao mesmo ponto.
Figura 22 - Redução de forças a um ponto
18INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Forças distribuídas
As cargas distribuídas são cargas por unidade de com-
primento. Estas cargas, uniformes ou variáveis, podem ser 
representadas por uma carga concentrada equivalente, cujo 
valor corresponde à área formada pela figura que representa 
a carga distribuída e é aplicada em seu centro de gravidade. 
A força resultante deve ser calculada por integração, quando 
existem infinitas forças atuando sobre o sistema.
A localização da linha de ação da força resultante em rela-
ção ao eixo x pode ser determinada pela equação de momentos 
e da distribuição de forças em relação ao ponto “O”. A força 
resultante tem uma linha de ação que passa pelo centroide da 
área definida pelo diagrama de carregamento. A Figura 23 
mostra exemplos de cargas distribuídas.
Figura 23 - Cargas distribuídas
Operações vetoriais
Para a resolução dos exercícios vale a pena fazermos uma 
recapitulação sobre a regra do paralelogramo, lei dos senos e 
cossenos, que serão fundamentais para a resolução dos exercícios.
Na Matemática, a regra do paralelogramo é uma proprieda-
de de geometria que relaciona a soma do quadrado dos lados de 
um paralelogramo com a soma do quadrado de suas diagonais. 
Essa propriedade pode ser generalizada para qualquer espaço 
vetorial munido de um produto interno e, em particular, para 
um espaço euclidiano.
19INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Usando a notação do diagrama da Figura 24, os lados são 
denotados (AB), (BC), (CD), (DA). Em geometria Euclidiana, 
um paralelogramo tem os lados opostos iguais, de forma que 
(AB) = (CD) e (BC) = (DA). Assim, a lei pode ser expressa como:
 
Figura 24 - Regra do paralelogramo
A Lei dos Senos determina que em um triângulo qualquer, 
a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida 
do lado oposto a esse ângulo. Esse teorema demonstra que num 
mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de 
seu ângulo oposto será sempre constante. Já a lei dos cossenos 
diz que para qualquer triângulo, o quadrado de um lado é 
igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes 
o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado 
por eles. A Figura 25 resume a lei dos senos e dos cossenos.
Figura 25 - Lei dos senos e cossenos
Exemplos
Exemplo 1: O parafuso gancho da Figura 26 está sujeito 
a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade (módulo) e a 
direção da força resultante.
Figura 26 - Exemplo 1
2(AB2) + 2(BC2) = (AC2) + (BD2)
20INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Para solucionar, deve-se utilizar a lei do paralelogramo, 
que está esquematizada na figura, para encontrar o ângulo do 
triângulo menor. 
Após isso, é necessário desenhar o triângulo que contém as 
forças. Através da lei dos cossenos é possível a força resultante (FR).
O ângulo da força é determinado utilizando-se o valor de 
FR e a lei dos senos.
 
21INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exemplo 2: Na figura, temos dois blocos cujas massas 
são, respectivamente, 4 kg e 6 kg. A fim de manter a barra em 
equilíbrio, determine a que distância x o ponto de apoio deve 
ser colocado. Suponha que inicialmente o ponto de apoio esteja 
a 40 cm da extremidade direita da barra. Vejamos a figura:
Para solucionar o exemplo temos que aplicar a equação do 
momento, que é:
Neste caso, temos dois momentos acontecendo na gangorra, 
um provocado pela massa de 4 kg e outro pela massa de 6 kg, 
como este sistema está em equilíbrio temos que:
Momento1 = Momento2, logo:
F1 × d1 = F2 × d2, então,
4kg × d1 = 6kg × 40 cm, sendo assim:
Para o sistema estar em equilíbrio a distância d1 é de 60 cm.
Síntese
Neste capítulo fizemos uma revisão geral dos conceitos 
fundamentais da mecânica vetorial que serão base para o estudo 
da resistência dos materiais. Dentre os assuntos vistos, relem-
bramos o conceito de forças e momentos, binários e translação 
de forças. Além disso, foram introduzidos termos específicos de 
sistemas idealizados, que serão utilizados ao longo da disciplina. 
Também foram revistos fundamentos trigonométricos básicos 
com a finalidade de relembrar algumas teorias da Matemática, 
que facilitarão a resolução dos exercícios. M=F x d
22INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios
1. Se θ=30° e T = 6 KN, determine a intensidade da força 
resultante que atua sobre a argola e sua direção, medida no 
sentido horário a partir do eixo x positivo. 
2. Se a força resultante precisa atuar ao longo do eixo u positivo 
e ter uma intensidade de 5 KN, determine a intensidade 
necessária de FB e sua direção θ.
3. A caminhonete precisa ser rebocada usando duas cordas. 
Determine asintensidades das forças FA e FB que atuam 
em cada corda para produzir uma força resultante de 950 
N, orientada ao longo do eixo x positivo. Considere θ=50°.
4. Se a tração no cabo é 400 N, determine a intensidade e a 
direção da força resultante que atua sobre a polia. Esse ân-
gulo é o mesmo ânguloW da linha AB no bloco do carretel.
23INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
5. Um carregamento distribuído p = 800 Pa atua no topo de 
uma superfície de uma viga, como mostra a figura. Determine 
a intensidade e a força resultante equivalente.
6. Quando um corpo extenso está sujeito à ação de forças de 
resultante não nula, ele pode adquirir movimento de _______, 
de _______ ou ______, simultaneamente.
a. translação, rotação, ambos.
b. aplicação, rotação, relação.
c. translação, relação, rotação.
d. equilíbrio, rotação, ação.
e. equilíbrio, relação, ambos
7. Suponha que para fechar uma porta de 0,8 metros de largura, 
uma pessoa aplica perpendicularmente a ela uma força de 
3 N, como mostra a figura. Determine o momento dessa 
força em relação ao eixo O.
8. Um rapaz de 900 N e uma garota de 450 N estão em uma 
gangorra. Das ilustrações abaixo, a que representa uma si-
tuação de equilíbrio é:
a. a
b. g
c. c
d. d
e. e
24INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
9. Determine os momentos da força de 800 N em relação aos 
pontos A, B, C e D.
10. Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na 
figura. Substitua este binário por um equivalente composto 
por um par de forças que atuam nos pontos A e B.
25INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
EQUILÍBRIO 
ESTÁTICO DOS 
CORPOS RÍGIDOS 
Estaticidade – Quantidade de restrições de 
vínculos – Diagramas de corpo livre
 Você já se perguntou o que é estaticidade? E quais são 
as relações de quantidade de restrições que cada vínculo pode 
gerar sobre uma estrutura? Como fazer diagramas de corpo 
livre? Através de exemplos, aprenderemos isto agora.
26INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Estática
A estática é a parte da Física que estuda sistemas sob ação 
de forças que se equilibram. De acordo com a segunda lei de 
Newton, a aceleração destes sistemas é nula. Com base na 
primeira lei de Newton, todas as partes de um sistema em 
equilíbrio também estão em equilíbrio. Este fato permite 
determinar as forças internas de um corpo a partir do valor 
das forças externas. Já a terceira lei de Newton, descreve que 
as forças entre dois corpos têm mesmo módulo e direções 
contrárias, com isso se permite isolar partes do sistema, ve-
rificando as forças internas do sistema, tratando-as como 
forças entre dois corpos.
