E-Book - Introdução à Resistência dos Materiais

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INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
FELIPE BIONDO
2INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
SUMÁRIO Esta é uma obra coletiva organizada por iniciativa e direção do CENTRO SUPERIOR 
DE TECNOLOGIA TECBRASIL LTDA – 
Faculdades Ftec que, na forma do art. 5º, 
VIII, h, da Lei nº 9.610/98, a publica sob sua 
marca e detém os direitos de exploração 
comercial e todos os demais previstos em 
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Caxias do Sul/ RS 
REITOR
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PRÓ-REITORA ACADÊMICA
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PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO
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DIRETOR DE ENSINO A DISTÂNCIA (EAD) 
Rafael Giovanella
Desenvolvido pela equipe de Criações para o 
ensino a distância (CREAD)
Coordenadora e Designer Instrucional 
Sabrina Maciel
Diagramação, Ilustração e Alteração de Imagem
Thaís Munhoz 
Revisora
Luana dos Reis
INTRODUÇÃO 3
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 5
Conceitos fundamentais 6
Forças – Princípios básicos 7
Momentos de uma força – Princípios básicos 12
Sistemas de forças 15
Operações vetoriais 18
Síntese 21
EQUILÍBRIO ESTÁTICO DOS CORPOS RÍGIDOS 25
Estática 26
Estruturas 27
Equilíbrio estático 28
Diagrama de corpo livre 29
Equilíbrio em duas dimensões 30
Estaticidade e estabilidade de estruturas planas 32
Equilíbrio de um corpo rígido 33
Síntese 39
PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS E 
MOMENTOS DE INÉRCIA 43
Centroide de uma área 44
Momento de inércia de uma área 47
Teoremas dos eixos paralelos ou teorema de Steiner 48
Síntese 51
EQUILÍBRIO INTERNO E 
SOLICITAÇÕES INTERNAS 53
Equilíbrio Interno 54
Cálculo das solicitações internas 60
Diagramas de força cortante e momento fletor 64
Síntese 73
TENSÕES, TENSÕES ADMISSÍVEIS, 76
DEFORMAÇÕES E LEI DE HOOKE 76
Tensão 77
Tensão admissível 82
Deformação 85
Lei de Hooke 90
TORÇÃO E FLEXÃO 93
Torção 94
Flexão 101
REFERÊNCIAS 111
3INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
INTRODUÇÃO 
Sejam todos bem-vindos à disciplina de introdução à resis-
tência dos materiais. Nesta disciplina aprenderemos os princípios 
da estática e a mecânica dos corpos rígidos, e quais suas relações 
entre as cargas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade 
das forças internas que atuam dentro de um corpo. Este assunto 
também abrange o cálculo da deformação do corpo e o estudo 
da sua estabilidade quando está submetido a forças externas.
Quando desenvolvemos projetos de qualquer estrutura ou 
máquina é necessário, primeiramente, utilizar os princípios da 
estática para determinar as forças que atuam tanto sobre quanto 
no interior de seus vários membros. As dimensões dos elementos, 
sua deflexão e estabilidade dependem não só das cargas internas 
como também do tipo de material do qual esses elementos são 
feitos. Assim, a determinação precisa e a compreensão do com-
portamento do material são de vital importância para o desen-
volvimento das equações utilizadas na resistência dos materiais. 
Hoje, muitas fórmulas e procedimentos de projeto, definidos 
nas normas da engenharia e usados na prática, baseiam-se nos 
fundamentos da resistência dos materiais e, por essa razão, 
compreender os princípios dessa matéria é muito importante.
A história por trás da disciplina iniciou-se com estudos feitos 
por Arquimedes (287 – 212 a.c), estudando os movimentos de 
alavanca. Estudos envolvendo roldanas, plano inclinado e chave 
inglesa também são registrados em escrituras antigas em épocas em 
que a engenharia era limitada principalmente à construção civil.
Figura 1 – Ilustração do estudo das alavancas feito por Arquimedes 
Já a origem da resistência dos materiais remonta ao início do 
século XVII, época em que Galileu realizou experiências para 
estudar os efeitos em cargas, hastes e vigas feitas de vários ma-
teriais. Entretanto, para a compreensão adequada, foi necessário 
4INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
estabelecer descrições experimentais precisas das propriedades 
mecânicas de um material. Os métodos para tais descrições fo-
ram consideravelmente melhorados no início do século XVIII. 
Naquela época, estudos sobre o assunto, tanto experimentais 
como teóricos, foram realizados principalmente na França, por 
notáveis como Saint-Venant, Poisson, Lamé e Navier. Como 
seus estudos baseavam-se em aplicações da mecânica a corpos 
materiais, eles denominaram esses estudos de resistência dos 
materiais. A Figura 2 mostra algumas aplicações atuais para os 
princípios já comentados, onde, através de ferramentas com-
putacionais, é possível analisar sistemas altamente complexos.
Figura 2 - Exemplos de análise estrutural via simulação computacional, utilizando os princípios de 
estática e resistência dos materiais.
5INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
CONCEITOS 
FUNDAMENTAIS
O que é mecânica?
Caros, alunos! Antes de começarmos a estudar os conteúdos 
de resistência mecânica, é importante entender o significado de 
certos conceitos e princípios fundamentais. Mecânica pode ser 
definida como o ramo das ciências físicas que estuda o estado 
de repouso ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças. 
Geralmente, este assunto é subdividido em 3 áreas: mecânica 
de corpo rígido, mecânica de corpo deformável e mecânica dos 
f luídos. Este ebook tratará da mecânica dos corpos rígidos e 
deformáveis, onde a mecânica dos corpos rígidos nos permitirá 
ter uma base para fazer projetos e análise de diversos tipos de 
estruturas. A mecânica dos corpos deformáveis estuda as re-
lações entre as cargas aplicadas a um corpo deformável, assim 
como a intensidade das forças internas. O esquema mostrado na 
Figura 3 resume o que é mecânica e os temas abordados nesta 
6INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
disciplina são os hachurados, também mostrados nesta figura.
Figura 3 - Áreas de estudo da disciplina grifadas em amarelo
Conceitos fundamentais
Antes de iniciarmos nossos estudos, é importante relembrar 
o significado de alguns conceitos e princípios fundamentais 
da mecânica. Abaixo estão listadas algumas das unidades de 
quantificação básicas:
• Comprimento: descreve a posição de um ponto no 
espaço e a dimensão de um sistema físico.
• Tempo: importante em problemas de dinâmica. Trata 
da sucessão de eventos.
• Massa: propriedade da matéria que permite comparar a 
ação de um corpo com a de outro. Essa propriedade se manifesta 
como atração gravitacional entre dois corpos e fornece uma 
medida quantitativa da resistência da matéria a uma mudança 
na velocidade.
• Força: ação direta ou indireta de um corpo sobre outro. 
Isso pode ocorrer quando há contato direto entre corpos ou 
com corpos fisicamente separados. Exemplos de forças são: 
gravitacional, elétrica e magnética. Uma força é caracterizada 
pela sua magnitude, direção e sentido.
Como forma de simplificar a teoria, modelos ou ideali-
zações são utilizados para descrever alguns conceitos, os mais 
importantes estão definidos a seguir:
7INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
• Partícula: uma partícula tem massa e um tamanho que 
pode ser negligenciado. Por exemplo, o tamanho do planeta 
terra é insignificante se comparado a sua órbita, e, portanto, a 
terra pode ser modelada como uma partícula quando estuda-
mos seu movimento de órbita. Quando um corpo é idealizado 
como partícula, os princípios da mecânica são simplificados, 
não incluindo a geometria do corpo na análise.
• Corpo rígido: é um corpo considerado como a combi-
nação de um número de partículas no qual todas as partículas 
permanecem a uma distância fixa da outra antes e depois da 
aplicação da carga, logo, esse corpo não sofre deformação sobre 
a ação de forças.
• Forças concentradas: representa o efeito de um carre-
gamento que atua num ponto. Podemos representar um car-
regamento por uma força concentrada, dada a área na qual a 
carga é aplicada, torna-se muito pequena se comparada a todo 
o corpo.
Forças – Princípios básicos
Com os conceitos acima em mente, exploraremos algunsdeles de forma mais aprofundada, sendo essenciais para obter 
um bom desempenho na disciplina. O primeiro conceito que 
relembraremos é o de força, que é toda a grandeza capaz de 
provocar movimento, alterar o estado de movimento ou pro-
vocar deformação em um corpo. É uma grandeza vetorial cuja 
intensidade pode ser obtida pela expressão da física:
onde: 
F = força 
m = massa do corpo 
a = aceleração provocada 
8INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 4 - (a) Força provocando movimento - (b) Força provocando deformação
 Como a força é uma grandeza vetorial ela é caracterizada 
por possuir:
• Direção
• Sentido
• Módulo ou intensidade
Figura 5 - Grandeza vetorial
Outra força necessária a ser relembrada é a força peso, que 
tem origem gravitacional e é o resultado da atração gravitacional 
exercida pela Terra, não somente sobre os objetos localizados 
próximo à sua superfície, mas atuando também a distâncias 
relativamente longas. Trata-se do exemplo mais simples de 
forças de ação à distância. O fato dos objetos caírem sobre a 
superfície terrestre é a consequência mais perceptível da mes-
ma. A força peso é aplicada ao centro de gravidade do corpo, 
na direção vertical e com sentido de cima para baixo (Figura 
6). A força peso pode ser escrita como:
F = peso 
m = massa do corpo 
g = aceleração gravitacional = 9,81 m2/s 
9INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 6 - Força peso sendo aplicada num corpo
 Características das forças
As principais características de uma força são:
1. Princípio de ação e reação: quando dois corpos se en-
contram, toda a ação exercida por um dos corpos cobre 
o outro, que corresponde a uma reação do segundo 
sobre o primeiro de mesmo módulo e direção, mas com 
sentidos contrários, que é a 3ª lei de Newton. 
2. Princípio da transmissibilidade de uma força: quando 
se aplica uma força em um corpo sólido, a mesma se 
transmite com seu módulo, direção e sentido em toda a 
sua reta suporte ao longo deste corpo, desde que esta seja 
aplicada ao longo de sua linha de aplicação (Figura 7).
Figura 7 - Princípio da transmissibilidade 
10INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Decomposição das forças
Qualquer força no espaço pode ser decomposta segundo 
três direções que desejarmos e veremos que fazendo isso é 
possível simplificar os cálculos para a resolução de problemas. 
Normalmente, usam-se como referência três direções orto-
gonais entre si, escolhidas de acordo com a conveniência do 
problema (Figura 8).
Figura 8 – Representação de uma força F no plano cartesiano e sua decomposição em cada eixo 
 Nestes casos, pode-se usar a resultante ou suas com-
ponentes Fx, Fy e Fz para obter o efeito desejado. Qualquer 
força contida em um plano também pode ser decomposta se-
gundo duas direções. Normalmente, são usadas duas direções 
perpendiculares entre si, também escolhidas de acordo com a 
conveniência do problema. O caso plano é o mais comum de 
ser analisado e pode ser representado como na Figura 9.
Figura 9 - Decomposição de força no plano
Onde:
= força a ser decomposta;
x, y = componentes da força nas direções x e y;
α = ângulo formado por F em relação à x;
x,y = direções ortogonais de referência; 
11INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A decomposição das forças pode ser realizada através de 
cálculos trigonométricos, sendo para este caso:
x = × cos(α); y = × sen(α); y ⁄ x = tan(α); 
A força decomposta também pode ser chamada de re-
sultante da soma vetorial de suas componentes x e y. Nos 
problemas que serão estudados, pode-se utilizar apenas a força 
resultante, como também suas componentes, o que for mais 
fácil para a resolução do problema.
Classificação das forças
As forças podem ser classificadas de acordo com a sua ori-
gem, modo de se comportar, etc., como por exemplo, as forças 
de contato e as de ação a distância. Em análise estrutural, as 
forças são divididas conforme esquema mostrado na Figura 10.
Figura 10 - Classificação das forças
As forças externas atuam a uma estrutura e são divididas em 
forças ativas e reativas. As forças ativas são forças independentes 
que podem atuar em qualquer ponto de uma estrutura. Correspon-
dem às cargas as quais a estrutura está submetida, normalmente 
conhecida ou avaliada. Como exemplo, podemos citar o peso de 
uma pessoa sobre uma sacada, carros sobre uma ponte, etc.
As forças reativas: são forças que surgem em determina-
dos pontos de uma estrutura (vínculos ou apoios), tendo sua 
origem como consequência de outras forças, logo, devem ser 
calculadas para se equivalerem as ações e assim preservarem 
o equilíbrio do sistema.
12INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
As forças internas são aquelas que mantêm unidos os pontos 
materiais que formam um corpo sólido. Se o corpo é estrutu-
ralmente composto de diversas partes, as forças que mantém 
estas partes unidas também são chamadas de forças internas.
Momentos de uma força – Princípios básicos
Conceito
O momento de uma força em relação a um ponto (eixo) 
é a grandeza física que dá uma medida da tendência daquela 
força provocar rotação em torno de um ponto (eixo). 
O momento de uma força em relação a um ponto também 
pode ser denominado de momento polar ou torque. O momento 
de uma força em relação a um eixo é uma grandeza vetorial. 
O módulo do momento “M” é definido como sendo o produto 
do módulo da força “F” pela distância “d” entre a linha de ação 
da força e o eixo. 
Onde:
 O efeito do vetor momento é o de provocar um giro 
com determinado sentido em relação ao ponto “O”, como o 
exemplo mostrado na Figura 11. O vetor momento apresenta 
as seguintes características:
• Direção: perpendicular ao plano formado pela força e 
pelo vetor AO.
• Sentido: regra da mão direita.
• Módulo: produto do módulo da força pela menor 
distância do ponto “0” a reta suporte da força.
M=F×d
M= momento;
F= força;
d= distância de aplicação da força em relação ao eixo.
13INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 11 – Efeito do vetor momento
A unidade de medida no sistema internacional para o mo-
mento é em N.m. Por convenção, o momento pode ser positivo 
ou negativo. Adota-se o sinal (+) se a força F girar no sentido 
anti-horário e (-) no sentido horário. O momento de uma força 
em relação a um eixo é nulo sempre que a força e o eixo forem 
coplanares (concorrentes ou paralelos).
Um exemplo fácil de compreender um momento é obser-
vando a Figura 12, onde duas situações estão propostas por 
(a) e (b). Ao analisarmos a equação do momento, é possível 
verificar que para movimentar a porta, a situação representada 
em (a) necessita de uma aplicação de força maior do que em 
(b), pois o momento necessário para girar a porta é o mesmo 
em ambas as situações, porém, como a distância d_1 é menor 
que d_2, é necessário aplicar uma força maior na situação (a). 
Figura 12 - Momento de uma força
Um exemplo prático para testarmos o que já foi aprendido, 
dar-se-á através da aplicação destes conceitos neste exercício: 
determine o peso que devemos colocar na extremidade direita 
da gangorra, a fim de que ela permaneça em equilíbrio estático.
Figura 13 - Exemplo 1
14INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
No exemplo proposto acima, temos que a condição do con-
junto está em equilíbrio, logo, para isso acontecer, o somatório 
dos momentos em relação a “O” é zero. Para isso ser verdade, 
o valor da força “P” é encontrado como mostrado abaixo:
Momento axial 
O momento axial é o valor algébrico da projeção ortogonal 
sobre o eixo do momento polar produzido pela força em rela-
ção a um ponto qualquer do eixo. Pode ser representado por 
uma grandeza escalar quando se adota uma convenção para a 
orientação do eixo. 
Figura 14 - Força perpendicular ao eixo do plano
Figura 15 - Força inclinada em relação ao plano do eixo
Figura 16 - Força no espaço - Qualquer direção
15INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Sistemas de forças
Conceito
Por definição um sistema de forças, é o conjunto de forças 
que atuam simultaneamenteem um corpo rígido ou em um 
ponto material. A resultante de várias forças que concorrem em 
um ponto é a soma geométrica a partir do ponto, de forças que 
têm mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido às que 
constituem o sistema, formando um polígono. Lembrando que 
uma força pode ser decomposta segundo eixos de referência, 
pode-se determinar a resultante de uma forma mais simples, 
obtendo-se cada componente pela soma algébrica das projeções 
de todas as forças sobre este eixo.
Quando desejamos obter a resultante de mais de duas 
forças, podemos aplicar a regra do paralelogramo sucessivas 
vezes. No entanto, é mais fácil determinar os componentes em 
eixos específicos, somar algebricamente estes componentes e, 
a partir destes, gerar a resultante (Figura 17). 
Figura 17 - Somatório de forças
 Vamos decompor cada força em seus componentes re-
tangulares Fx e Fy, que se localizam ao longo dos eixos x e y, 
respectivamente, como mostram as figuras. 
Figura 18 - Decomposição de vetores
A resultante de forças concorrentes em um ponto de um 
plano, também pode ser calculada através da decomposição 
destas forças em relação a duas direções ortogonais escolhi-
das, sendo a força resultante podendo ser calculada através da 
fórmula de Pitágoras.
16INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 19 - Exemplo 2 - Somatório de forças
O princípio da superposição de efeitos é definido como: o 
efeito produzido por um conjunto de forças atuando simultane-
amente em um corpo é igual a soma do efeito produzido por cada 
uma das forças atuando isolada. Deve-se fazer a ressalva de que 
a validade deste princípio se resume a casos em que o efeito 
produzido pela força seja diretamente proporcional à mesma. 
Isto acontece na maioria dos casos estudados. A partir deste 
princípio pode-se dizer que:
• O momento polar resultante de um sistema de forças 
é a soma algébrica dos momentos polares, produzidos 
em relação ao mesmo ponto, por cada uma das forças 
atuando isolada.
• O momento axial produzido por um sistema de forças, 
atuando simultaneamente em um corpo, é igual à soma 
algébrica dos momentos axiais, produzidos em relação 
ao mesmo eixo de cada uma das forças atuando isolada.
Binários 
Denomina-se binário a um sistema constituído por um 
par de forças paralelas, de módulos iguais e sentidos opostos. 
A resultante em termo de forças é nula, entretanto, há um 
momento polar resultante de módulo igual ao produto da força 
pela distância entre as duas direções paralelas.
17INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 20 - Equivalências de um binário
O binário ou momento é um vetor livre, pois seu efeito 
independe do ponto de aplicação, sendo que para qualquer 
ponto do plano, o binário tem o mesmo valor.
Translação de forças
A translação de uma força é transportá-la de sua direção 
para outra direção paralela. Isto implica no acréscimo de um 
momento devido à translação, cujo módulo é igual ao produto 
da força pela distância de translação.
Figura 21 - Translação de forças
Redução de um sistema de forças a um ponto 
Qualquer sistema de forças pode ser reduzido a um sistema 
vetor-par, onde o vetor é a resultante das forças, localizada a 
partir de um ponto arbitrariamente escolhido e o par é o mo-
mento polar resultante do sistema em relação ao mesmo ponto.
Figura 22 - Redução de forças a um ponto
18INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Forças distribuídas
As cargas distribuídas são cargas por unidade de com-
primento. Estas cargas, uniformes ou variáveis, podem ser 
representadas por uma carga concentrada equivalente, cujo 
valor corresponde à área formada pela figura que representa 
a carga distribuída e é aplicada em seu centro de gravidade. 
A força resultante deve ser calculada por integração, quando 
existem infinitas forças atuando sobre o sistema.
A localização da linha de ação da força resultante em rela-
ção ao eixo x pode ser determinada pela equação de momentos 
e da distribuição de forças em relação ao ponto “O”. A força 
resultante tem uma linha de ação que passa pelo centroide da 
área definida pelo diagrama de carregamento. A Figura 23 
mostra exemplos de cargas distribuídas.
Figura 23 - Cargas distribuídas
Operações vetoriais
Para a resolução dos exercícios vale a pena fazermos uma 
recapitulação sobre a regra do paralelogramo, lei dos senos e 
cossenos, que serão fundamentais para a resolução dos exercícios.
Na Matemática, a regra do paralelogramo é uma proprieda-
de de geometria que relaciona a soma do quadrado dos lados de 
um paralelogramo com a soma do quadrado de suas diagonais. 
Essa propriedade pode ser generalizada para qualquer espaço 
vetorial munido de um produto interno e, em particular, para 
um espaço euclidiano.
19INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Usando a notação do diagrama da Figura 24, os lados são 
denotados (AB), (BC), (CD), (DA). Em geometria Euclidiana, 
um paralelogramo tem os lados opostos iguais, de forma que 
(AB) = (CD) e (BC) = (DA). Assim, a lei pode ser expressa como:
 