Na Figura 27, temos como exemplo, um bloco de mas-
sa m colocado sobre uma mesa. Como estamos na Terra, 
a gravidade está atraindo este bloco, então sobre ele existe 
uma força de módulo mg apontando para baixo. Para este 
corpo estar em equilíbrio, precisamos que a soma (vetorial) 
de todas as forças sobre ele sejam zero. Assim, é necessário 
que a mesa exerça sobre ele outra força, igual em módulo, 
mas de sentido contrário, ou seja, a força Fn. Finalmente, 
pela terceira Lei de Newton, o bloco exerce sobre a mesa a 
força Fn’, igual (vetorialmente) ao seu peso mg. A análise 
terminou aqui, mas, se fossemos analisar o equilíbrio da 
mesa, seria necessário entrar com seu peso, e com a força 
que o solo exerce sobre ela.
Figura 27 - Bloco sobre uma mesa
27INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Estruturas
Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças 
ligadas entre si e ao meio exterior, de modo a formar um con-
junto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações 
externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus 
apoios, onde estas solicitações externas encontrarão seu sistema 
estático equilibrante. A Figura 28 apresenta esquematicamente 
alguns exemplos de estruturas mais utilizadas.
Figura 28 - Exemplos de estruturas
Componentes de uma estrutura
Os componentes de uma estrutura são chamados de 
elementos, barras ou membros estruturais, que devem ser 
capazes de receber e transmitir esforços. Estes componentes 
podem ser:
• Unidimensionais: vigas, pilares, barras, travessas, co-
lunas, etc. 
• Bidimensionais: folhas - as lajes e as paredes.
• Tridimensionais: sólidos, blocos, etc.
Classificação quanto aos elementos estruturais
Estruturas reticuladas são estruturas formadas por barras 
como vigas, pórticos planos e espaciais, treliças planas e espa-
ciais, grelhas, etc. As barras são os elementos em que uma das 
dimensões é maior que as outras duas, as dimensões da seção 
são nitidamente menores que a extensão da sua linha central. 
Barras de forma prismática são retas e de seção constante. A 
Figura 29 apresenta exemplos de estruturas reticuladas.
28INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 29 - Estruturas reticuladas
Estruturas de superfícies, placas e chapas são os elementos 
em que uma das dimensões é muito menor que as outras duas, 
a espessura é nitidamente menor que as dimensões da seção. 
As placas recebem cargas normais ao seu plano e as chapas 
na direção de seu plano. Na Figura 30 é possível ver alguns 
exemplos de estruturas de superfícies.
Figura 30 - Estruturas de superfície
Estruturas de volume são elementos estruturais como blocos 
de fundação, barragens de gravidade, etc. São os elementos tridi-
mensionais em que as dimensões são de mesma ordem de grandeza.
Equilíbrio estático
Relembramos no capítulo anterior, que as forças externas 
que agem em um corpo rígido podem ser reduzidas a um sistema 
de forças em um ponto arbitrário O. Quando a força e o binário 
são ambos nulos, as forças externas que constituem um sistema 
equivalente a zero e diz que o corpo rígido está em equilíbrio.
29INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de 
um corpo rígido podem, pois, ser obtidas impondo que a força 
resultante e o momento resultante, ambos em O, sejam iguais 
a zero nas equações abaixo:
Decompondo cada força e cada momento em suas com-
ponentes cartesianas, encontramos as condições necessárias e 
suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido, que também 
pode ser expresso pelas seis equações escalares.
As equações obtidas podem ser utilizadas para determinar 
as forças desconhecidas aplicadas a um corpo rígido ou reações 
desconhecidas exercidas por um vínculo. Estas equações tra-
duzem o fato de que as componentes das forças e momentos 
externos se compensam nas direções cartesianas. O sistema de 
forças externas não comunicará movimento de translação ou 
rotação do corpo rígido considerado.
 Para escrever as equações de equilíbrio de corpo rígido 
é essencial identificarmos todas as forças que agem no corpo e 
desenhar um diagrama de corpo livre. Neste capítulo estuda-
remos o equilíbrio de forças bidimensionais e como desenhar 
diagramas de corpo livre, além disso consideraremos as reações 
aplicadas na estrutura por seus vínculos. 
Diagrama de corpo livre 
 Para a resolução de um problema referente ao equilíbrio 
de um corpo rígido, é essencial considerar todas as forças que 
atuam sobre um corpo. Sendo assim, o primeiro passo na 
solução de exercícios é o desenho do diagrama do corpo livre 
do corpo rígido em consideração. O objetivo principal de um 
diagrama de corpo livre é mostrar as forças que atuam em um 
corpo de forma clara, lógica e organizada.
30INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Consiste em separar-se o nosso “corpo de interesse” de 
todos os corpos do sistema com o qual ele interage. Neste 
corpo isolado são representadas todas as forças que nele atuam, 
assim como as forças de interação ou de contato. A palavra livre 
enfatiza a ideia de que todos os corpos adjacentes ao estudado 
são removidos e substituídos pelas forças que nele exercem. 
Lembre-se que sempre que há o contato entre dois corpos surge 
o princípio da ação e reação.
O diagrama do corpo livre define claramente que corpo ou 
que parte do corpo está em estudo, assim como identifica quais 
as forçasque devem ser incluídas nas equações de equilíbrio.
As forças externas desconhecidas são geralmente consti-
tuídas pelas reações, também chamadas de forças de vínculo, 
através das quais o solo e outros corpos se opõem a um possível 
movimento do corpo livre. O diagrama de corpo livre tam-
bém deve incluir dimensões, pois pode ser necessário calcular 
momentos das forças.
Equilíbrio em duas dimensões
 Na primeira parte deste capítulo, consideraremos o equi-
líbrio de uma estrutura bidimensional, isto é, presumiremos 
que a estrutura considerada e as forças sobre ele aplicada es-
tão contidas no plano da figura. Obviamente, as reações para 
manter a estrutura na mesma posição também estão contidas 
no plano da figura.
As reações exercidas sobre uma estrutura bidimensional 
podem ser divididas em 3 grupos correspondentes a 3 tipos 
de vínculos:
• Reações equivalentes a uma força linha de ação co-
nhecida: os vínculos que causam este tipo de reação 
são roletes, balancins, superfícies lisas, hastes curtas, 
cabos e pinos deslizantes sem atrito. Cada um destes 
vínculos pode impedir o movimento em apenas uma 
direção. As reações deste grupo envolvem apenas uma 
31INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
incógnita, que é o módulo da reação. O sentido da reação 
deve ser indicado claramente, como na Figura 31.
• Reações equivalentes a uma força de direção desco-
nhecida: os vínculos que causam este tipo de reação são 
os pinos polidos em orifícios ajustados, articulações e 
superfícies rugosas. Eles podem restringir a translação 
em todas as direções, mas não restringem a rotação em 
torno de uma conexão. As reações deste grupo incluem 
duas incógnitas, geralmente representadas por x e y.
• Reações equivalentes a uma força e um binário: essas 
reações são causadas por apoios fixos que impedem qual-
quer movimento de corpo livre, imobilizando-o comple-
tamente. As reações deste grupo envolvem 3 incógnitas, 
consistindo geralmente de duas componentes de forças e 
o momento binário.
Figura 31 - Reações dos vínculos
32INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Os vínculos podem ser representados na Figura 32.
Figura 32 - Símbolos usados para representar os vínculos
Estaticidade e estabilidade de estruturas 
planas
 Antes de iniciarmos as definições de como é montado 
um diagrama de corpo livre, é importante conhecer os con-
ceitos quando a estabilidade e estaticidade das estruturas. A 
estabilidade das estruturas pode ser classificada como:
• Estáveis: quando o sistema de forças reativas for capaz 
de equilibrar qualquer sistema de forças ativas. Para tal, 
as forças reativas não podem formar sistemas de forças 
paralelas ou concorrentes.
• Instáveis: quando as forças reativas forem em números 
insuficientes, ou formarem um sistema de forças para-
lelas (incapaz de equilibrarem forças paralelas a ela) ou 
concorrentes (incapaz de equilibrar momentos).
Quanto a estaticidade, as estruturas podem ser classificadas 
como hipostáticas (sempre instáveis), isostáticas ou hiperestáticas 
(estas duas sempre estáveis). A definição destes conceitos é:
• Estruturas hipoestáticas: quando o número de apoios 
ou vínculos é insuficiente para estabelecer o equilíbrio 
estático. Neste caso, a estrutura é sempre instável e o 
número de equações de equilíbrio estático é superior ao 
número de reações. Um exemplo de estrutura hipostática 
pode ser visto na Figura 33.
33INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 33 - Estrutura hipostática e instável
Estruturas isostática: quando os apoios de uma estrutura são 
em número, estritamente necessários para impedir todos os seus 
possíveis movimentos. O número de reações de apoio é exata-
mente igual ao número de equações de equilíbrio (Figura 34).
Figura 34 - Estruturas isostáticas
• Estruturas hiperestáticas: quando os apoios de uma 
estrutura são em número superior ao necessário para 
impedir seu movimento. Conforme mostrado na Figura 
35, o número de reações de apoio (incógnitas) é superior 
ao número de equações. Desta forma, é necessário a 
obtenção de equações além das do equilíbrio, a fim de 
tornar o problema matematicamente possível.
Figura 35 - Estruturas hiperestáticas
Equilíbrio de um corpo rígido
 Vimos nas seções anteriores que as forças desconheci-
das são geralmente as reações, e que o número de incógnitas 
correspondentes a uma dada reação depende do tipo de apoio 
34INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
ou conexão que causa esta reação. Consideremos o exemplo 
mostrado na Figura 36(a), submetida as forças N, Q e S. A 
treliça é mantida no lugar por uma articulação em A e um 
rolete em B. A articulação impede o ponto A de se mover, 
exercendo sobre a treliça uma força que pode ser decomposta 
nas componentes Ax e Ay. O rolete impede a treliça de girar 
em relação a A, exercendo força vertical B. O diagrama de 
corpo livre da treliça é ilustrado na Figura 36(b). Ele inclui 
as reações Ax, Ay e B, e as forças aplicadas N, Q e S, além 
do peso P da treliça. Impondo que a soma dos momentos em 
relação a A de todas as forças indicadas na Figura 36(b) seja 
zero, escrevemos a equação ∑MA=0, que pode ser resolvida 
para a intensidade B, pois não contém Ax ou Ay. Impondo que 
a soma dos componentes x e a soma das componentes y das 
forças são nulas, escrevemos as equações ∑Fx=0 e ∑Fy=0, que 
podem ser resolvidas para as componentes Ax e Ay. 
Figura 36
Equações adicionais poderiam ser obtidas igualando a 
zero a soma dos momentos das forças externas em relação a 
outros pontos diferentes de A. Poderíamos, por exemplo, es-
crever ∑MB=0. Contudo, tal afirmação não contém nenhuma 
informação nova, pois já foi estabelecido o sistema de forças 
apresentado na Figura 36(b) , que é equivalente a zero. A 
equação adicional não é usada para determinar uma quarta 
incógnita, ela é útil para verificar a solução obtida das três 
equações originais.
Vamos exercitar esses conceitos através dos problemas 
resolvidos, apresentados na sequência.
35INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Problema 1: Um guindaste fixo tem massa igual a 1000 
kg e é usado para levantar a caixa de 2400 kg. Ele é mantido 
no lugar por um pino articulado em A e um balancim (apoio 
simples) em B. O centro de gravidade do guindaste é o ponto 
G. Determine as componentes das reações em A e B.
Figura 37 - Problema 1
Solução: o primeiro passo para a resolução do exercício 
é fazer o diagrama de corpo livre do guindaste. Começamos 
multiplicando as massas do guindaste pela gravidade para 
obtermos os respectivos pesos: 9,81 kN e 23,5 kN. A reação 
no ponto A é uma força de direção desconhecida, com com-
ponentes Ax e Ay. A reação no balancim é perpendicular à 
direção do mesmo, sendo horizontal. Supomos que Ax, Ay e 
B tenham os sentidos da Figura 38.
Figura 38
Determinação de B: impomos que a soma dos momentos 
em relação ao ponto A seja nula. Resulta uma equação que não 
acontecerá nem em Ax nem em Ay, pois os momentos Ax e 
Ay em relação a A são nulos. Multiplicando o módulo de cada 
força pela distância de sua linha de ação A, obtemos:
Como o resultado é positivo, B tem o sentido da figura.
36INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Determinação de Ax. Determina-se Ax, impondo-se que 
a soma das componentes horizontais das forças externas é nula:
Como Ax é negativo, o sentido de Ax é oposto ao da figura.
Determinação de Ay. Impõe-se que a soma das compo-
nentes verticais é nula:
Somando vetorialmente as componentes, concluímos que 
a reação em A é de 112 kN e acontece num ângulo de 17,3°.
Verificação: a exatidão dos valores obtidos pode ser verifi-
cada lembrando que a soma dos momentos das forças externas, 
em relação a qualquer ponto, deve ser nula. Tomando o ponto 
B, escrevemos:
Problema 2: na Figura 39, três cargas são aplicadas a uma 
viga. A viga é apoiada em um rolete (apoio simples) em A e em 
uma articulação em B. Desprezando o peso da viga, determine 
as reações em A e B quando Q=75kN.
Figura 39
Solução: inicia-se desenhando o digrama de corpolivre da 
viga. A reação em A é vertical representada por A. A reação 
em B tem componentes Bx e By. Supomos que os seus sentidos 
são os da figura abaixo.
 
37INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Equações de equilíbrio. Escrevemos as três equações 
abaixo e calculamos as reações indicadas.
Verificação: é verificada somando as componentes verticais 
das forças externas.
Problema 3: um vagão está em repouso sobre trilhos, que 
formam um ângulo com a vertical. O peso bruto do vagão e 
sua carga é de 27,5 kN e está aplicado em um ponto a 0,75 m 
dos trilhos, sendo igual a distância dos dois eixos das rodas. 
O vagão é seguro por um cabo atado a 0,6 m dos trilhos. 
Determinar a tração no cabo e a reação em cada par de rodas.
Figura 40
Solução: um diagrama de corpo livre par ao vagão deve ser 
desenhado. A reação em cada roda é perpendicular ao trilho, 
e a força de tração T é paralela aos trilhos. Por conveniência, 
38INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
escolhemos o eixo x paralelo aos trilhos e o eixo y, perpendi-
cular. O peso de 27,5 kN é decomposto nas componentes x e y.
Px=27,5kNcos25°=24,9kN
Py=27,5kNsen25°=-11,62kN
Equações de equilíbrio. Tomemos os momentos em re-
lação a A para eliminar T e R1 do cálculo.
Agora tomamos os momentos em relação a B, para eliminar 
T e R_2 do cálculo, escrevemos:
O valor de T é determinado por:
Os valores calculados das reações estão apresentados na 
figura:
Verificação. Os cálculos são verificados por meio da equação:
Problema 4: a estrutura da Figura 41 suporta o telhado de 
um pequeno edifício. Sabendo que a tração no cabo é de 150 
kN, determine a reação no extremo fixo E.
39INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 41
Solução: para iniciarmos o problema devemos fazer o 
diagrama de corpo livre da estrutura e do cabo BDF. A reação 
no extremo fixo E é representada pelas componentes Ex e Ey 
e pelo binário de momento M_E. As outras forças que agem 
no corpo livre são quatro cargas 20kN e a força de 150 kN 
aplicada a extremidade do cabo.