Figura 24 - Regra do paralelogramo
A Lei dos Senos determina que em um triângulo qualquer, 
a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida 
do lado oposto a esse ângulo. Esse teorema demonstra que num 
mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de 
seu ângulo oposto será sempre constante. Já a lei dos cossenos 
diz que para qualquer triângulo, o quadrado de um lado é 
igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes 
o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado 
por eles. A Figura 25 resume a lei dos senos e dos cossenos.
Figura 25 - Lei dos senos e cossenos
Exemplos
Exemplo 1: O parafuso gancho da Figura 26 está sujeito 
a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade (módulo) e a 
direção da força resultante.
Figura 26 - Exemplo 1
2(AB2) + 2(BC2) = (AC2) + (BD2)
20INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Para solucionar, deve-se utilizar a lei do paralelogramo, 
que está esquematizada na figura, para encontrar o ângulo do 
triângulo menor. 
Após isso, é necessário desenhar o triângulo que contém as 
forças. Através da lei dos cossenos é possível a força resultante (FR).
O ângulo da força é determinado utilizando-se o valor de 
FR e a lei dos senos.
 
21INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exemplo 2: Na figura, temos dois blocos cujas massas 
são, respectivamente, 4 kg e 6 kg. A fim de manter a barra em 
equilíbrio, determine a que distância x o ponto de apoio deve 
ser colocado. Suponha que inicialmente o ponto de apoio esteja 
a 40 cm da extremidade direita da barra. Vejamos a figura:
Para solucionar o exemplo temos que aplicar a equação do 
momento, que é:
Neste caso, temos dois momentos acontecendo na gangorra, 
um provocado pela massa de 4 kg e outro pela massa de 6 kg, 
como este sistema está em equilíbrio temos que:
Momento1 = Momento2, logo:
F1 × d1 = F2 × d2, então,
4kg × d1 = 6kg × 40 cm, sendo assim:
Para o sistema estar em equilíbrio a distância d1 é de 60 cm.
Síntese
Neste capítulo fizemos uma revisão geral dos conceitos 
fundamentais da mecânica vetorial que serão base para o estudo 
da resistência dos materiais. Dentre os assuntos vistos, relem-
bramos o conceito de forças e momentos, binários e translação 
de forças. Além disso, foram introduzidos termos específicos de 
sistemas idealizados, que serão utilizados ao longo da disciplina. 
Também foram revistos fundamentos trigonométricos básicos 
com a finalidade de relembrar algumas teorias da Matemática, 
que facilitarão a resolução dos exercícios. M=F x d
22INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios
1. Se θ=30° e T = 6 KN, determine a intensidade da força 
resultante que atua sobre a argola e sua direção, medida no 
sentido horário a partir do eixo x positivo. 
2. Se a força resultante precisa atuar ao longo do eixo u positivo 
e ter uma intensidade de 5 KN, determine a intensidade 
necessária de FB e sua direção θ.
3. A caminhonete precisa ser rebocada usando duas cordas. 
Determine asintensidades das forças FA e FB que atuam 
em cada corda para produzir uma força resultante de 950 
N, orientada ao longo do eixo x positivo. Considere θ=50°.
4. Se a tração no cabo é 400 N, determine a intensidade e a 
direção da força resultante que atua sobre a polia. Esse ân-
gulo é o mesmo ânguloW da linha AB no bloco do carretel.
23INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
5. Um carregamento distribuído p = 800 Pa atua no topo de 
uma superfície de uma viga, como mostra a figura. Determine 
a intensidade e a força resultante equivalente.
6. Quando um corpo extenso está sujeito à ação de forças de 
resultante não nula, ele pode adquirir movimento de _______, 
de _______ ou ______, simultaneamente.
a. translação, rotação, ambos.
b. aplicação, rotação, relação.
c. translação, relação, rotação.
d. equilíbrio, rotação, ação.
e. equilíbrio, relação, ambos
7. Suponha que para fechar uma porta de 0,8 metros de largura, 
uma pessoa aplica perpendicularmente a ela uma força de 
3 N, como mostra a figura. Determine o momento dessa 
força em relação ao eixo O.
8. Um rapaz de 900 N e uma garota de 450 N estão em uma 
gangorra. Das ilustrações abaixo, a que representa uma si-
tuação de equilíbrio é:
a. a
b. g
c. c
d. d
e. e
24INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
9. Determine os momentos da força de 800 N em relação aos 
pontos A, B, C e D.
10. Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na 
figura. Substitua este binário por um equivalente composto 
por um par de forças que atuam nos pontos A e B.
25INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
EQUILÍBRIO 
ESTÁTICO DOS 
CORPOS RÍGIDOS 
Estaticidade – Quantidade de restrições de 
vínculos – Diagramas de corpo livre
 Você já se perguntou o que é estaticidade? E quais são 
as relações de quantidade de restrições que cada vínculo pode 
gerar sobre uma estrutura? Como fazer diagramas de corpo 
livre? Através de exemplos, aprenderemos isto agora.
26INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Estática
A estática é a parte da Física que estuda sistemas sob ação 
de forças que se equilibram. De acordo com a segunda lei de 
Newton, a aceleração destes sistemas é nula. Com base na 
primeira lei de Newton, todas as partes de um sistema em 
equilíbrio também estão em equilíbrio. Este fato permite 
determinar as forças internas de um corpo a partir do valor 
das forças externas. Já a terceira lei de Newton, descreve que 
as forças entre dois corpos têm mesmo módulo e direções 
contrárias, com isso se permite isolar partes do sistema, ve-
rificando as forças internas do sistema, tratando-as como 
forças entre dois corpos.
Na Figura 27, temos como exemplo, um bloco de mas-
sa m colocado sobre uma mesa. Como estamos na Terra, 
a gravidade está atraindo este bloco, então sobre ele existe 
uma força de módulo mg apontando para baixo. Para este 
corpo estar em equilíbrio, precisamos que a soma (vetorial) 
de todas as forças sobre ele sejam zero. Assim, é necessário 
que a mesa exerça sobre ele outra força, igual em módulo, 
mas de sentido contrário, ou seja, a força Fn. Finalmente, 
pela terceira Lei de Newton, o bloco exerce sobre a mesa a 
força Fn’, igual (vetorialmente) ao seu peso mg. A análise 
terminou aqui, mas, se fossemos analisar o equilíbrio da 
mesa, seria necessário entrar com seu peso, e com a força 
que o solo exerce sobre ela.
Figura 27 - Bloco sobre uma mesa
27INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Estruturas
Estruturas são sistemas compostos de uma ou mais peças 
ligadas entre si e ao meio exterior, de modo a formar um con-
junto estável, isto é, um conjunto capaz de receber solicitações 
externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus 
apoios, onde estas solicitações externas encontrarão seu sistema 
estático equilibrante. A Figura 28 apresenta esquematicamente 
alguns exemplos de estruturas mais utilizadas.
Figura 28 - Exemplos de estruturas
Componentes de uma estrutura
Os componentes de uma estrutura são chamados de 
elementos, barras ou membros estruturais, que devem ser 
capazes de receber e transmitir esforços. Estes componentes 
podem ser:
• Unidimensionais: vigas, pilares, barras, travessas, co-
lunas, etc. 
• Bidimensionais: folhas - as lajes e as paredes.
• Tridimensionais: sólidos, blocos, etc.
Classificação quanto aos elementos estruturais
Estruturas reticuladas são estruturas formadas por barras 
como vigas, pórticos planos e espaciais, treliças planas e espa-
ciais, grelhas, etc. As barras são os elementos em que uma das 
dimensões é maior que as outras duas, as dimensões da seção 
são nitidamente menores que a extensão da sua linha central. 
Barras de forma prismática são retas e de seção constante. A 
Figura 29 apresenta exemplos de estruturas reticuladas.
28INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 29 - Estruturas reticuladas
Estruturas de superfícies, placas e chapas são os elementos 
em que uma das dimensões é muito menor que as outras duas, 
a espessura é nitidamente menor que as dimensões da seção. 
As placas recebem cargas normais ao seu plano e as chapas 
na direção de seu plano. Na Figura 30 é possível ver alguns 
exemplos de estruturas de superfícies.
Figura 30 - Estruturas de superfície
Estruturas de volume são elementos estruturais como blocos 
de fundação, barragens de gravidade, etc. São os elementos tridi-
mensionais em que as dimensões são de mesma ordem de grandeza.
Equilíbrio estático
Relembramos no capítulo anterior, que as forças externas 
que agem em um corpo rígido podem ser reduzidas a um sistema 
de forças em um ponto arbitrário O. Quando a força e o binário 
são ambos nulos, as forças externas que constituem um sistema 
equivalente a zero e diz que o corpo rígido está em equilíbrio.
29INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de 
um corpo rígido podem, pois, ser obtidas impondo que a força 
resultante e o momento resultante, ambos em O, sejam iguais 
a zero nas equações abaixo:
Decompondo cada força e cada momento em suas com-
ponentes cartesianas, encontramos as condições necessárias e 
suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido, que também 
pode ser expresso pelas seis equações escalares.
As equações obtidas podem ser utilizadas para determinar 
as forças desconhecidas aplicadas a um corpo rígido ou reações 
desconhecidas exercidas por um vínculo. Estas equações tra-
duzem o fato de que as componentes das forças e momentos 
externos se compensam nas direções cartesianas. O sistema de 
forças externas não comunicará movimento de translação ou 
rotação do corpo rígido considerado.
 Para escrever as equações de equilíbrio de corpo rígido 
é essencial identificarmos todas as forças que agem no corpo e 
desenhar um diagrama de corpo livre. Neste capítulo estuda-
remos o equilíbrio de forças bidimensionais e como desenhar 
diagramas de corpo livre, além disso consideraremos as reações 
aplicadas na estrutura por seus vínculos. 
Diagrama de corpo livre 
 Para a resolução de um problema referente ao equilíbrio 
de um corpo rígido, é essencial considerar todas as forças que 
atuam sobre um corpo. Sendo assim, o primeiro passo na 
solução de exercícios é o desenho do diagrama do corpo livre 
do corpo rígido em consideração. O objetivo principal de um 
diagrama de corpo livre é mostrar as forças que atuam em um 
corpo de forma clara, lógica e organizada.
30INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Consiste em separar-se o nosso “corpo de interesse” de 
todos os corpos do sistema com o qual ele interage. Neste 
corpo isolado são representadas todas as forças que nele atuam, 
assim como as forças de interação ou de contato. A palavra livre 
enfatiza a ideia de que todos os corpos adjacentes ao estudado 
são removidos e substituídos pelas forças que nele exercem. 
Lembre-se que sempre que há o contato entre dois corpos surge 
o princípio da ação e reação.
O diagrama do corpo livre define claramente que corpo ou 
que parte do corpo está em estudo, assim como identifica quais 
as forçasque devem ser incluídas nas equações de equilíbrio.
As forças externas desconhecidas são geralmente consti-
tuídas pelas reações, também chamadas de forças de vínculo, 
através das quais o solo e outros corpos se opõem a um possível 
movimento do corpo livre. O diagrama de corpo livre tam-
bém deve incluir dimensões, pois pode ser necessário calcular 
momentos das forças.
Equilíbrio em duas dimensões
 Na primeira parte deste capítulo, consideraremos o equi-
líbrio de uma estrutura bidimensional, isto é, presumiremos 
que a estrutura considerada e as forças sobre ele aplicada es-
tão contidas no plano da figura. Obviamente, as reações para 
manter a estrutura na mesma posição também estão contidas 
no plano da figura.
As reações exercidas sobre uma estrutura bidimensional 
podem ser divididas em 3 grupos correspondentes a 3 tipos 
de vínculos:
• Reações equivalentes a uma força linha de ação co-
nhecida: os vínculos que causam este tipo de reação 
são roletes, balancins, superfícies lisas, hastes curtas, 
cabos e pinos deslizantes sem atrito. Cada um destes 
vínculos pode impedir o movimento em apenas uma 
direção. As reações deste grupo envolvem apenas uma 
31INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
incógnita, que é o módulo da reação. O sentido da reação 
deve ser indicado claramente, como na Figura 31.
• Reações equivalentes a uma força de direção desco-
nhecida: os vínculos que causam este tipo de reação são 
os pinos polidos em orifícios ajustados, articulações e 
superfícies rugosas. Eles podem restringir a translação 
em todas as direções, mas não restringem a rotação em 
torno de uma conexão. As reações deste grupo incluem 
duas incógnitas, geralmente representadas por x e y.
• Reações equivalentes a uma força e um binário: essas 
reações são causadas por apoios fixos que impedem qual-
quer movimento de corpo livre, imobilizando-o comple-
tamente. As reações deste grupo envolvem 3 incógnitas, 
consistindo geralmente de duas componentes de forças e 
o momento binário.
Figura 31 - Reações dos vínculos
32INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Os vínculos podem ser representados na Figura 32.
Figura 32 - Símbolos usados para representar os vínculos
Estaticidade e estabilidade de estruturas 
planas
 Antes de iniciarmos as definições de como é montado 
um diagrama de corpo livre, é importante conhecer os con-
ceitos quando a estabilidade e estaticidade das estruturas. A 
estabilidade das estruturas pode ser classificada como:
• Estáveis: quando o sistema de forças reativas for capaz 
de equilibrar qualquer sistema de forças ativas. Para tal, 
as forças reativas não podem formar sistemas de forças 
paralelas ou concorrentes.
• Instáveis: quando as forças reativas forem em números 
insuficientes, ou formarem um sistema de forças para-
lelas (incapaz de equilibrarem forças paralelas a ela) ou 
concorrentes (incapaz de equilibrar momentos).
Quanto a estaticidade, as estruturas podem ser classificadas 
como hipostáticas (sempre instáveis), isostáticas ou hiperestáticas 
(estas duas sempre estáveis). A definição destes conceitos é:
• Estruturas hipoestáticas: quando o número de apoios 
ou vínculos é insuficiente para estabelecer o equilíbrio 
estático. Neste caso, a estrutura é sempre instável e o 
número de equações de equilíbrio estático é superior ao 
número de reações. Um exemplo de estrutura hipostática 
pode ser visto na Figura 33.
33INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 33 - Estrutura hipostática e instável
Estruturas isostática: quando os apoios de uma estrutura são 
em número, estritamente necessários para impedir todos os seus 
possíveis movimentos. O número de reações de apoio é exata-
mente igual ao número de equações de equilíbrio (Figura 34).
Figura 34 - Estruturas isostáticas
• Estruturas hiperestáticas: quando os apoios de uma 
estrutura são em número superior ao necessário para 
impedir seu movimento. Conforme mostrado na Figura 
35, o número de reações de apoio (incógnitas) é superior 
ao número de equações. Desta forma, é necessário a 
obtenção de equações além das do equilíbrio, a fim de 
tornar o problema matematicamente possível.
Figura 35 - Estruturas hiperestáticas
Equilíbrio de um corpo rígido
 Vimos nas seções anteriores que as forças desconheci-
das são geralmente as reações, e que o número de incógnitas 
correspondentes a uma dada reação depende do tipo de apoio 
34INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
ou conexão que causa esta reação. Consideremos o exemplo 
mostrado na Figura 36(a), submetida as forças N, Q e S. A 
treliça é mantida no lugar por uma articulação em A e um 
rolete em B. A articulação impede o ponto A de se mover, 
exercendo sobre a treliça uma força que pode ser decomposta 
nas componentes Ax e Ay. O rolete impede a treliça de girar 
em relação a A, exercendo força vertical B. O diagrama de 
corpo livre da treliça é ilustrado na Figura 36(b). Ele inclui 
as reações Ax, Ay e B, e as forças aplicadas N, Q e S, além 
do peso P da treliça. Impondo que a soma dos momentos em 
relação a A de todas as forças indicadas na Figura 36(b) seja 
zero, escrevemos a equação ∑MA=0, que pode ser resolvida 
para a intensidade B, pois não contém Ax ou Ay. Impondo que 
a soma dos componentes x e a soma das componentes y das 
forças são nulas, escrevemos as equações ∑Fx=0 e ∑Fy=0, que 
podem ser resolvidas para as componentes Ax e Ay. 
Figura 36
Equações adicionais poderiam ser obtidas igualando a 
zero a soma dos momentos das forças externas em relação a 
outros pontos diferentes de A. Poderíamos, por exemplo, es-
crever ∑MB=0. Contudo, tal afirmação não contém nenhuma 
informação nova, pois já foi estabelecido o sistema de forças 
apresentado na Figura 36(b) , que é equivalente a zero. A 
equação adicional não é usada para determinar uma quarta 
incógnita, ela é útil para verificar a solução obtida das três 
equações originais.
Vamos exercitar esses conceitos através dos problemas 
resolvidos, apresentados na sequência.
35INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Problema 1: Um guindaste fixo tem massa igual a 1000 
kg e é usado para levantar a caixa de 2400 kg. Ele é mantido 
no lugar por um pino articulado em A e um balancim (apoio 
simples) em B. O centro de gravidade do guindaste é o ponto 
G. Determine as componentes das reações em A e B.
Figura 37 - Problema 1
Solução: o primeiro passo para a resolução do exercício 
é fazer o diagrama de corpo livre do guindaste. Começamos 
multiplicando as massas do guindaste pela gravidade para 
obtermos os respectivos pesos: 9,81 kN e 23,5 kN. A reação 
no ponto A é uma força de direção desconhecida, com com-
ponentes Ax e Ay. A reação no balancim é perpendicular à 
direção do mesmo, sendo horizontal. Supomos que Ax, Ay e 
B tenham os sentidos da Figura 38.
Figura 38
Determinação de B: impomos que a soma dos momentos 
em relação ao ponto A seja nula. Resulta uma equação que não 
acontecerá nem em Ax nem em Ay, pois os momentos Ax e 
Ay em relação a A são nulos. Multiplicando o módulo de cada 
força pela distância de sua linha de ação A, obtemos:
Como o resultado é positivo, B tem o sentido da figura.
36INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Determinação de Ax. Determina-se Ax, impondo-se que 
a soma das componentes horizontais das forças externas é nula:
Como Ax é negativo, o sentido de Ax é oposto ao da figura.
Determinação de Ay. Impõe-se que a soma das compo-
nentes verticais é nula:
Somando vetorialmente as componentes, concluímos que 
a reação em A é de 112 kN e acontece num ângulo de 17,3°.
Verificação: a exatidão dos valores obtidos pode ser verifi-
cada lembrando que a soma dos momentos das forças externas, 
em relação a qualquer ponto, deve ser nula. Tomando o ponto 
B, escrevemos:
Problema 2: na Figura 39, três cargas são aplicadas a uma 
viga. A viga é apoiada em um rolete (apoio simples) em A e em 
uma articulação em B. Desprezando o peso da viga, determine 
as reações em A e B quando Q=75kN.
Figura 39
Solução: inicia-se desenhando o digrama de corpolivre da 
viga. A reação em A é vertical representada por A. A reação 
em B tem componentes Bx e By. Supomos que os seus sentidos 
são os da figura abaixo.
 
37INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Equações de equilíbrio. Escrevemos as três equações 
abaixo e calculamos as reações indicadas.
Verificação: é verificada somando as componentes verticais 
das forças externas.
Problema 3: um vagão está em repouso sobre trilhos, que 
formam um ângulo com a vertical. O peso bruto do vagão e 
sua carga é de 27,5 kN e está aplicado em um ponto a 0,75 m 
dos trilhos, sendo igual a distância dos dois eixos das rodas. 
O vagão é seguro por um cabo atado a 0,6 m dos trilhos. 
Determinar a tração no cabo e a reação em cada par de rodas.
Figura 40
Solução: um diagrama de corpo livre par ao vagão deve ser 
desenhado. A reação em cada roda é perpendicular ao trilho, 
e a força de tração T é paralela aos trilhos. Por conveniência, 
38INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
escolhemos o eixo x paralelo aos trilhos e o eixo y, perpendi-
cular. O peso de 27,5 kN é decomposto nas componentes x e y.
Px=27,5kNcos25°=24,9kN
Py=27,5kNsen25°=-11,62kN
Equações de equilíbrio. Tomemos os momentos em re-
lação a A para eliminar T e R1 do cálculo.
Agora tomamos os momentos em relação a B, para eliminar 
T e R_2 do cálculo, escrevemos:
O valor de T é determinado por:
Os valores calculados das reações estão apresentados na 
figura:
Verificação. Os cálculos são verificados por meio da equação:
Problema 4: a estrutura da Figura 41 suporta o telhado de 
um pequeno edifício. Sabendo que a tração no cabo é de 150 
kN, determine a reação no extremo fixo E.
39INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 41
Solução: para iniciarmos o problema devemos fazer o 
diagrama de corpo livre da estrutura e do cabo BDF. A reação 
no extremo fixo E é representada pelas componentes Ex e Ey 
e pelo binário de momento M_E. As outras forças que agem 
no corpo livre são quatro cargas 20kN e a força de 150 kN 
aplicada a extremidade do cabo.
A distância entre DF é defina por:
As equações de equilíbrio são:
 
Síntese
Neste capítulo aprendemos os principais tipos de estrutura 
quanto a sua estaticidade. Também aprendemos as relações de 
quantidade de restrições que cada tipo de vínculo gera sobre 
uma estrutura e como fazer diagramas de corpo livre de uma 
estrutura bidimensional, além disso, diversos exemplos de como 
calcular as reações das estruturas e seus vínculos.
40INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios
1. Uma empilhadeira de 2500 kgf é utilizada para levantar 
uma caixa de 1200 kgf. Determine a reação em cada par de 
rodas: (a) dianteiras e (b) traseiras.
2. Um carrinho de mão é utilizado para transportar um cilindro 
de ar comprimido. Sabendo-se que o peso total do carrinho 
e do cilindro é de 900 N, determine: (a) a força vertical P 
que deve ser aplicada ao braço do carrinho para manter o 
sistema na posição ilustrada. (b) a reação correspondente 
em cada A das rodas.
41INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
3. Uma carga de madeira de peso P=20kN está sendo erguida 
por um guindaste. O peso da lança ABC e o peso combinado 
do veículo e do motorista estão indicados na figura abaixo. 
Determine a reação em cada uma das duas rodas:
a. – Roda dianteira H.
b. – Roda Traseira K.
4. Utilizando a figura do exercício anterior. Sabendo que a 
tração é de 20 kN em todas as partes do cabo AEF e que o 
peso da lança ABC é de 2kN, determine:
a. – Tração na haste CD.
b. – Reação no pino B.
5. Uma treliça pode ser apoiada de duas maneiras, conforme 
figura. Determine as reações nos apoios nos dois casos.
42INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
6. Um guindaste montado em um caminhão é utilizado para 
erguer um compressor de 3000 N. O peso da lança AB e do 
caminhão estão indicados, e o ângulo que a lança faz com 
a horizontal a é de 45º. Determine a reação em cada uma 
das rodas: (a) traseiras C, (b) dianteiras D.
 