A distância entre DF é defina por:
As equações de equilíbrio são:
 
Síntese
Neste capítulo aprendemos os principais tipos de estrutura 
quanto a sua estaticidade. Também aprendemos as relações de 
quantidade de restrições que cada tipo de vínculo gera sobre 
uma estrutura e como fazer diagramas de corpo livre de uma 
estrutura bidimensional, além disso, diversos exemplos de como 
calcular as reações das estruturas e seus vínculos.
40INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios
1. Uma empilhadeira de 2500 kgf é utilizada para levantar 
uma caixa de 1200 kgf. Determine a reação em cada par de 
rodas: (a) dianteiras e (b) traseiras.
2. Um carrinho de mão é utilizado para transportar um cilindro 
de ar comprimido. Sabendo-se que o peso total do carrinho 
e do cilindro é de 900 N, determine: (a) a força vertical P 
que deve ser aplicada ao braço do carrinho para manter o 
sistema na posição ilustrada. (b) a reação correspondente 
em cada A das rodas.
41INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
3. Uma carga de madeira de peso P=20kN está sendo erguida 
por um guindaste. O peso da lança ABC e o peso combinado 
do veículo e do motorista estão indicados na figura abaixo. 
Determine a reação em cada uma das duas rodas:
a. – Roda dianteira H.
b. – Roda Traseira K.
4. Utilizando a figura do exercício anterior. Sabendo que a 
tração é de 20 kN em todas as partes do cabo AEF e que o 
peso da lança ABC é de 2kN, determine:
a. – Tração na haste CD.
b. – Reação no pino B.
5. Uma treliça pode ser apoiada de duas maneiras, conforme 
figura. Determine as reações nos apoios nos dois casos.
42INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
6. Um guindaste montado em um caminhão é utilizado para 
erguer um compressor de 3000 N. O peso da lança AB e do 
caminhão estão indicados, e o ângulo que a lança faz com 
a horizontal a é de 45º. Determine a reação em cada uma 
das rodas: (a) traseiras C, (b) dianteiras D.
 
7. Determine as reações em A e B quando:
a. α=0
b. α=90
c. 30
43INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
PROPRIEDADES 
GEOMÉTRICAS E 
MOMENTOS DE 
INÉRCIA 
Geometria é uma palavra de origem grega que 
significa: “geo”, terra, e “metria”, que vem da 
palavra “métron” e significa medir.
Sendo assim, a geometria é uma ciência que se dedica a estudar 
as medidas das formas de figuras planas ou espaciais, bem como 
sobre a posição relativa das figuras no espaço e suas propriedades. 
Os matemáticos que realizam os estudos relacionados com a geome-
tria são chamados de geômetras. Ao longo da história da Geome-
tria, que se constituiu como ciência organizada na Grécia Antiga, 
destacaram-se geômetras como Arquimedes, Descartes, Tales de 
Mileto, Euclides (considerado o pai da Geometria), entre outros.
44INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Em nossa disciplina é essencial conhecer as propriedades 
geométricas de uma seção ou de um corpo, sendo neste capítulo 
aprenderemos sobre centroides e momentos de inércia.
Centroide de uma área
O centroide de uma área refere-se ao ponto que define 
o centro geométrico dessa área. Se ela tem forma arbitrária, 
como a da Figura 42a, as coordenadas x e y que definem a 
localização do centroide C são determinadas pelo meio das 
fórmulas abaixo:
Os numeradores destas equações representam o momento 
de primeira ordem do elemento de área dA em torno dos eixos 
x e y, respectivamente (Figura 42b). Os denominadores, por 
sua vez, representam a área total A da forma.
Figura 42
Observe que a localização de alguns centroides é especi-
ficada parcial ou totalmente pelas condições de simetria. Nos 
casos em que a área tem um eixo de simetria, seu centroide 
localiza-se ao longo daquele eixo. Por exemplo, o centroide X 
da área mostrada na Figura 43 localiza-se ao longo do eixo 
y, uma vez que, para a área elementar dA a uma distância +x 
à direita do eixo y, há um elemento idêntico a distância -x à 
esquerda. O momento total de todos os elementos em torno do 
eixo de simetria cancela-se, isto é, ∫ xdA = 0, de modo que x =0.
Figura 43
Nos casos em que a forma tem dois eixos de simetria, o 
centroide localiza-se na interseção de tais eixos (Figura 44). 
45INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 44
Com base no princípio da simetria, relacionamos a loca-
lização do centroide de formas comuns, como mostrado na 
Figura 45. 
Figura 45 – Centroides e momentos de inércia de formas comuns
Frequentemente, uma área pode ser secionada ou dividida 
em várias partes de formas mais simples. Desde que a área e a 
localização do centroide de cada uma dessas formas compostas 
sejam conhecidas, pode-se eliminar a necessidade da integração 
para determinar o centroide de toda a área. Nesse caso, devem 
ser utilizadas equações análogas (mostradas no início deste 
capítulo), exceto pelo fato de que, aqui, símbolos de somatória 
finita substituirão os símbolos de integração, ou seja:
Nesses casos, x e ỹ representam as distâncias algébricas ou 
coordenadas x, y do centroide para cada parte componente, e 
∑A representa a soma das áreas das partes componentes ou 
simplesmente a área total. Em particular, se houver um furo 
ou uma região sem material na parte do componente, esse 
componente deve ser considerado parte componente adicional 
de área negativa. Além disso, se a área total é simétrica em 
relação a um eixo, seu centroide localiza-se em tal eixo. O 
exemplo abaixo ilustra essa situação.
~
46INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exemplo 1
Localize o centroide C da área de seção transversal da viga 
T, mostrada na Figura 46a.
Figura 46
Solução 1 – O eixo y foi posicionado ao longo do eixo de 
simetria, de modo que x =0. Para obter y definiremos o eixo x 
(eixo de referência) ao longo da base da área. A área foi dividida 
em dois retângulos e a localização de centroide y de cada um 
foi definida. Aplicando a equação abaixo temos:
Solução 2 – Usando a mesma divisão de área, pode-se 
posicionar o eixo c na parte superior da área, como mostrado 
naFigura 46b. Nesse caso:
O sinal negativo indica que, como esperado, C localiza-se 
abaixo da origem. Observe também que, pelas duas respostas 
8,55 pol + 4,45 pol = 13 pol, que é a altura da viga.
Solução 3 – Também é possível considerar que a área da 
seção transversal seja um retângulo grande menos dois retân-
gulos pequenos, Figura 46c. Nesse caso temos:
 
47INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Momento de inércia de uma área
Ao calcular o centroide da área, consideramos o momento 
de primeira ordem dessa área em torno de um eixo, ou seja, foi 
necessário calcular uma integral da forma ∫ xdA. Alguns tópicos 
da resistência dos materiais exigem o cálculo de um momento 
de segunda ordem da área, isto é ∫ x2dA. Essa integral é deno-
minada momento de inércia da área. Para mostrar formalmente 
como se define o momento de inércia, consideramos a área A 
mostrada na Figura 47, localizada no plano x-y. por definição, 
os momentos de inércia do elemento infinitesimal dA em torno 
dos eixos x e y são dIx = y2dA e dIy= x2dA, respectivamente. O 
momento de inércia para toda a área é determinado por inte-
gração, isto é:
Figura 47
Podemos expressar o momento de segunda ordem do ele-
mento infinitesimal em torno do polo O ou do eixo z (Figura 
47). Isto é denominado momento polar de inércia (dJO=r^2 
dA). Aqui, r é a distância perpendicular do polo (eixo z) ao 
elemento dA. O momento polar de inércia para toda a área é:
A relação entre Jo e Ix, Iy é possível porque r2 = x2 + y2 (Figura 
47). Pelas equações acima, notam que Jo, Ix e Iy sempre terão 
valores positivos, visto que envolvem o produto do quadrado 
da distância pela área. Além disso, as unidades de inércia 
envolvem o comprimento elevado na quarta potência, isto é, 
mm4, m4 ou pé4, pol4. A Figura 45 mostra momentos de inércia 
para algumas figuras conhecidas.
48INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Teoremas dos eixos paralelos ou teorema de 
Steiner
Se o momento de inércia de uma área em torno do eixo 
do centroide for conhecido, podemos determinar o momento 
de inércia dessa área em torno de um eixo paralelo correspon-
dente pelo teorema do eixo paralelo. Para deduzir tal teorema, 
imaginamos que precisamos determinar o momento de inércia 
em torno do eixo x da área sombreada mostrada na Figura 
48. Nesse caso, um elemento infinitesimal dA localiza-se a 
uma distância arbitrária y’ do eixo x’ do centroide, enquanto 
a distância fixa entre os eixos paralelos x e x’ é definida como 
dy. Como o momento de inércia de dA em torno do eixo x é 
dIx = (y’+dy)2dA, então para toda a área:
Figura 48
O primeiro termo da direita representa o momento de 
inércia da área em torno do eixo x’, Iy’. O segundo termo é 
nulo, uma vez que o eixo x’ passa através da área do centroide 
C, isto é ∫ y’dA = ydA=0, pois y = 0. O resultado é, portanto:
Uma expressão semelhante pode ser escrita para Iy, isto é:
Finalmente, para o momento polar de inércia em torno de 
um eixo perpendicular ao plano x-y e passando pelo polo O 
(eixo z). Na Figura 48, temos:
Ix = Ix’ + Adx2
Iy = Iy’ + Ady2
Jo = Jc + Ad2
49INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O formato das equações diz que o momento de inércia de 
uma área em torno de um eixo é igual a área do momento de 
inércia em torno de um eixo paralelo que passe pelo centroide 
mais o produto da área pelo quadrado da distância perpendi-
cular entre os eixos.
Várias áreas de seção transversal consistem em uma série 
de formas mais interligadas, tais como retângulos, triângulos 
e semicírculos. Desde que o momento de inércia de cada uma 
dessas formas seja conhecido, ou possa ser calculado em torno 
de um eixo comum, o momento de inércia da área composta 
poderá ser determinado como a soma algébrica dos momentos 
de inércia de suas partes componentes.
A fim de determinar adequadamente o momento de inércia 
de tal área em torno de um eixo específico, é necessário antes 
dividi-la em suas partes componentes e indicar a distância 
perpendicular do eixo de referência ao eixo paralelo do cen-
troide de cada parte. Usando a tabela mostrada na Figura 45, 
calcula-se o momento de inércia de cada parte em torno do 
eixo de referência ao eixo paralelo do centroide. Se esse eixo 
não coincidir com o eixo especificado, deve-se usar o teorema 
dos eixos paralelos para determinar o momento de inércia da 
parte em torno do eixo dado. O momento de inércia será deter-
minado somando-se os resultados de duas partes componentes. 
Os exemplos mostrarão a aplicação deste método.
Exemplo 2
Determine o momento de inércia da área da seção transversal 
em torno do eixo x’ do centroide da viga T, mostrada na figura:
Figura 49
50INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A área dois segmentada em dois retângulos como mostra a 
Figura 49, e a distância do eixo x’ para cada eixo do centroide 
foi determinada. Segundo a Figura 45, o momento de inércia de 
um retângulo em torno do eixo de seu centroide é I = 1 ⁄12 bh3. 
Aplicando o teorema do eixo paralelo a cada retângulo, somando 
os resultados temos:
Outra forma de resolver é se considerarmos como um re-
tângulo grande menos dois retângulos pequenos. O tracejado 
está apresentado na Figura 50. Temos:
Figura 50
Exemplo 3
Determinar os momentos de inércia da área da seção trans-
versal em torno dos eixos x e y do centroide, da viga mostrada 
na Figura 51.
Figura 51
51INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A seção transversal pode ser considerada como as três áreas 
retangulares compostas A, B e D, mostradas na Figura 52.
Figura 52
Para fins de cálculo, marcou-se na figura o centroide de 
cada um desses retângulos. Segundo a Figura 45, o momento 
de inércia de um retângulo em torno do eixo de seu centroide 
é I = 1 ⁄12bh3. Então, aplicando o teorema do eixo paralelo aos 
retângulos A e D chegamos aos seguintes cálculos:
Os momentos de inércia para toda a seção transversal são:
Síntese
Neste capítulo aprendemos sobre centroides, que é o ponto 
associado a uma forma geométrica também conhecida como 
centro geométrico. Também aprendemos sobre momentos de 
inércia e que este é uma propriedade de uma seção plana de 
um corpo, que tem relação com a sua resistência à deformação.
52INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios
1. Determine a localização do centroide e o momento de inércia 
à figura abaixo:
2. Determine a localização do centroide e o momento de inércia 
à figura abaixo:
3. Determine a localização do centroide e o momento de inércia 
à figura abaixo:
4. Determine a localização do centroide e o momento de inercia 
à figura abaixo:
53INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
EQUILÍBRIO 
INTERNO E 
SOLICITAÇÕES 
INTERNAS 
A mecânica dos sólidos é o ramo da Mecânica 
do contínuo que estuda comportamento 
deformável dos sólidos.
Neste contexto a matéria é constituída por um meio contínuo 
de posições bem definidas, de modo que deformações, translações 
e rotações possam ser bem descritas e dissociadas para análise. 
A mecânica dos sólidos utiliza tensores para descrever tensões, 
deformações e as relações entre estas quantidades.
54INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Equilíbrio Interno
Até este momento, o curso de Mecânica esteve voltado 
para o equilíbrio externo dos corpos, considerando os mesmos 
como sendo rígidos, sem a possibilidade de deformação. Nesse 
sistema, esforços externos são distribuídos ao longo da barra 
(corpo rígido) até chegarem aos vínculos das estruturas. O 
principal trabalho, inicialmente, foi o de calcular tais reações 
vinculares para que o corpo pudesse ser mantido em equilíbrio. 
Pode-se notar que nos cálculos das reações vinculares não 
é analisado o modo como o corpo transmite, para os apoios, 
as cargas pelas quais está sendo solicitado. A partir de agora, 
no entanto, serão analisados quais os efeitos que a transmissão 
desse sistema de cargas externas para os apoios provoca nas 
diversas seções que constituem o corpo em equilíbrio. 
O cálculo dos esforços solicitantes é a base de mecânica 
dos sólidos, poisatravés de um bom entendimento do conceito 
de esforços solicitantes é que se pode garantir subsídios para o 
estudo da resistência dos materiais.
As cargas reativas ou reações são determinadas com a aplicação 
das equações fundamentais da estática. Nestes casos, o número 
de equações de equilíbrio deve ser, no mínimo, igual ao número 
de reações a serem calculadas. Quando calculamos uma estrutura 
com carregamento plano, as equações da estática se resumem em:
De uma maneira geral diz-se que:
• O equilíbrio não leva em conta o modo como o corpo 
transmite as cargas para os apoios. 
• O corpo, quando recebe carregamento, vai gradativa-
mente deformando-se até atingir o equilíbrio, onde 
as deformações param de aumentar (são impedidas 
internamente), gerando solicitações internas.