7. Determine as reações em A e B quando:
a. α=0
b. α=90
c. 30
43INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
PROPRIEDADES 
GEOMÉTRICAS E 
MOMENTOS DE 
INÉRCIA 
Geometria é uma palavra de origem grega que 
significa: “geo”, terra, e “metria”, que vem da 
palavra “métron” e significa medir.
Sendo assim, a geometria é uma ciência que se dedica a estudar 
as medidas das formas de figuras planas ou espaciais, bem como 
sobre a posição relativa das figuras no espaço e suas propriedades. 
Os matemáticos que realizam os estudos relacionados com a geome-
tria são chamados de geômetras. Ao longo da história da Geome-
tria, que se constituiu como ciência organizada na Grécia Antiga, 
destacaram-se geômetras como Arquimedes, Descartes, Tales de 
Mileto, Euclides (considerado o pai da Geometria), entre outros.
44INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Em nossa disciplina é essencial conhecer as propriedades 
geométricas de uma seção ou de um corpo, sendo neste capítulo 
aprenderemos sobre centroides e momentos de inércia.
Centroide de uma área
O centroide de uma área refere-se ao ponto que define 
o centro geométrico dessa área. Se ela tem forma arbitrária, 
como a da Figura 42a, as coordenadas x e y que definem a 
localização do centroide C são determinadas pelo meio das 
fórmulas abaixo:
Os numeradores destas equações representam o momento 
de primeira ordem do elemento de área dA em torno dos eixos 
x e y, respectivamente (Figura 42b). Os denominadores, por 
sua vez, representam a área total A da forma.
Figura 42
Observe que a localização de alguns centroides é especi-
ficada parcial ou totalmente pelas condições de simetria. Nos 
casos em que a área tem um eixo de simetria, seu centroide 
localiza-se ao longo daquele eixo. Por exemplo, o centroide X 
da área mostrada na Figura 43 localiza-se ao longo do eixo 
y, uma vez que, para a área elementar dA a uma distância +x 
à direita do eixo y, há um elemento idêntico a distância -x à 
esquerda. O momento total de todos os elementos em torno do 
eixo de simetria cancela-se, isto é, ∫ xdA = 0, de modo que x =0.
Figura 43
Nos casos em que a forma tem dois eixos de simetria, o 
centroide localiza-se na interseção de tais eixos (Figura 44). 
45INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 44
Com base no princípio da simetria, relacionamos a loca-
lização do centroide de formas comuns, como mostrado na 
Figura 45. 
Figura 45 – Centroides e momentos de inércia de formas comuns
Frequentemente, uma área pode ser secionada ou dividida 
em várias partes de formas mais simples. Desde que a área e a 
localização do centroide de cada uma dessas formas compostas 
sejam conhecidas, pode-se eliminar a necessidade da integração 
para determinar o centroide de toda a área. Nesse caso, devem 
ser utilizadas equações análogas (mostradas no início deste 
capítulo), exceto pelo fato de que, aqui, símbolos de somatória 
finita substituirão os símbolos de integração, ou seja:
Nesses casos, x e ỹ representam as distâncias algébricas ou 
coordenadas x, y do centroide para cada parte componente, e 
∑A representa a soma das áreas das partes componentes ou 
simplesmente a área total. Em particular, se houver um furo 
ou uma região sem material na parte do componente, esse 
componente deve ser considerado parte componente adicional 
de área negativa. Além disso, se a área total é simétrica em 
relação a um eixo, seu centroide localiza-se em tal eixo. O 
exemplo abaixo ilustra essa situação.
~
46INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exemplo 1
Localize o centroide C da área de seção transversal da viga 
T, mostrada na Figura 46a.
Figura 46
Solução 1 – O eixo y foi posicionado ao longo do eixo de 
simetria, de modo que x =0. Para obter y definiremos o eixo x 
(eixo de referência) ao longo da base da área. A área foi dividida 
em dois retângulos e a localização de centroide y de cada um 
foi definida. Aplicando a equação abaixo temos:
Solução 2 – Usando a mesma divisão de área, pode-se 
posicionar o eixo c na parte superior da área, como mostrado 
naFigura 46b. Nesse caso:
O sinal negativo indica que, como esperado, C localiza-se 
abaixo da origem. Observe também que, pelas duas respostas 
8,55 pol + 4,45 pol = 13 pol, que é a altura da viga.
Solução 3 – Também é possível considerar que a área da 
seção transversal seja um retângulo grande menos dois retân-
gulos pequenos, Figura 46c. Nesse caso temos:
 
47INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Momento de inércia de uma área
Ao calcular o centroide da área, consideramos o momento 
de primeira ordem dessa área em torno de um eixo, ou seja, foi 
necessário calcular uma integral da forma ∫ xdA. Alguns tópicos 
da resistência dos materiais exigem o cálculo de um momento 
de segunda ordem da área, isto é ∫ x2dA. Essa integral é deno-
minada momento de inércia da área. Para mostrar formalmente 
como se define o momento de inércia, consideramos a área A 
mostrada na Figura 47, localizada no plano x-y. por definição, 
os momentos de inércia do elemento infinitesimal dA em torno 
dos eixos x e y são dIx = y2dA e dIy= x2dA, respectivamente. O 
momento de inércia para toda a área é determinado por inte-
gração, isto é:
Figura 47
Podemos expressar o momento de segunda ordem do ele-
mento infinitesimal em torno do polo O ou do eixo z (Figura 
47). Isto é denominado momento polar de inércia (dJO=r^2 
dA). Aqui, r é a distância perpendicular do polo (eixo z) ao 
elemento dA. O momento polar de inércia para toda a área é:
A relação entre Jo e Ix, Iy é possível porque r2 = x2 + y2 (Figura 
47). Pelas equações acima, notam que Jo, Ix e Iy sempre terão 
valores positivos, visto que envolvem o produto do quadrado 
da distância pela área. Além disso, as unidades de inércia 
envolvem o comprimento elevado na quarta potência, isto é, 
mm4, m4 ou pé4, pol4. A Figura 45 mostra momentos de inércia 
para algumas figuras conhecidas.
48INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Teoremas dos eixos paralelos ou teorema de 
Steiner
Se o momento de inércia de uma área em torno do eixo 
do centroide for conhecido, podemos determinar o momento 
de inércia dessa área em torno de um eixo paralelo correspon-
dente pelo teorema do eixo paralelo. Para deduzir tal teorema, 
imaginamos que precisamos determinar o momento de inércia 
em torno do eixo x da área sombreada mostrada na Figura 
48. Nesse caso, um elemento infinitesimal dA localiza-se a 
uma distância arbitrária y’ do eixo x’ do centroide, enquanto 
a distância fixa entre os eixos paralelos x e x’ é definida como 
dy. Como o momento de inércia de dA em torno do eixo x é 
dIx = (y’+dy)2dA, então para toda a área:
Figura 48
O primeiro termo da direita representa o momento de 
inércia da área em torno do eixo x’, Iy’. O segundo termo é 
nulo, uma vez que o eixo x’ passa através da área do centroide 
C, isto é ∫ y’dA = ydA=0, pois y = 0. O resultado é, portanto:
Uma expressão semelhante pode ser escrita para Iy, isto é:
Finalmente, para o momento polar de inércia em torno de 
um eixo perpendicular ao plano x-y e passando pelo polo O 
(eixo z). Na Figura 48, temos:
Ix = Ix’ + Adx2
Iy = Iy’ + Ady2
Jo = Jc + Ad2
49INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O formato das equações diz que o momento de inércia de 
uma área em torno de um eixo é igual a área do momento de 
inércia em torno de um eixo paralelo que passe pelo centroide 
mais o produto da área pelo quadrado da distância perpendi-
cular entre os eixos.
Várias áreas de seção transversal consistem em uma série 
de formas mais interligadas, tais como retângulos, triângulos 
e semicírculos. Desde que o momento de inércia de cada uma 
dessas formas seja conhecido, ou possa ser calculado em torno 
de um eixo comum, o momento de inércia da área composta 
poderá ser determinado como a soma algébrica dos momentos 
de inércia de suas partes componentes.
A fim de determinar adequadamente o momento de inércia 
de tal área em torno de um eixo específico, é necessário antes 
dividi-la em suas partes componentes e indicar a distância 
perpendicular do eixo de referência ao eixo paralelo do cen-
troide de cada parte. Usando a tabela mostrada na Figura 45, 
calcula-se o momento de inércia de cada parte em torno do 
eixo de referência ao eixo paralelo do centroide. Se esse eixo 
não coincidir com o eixo especificado, deve-se usar o teorema 
dos eixos paralelos para determinar o momento de inércia da 
parte em torno do eixo dado. O momento de inércia será deter-
minado somando-se os resultados de duas partes componentes. 
Os exemplos mostrarão a aplicação deste método.
Exemplo 2
Determine o momento de inércia da área da seção transversal 
em torno do eixo x’ do centroide da viga T, mostrada na figura:
Figura 49
50INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A área dois segmentada em dois retângulos como mostra a 
Figura 49, e a distância do eixo x’ para cada eixo do centroide 
foi determinada. Segundo a Figura 45, o momento de inércia de 
um retângulo em torno do eixo de seu centroide é I = 1 ⁄12 bh3. 
Aplicando o teorema do eixo paralelo a cada retângulo, somando 
os resultados temos:
Outra forma de resolver é se considerarmos como um re-
tângulo grande menos dois retângulos pequenos. O tracejado 
está apresentado na Figura 50. Temos:
Figura 50
Exemplo 3
Determinar os momentos de inércia da área da seção trans-
versal em torno dos eixos x e y do centroide, da viga mostrada 
na Figura 51.
Figura 51
51INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A seção transversal pode ser considerada como as três áreas 
retangulares compostas A, B e D, mostradas na Figura 52.
Figura 52
Para fins de cálculo, marcou-se na figura o centroide de 
cada um desses retângulos. Segundo a Figura 45, o momento 
de inércia de um retângulo em torno do eixo de seu centroide 
é I = 1 ⁄12bh3. Então, aplicando o teorema do eixo paralelo aos 
retângulos A e D chegamos aos seguintes cálculos:
Os momentos de inércia para toda a seção transversal são:
Síntese
Neste capítulo aprendemos sobre centroides, que é o ponto 
associado a uma forma geométrica também conhecida como 
centro geométrico. Também aprendemos sobre momentos de 
inércia e que este é uma propriedade de uma seção plana de 
um corpo, que tem relação com a sua resistência à deformação.
52INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios
1. Determine a localização do centroide e o momento de inércia 
à figura abaixo:
2. Determine a localização do centroide e o momento de inércia 
à figura abaixo:
3. Determine a localização do centroide e o momento de inércia 
à figura abaixo:
4. Determine a localização do centroide e o momento de inercia 
à figura abaixo:
53INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
EQUILÍBRIO 
INTERNO E 
SOLICITAÇÕES 
INTERNAS 
A mecânica dos sólidos é o ramo da Mecânica 
do contínuo que estuda comportamento 
deformável dos sólidos.
Neste contexto a matéria é constituída por um meio contínuo 
de posições bem definidas, de modo que deformações, translações 
e rotações possam ser bem descritas e dissociadas para análise. 
A mecânica dos sólidos utiliza tensores para descrever tensões, 
deformações e as relações entre estas quantidades.
54INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Equilíbrio Interno
Até este momento, o curso de Mecânica esteve voltado 
para o equilíbrio externo dos corpos, considerando os mesmos 
como sendo rígidos, sem a possibilidade de deformação. Nesse 
sistema, esforços externos são distribuídos ao longo da barra 
(corpo rígido) até chegarem aos vínculos das estruturas. O 
principal trabalho, inicialmente, foi o de calcular tais reações 
vinculares para que o corpo pudesse ser mantido em equilíbrio. 
Pode-se notar que nos cálculos das reações vinculares não 
é analisado o modo como o corpo transmite, para os apoios, 
as cargas pelas quais está sendo solicitado. A partir de agora, 