• O equilíbrio ocorre na configuração deformada, que 
admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pe-
quenas deformações).
55INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Esta análise é feita para determinar quais os efeitos que a 
transmissão deste sistema de cargas externas aos apoios provoca 
nas diversas seções que constituem o corpo em equilíbrio. Para 
tanto, supõe-se um corpo qualquer em equilíbrio, sob efeito 
de um carregamento qualquer. Ao cortar este corpo por um 
plano qualquer (a-a), rompe-se o equilíbrio, pois sua cadeia 
molecular é destruída na seção demarcada de interseção do 
plano com o corpo.
Figura 53 - Esforços internos
Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em 
equilíbrio, deve-se aplicar, por exemplo, sobre a parte da es-
querda, a ação que a parte da direita exercia sobre ela, ou seja, 
resultante de força ( ) e resultante de momento ( ). O mes-
mo deve ser feito com a parte da esquerda, cujas resultantes 
estão também representadas.
• = Resultante de forças da parte retirada.
• = Resultante de momentos da parte retirada, que 
surge devido a translação da força resultante para o 
centro de gravidade da seção.
Figura 54 - Resultante das seções de ambos os lados
As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem 
ser tais que reproduzam a situação original quando as duas 
partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação 
e reação devem ser de mesmo módulo, mesma direção e senti-
dos opostos. e são as resultantes das solicitações internas 
referidas ao centro de gravidade da seção de corte da barra.
56INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Quando se quer os esforços em uma seção de uma peça, 
deve-se cortar a peça na seção desejada, isolar um dos lados do 
corte (qualquer um). No centro de gravidade desta seção devem 
aparecer esforços internos (resultante de força e de momento) 
que mantém o corpo isolado em equilíbrio.
Para tentar ilustrar a situação, imaginem que uma barra 
rígida AB qualquer está sendo seccionada (Figura 55). Neste 
exemplo, a barra possui 6m e a secção ocorre a 2m de A, en-
tretanto, a secção poderia ser feita em qualquer ponto da barra. 
O corte será chamado de a.
Figura 55
As intensidades das reações nos apoios já são conhecidas 
e indicam que o corpo está em equilíbrio. Porém, ao se efe-
tuar um corte qualquer, para que as partes isoladas pelo corte 
permaneçam em equilíbrio, devem aparecer alguns esforços 
internos, que são desconhecidos.
Figura 56
Como dito anteriormente, no centro de gravidade desta 
seção devem aparecer esforços internos resultantes de força e de 
momento, que mantém o corpo isolado em equilíbrio. Analo-
gamente ao cálculo das reações nos vínculos, onde são somadas 
forças em x e y, e também são calculados momentos, os esforços 
internos devem ocorrer em x e y, gerando um momento.
As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem 
ser tais que reproduzam a situação original quando as duas partes 
forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação e reação, 
devem ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos.
57INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 57
Classificação das solicitações
Para que se facilite a observação e sua determinação, os es-
forços internos estão associados às deformações que provocam e 
se classificam de acordo com elas. Um vetor no espaço pode ser 
decomposto seguindo 3 direções, e adotam-se 3 direções perpen-
diculares entre si no espaço (x,y,z). Decompondo os vetores re-
sultantes e , segundo estas direções escolhidas, tem-se:
Figura 58 - Esforços internos
Observe que foram escolhidas 3 direções perpendiculares 
entre si com a seguinte característica: 2 direções contidas pela 
seção de corte e a terceira perpendicular à seção de corte.
As componentes são denominadas:
• N - Esforço Normal
• V - Esforço Cortante
• M - (Mz e My) - Momento Fletor
• Mt – (Mz) - Momento Torsor
Cada tipo de solicitação tem associada a ela um tipo de 
deformação. Os tipos de solicitação são:
Força normal (N):
Essa força atua perpendicularmente à área. É criada sempre 
que as forças externas tendem a empurrar ou puxar duas partes do 
corpo. O efeito do esforço normal será de provocar uma variação da 
distância que separa as seções, que permanecem planas e paralelas. 
58INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
As fibras longitudinais que constituem estas seções também 
permanecem paralelas entre si, porém, com seus comprimentos 
alterados (sofrem alongamentos ou encurtamentos). O esforço 
normal será considerado positivo quando alonga a fibra longi-
tudinal e negativo no caso de encurtamento.
Figura 59 - Esforço normal
Força cisalhamento ou esforço cortante (V)
A força de cisalhamento localiza-se no plano da área e é 
criada quando cargas externas tendem a provocar o desliza-
mento das duas partes do corpo, uma sobre a outra. O efeito 
do esforço cortante é o de provocar o deslizamento linear, no 
sentido do esforço, de uma seção sobre a outra infinitamente 
próxima, acarretando o corte ou cisalhamento da mesma. O 
esforço cortante representa o efeito de uma força cisalhante em 
uma seção transversal de uma barra.
Figura 60 - Efeito de cisalhamento
Esforços cortantes são positivos quando, entrando com as for-
ças à esquerda de uma seção transversal, a resultante das forças na 
direção transversal for no sentido para cima. De forma consistente 
(ação e reação), esforços cortantes são positivos quando, entrando 
com as forças à direita de uma seção transversal, a resultante das 
forças na direção transversal for no sentido para baixo.
Figura 61 – Sinal do esforço cortante
Quando for contrário ao indicado, o esforço cortante é negativo.
Momento fletor (M)
É provocado pelas cargas externas que tendem a f letir o 
corpo em relação ao eixo localizado no plano da área. É a re-
sultante de todas as forças e momentos de uma porção isolada 
sobre a outra porção, na direção transversal ao eixo da barra 
na seção transversal de corte. 
59INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O efeito do momento f letor é o de provocar o giro da seção, 
em torno de um eixo contido pela própria seção. As fibras de 
uma extremidade são tracionadas enquanto que na outra são 
comprimidas (as seções giram em torno do eixo na qual se 
desenvolve o momento, mas permanecem planas). O momento 
f letor representa o efeito de f lexão (ou dobramento) em uma 
seção transversal de uma barra.
Figura 62 - Momento fletor
O momento f letor Mz é considerado positivo quando tra-
ciona as fibras de baixo da estrutura My, e é positivo quando 
traciona as fibras internas (no caso da esquerda) da estrutura. 
Figura 63 – Sinal do momento fletor
Momento Torsor
É o efeito criado quando as cargas externas tendem a tor-
cer uma parte do corpo em relação a outra. O momento tor-
sor provoca o giro da seção em torno do seu baricentro, ou 
de todas as seções em torno do eixo longitudinal da peça. A 
convenção adotada de sinais para o momento torsor é análoga 
ao esforço normal, ou seja, o momento torsor é considerado 
positivo quando sua seta representativa está saindo da seção 
de referência (regra da mão direita).
Figura 64 - Momento torsor
60INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A Figura65 resume os tipos de solicitações e a regra de 
sinais para cada um deles. 
Figura 65 - Esforços solicitantes internos
Cálculo das solicitações internas
Conforme foi visto, ao se cortar uma estrutura por uma 
seção. Nesta seção devem aparecer esforços que equilibrem o 
sistema isolado. Estes esforços são chamados de solicitações 
internas, que são as forças necessárias para manter o corpo 
unido quando submetido a cargas externas.
Dependendo do tipo de carregamento, uma barra pode ne-
cessitar de mais de um corte para se efetuarem os cálculos. Em 
suma, um novo corte deve ser feito para cada mudança abrupta 
de carregamento. Eis alguns exemplos mostrados na Figura 66:
Figura 66
61INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O “método das seções”
Para fazer o cálculo dos esforços internos, é utilizado o 
método das seções, que consiste em:
• Cortar a peça na seção desejada e isolar um dos lados 
do corte (qualquer um), com todos os esforços externos 
atuando.
• Na seção cortada devem ser desenvolvidas solicitações 
que mantenham o sistema isolado em equilíbrio. Ar-
bitramos as solicitações possíveis de serem desenvolvi-
das (N, Q e M) com suas orientações positivas. Estas 
solicitações são os valores que devemos determinar.
• Aplicando as equações de equilíbrio, por exemplo, em 
relação à seção cortada, determinamos os valores pro-
curados. Observe que as solicitações a serem determi-
nadas são em número de 3, e dispomos também de 3 
equações de equilíbrio, podendo formar um sistema de 
3 equações com 3 incógnitas.
Para entender melhor, apresentarei este conceito através 
do exemplo, onde será analisada uma viga bi, apoiada com 
carregamento uniformemente distribuído (Figura 67).
Figura 67
Primeiramente, transforma-se o carregamento distribuído 
numa força pontual e calculam-se as reações nos vínculos:
Figura 68 - Diagrama de corpo livre
62INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O cálculo das reações nos vínculos dá-se:
Logo,
Figura 69
Com os valores das reações nos vínculos, o próximo passo 
é escolher um ponto qualquer da viga para se fazer um corte 
“α”. Este modelo de carregamento tem apenas um corte para o 
cálculo das solicitações internas. Portanto, escolhe-se um ponto 
qualquer a x unidades de comprimento do ponto A ou do ponto B.
Figura 70
Independente do sentido escolhido para a análise ( AB ou 
BA), deve-se sempre prestar muita atenção na convenção 
de sinais. Na seção cortada, devem ser desenvolvidas so-
licitações que mantenham o sistema isolado em equilíbrio 
(N, V, M). Estas solicitações são os valores que devem ser 
determinados. 
Após escolhido o ponto para o corte, torna-se convenien-
te transformar o carregamento “q” em uma força pontual. 
Como o corte foi feito a “x” unidades da periferia da barra, 
a carga pontual agora não será mais “qL”, mas sim, “qx” 
(lembrem que a área da figura referente ao carregamento, 
neste caso um quadrado, é igual ao carregamento, ou seja, 
A = b × h = q × x).
63INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 71
Se a análise for feita de “A” para “B”, a convenção será:
Figura 72
Caso a análise seja feita de “B” para “A”, a convenção será:
Figura 73
Aplicando as equações de equilíbrio em relação à seção 
cortada, determinam-se os valores procurados. Vale observar 
que as solicitações a serem determinadas são 3 e são dispostas, 
também, 3 equações de equilíbrio, pode-se formar um sistema 
de 3 equações com 3 incógnitas, ou seja, sistema Isostático.
• De A para B:
Figura 74
Somando forças em x e y, e momentos:
 
64INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
• De B para A:
Figura 75
Somando forças em x e y, e momentos:
Observa-se neste caso que a cortante possui sinais diferen-
tes, dependendo do sentido escolhido para o corte, porém, isso 
não interferirá em nada, pois ao seguir a convenção de sinais 
corretamente, os gráficos encontrados a partir das funções 
normal, cortante e momento, para qualquer sentido do corte 
serão os mesmos. 
Diagramas de força cortante e momento 
fletor
Devido as cargas aplicadas, vigas sofrem esforços cortantes 
internos e momento f letor, que varia de ponto a ponta da viga. 
A fim de projetar uma viga corretamente, é necessário primeiro 
determinar o cisalhamento e o momento máximo na viga. Um 
modo de fazer isso é expressar V e M como funções de uma 
posição arbitrária a x ao longo do eixo da viga. Essas funções de 
cisalhamento e momento são aplicadas e representadas por gráficos 
denominados diagramas de força cortante e momento f letor.
Os valores máximos de V e M são obtidos a partir destes 
gráficos. Além disso, como os diagramas de força cortante e 
momento fornecem informações detalhadas sobre a variação 
do cisalhamento e do momento f letor ao longo do eixo da 
viga, são usados frequentemente por engenheiros para decidir 
onde colocar materiais de reforço na viga ou como definir as 
dimensões desta em vários pontos ao longo de seu comprimento.
65INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Anteriormente, utilizamos o “Métodos das seções” para 
determinar as cargas internas em um ponto específico do ele-
mento. Entretanto, se tivermos que determinar V e M internos 
como funções de x ao longo da viga, será preciso localizar o 
corte imaginário a uma distância arbitrária x da extremidade da 
viga a definir V e M de x. Nesse sentido, a escolha da origem 
e direção positiva para qualquer x é arbitrária. É mais comum, 
porém, localizar a origem na extremidade esquerda da viga e 
a direção positiva da esquerda à direita.
Em geral, as funções de cisalhamento interno e momento 
f letor obtidas em função de x são descontínuas ou seu declive é 
descontínuo nos pontos em que a carga distribuída muda ou onde 
estão aplicadas as forças concentradas ou conjugadas. Por essa 
razão, tais funções devem ser determinadas para cada região da 
viga, localizadas entre quaisquer duas descontinuidades de carga. 
Por exemplo, as coordenadas x1, x2 e x3 têm de ser usadas para 
descrever a variação de V e M em todo o comprimento da viga da 
Figura 76. Essas coordenadas são válidas apenas nas regiões A e 
B, no caso de x1, B e C no caso de x2 e de C a D no caso de x3.
Figura 76
Antes de apresentar um método para determinar o cisalha-
mento e o momento f letor como funções de x e depois de relacio-
nar as funções (diagramas de força cortante e momento f letor), é 
necessário estabelecer uma convenção de sinais para estabelecer 
a força cortante interna negativa e positivas e o momento f letor. 
Apesar da escolha da convenção de sinal ser arbitrária, usaremos 
a convenção geralmente adotada na engenharia (Figura 77).
Figura 77
66INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
As direções positivas são as seguintes: a carga distribuída 
atua sobre a viga no sentido de cima para baixo, a força cortante 
interna provoca a rotação no sentido horário do segmento de 
viga sobre o qual atua, e o momento interno provoca a com-
pressão nas fibras superiores do segmento. As cargas opostas 
a estas direções são consideradas negativas.
Através de diagramas, montaremos os diagramas de força 
cortante e momento fletor de uma viga, estes diagramas seguem 
o procedimento de análise:
I. Deve-se determinar as forças reativas e conjugadas que atuam 
sobre a viga e desdobrar em componentes todas as forças 
que atuam perpendicularmente e paralela ao eixo da viga.
II. As funções de cisalhamento e momento fletor devem ser 
especificadas através de coordenadas separadas x com ori-
gem na extremidade esquerda da viga e compreendidas nas 
regiões entre forças concentradas e/ou conjugadas onde não 
haja descontinuidade de carga distribuída.
III. Seccionar a viga perpendicular a seu eixo a cada distância 
x e desenhar o diagrama de corpo livre de um dos segmen-
tos. Certificar-se de que V e M sejam mostrados atuando 
no sentido positivo, de acordo com a convenção de sinais 
mostrada na Figura 77.
IV. A força cortante é obtida somando as forças perpendiculares 
à viga.
V. O momento é obtido somando os períodos em torno da 
extremidadesecionada do segmento.
VI. Diagrama de força cortante e momento fletor.
• Esquematizar o diagrama de força cortante (V versus 
x) e o diagrama momento f letor (M versus x). Se os 
valores numéricos das funções que descrevem V e M 
forem positivos, serão desenhados acima do eixo x, ao 
passo que valores negativos serão desenhados abaixo.
67INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
• Em geral, é conveniente mostrar os diagramas de força 
cortante e momento f letor diretamente abaixo do dia-
grama de corpo livre da viga.
Para compreender melhor, faremos alguns exemplos de 
como fazer todo o processo de análise e criação dos diagramas.
Exemplo 1
Desenhe os diagramas de força cortante (ou cisalhante) e 
momento f letor da viga, mostrada na Figura 78.
Figura 78
Utilizando os cálculos da estática aprendidos nos capítulos 
anteriores, se obtém as reações nas vigas como mostrado na 
Figura 79.
Figura 79
A viga foi secionada a uma distância arbitrária x do apoio 
A, estendendo-se pela região AB. O diagrama de corpo livre 
do segmento esquerdo é mostrado na Figura 80. 
Figura 80
As incógnitas V e M são indicadas no sentido positivo, na 
face direita do segmento, de acordo com a convecção de sinal 
estabelecida. Aplicando as equações do equilíbrio temos:
68INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O diagrama de corpo livre do segmento esquerdo da viga, 
o qual se estende por uma distância x na região BC, é mostrado 
na Figura 81. 
Figura 81
Como sempre, V e M são mostrados atuando no sentido 
positivo, então:
O diagrama de força cortante (ou cisalhamento) representa 
esquematicamente as equações 1 e 3, o diagrama de momento 
representa esquematicamente as equações 2 e 4 (Figura 82).
Figura 82
Exemplo 6.2
 Desenhar os diagramas de força cortante e momento 
f letor da viga, mostrada na Figura 83a.
Figura 83
As reações de apoio foram determinadas na Figura 84.
69INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 84
Este problema é semelhante ao exemplo anterior, porém, 
devem ser utilizadas as coordenadas x para expressar o cisa-
lhamento e o momento na viga em todo o seu comprimento. 
Para o segmento da região AB (Figura 83b), temos.
E para o segmento da região BC (Figura 85), temos:
Figura 85
Quando as funções anteriores são desenhadas, são obtidos 
os diagramas de força cortante e momento, mostrados na Figura 
86. Nesse caso, observe que o cisalhamento é constante em todo 
o comprimento da viga, ou seja, não é afetado pelo conjugado 
Mo que atua no centro da viga. Da mesma maneira que uma 
força cria um salto no diagrama de força cortante (exemplo 1), 
o conjugado cria um salto no diagrama de momento.
Figura 86
70INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exemplo 3
Desenho do diagrama de força cortante e momento f letor 
para a viga mostrada na Figura 87. 
Figura 87
As reações de apoio estão apresentadas na Figura 88.
Figura 88
O diagrama de corpo livre do segmento esquerdo da viga é 
mostrado na Figura 89. A carga nele distribuída é representada 
pela sua força resultante somente depois que o segmento for 
isolado como um diagrama de corpo livre. Como o segmento 
tem comprimento x, a grandeza da força resultante é wx. Essa 
força atua através do centroide da área, que compreende a 
carga distribuída a uma distância x/2 da extremidade direita. 
Aplicando as duas equações de equilíbrio temos:
Figura 89
Esses resultados de V e M poderão ser comprovados caso se 
observe dV ⁄ dx = -w. O valor de fato é correto, visto que w posi-
tivo atua de cima para baixo. Observe também que dM ⁄ dx = V.
71INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Os diagramas de força cortante e momento mostrados na 
Figura 90 são obtidos esquematizando graficamente as equações 
1 e 2. O ponto de cisalhamento nulo é encontrado pela equação 1:
Pelo diagrama de momento fletor, esse valor de x representa 
o ponto da viga em que ocorre o momento máximo, visto que, 
pela equação 2, o declive (V = 0 = dM ⁄ dx, onde temos:
Figura 90
Exemplo 4
Desenhar os diagramas de força cortante e o momento 
f letor da viga mostrada.
Figura 91
A carga distribuída é substituída pela força resultante e 
as reações foram determinadas, como apresenta a Figura 92.
Figura 92
72INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O diagrama de corpo livre de um segmento da viga de 
comprimento x é mostrado na Figura 93. Observe que a in-
tensidade da carga triangular na seção é obtida por proporção, 
ou seja, w/x = wo ou w = wo.x/L. Conhecendo a intensidade 
da carga, a resultante da carga distribuída é determinada pela 
área sob o diagrama (Figura 93). Dessa forma:
Figura 93
Esses resultados podem ser verificados aplicando-se as 
equações 1 e 2, isto é:
Os gráficos das equações 1 e 2 são mostrados na Figura 94.
Figura 94
 
73INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Síntese
 Neste capítulo foi apresentado a introdução sobre mecâ-
nica dos sólidos, onde iniciamos nossa conversa com esforços 
internos. Após compreendermos o que são esforços internos, 
foram apresentados os tipos de deformações, sendo definido 
o método das seções, que mostrou como calcular os esforços 
internos em regiões de componentes. E por fim, foi apresentado 
como montar os diagramas de esforços cortantes e momento 
fletor; gráficos que são muito utilizados para o desenvolvimento 
de projetos, avaliando como os carregamentos variam ao longo 
de uma estrutura.
74INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios
1. Determinar a resultante das cargas internas que atuam na 
seção transversal em C da viga mostrada abaixo.
2. Determinar a resultante das cargas internas que atuam na 
seção transversal em C, do eixo de máquina mostrado na 
figura. O eixo é apoiado por rolamentos em A e B, que 
exercem apenas forças verticais sobre ele.
3. O guindaste da figura consiste na viga AB, as roldanas acopla-
das, do cabo e do motor. Determinar a resultante das cargas 
internas que atuam na seção transversal em C se o motor 
levantar um carga W de 500 lb com velocidade constante. 
Desprezar os pesos das roldanas e da viga.
4. Uma força de 80 N é suportada pelo suporte, como mostrado. 
Determinar a resultante das cargas internas que atuam na 
seção que passa pelo ponto A.
75INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
5. Desenhar os diagramas de forças cortantes e momento para 
o eixo. Os mancais A e B exercem apenas reações verticais 
sobre o eixo.
6. Desenhar os diagramas de forças cortantes e momento à viga.
7. Os três semáforos têm, cada um, massa de 10 kg e o tubo em 
balanço AB tem massa de 1,5 kg/m. Desenhar os diagramas 
de esforços cortantes e momento para o tubo. Desprezar a 
massa do farol.
8. Desenhar os diagramas de forças cortantes e momento à viga.
9. Um píer de concreto armado é usado para suportar os trilhos 
de uma ponte. Desenhe os diagramas de cisalhamento e 
momento para o píer quando ele estiver sujeito às cargas de 
polia mostradas. Suponha que as colunas em A e B exerçam 
apenas reações verticais no píer.
76INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
TENSÕES, TENSÕES 
ADMISSÍVEIS, 
DEFORMAÇÕES 
E LEI DE HOOKE 
Deformação de um corpo é qualquer mudança 
na configuração geométrica do corpo que leve 
a uma variação de suas formas ou dimensões. 
Diversos fatores podem influenciar, tais como 
geometria, propriedade dos materiais e forças 
externas, permitindo classificá-las de acordo 
com sua natureza. 
A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que 
estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo de-
formável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do 
corpo. Este assunto abrange também o cálculo da deformação do 
77INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
corpo e o estudo da sua estabilidade, quando ele está submetido 
a forças externas. No projeto de qualquer estrutura, é necessário 
primeiro usar os princípios da estática para determinar as forças 
que atuam tanto sobre como no interior de vários membros. 
As dimensões dos elementos, sua def lexão e sua estabilidade 
dependem não só das cargas internas como