no entanto, serão analisados quais os efeitos que a transmissão 
desse sistema de cargas externas para os apoios provoca nas 
diversas seções que constituem o corpo em equilíbrio. 
O cálculo dos esforços solicitantes é a base de mecânica 
dos sólidos, poisatravés de um bom entendimento do conceito 
de esforços solicitantes é que se pode garantir subsídios para o 
estudo da resistência dos materiais.
As cargas reativas ou reações são determinadas com a aplicação 
das equações fundamentais da estática. Nestes casos, o número 
de equações de equilíbrio deve ser, no mínimo, igual ao número 
de reações a serem calculadas. Quando calculamos uma estrutura 
com carregamento plano, as equações da estática se resumem em:
De uma maneira geral diz-se que:
• O equilíbrio não leva em conta o modo como o corpo 
transmite as cargas para os apoios. 
• O corpo, quando recebe carregamento, vai gradativa-
mente deformando-se até atingir o equilíbrio, onde 
as deformações param de aumentar (são impedidas 
internamente), gerando solicitações internas.
• O equilíbrio ocorre na configuração deformada, que 
admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pe-
quenas deformações).
55INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Esta análise é feita para determinar quais os efeitos que a 
transmissão deste sistema de cargas externas aos apoios provoca 
nas diversas seções que constituem o corpo em equilíbrio. Para 
tanto, supõe-se um corpo qualquer em equilíbrio, sob efeito 
de um carregamento qualquer. Ao cortar este corpo por um 
plano qualquer (a-a), rompe-se o equilíbrio, pois sua cadeia 
molecular é destruída na seção demarcada de interseção do 
plano com o corpo.
Figura 53 - Esforços internos
Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em 
equilíbrio, deve-se aplicar, por exemplo, sobre a parte da es-
querda, a ação que a parte da direita exercia sobre ela, ou seja, 
resultante de força ( ) e resultante de momento ( ). O mes-
mo deve ser feito com a parte da esquerda, cujas resultantes 
estão também representadas.
• = Resultante de forças da parte retirada.
• = Resultante de momentos da parte retirada, que 
surge devido a translação da força resultante para o 
centro de gravidade da seção.
Figura 54 - Resultante das seções de ambos os lados
As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem 
ser tais que reproduzam a situação original quando as duas 
partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação 
e reação devem ser de mesmo módulo, mesma direção e senti-
dos opostos. e são as resultantes das solicitações internas 
referidas ao centro de gravidade da seção de corte da barra.
56INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Quando se quer os esforços em uma seção de uma peça, 
deve-se cortar a peça na seção desejada, isolar um dos lados do 
corte (qualquer um). No centro de gravidade desta seção devem 
aparecer esforços internos (resultante de força e de momento) 
que mantém o corpo isolado em equilíbrio.
Para tentar ilustrar a situação, imaginem que uma barra 
rígida AB qualquer está sendo seccionada (Figura 55). Neste 
exemplo, a barra possui 6m e a secção ocorre a 2m de A, en-
tretanto, a secção poderia ser feita em qualquer ponto da barra. 
O corte será chamado de a.
Figura 55
As intensidades das reações nos apoios já são conhecidas 
e indicam que o corpo está em equilíbrio. Porém, ao se efe-
tuar um corte qualquer, para que as partes isoladas pelo corte 
permaneçam em equilíbrio, devem aparecer alguns esforços 
internos, que são desconhecidos.
Figura 56
Como dito anteriormente, no centro de gravidade desta 
seção devem aparecer esforços internos resultantes de força e de 
momento, que mantém o corpo isolado em equilíbrio. Analo-
gamente ao cálculo das reações nos vínculos, onde são somadas 
forças em x e y, e também são calculados momentos, os esforços 
internos devem ocorrer em x e y, gerando um momento.
As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem 
ser tais que reproduzam a situação original quando as duas partes 
forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação e reação, 
devem ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos.
57INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 57
Classificação das solicitações
Para que se facilite a observação e sua determinação, os es-
forços internos estão associados às deformações que provocam e 
se classificam de acordo com elas. Um vetor no espaço pode ser 
decomposto seguindo 3 direções, e adotam-se 3 direções perpen-
diculares entre si no espaço (x,y,z). Decompondo os vetores re-
sultantes e , segundo estas direções escolhidas, tem-se:
Figura 58 - Esforços internos
Observe que foram escolhidas 3 direções perpendiculares 
entre si com a seguinte característica: 2 direções contidas pela 
seção de corte e a terceira perpendicular à seção de corte.
As componentes são denominadas:
• N - Esforço Normal
• V - Esforço Cortante
• M - (Mz e My) - Momento Fletor
• Mt – (Mz) - Momento Torsor
Cada tipo de solicitação tem associada a ela um tipo de 
deformação. Os tipos de solicitação são:
Força normal (N):
Essa força atua perpendicularmente à área. É criada sempre 
que as forças externas tendem a empurrar ou puxar duas partes do 
corpo. O efeito do esforço normal será de provocar uma variação da 
distância que separa as seções, que permanecem planas e paralelas. 
58INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
As fibras longitudinais que constituem estas seções também 
permanecem paralelas entre si, porém, com seus comprimentos 
alterados (sofrem alongamentos ou encurtamentos). O esforço 
normal será considerado positivo quando alonga a fibra longi-
tudinal e negativo no caso de encurtamento.
Figura 59 - Esforço normal
Força cisalhamento ou esforço cortante (V)
A força de cisalhamento localiza-se no plano da área e é 
criada quando cargas externas tendem a provocar o desliza-
mento das duas partes do corpo, uma sobre a outra. O efeito 
do esforço cortante é o de provocar o deslizamento linear, no 
sentido do esforço, de uma seção sobre a outra infinitamente 
próxima, acarretando o corte ou cisalhamento da mesma. O 
esforço cortante representa o efeito de uma força cisalhante em 
uma seção transversal de uma barra.
Figura 60 - Efeito de cisalhamento
Esforços cortantes são positivos quando, entrando com as for-
ças à esquerda de uma seção transversal, a resultante das forças na 
direção transversal for no sentido para cima. De forma consistente 
(ação e reação), esforços cortantes são positivos quando, entrando 
com as forças à direita de uma seção transversal, a resultante das 
forças na direção transversal for no sentido para baixo.
Figura 61 – Sinal do esforço cortante
Quando for contrário ao indicado, o esforço cortante é negativo.
Momento fletor (M)
É provocado pelas cargas externas que tendem a f letir o 
corpo em relação ao eixo localizado no plano da área. É a re-
sultante de todas as forças e momentos de uma porção isolada 
sobre a outra porção, na direção transversal ao eixo da barra 
na seção transversal de corte. 
59INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O efeito do momento f letor é o de provocar o giro da seção, 
em torno de um eixo contido pela própria seção. As fibras de 
uma extremidade são tracionadas enquanto que na outra são 
comprimidas (as seções giram em torno do eixo na qual se 
desenvolve o momento, mas permanecem planas). O momento 
f letor representa o efeito de f lexão (ou dobramento) em uma 
seção transversal de uma barra.
Figura 62 - Momento fletor
O momento f letor Mz é considerado positivo quando tra-
ciona as fibras de baixo da estrutura My, e é positivo quando 
traciona as fibras internas (no caso da esquerda) da estrutura. 
Figura 63 – Sinal do momento fletor
Momento Torsor
É o efeito criado quando as cargas externas tendem a tor-
cer uma parte do corpo em relação a outra. O momento tor-
sor provoca o giro da seção em torno do seu baricentro, ou 
de todas as seções em torno do eixo longitudinal da peça. A 
convenção adotada de sinais para o momento torsor é análoga 
ao esforço normal, ou seja, o momento torsor é considerado 
positivo quando sua seta representativa está saindo da seção 
de referência (regra da mão direita).
Figura 64 - Momento torsor
60INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A Figura65 resume os tipos de solicitações e a regra de 
sinais para cada um deles. 
Figura 65 - Esforços solicitantes internos
Cálculo das solicitações internas
Conforme foi visto, ao se cortar uma estrutura por uma 
seção. Nesta seção devem aparecer esforços que equilibrem o 
sistema isolado. Estes esforços são chamados de solicitações 
internas, que são as forças necessárias para manter o corpo 
unido quando submetido a cargas externas.
Dependendo do tipo de carregamento, uma barra pode ne-
cessitar de mais de um corte para se efetuarem os cálculos. Em 
suma, um novo corte deve ser feito para cada mudança abrupta 
de carregamento. Eis alguns exemplos mostrados na Figura 66:
Figura 66
61INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O “método das seções”
Para fazer o cálculo dos esforços internos, é utilizado o 
método das seções, que consiste em:
• Cortar a peça na seção desejada e isolar um dos lados 
do corte (qualquer um), com todos os esforços externos 
atuando.
• Na seção cortada devem ser desenvolvidas solicitações 
que mantenham o sistema isolado em equilíbrio. Ar-
bitramos as solicitações possíveis de serem desenvolvi-
das (N, Q e M) com suas orientações positivas. Estas 
solicitações são os valores que devemos determinar.
• Aplicando as equações de equilíbrio, por exemplo, em 
relação à seção cortada, determinamos os valores pro-
curados. Observe que as solicitações a serem determi-
nadas são em número de 3, e dispomos também de 3 
equações de equilíbrio, podendo formar um sistema de 
3 equações com 3 incógnitas.
Para entender melhor, apresentarei este conceito através 
do exemplo, onde será analisada uma viga bi, apoiada com 
carregamento uniformemente distribuído (Figura 67).
Figura 67
Primeiramente, transforma-se o carregamento distribuído 
numa força pontual e calculam-se as reações nos vínculos:
Figura 68 - Diagrama de corpo livre
62INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O cálculo das reações nos vínculos dá-se:
Logo,
Figura 69
Com os valores das reações nos vínculos, o próximo passo 
é escolher um ponto qualquer da viga para se fazer um corte 
“α”. Este modelo de carregamento tem apenas um corte para o 
cálculo das solicitações internas. Portanto, escolhe-se um ponto 
qualquer a x unidades de comprimento do ponto A ou do ponto B.
Figura 70
Independente do sentido escolhido para a análise ( AB ou 
BA), deve-se sempre prestar muita atenção na convenção 
de sinais. Na seção cortada, devem ser desenvolvidas so-
licitações que mantenham o sistema isolado em equilíbrio 
(N, V, M). Estas solicitações são os valores que devem ser 
determinados. 
Após escolhido o ponto para o corte, torna-se convenien-
te transformar o carregamento “q” em uma força pontual. 
Como o corte foi feito a “x” unidades da periferia da barra, 
a carga pontual agora não será mais “qL”, mas sim, “qx” 
(lembrem que a área da figura referente ao carregamento, 
neste caso um quadrado, é igual ao carregamento, ou seja, 
A = b × h = q × x).
63INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 71
Se a análise for feita de “A” para “B”, a convenção será:
Figura 72
Caso a análise seja feita de “B” para “A”, a convenção será:
Figura 73
Aplicando as equações de equilíbrio em relação à seção 
cortada, determinam-se os valores procurados. Vale observar 
que as solicitações a serem determinadas são 3 e são dispostas, 
também, 3 equações de equilíbrio, pode-se formar um sistema 
de 3 equações com 3 incógnitas, ou seja, sistema Isostático.
• De A para B:
Figura 74
Somando forças em x e y, e momentos:
 
64INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
• De B para A:
Figura 75
Somando forças em x e y, e momentos:
Observa-se neste caso que a cortante possui sinais diferen-
tes, dependendo do sentido escolhido para o corte, porém, isso 
não interferirá em nada, pois ao seguir a convenção de sinais 
corretamente, os gráficos encontrados a partir das funções 
normal, cortante e momento, para qualquer sentido do corte 
serão os mesmos. 
Diagramas de força cortante e momento 
fletor
Devido as cargas aplicadas, vigas sofrem esforços cortantes 
internos e momento f letor, que varia de ponto a ponta da viga. 
A fim de projetar uma viga corretamente, é necessário primeiro 
determinar o cisalhamento e o momento máximo na viga. Um 
modo de fazer isso é expressar V e M como funções de uma 
posição arbitrária a x ao longo do eixo da viga. Essas funções de 
cisalhamento e momento são aplicadas e representadas por gráficos 
denominados diagramas de força cortante e momento f letor.
Os valores máximos de V e M são obtidos a partir destes 
gráficos. Além disso, como os diagramas de força cortante e 
momento fornecem informações detalhadas sobre a variação 
do cisalhamento e do momento f letor ao longo do eixo da 
viga, são usados frequentemente por engenheiros para decidir 
onde colocar materiais de reforço na viga ou como definir as 
dimensões desta em vários pontos ao longo de seu comprimento.
65INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Anteriormente, utilizamos o “Métodos das seções” para 
determinar as cargas internas em um ponto específico do ele-
mento. Entretanto, se tivermos que determinar V e M internos 
como funções de x ao longo da viga, será preciso localizar o 
corte imaginário a uma distância arbitrária x da extremidade da 
viga a definir V e M de x. Nesse sentido, a escolha da origem 
e direção positiva para qualquer x é arbitrária. É mais comum, 
porém, localizar a origem na extremidade esquerda da viga e 
a direção positiva da esquerda à direita.
Em geral, as funções de cisalhamento interno e momento 
f letor obtidas em função de x são descontínuas ou seu declive é 
descontínuo nos pontos em que a carga distribuída muda ou onde 
estão aplicadas as forças concentradas ou conjugadas. Por essa 
razão, tais funções devem ser determinadas para cada região da 
viga, localizadas entre quaisquer duas descontinuidades de carga. 
Por exemplo, as coordenadas x1, x2 e x3 têm de ser usadas para 
descrever a variação de V e M em todo o comprimento da viga da 
Figura 76. Essas coordenadas são válidas apenas nas regiões A e 
B, no caso de x1, B e C no caso de x2 e de C a D no caso de x3.
Figura 76
Antes de apresentar um método para determinar o cisalha-
mento e o momento f letor como funções de x e depois de relacio-
nar as funções (diagramas de força cortante e momento f letor), é 
necessário estabelecer uma convenção de sinais para estabelecer 
a força cortante interna negativa e positivas e o momento f letor. 
Apesar da escolha da convenção de sinal ser arbitrária, usaremos 
a convenção geralmente adotada na engenharia (Figura 77).
Figura 77
66INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
As direções positivas são as seguintes: a carga distribuída 
atua sobre a viga no sentido de cima para baixo, a força cortante 
interna provoca a rotação no sentido horário do segmento de 
viga sobre o qual atua, e o momento interno provoca a com-
pressão nas fibras superiores do segmento. As cargas opostas 
a estas direções são consideradas negativas.
Através de diagramas, montaremos os diagramas de força 
cortante e momento fletor de uma viga, estes diagramas seguem 
o procedimento de análise:
I. Deve-se determinar as forças reativas e conjugadas que atuam 
sobre a viga e desdobrar em componentes todas as forças 
que atuam perpendicularmente e paralela ao eixo da viga.
II. As funções de cisalhamento e momento fletor devem ser 
especificadas através de coordenadas separadas x com ori-
gem na extremidade esquerda da viga e compreendidas nas 
regiões entre forças concentradas e/ou conjugadas onde não 
haja descontinuidade de carga distribuída.
III. Seccionar a viga perpendicular a seu eixo a cada distância 
x e desenhar o diagrama de corpo livre de um dos segmen-
tos. Certificar-se de que V e M sejam mostrados atuando 
no sentido positivo, de acordo com a convenção de sinais 
mostrada na Figura 77.
IV. A força cortante é obtida somando as forças perpendiculares 
à viga.
V. O momento é obtido somando os períodos em torno da 
extremidadesecionada do segmento.
VI. Diagrama de força cortante e momento fletor.
• Esquematizar o diagrama de força cortante (V versus 
x) e o diagrama momento f letor (M versus x). Se os 
valores numéricos das funções que descrevem V e M 
forem positivos, serão desenhados acima do eixo x, ao 
passo que valores negativos serão desenhados abaixo.
67INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
• Em geral, é conveniente mostrar os diagramas de força 
cortante e momento f letor diretamente abaixo do dia-
grama de corpo livre da viga.
Para compreender melhor, faremos alguns exemplos de 
como fazer todo o processo de análise e criação dos diagramas.
Exemplo 1
Desenhe os diagramas de força cortante (ou cisalhante) e 
momento f letor da viga, mostrada na Figura 78.
Figura 78
Utilizando os cálculos da estática aprendidos nos capítulos 
anteriores, se obtém as reações nas vigas como mostrado na 
Figura 79.
Figura 79
A viga foi secionada a uma distância arbitrária x do apoio 
A, estendendo-se pela região AB. O diagrama de corpo livre 
do segmento esquerdo é mostrado na Figura 80. 
Figura 80
As incógnitas V e M são indicadas no sentido positivo, na 
face direita do segmento, de acordo com a convecção de sinal 
estabelecida. Aplicando as equações do equilíbrio temos:
68INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O diagrama de corpo livre do segmento esquerdo da viga, 
o qual se estende por uma distância x na região BC, é mostrado 
na Figura 81. 
Figura 81
Como sempre, V e M são mostrados atuando no sentido 
positivo, então:
O diagrama de força cortante (ou cisalhamento) representa 
esquematicamente as equações 1 e 3, o diagrama de momento 
representa esquematicamente as equações 2 e 4 (Figura 82).
Figura 82
Exemplo 6.2
 Desenhar os diagramas de força cortante e momento 
f letor da viga, mostrada na Figura 83a.
Figura 83
As reações de apoio foram determinadas na Figura 84.
69INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 84
Este problema é semelhante ao exemplo anterior, porém, 
devem ser utilizadas as coordenadas x para expressar o cisa-
lhamento e o momento na viga em todo o seu comprimento. 
Para o segmento da região AB (Figura 83b), temos.
E para o segmento da região BC (Figura 85), temos:
Figura 85
Quando as funções anteriores são desenhadas, são obtidos 
os diagramas de força cortante e momento, mostrados na Figura 
86. Nesse caso, observe que o cisalhamento é constante em todo 
o comprimento da viga, ou seja, não é afetado pelo conjugado 
Mo que atua no centro da viga. Da mesma maneira que uma 
força cria um salto no diagrama de força cortante (exemplo 1), 
o conjugado cria um salto no diagrama de momento.
Figura 86
70INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exemplo 3
Desenho do diagrama de força cortante e momento f letor 
para a viga mostrada na Figura 87. 
Figura 87
As reações de apoio estão apresentadas na Figura 88.
Figura 88
O diagrama de corpo livre do segmento esquerdo da viga é 
mostrado na Figura 89. A carga nele distribuída é representada 
pela sua força resultante somente depois que o segmento for 
isolado como um diagrama de corpo livre. Como o segmento 
tem comprimento x, a grandeza da força resultante é wx. Essa 
força atua através do centroide da área, que compreende a 
carga distribuída a uma distância x/2 da extremidade direita. 
Aplicando as duas equações de equilíbrio temos:
Figura 89
Esses resultados de V e M poderão ser comprovados caso se 
observe dV ⁄ dx = -w. O valor de fato é correto, visto que w posi-
tivo atua de cima para baixo. Observe também que dM ⁄ dx = V.
71INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Os diagramas de força cortante e momento mostrados na 
Figura 90 são obtidos esquematizando graficamente as equações 
1 e 2. O ponto de cisalhamento nulo é encontrado pela equação 1:
Pelo diagrama de momento fletor, esse valor de x representa 
o ponto da viga em que ocorre o momento máximo, visto que, 
pela equação 2, o declive (V = 0 = dM ⁄ dx, onde temos:
Figura 90
Exemplo 4
Desenhar os diagramas de força cortante e o momento 
f letor da viga mostrada.
Figura 91
A carga distribuída é substituída pela força resultante e 
as reações foram determinadas, como apresenta a Figura 92.
Figura 92
72INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O diagrama de corpo livre de um segmento da viga de 
comprimento x é mostrado na Figura 93. Observe que a in-
tensidade da carga triangular na seção é obtida por proporção, 
ou seja, w/x = wo ou w = wo.x/L. Conhecendo a intensidade 
da carga, a resultante da carga distribuída é determinada pela 
área sob o diagrama (Figura 93). Dessa forma:
Figura 93
Esses resultados podem ser verificados aplicando-se as 
equações 1 e 2, isto é:
Os gráficos das equações 1 e 2 são mostrados na Figura 94.
Figura 94
 
73INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Síntese
 Neste capítulo foi apresentado a introdução sobre mecâ-
nica dos sólidos, onde iniciamos nossa conversa com esforços 
internos. Após compreendermos o que são esforços internos, 
foram apresentados os tipos de deformações, sendo definido 
o método das seções, que mostrou como calcular os esforços 
internos em regiões de componentes. E por fim, foi apresentado 
como montar os diagramas de esforços cortantes e momento 
fletor; gráficos que são muito utilizados para o desenvolvimento 
de projetos, avaliando como os carregamentos variam ao longo 
de uma estrutura.
74INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios
1. Determinar a resultante das cargas internas que atuam na 
seção transversal em C da viga mostrada abaixo.
2. Determinar a resultante das cargas internas que atuam na 
seção transversal em C, do eixo de máquina mostrado na 
figura. O eixo é apoiado por rolamentos em A e B, que 
exercem apenas forças verticais sobre ele.
3. O guindaste da figura consiste na viga AB, as roldanas acopla-
das, do cabo e do motor. Determinar a resultante das cargas 
internas que atuam na seção transversal em C se o motor 
levantar um carga W de 500 lb com velocidade constante. 
Desprezar os pesos das roldanas e da viga.
4. Uma força de 80 N é suportada pelo suporte, como mostrado. 
Determinar a resultante das cargas internas que atuam na 
seção que passa pelo ponto A.
75INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
5. Desenhar os diagramas de forças cortantes e momento para 
o eixo. Os mancais A e B exercem apenas reações verticais 
sobre o eixo.
6. Desenhar os diagramas de forças cortantes e momento à viga.
7. Os três semáforos têm, cada um, massa de 10 kg e o tubo em 
balanço AB tem massa de 1,5 kg/m. Desenhar os diagramas 
de esforços cortantes e momento para o tubo. Desprezar a 
massa do farol.
8. Desenhar os diagramas de forças cortantes e momento à viga.
9. Um píer de concreto armado é usado para suportar os trilhos 
de uma ponte. Desenhe os diagramas de cisalhamento e 
momento para o píer quando ele estiver sujeito às cargas de 
polia mostradas. Suponha que as colunas em A e B exerçam 
apenas reações verticais no píer.
76INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
TENSÕES, TENSÕES 
ADMISSÍVEIS, 
DEFORMAÇÕES 
E LEI DE HOOKE 
Deformação de um corpo é qualquer mudança 
na configuração geométrica do corpo que leve 
a uma variação de suas formas ou dimensões. 
Diversos fatores podem influenciar, tais como 
geometria, propriedade dos materiais e forças 
externas, permitindo classificá-las de acordo 
com sua natureza. 
A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que 
estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo de-
formável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do 
corpo. Este assunto abrange também o cálculo da deformação do 
77INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
corpo e o estudo da sua estabilidade, quando ele está submetido 
a forças externas. No projeto de qualquer estrutura, é necessário 
primeiro usar os princípios da estática para determinar as forças 
que atuam tanto sobre como no interior de vários membros. 
As dimensões dos elementos, sua def lexão e sua estabilidade 
dependem não só das cargas internas comotambém do tipo 
de material do qual esses elementos são feitos. Sendo assim, a 
determinação precisa e a compreensão do comportamento do 
material são de vital importância para o desenvolvimento das 
equações usadas em resistência dos materiais.
Tensão
Como visto nos capítulos anteriores, a força e o momento 
que atuam em determinado ponto na área da seção de um corpo 
representam os efeitos da distribuição da força que atuam na 
área secionada (Figura 95 (b)). Determinar a distribuição das 
cargas internas é de primordial importância na resistência dos 
materiais. Para resolver este problema é necessário estabelecer 
o conceito de tensão.
Considere que a seção da área seja subdividida em áreas 
pequenas, tal como ΔA mostrada em sombreado escuro na Fi-
gura 95 (a). Quando se reduz ΔA a tamanhos cada vez menores, 
devem-se supor duas hipóteses em relação as propriedades do 
material. Devemos considerar que o material é contínuo, isto 
é, possui continuidade ou distribuição uniforme de matéria, 
sem vazios, em vez de ser composto por um número finito de 
átomos ou moléculas distintas. Além disso, o material deve 
ser coeso, o que significa que todas as suas partes estão muito 
bem unidas, em vez de ter trincas, separações ou falhas. Uma 
força finita ΔF, mas muito pequena, atuando sobre sua área 
associada ΔA é mostrada na Figura 95 (a). Essa força, como 
todas as demais, tem direção única, mas para as discussões que 
seguem a substituiremos por seus três componentes, ΔFx, ΔFy 
e ΔFz, assumidos como tangentes e normal à área. A relação 
divisão, entre a força e a área, em geral, tende a um limite finito. 
Essa relação é chamada de tensão e, como observado, descreve 
a intensidade da força interna sobre um plano específico (área) 
que passa por determinado ponto.
78INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 95
Tensão normal
A intensidade da força, ou força por unidade de área, que 
atua no sentido perpendicular a ΔA, é definida como tensão 
normal, σ. Visto que ΔFz é normal à área, temos:
Se a força normal ou tensão “empurra” o elemento de área 
ΔA como mostrado na Figura 95, é denominada tensão de tração, 
ao passo que se puxa ΔA é chamada de tensão de compressão.
Tensão de cisalhamento
 A intensidade da força ou força por unidade de área, que 
atua a tangente a ΔA, é chamada tensão de cisalhamento, τ. 
Os componentes do cisalhamento são:
Observe que o índice z em σz é usado para indicar a direção 
que se afasta da reta normal, a qual se especifica a orientação da 
área ΔA (Figura 96). São usados dois índices para os componentes 
τzy e τzx. O eixo de z especifica a orientação da área, enquanto 
x e y se referem a retas de direção das tensões de cisalhamento.
Figura 96
79INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Estado geral da tensão
Se o corpo for também secionado por planos paralelos ao 
plano x-z (Figura 95 (b)) e ao plano y-z (Figura 95 (c)), podemos 
cortar um elemento cúbico do volume do material. Este elemen-
to cúbico representa o estado de tensão que atua em torno do 
ponto escolhido do corpo (Figura 97). Esse estado de tensão é 
caracterizado pelos três componentes que atuam em cada face 
do elemento. Esses componentes de tensão descrevem o estado 
de tensão no ponto apenas, para o elemento orientado ao longo 
dos eixos x, y e z. Caso o corpo tivesse sido secionado em um 
cubo com outra orientação, o estado de tensão seria definido 
por meio de um conjunto diferente de componentes de tensão.
Figura 97 - Estado geral da tensão
Tensão normal média
Elementos mecânicos são frequentemente compridos e 
finos. Além disso, são submetidos a cargas axiais geralmente 
aplicadas nas extremidades. Elementos de treliça, pendurais e 
parafusos são exemplos típicos. Vamos apreender como deter-
minar a distribuição média da tensão, que atua na seção trans-
versal de uma barra com carga axial, tal como a Figura 98(a). 
Se desprezarmos o peso da barra e secionarmos como indicado, 
então, para o equilíbrio do segmento inferior (Figura 98 (b)), a 
resultante da força interna que atua na seção transversal deverá 
ser igual em intensidade, oposta em direção e colinear a força 
externa que atua na extremidade inferior da barra.
Figura 98
80INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Para determinar a distribuição de tensão média de tensão 
que atua na área da seção transversal da barra, é necessário 
estabelecer algumas hipóteses. É necessário que a barra per-
maneça reta tanto antes como depois da carga ser aplicada, e, 
além disso, a seção transversal deve permanecer plana durante 
a deformação. Se as hipóteses ocorrerem, as linhas horizontais 
e verticais da grade inscrita na barra deformam-se uniforme-
mente quando submetida a carga (Figura 99). 
Figura 99
A fim de que a barra possa sofrer deformação uniforme, 
é necessário que P seja aplicada ao longo do eixo do centroide 
da seção transversal e o material seja homogêneo e isotrópico. 
Um material homogêneo possui as mesmas propriedades físicas 
e mecânicas em todo o seu volume, e um material isotrópico 
possui essas mesmas propriedades e todas as direções. 
Visto que a barra está submetida a uma deformação uni-
forme constante, como observado, então a deformação é o 
resultado de uma tensão normal constante σ (Figura 100).
Figura 100
O resultado é que cada área ΔA da seção transversal está 
sujeita a uma força ΔF= σΔA, e o somatório das forças que atuam 
sobre todas a área da seção transversal deve ser equivalente a 
força interna resultante P na seção. Se ΔA → dA e, portanto, 
ΔF → dF, admitindo que seja σ constante, temos:
81INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Onde: 
 
 No sistema internacional, a intensidade da tensão, tanto 
da tensão normal quanto de cisalhamento, é especificada na 
unidade básica de Newtons por metro quadrado (N⁄m2). Esta 
unidade é denominada pascal (1 Pa = 1 N⁄m2), e como ela é 
muito pequena, geralmente utiliza-se mega pascal (MPa).
Exemplo 1
A barra da Figura 101 (a) tem largura constante de 35mm 
e espessura de 10 mm. Determinar a tensão normal média má-
xima da barra quando submetida ao carregamento mostrado.
Figura 101σ= tensão normal média em qualquer ponto da área da 
seção transversal.
P= resultante da força interna, aplicada no centroide da 
área da seção transversal P. É determinada pelo método 
das seções e pelas equações de equilíbrio.
A= área da seção transversal da barra.
82INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O exame das figuras mostra que as forças axiais internas 
nas regiões AB, BC e CD são todas constantes, mas de inten-
sidades diferentes. Os valores das cargas, determinadas pelo 
método das seções são mostrados na Figura 101 (c). O exame 
das figuras mostra ainda que, a maior carga está na região BC, 
onde PCB = 30 kN. Como a área da seção transversal da barragem 
é constante, a maior tensão média também ocorre nesta região.
A distribuição da tensão atua em uma seção arbitrária da 
barra BC, que é mostrada na Figura 102. Graficamente, o 
volume representado por essa distribuição de tensão equivale 
a carga de 30 kN.
Figura 102
Tensão admissível
O engenheiro responsável pelo projeto de elementos estru-
turais deve restringir a tensão do material a um nível seguro. 
Além disso, ele precisa analisar a estrutura da máquina em uso 
para verificar quais cargas adicionais seus elementos podem 
suportar. Os cálculos devem ser refeitos, usando uma tensão 
segura ou admissível.
Para garantir a segurança, é necessário escolher uma tensão 
admissível que restrinja a carga aplicada a um valor menor que 
a carga que o elemento possa suportar, integralmente. Há várias 
razões para adotar essa prática. Por exemplo, a carga para qual 
o elemento foi projetado pode ser diferente do carregamento 
aplicado. As medições pretendidas de uma estrutura ou má-
quina podem não ser exatas devido a erros de fabricação ou 
na montagem de seus componentes. Vibrações desconhecidas, 
impacto ou cargas acidentais podem ocorrer. Corrosão atmosfé-
rica, deterioração ou desgaste tendem a danificaros materiais.
83INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Um dos métodos para especificar a carga para o projeto, é 
usar um número denominado de fator de segurança. O Fator 
de Segurança (F.S.) é a relação entre a carga de ruptura Frup e 
a carga admissível Fadm. No caso da Frup, é obtida em testes 
experimentais do material e o fator de segurança é selecionado 
com base na experiência, de modo que as incertezas mencionadas 
sejam consideradas quando o elemento é usado em condições 
semelhantes de carga e geometria.
Se a carga aplicada ao elemento for relacionada linearmente, 
a tensão desenvolvida no interior do elemento, como no caso 
do uso de σ = P ⁄ A, podemos expressar o fator de segurança 
como a relação entre a tensão de ruptura e a tensão admissível:
 
O fator de segurança escolhido deve ser maior que 1, a 
fim de evitar maior possibilidade de falha. Os valores do fator 
dependem dos materiais escolhidos e da utilização. Por exem-
plo, o F.S. usado em aeronaves é muito próximo de 1, a fim de 
reduzir o peso do veículo. No caso de um guindaste o F.S. pode 
ser superior a 3, onde há incertezas na utilização do mesmo.
84INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios
1. A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e 
BC, como mostra a figura abaixo. Se AB tem diâmetro de 
10 mm, e BC tem diâmetro de 8 mm, determinar a tensão 
normal média em cada haste.
2. O elemento AC mostrado na figura abaixo está submetido 
a uma força vertical de 3kN. Determinar a posição x de 
aplicação da força de modo que o esforço de compressão 
médio no apoio C seja igual ao esforço de tração no tirante 
AB. A haste tem uma área de seção transversal de 400 mm2, 
e a área de contato C é de 650 mm2.
 
85INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Deformação
Quando uma força é aplicada a um corpo, tende a mudar sua 
forma e seu tamanho. Tais mudanças podem ser denominadas 
deformação e podem ser visíveis ou praticamente imperceptí-
veis sem o uso de equipamentos precisos. Por exemplo, uma 
tira de borracha sofre uma deformação muito grande quando 
esticada. Por outro lado, ocorrem apenas pequenas deforma-
ções de membros estruturais quando um edifício é ocupado 
por pessoas movimentando-se. Um corpo também pode sofrer 
deformações de sua temperatura muda.
De maneira geral, a deformação do corpo não é uniforme 
em todo seu volume, a mudança na geometria de qualquer seg-
mento de reta do corpo pode variar ao longo do comprimento. 
Por exemplo, uma parte da reta pode alongar-se e uma parte 
pode contrair-se. 
Conceito de deformação
Deformação é a alteração da forma de um corpo, devido 
aos movimentos das partículas que o constituem. A tendência 
dos corpos de voltarem a forma original devido a força de atra-
ção entre as partículas, representa a elasticidade do material. 
Quanto mais um corpo tende a voltar a sua forma original, 
mais elástico é seu material, ou seja, quanto mais ele resiste a 
ser deformado maior é a sua elasticidade. Pode-se diferenciar 
os tipos de deformações observando um ensaio simples, de uma 
mola presa a uma superfície fixa e submetida sucessivamente 
a cargas cada vez maiores até a sua ruptura.
Deformações elásticas
Uma deformação é elástica quando cessado o efeito do 
carregamento, pois o corpo volta a sua forma original, como 
mostrado na Figura 103.
86INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 103
No exemplo acima, se medidas numericamente as gran-
dezas, vamos ver que:
Conclui-se que as duas propriedades que caracterizam uma 
deformação elástica são:
• Deformações reversíveis.
• Proporcionalidade entre carga e deformação.
Deformações plásticas
Se fosse aumentada a carga sobre esta mola, ela chegaria 
a uma situação em que terminaria a proporcionalidade, e 
apesar da tendência do corpo em assumir sua forma origi-
nal, sempre restariam as chamadas deformações residuais. 
Considera-se terminado o regime elástico e o corpo passa 
a atuar em regime plástico. Note que no regime plástico 
termina a proporcionalidade e a reversibilidade das defor-
mações.
Se fosse aumentada ainda mais a carga, o próximo limite 
seria a ruptura.
87INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Ensaio de tração e compressão
A resistência de um material depende da capacidade de 
suportar carga sem deformação excessiva ou ruptura. Essa 
propriedade é inerente ao próprio material e deve ser deter-
minada experimentalmente. Um dos testes mais importantes 
a se realizar neste sentido é o ensaio de tração e compressão 
do material. Embora muitas propriedades possam ser de-
terminadas por meio deste teste, ele é usado principalmente 
para determinar a relação entre a tensão normal média e 
a deformação normal média, tais como metais, cerâmicas, 
polímeros e materiais compostos. Para realizar este ensaio, 
corpos de prova normatizados são utilizados. São tomadas 
algumas medidas de referência e o ensaio consiste em aplicar 
uma carga axial sem f lexão do corpo de provas, como mos-
trado na Figura 104.
Figura 104
Com os dados obtidos no ensaio de tração, é possível cal-
cular diversos valores de tensão e deformação correspondente 
no corpo de prova, sendo possível gerar um diagrama tensão-
-deformação. Que pode ser escrito de duas maneiras:
• Diagrama tensão-deformação convencional. Com 
os dados registrados, determinamos a tensão nominal 
ou de engenharia dividindo a carga aplicada P pela 
área da seção transversal inicial do corpo de prova Ao. 
Esse cálculo pressupõe que a tensão seja constante na 
seção transversal e em toda a região entre os pontos de 
calibragem. Temos:
88INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
• Da mesma forma, a deformação nominal ou de enge-
nharia é encontrada diretamente, dividindo-se a variação 
no comprimento de referência, δ, pelo comprimento de 
referência inicial Lo. Suponhamos que a deformação 
seja constante em toda a região entre os pontos de ca-
libragem. Assim:
Se os valore de σ e ε forem colocados em um gráfico, no 
qual a ordenada seja a tensão e a abscissa seja a deformação, a 
curva resultante será chamada diagrama tensão-deformação. 
Esse diagrama é muito importante em engenharia, pois per-
mite obter dados sobre a resistência, a tração (ou compressão) 
do material sem considerar o tamanho físico ou formato físico 
desse material, isto é, sua geometria. Entende-se, no entanto, 
que dois diagramas tensão-deformação do mesmo material não 
serão exatamente iguais, uma vez que os resultados dependem 
de variáveis, tais como composição química do material, im-
perfeições microscópicas, a maneira como foi fabricado, a taxa 
da carga e a temperatura durante o período te teste. A Figura 
105 mostra o diagrama tensão deformação de um material 
dúctil, nesse caso o aço.
Figura 105 – Diagrama tensão-deformação
89INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Neste diagrama é possível entender as definições feitas 
anteriormente de deformação plástica e elástica para um de-
terminado material. O comportamento elástico do material 
ocorre quando as deformações no corpo de prova estão na região 
sombreada clara da Figura 105. Pode-se observar que a curva na 
verdade é uma reta na maior parte desta região, de modo que a 
tensão é proporcional a tensão. Em outras palavras, o material 
é linear elástico. Se a tensão excede ligeiramente o limite de 
proporcionalidade, o material pode responder elasticamente, 
entretanto, a curva a de f letir e achatar como mostrado. Essa 
condição continua até atingir o limite de elasticidade. Ao 
atingir este ponto, se a carga for removida, o corpo de prova 
ainda retorna a sua forma original.
O escoamento é um pequeno aumento de tensão acima 
do limite de elasticidade, resultando em colapso do material, 
fazendo com que ele se deforme permanentemente. A tensão 
provocada pelo escoamento é chamada de limite de escoamento, 
e a deformação ocorrida é denominada deformação plástica.
Quando o escoamento termina, pode-se aplicar uma carga 
adicional que resultará numa curva que cresce continuamente, 
mas que se torna mais planaaté que alcança a tensão máxima 
denominada de limite de resistência. O aumento da curva é 
chamado de endurecimento por deformação. Durante o teste, 
enquanto o corpo de prova sofre alongamento, a área de sua seção 
transversal decresce. O decréscimo da área é bastante uniforme 
ao longo de todo o comprimento de referência do corpo de prova, 
inclusive até a deformação correspondente ao limite de resistência.
Ao atingir o limite de resistência, a área da seção transversal 
começa a diminuir em uma região localizada no corpo de prova. 
Esse fenômeno é provocado por deslizamento de planos, formados 
no interior do material, e as deformações produzidas são provo-
cadas por cisalhamento. Como resultado, forma-se uma estricção 
nessa região, a medida que o corpo de prova se alonga. Como a 
área da seção transversal nessa região está decrescendo continu-
amente, a área menor pode suportar apenas carga decrescente. 
Portanto, o diagrama tensão-deformação tende a curvar-se para 
baixo até que o corpo de prova quebre com a tensão de ruptura.
90INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 106 - Máquina realizando ensaio de tração
Lei de Hooke
Como observamos na seção anterior, os diagramas de ten-
são-deformação para a maioria dos materiais da engenharia apre-
sentam a relação linear entre tensão e deformação na região de 
elasticidade. Consequentemente, um aumento na tensão provoca 
um aumento proporcional na deformação. Esse fato foi desco-
berto por Robert Hooke, 1676, com o auxílio de molas, mas é 
conhecido como lei de Hooke. Matematicamente é expressa por:
Ela representa a constante de proporcionalidade, chamada 
de módulo de elasticidade ou módulo de Young, nome deri-
vado de Thomas Young, que publicou uma explicação da lei 
em 1807. A equação anterior, na verdade, representa a porção 
inicial da reta do diagrama tensão deformação até o limite de 
proporcionalidade. Por sua vez, o módulo de elasticidade re-
presenta o declive dessa reta. Como a tensão é adimensional, 
pela equação, usa as mesmas unidades de tensão, tais como 
pascal, psi ou ksi. 
 Como mostrado na Figura 107, o limite de proporciona-
lidade para um tipo particular de aço depende dos componentes 
de sua liga; entretanto, a maioria dos tipos de aço, desde aço 
laminado mais mole até o aço para ferramentas mais duro, tem 
aproximadamente o mesmo módulo de elasticidade, em geral 
aceito como Eaço = 200 GPa. Valores comuns de E para outros 
materiais podem ser encontrados em manuais de engenharia 
e livros de referência. Observe que o módulo de elasticidade 
é uma propriedade mecânica que representa rigidez de um 
σ = εE
91INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
material. Materiais muito rígidos, como aço, têm valores altos 
de E (aço = 200 GPa), enquanto materiais esponjosos como 
borrachas têm valores mais baixos (Eborr = 0,7 MPa).
Figura 107
O módulo de elasticidade é uma das propriedades mecânicas 
mais importantes no desenvolvimento das equações apresentadas 
nesse texto. Deve ser sempre lembrado, porém, que E só pode 
ser usado se o material tem comportamento linear elástico. 
Além disso, se a tensão no material for maior que o limite de 
proporcionalidade, o diagrama tensão-deformação deixará de 
ser uma reta e a equação acima não será mais válida.
92INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios
1. A figura abaixo mostra o comportamento tensão-deformação 
de engenharia em tração para uma liga de aço.
a. Qual o módulo de elasticidade?
b. Qual o limite de proporcionalidade?
c. Qual o limite de escoamento para uma pré-deformação de 
0.002?
d. Qual o limite de resistência à tração?
2. O diagrama de tensão de deformação para uma liga de aço 
com um diâmetro original de 12 mm e um comprimento 
de diâmetro 50 mm é dado na figura. Determine aproxi-
madamente o módulo de elasticidade do material, a carga 
na amostra que causa a produção e a carga máxima que a 
amostra suportará.
Dado que: d = 12 mm e L = 50 mm
3. Uma barra de aço A36 tem um comprimento de 1250 mm 
e área de seção transversal de 430 mm2. Determine o com-
primento da barra se esta estiver sujeita a uma tensão axial 
de 25 kN. O material tem comportamento linear elástico.
A = 430 mm2 L0=1250mm 
 P = 25kN; σy=250 MPa E = 200 GPa
93INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
TORÇÃO 
E FLEXÃO 
Na mecânica os dois principais tipos de fenô-
menos que provocam deformações nos corpos 
são os carregamentos de torção e flexão.
Na primeira parte deste capítulo discutiremos os efeitos da 
aplicação de esforços torcionais em um elemento linear longo, 
tal como um eixo ou um tubo. Inicialmente consideraremos 
que o elemento tenha seção transversal circular. 
94INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Torção
A Torção é a deformação de um sólido em que os planos 
vizinhos (transversais a um eixo c) sofrem, cada um deles, um 
deslocamento angular relativo aos outros planos, ou seja, é a 
deformação que um objeto sofre quando se lhe imprime um 
movimento de rotação, fazendo-se girar em sentido contrário 
as suas partes constituintes.
Deformação por torção de eixo circular
Torque é um momento que tende a torcer seu membro 
em torno de seu eixo longitudinal. Seu efeito é de interesse 
principal no projeto de eixos ou eixos de acionamento usados 
em veículos e maquinaria. Fisicamente, podemos ilustrar o que 
acontece quando um torque é aplicado em um eixo circular, 
considerando o eixo como feito de um material altamente 
deformável, como borracha (Figura 108 (a)). Quando o tor-
que é aplicado, os círculos e as retas longitudinais da grelha, 
originalmente marcada no eixo, tendem a se distorcer com o 
padrão mostrado na Figura 108 (b). Por inspeção, a torção faz 
os círculos permanecerem como círculos e cada reta longitu-
dinal da grelha deforma-se em uma hélice que intercepta os 
círculos em ângulos iguais. Além disso, as seções transversais 
das extremidades do eixo permanecem planas, ou seja, não 
entortam nem incham ou se contraem, e as retas radiais dessas 
extremidades permanecem retas durante a deformação Figura 
108 (b). 
Figura 108
95INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A partir dessas observações, podemos supor que, se o 
ângulo de rotação for pequeno, o comprimento do eixo e seu 
raio permanecerão inalterados. Se o eixo estiver preso em uma 
extremidade e for aplicado um torque na outra extremidade, o 
plano sombreado da Figura 109 se distorcerá e assumirá uma 
forma oblíqua como mostrado. Nesse caso, uma linha radial 
localizada na seção transversal a uma distância x da extremidade 
fixa do eixo girará por meio de um ângulo ø(x). O ângulo ø(x), 
assim definido, é denominado ângulo de torção. Ele depende 
da posição x e varia ao longo do eixo como mostrado.
Figura 109
Figura 110 - Deformação do elemento retangular quando a barro de borracha é submetida a um torque
Quando um torque externo é aplicado a um eixo, cria um 
torque interno correspondente no interior do eixo. Nesta seção, 
desenvolveremos uma equação que relacione o torque interno 
com a distribuição das tensões de cisalhamento na seção trans-
versal de um eixo ou tubo circular.
Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke apli-
ca-se e, consequentemente, como observado anteriormente, a 
variação na deformação linear por cisalhamento leva a uma 
variação linear na tensão de cisalhamento ao longo de qualquer 
reta radial na seção transversal. Assim como a variação tensão 
deformação pra um eixo maciço, τ varia de zero na linha de 
centro longitudinal do eixo a um valor máximo, τmax, em seu 
96INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
limite externo. Esta variação é mostrada na Figura 111 para 
faces dianteiras de um número selecionado de elementos, loca-
lizados em um posição radial intermediária ρ e na extremidade 
do raio c. devido a proporcionalidade dos triângulos, ou pela 
lei de Hooke, podemos escrever:
 
Figura 111 – Tensão de cisalhamento varia linearmente ao longo de cada reta radial da seção transversal.
Essaequação expressa a distribuição cisalhamento tensão 
como uma função da posição radial ρ do elemento; em outras 
palavras, ela define a distribuição de tensão na seção transversal 
em termos da geometria do eixo. Com ela, podemos satisfazer 
de que o torque produzido pela distribuição de tensão em toda 
a seção transversal seja equivalente ao torque interno resultante 
T na seção, o que manterá o eixo em equilíbrio (Figura 111). 
Especificamente, cada elemento de área dA, localizado em ρ, 
está submetido a uma força dF = τdA. O toque produzido por 
essa força é dT = ρ(τdA). Temos, portanto, para toda a seção 
transversal:
Como τmáx/x é constante,
 
97INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
A integral dessa equação depende somente da geometria 
do eixo. Ela representa o momento de inércia polar da área 
da seção transversal, calculando em torno da linha de centro 
longitudinal do eixo. Usaremos o símbolo J para esse valor, 
assim a equação anterior pode ser escrita de forma mais com-
pacta, ou seja:
Onde:
A tensão de cisalhamento é determinada na distância in-
termediária ρ a partir de uma equação semelhante obtida por 
meio das equações anteriores:
Qualquer uma das duas equações anteriores é geralmente 
denominada fórmula da torção. Lembre-se de que ela é usada 
somente se o eixo for circular e o material for homogêneo e 
comportar-se de maneira linear elástica.
Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça, o 
momento de inércia polar é determinado usando um elemento 
de área sob a forma de anel infinitesimal com espessura dρ e 
circunferência 2πρ (Figura 112). Nesse anel:
τmáx = tensão de cisalhamento máxima no eixo, que ocorre 
na superfície externa
T = toque interno resultante que atua na seção transversal. 
Seu valor é determinado pelo método das seções e pela 
equação do momento de equilíbrio aplicada em torno da 
linha de centro longitudinal do eixo
J = momento de inércia polar da área de seção transversal
c = raio externo do eixo
98INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 112
Observe que J é uma propriedade geométrica da área do cír-
culo e é sempre positiva. As unidades usadas para a sua medida 
são mm4. O toque interno não só desenvolve uma distribuição 
linear da tensão de cisalhamento ao longo de cada reta radial 
do plano da área da seção transversal, como também desenvolve 
uma distribuição da tensão de cisalhamento associada ao longo 
de um plano axial Figura 113 (b). 
Figura 113
É interessante observar que, devido a essa distribuição 
axial da tensão de cisalhamento, os eixos feitos de madeira 
tendem a rachar ao longo do plano axial quando submetidos a 
torque excessivo (Figura 114). Isso acontece porque a madeira 
é um material anisotrópico. Sua resistência ao cisalhamento 
no sentido paralelo aos grãos ou fibras, na direção da linha de 
centro do eixo, é muito menor do que sua resistência no sentido 
perpendicular as fibras, na direção do plano transversal.
Figura 114
Se um eixo tem seção transversal tubular (eixo vazado), como 
raio interno ci e raio externo ce, pela equação anterior, determi-
namos seu momento de inércia polar subtraindo o J para o eixo de 
raio ci daquele determinado para o eixo de raio ce. O resultado é:
99INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Como no eixo maciço, a tensão de cisalhamento distribuída 
sobre a área da seção transversal varia linearmente ao longo de 
qualquer reta radial (Figura 115 (a)). Além disso, a tensão de 
cisalhamento varia ao longo do plano axial do mesmo modo 
(Figura 115 (b)). 
Figura 115
Exemplo:
O tubo mostrado na Figura 116 tem diâmetro interno 
de 80 mm e diâmetro externo de 100 mm. Supondo que sua 
extremidade seja apertada contra o apoio em A por meio de 
um torquímetro em B, determinar a tensão de cisalhamento 
desenvolvida no material, nas paredes internas e externas, ao 
longo da parede central do tubo, quando são aplicadas forças 
de 80 N aos torquímetros.
Figura 116
Para o cálculo do toque interno é feito um corte na locali-
zação intermediária C ao longo do eixo do tubo Figura 117. A 
única incógnita na seção é o torque interno T. Os equilíbrios 
da força e do momento em torno dos eixos x e z são satisfeitos. 
Requer:
100INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
 
Figura 117
A propriedade da seção transversal ou momento de inércia 
polar da área da seção transversal é:
Em qualquer ponto localizado na superfície externa do 
tubo, ρ = ce = 0,05m, temos:
Em qualquer pondo localizado na superfície interna do 
tubo ρ = ci = 0,04m, de modo que:
Para mostras como essas, tensões atuam em pontos represen-
tativos, como por exemplo, D e E na área da seção transversal. 
Primeiro vamos ver a seção transversal pela frente do segmento 
CA do tubo Figura 116. Nessa seção (Figura 118), o torque interno 
resultante é igual, mas oposto, como mostrado na Figura 117. 
As tensões de cisalhamento D e E contribuem para esse torque e 
atuam, portanto, nas faces sombreadas dos elementos nas direções 
mostradas. Como consequência, observe como os componentes 
cisalhamento-tensão atuam sobre as outras três faces. Além do 
mais, como o topo da face de D e a face interna de E estão em 
regiões sem tensões localizadas nas paredes externa e interna do 
tubo, não pode existir tensão de cisalhamento nessas faces nem 
nas outras faces correspondentes dos elementos.
Figura 118
101INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Flexão
Nesta seção discutiremos as deformações que ocorrem 
quando uma viga prismática, feita de material homogêneo, é 
submetida a f lexão. A discussão ficará limitada a vigas com 
área da seção transversal simétrica em relação a um eixo, nas 
quais o momento f letor é aplicado em torno de um eixo per-
pendicular ao eixo de simetria, como mostrado na Figura 119.
 Figura 119
 
Figura 120 - Distorção das retas devido a flexão da barra de borracha
Usando um material altamente deformável como a borra-
cha, podemos ilustrar fisicamente o que acontece quando um 
membro prismático reto é submetido a um momento f letor. 
Consideremos, por exemplo, a barra sem deformação da Figu-
ra 121 (a), que tem seção transversal quadrada e está marada 
com uma grade de retas longitudinais e transversais. Quando 
é aplicado um momento f letor, ele tende a distorcer as retas 
no padrão, mostrada na Figura 121 (b). Como se vê, as retas 
longitudinais tornam-se curvas e as retas transversais perma-
necem retas, mas sofre rotação.
102INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 121
O comportamento de qualquer barra deformável sujeita a 
momento f letor faz o material da parte inferior esticar-se e o 
da parte superior comprimir-se. Consequentemente, entre as 
duas regiões deve existir uma superfície, chamada de superfície 
neutra, na qual as fibras longitudinais do material não sofrem 
mudanças de comprimento (Figura 119). Com base nessas 
observações, estabelecemos as três hipóteses seguintes em re-
lação a maneira como a tensão deforma o material. Primeiro, 
o eixo longitudinal x, que fica na superfície neutra (Figura 
122(a)) não sofre qualquer mudança de comprimento. Em vez 
disso, o momento tenderá a deformar a viga de modo que a 
reta torna-se uma curva localizada no plano de simetria x-y 
(neutra (Figura 122(b)).
Figura 122
Segundo todas as seções transversais da viga permanecem 
planas e perpendiculares ao eixo longitudinal durante a defor-
mação. E, terceiro, qualquer deformação da seção transversal 
em seu próprio plano, como observado na Figura 121 (b), será 
desprezada. Em particular, o eixo z, localizado no plano da 
seção transversal e em torno do qual a seção transversal gira, 
é chamado de eixo neutro (Figura 122(b)). 
A fim de mostrar como a distorção deformará o material, 
isolaremos um segmento da viga localizado a distância x ao 
longo do comprimento da viga e com espessura não defor-
103INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
mada Δx (Figura 122(a)). Esse elemento, removido da viga, é 
mostrado em vista lateral nas posições não deformada e defor-
mada na Figura 123. Observeque qualquer segmento de reta 
Δx localizado na superfície neutra não muda de comprimen-
to, enquanto qualquer segmento de reta Δs localizado a uma 
distância arbitrária y acima da superfície neutra contrai-se e 
torna-se Δs’ após a deformação. Por definição, a deformação 
normal ao longo de Δs é determinada pela equação:
Figura 123
Representaremos agora a deformação em termos da ordena-
da y do segmento e do raio de curvatura ρ do eixo longitudinal 
do elemento. Antes da deformação Δs = Δx Figura 123 (a). 
Após a deformação, Δx tem raio de curvatura ρ, com centro 
de curvatura no ponto O’ (Figura 123 (b)). Como Δθ define o 
ângulo entre os lados da seção transversal do elemento, Δx = 
Δs = ρ. Da mesma maneira, o comprimento deformado de Δs 
torna-se Δs’ = (ρ - y)Δθ. Substituindo pela equação anterior, 
obtemos:
ou
Esse resultado importante indica que a deformação normal 
longitudinal de qualquer elemento da viga depende de sua lo-
calização y na seção transversal e do raio de curvatura do eixo 
longitudinal da viga nesse ponto. Em outras palavras, para 
qualquer seção transversal específica, a deformação normal 
104INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
longitudinal varia linearmente com y a partir do eixo neutro. 
Ocorre concentração (-ϵ) nas fibras localizadas acima do eixo 
neutro (+y), enquanto ocorre alongamento (+ϵ) nas fibras loca-
lizadas abaixo do eixo (-Y). A variação da deformação na seção 
transversal é mostrada na Figura 124. Neste caso, a deformação 
máxima ocorre na fibra mais externa, localizada à distância c 
do eixo neutro. É possível usar a equação anterior, visto que 
ϵmax = c/ρ, então:
Figura 124
De modo que:
Essa deformação normal depende apenas das hipóteses es-
tabelecidas em relação a deformação. Desde que seja aplicado 
somente um momento a viga, é razoável supor adicionalmente 
que o momento provoca tensão normal apenas na direção longi-
tudinal ou de x. Todos os outros componentes de cisalhamento 
são nulos, visto que a superfície da viga está livre de qualquer 
outra carga. É esse estado uniaxial de tensão que faz com que o 
material tenha a componente ϵx(σx = Eϵx) da deformação normal 
longitudinal, definido pela equação anterior. Além disso, pelo 
coeficiente de Poisson, também deve haver o plano da área da 
seção transversal, apesar de termos desprezado essas deformações. 
Tais deformações, no entanto, fazem com que as dimensões da 
seção transversal se tornem menores abaixo do eixo neutro e 
maiores acima dele. Por exemplo: se a viga tiver seção transver-
sal quadrada, na verdade ela se deformará como na Figura 125.
105INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 125
Vamos supor que o material se comporta de maneira line-
ar elástica, de modo que a lei de Hooke a ele se aplica. Uma 
variação linear da deformação normal (Figura 126(a)) deve 
ser a consequência de uma variação linear na tensão normal 
(Figura 126(b)). Então, como a variação da deformação, σ 
varia de zero no eixo neutro do elemento a um valor máximo, 
σmax, a distância c mais afastada do eixo neutro. Devido a 
proporcionalidade dos triângulos (Figura 126(b)), ou usando 
a lei de Hooke, e a equação anterior podemos escrever: 
 
Figura 126
Essa equação representa a distribuição de tensão sobre a 
área da seção transversal. A convenção de sinal estabelecida 
é significativa neste caso. No caso de M positivo, que atua 
na direção de +z, valores positivos de y resultam em valores 
negativos para σ, em uma tensão de compressão. De modo 
similar, valores negativos de y resultam em valores positivos 
para σ. Se um elemento de volume do material for selecionado 
em um ponto específico da seção transversal, apenas as tensões 
normais de tração ou compressão atuarão sobre ele. O elemento 
localizado em +y, é mostrado na Figura 127.
Figura 127
106INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Podemos localizar na posição do eixo neutro na seção 
transversal, satisfazendo a condição de que a força resultante 
produzida pela distribuição de tensão sobre a seção transversal 
deve ser igual a zero. Observando que a força dF = σdA atua 
sobre o elemento arbitrário dA na Figura 127, requer-se que:
Como σmax/c é diferente de zero, então:
Em outras palavras, o primeiro momento da área da se-
ção transversal do elemento deve ser nulo. Essa condição só 
é satisfeita se o eixo neutro também for o eixo horizontal de 
simetria da seção transversal. 
Podemos determinar a tensão na viga pelo requisito de que 
o momento interno M seja igual ao momento produzido pela 
distribuição de tensão em torno do eixo neutro. O momento 
dF em torno do eixo neutro, na Figura 127, é dM = ydF. Esse 
momento é positivo, visto que pela regra da mão direita, o 
polegar está direcionado no sentido positivo do eixo z quando 
os dedos são fechados no sentido de rotação provocada por 
dM. Como dF = σdA, usando a equação anterior, temos para 
toda a seção:
A integral representa o momento de inércia da área da seção 
transversal, calculado em torno do eixo neutro. Usamos I como 
símbolo desse valor. Portanto, a equação recém mostrada pode 
ser resolvida em σmax e escrita de forma geral como:
107INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Onde:
Como σmax/c = σ/y, a tensão normal na distância interme-
diária y pode ser determinada por uma equação semelhante a 
anterior. Temos:
Observe que o sinal negativo é necessário, pois está de 
acordo com o estabelecido para os eixos x, y e z. Pela regra 
da mão direita, M é positivo ao longo do eixo, +z,y é positivo 
para cima e, portanto, σ deve ser negativo (compressão), uma 
vez que atua na direção negativa de x (Figura 127).
Qualquer uma das duas equações anteriores é denomina-
da fórmula da f lexão. Ela é usada para determinar a tensão 
normal em um membro reto, como seção transversal simétrica 
em relação a um eixo, e no qual o momento seja aplicado no 
sentido perpendicular àquele eixo. 
Exemplo
A viga simplesmente apoiada da Figura 128a tem área da 
seção transversal mostrada Figura 128b. Determinar a tensão 
de f lexão máxima absoluta na viga e desenhar a distribuição 
de tensão na seção transversal nessa localização.
 σ_max= tensão normal máxima no elemento, que ocorre 
no ponto da área da seção transversal mais afastado do eixo 
neutro;
 M= momento interno resultante, determinado pelo 
método das seções e pelas equações de equilíbrio, e calculado 
em torno do eixo neutro da seção transversal;
 I=momento de inércia da área da seção transversal 
calculado em torno do eixo neutro;
 c= distância perpendicular do eixo neutro ao ponto mais 
afastado desse eixo, no qual σ_max atua.
108INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Figura 128
Devido a simetria, o centroide C e, portanto, o eixo neutro 
passa a meia altura da viga (Figura 128b). A área é subdividi-
da nas três partes mostradas e o momento de inércia de cada 
parte é calculado em torno do eixo neutro pelo teorema do 
eixo paralelo.
Segundo a fórmula da f lexão, com c=170 mm, a tensão de 
f lexão máxima absoluta é:
Na Figura 128d, a distribuição de tensão é mostrada em 
duas e três dimensões. Observe como a tensão em cada ponto 
da seção transversal desenvolve uma força que contribui com o 
momento dM em torno do eixo neutro com a mesma direção 
de M. Especificamente no ponto By,B = 150 mm e, assim:
 
109INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Exercícios:
1. Um eixo é feito de uma liga de aço com uma tensão de 
cisalhamento admissível τadm = 84 MPa. Se o diâmetro do 
eixo é 37,5 mm, determine o torque máximo T que pode 
ser transmitido. Qual será o máximo torque T se um furo 
de 25 mm for feito no eixo? 
2. O eixo sólido de raio r é submetido a um torque T. Determinar 
o raio r do núcleo interno do eixo que resiste a metade do 
torque aplicado (T/2). Resolva-o usando a fórmula da torção.
3. A montagem da figura abaixo consiste em duas seções tu-
bulares de tubos de aço galvanizado, conectado pelo acopla-
mento B. O tubo menor tem um diâmetro externo de 18,75 
mm e um diâmetro interno de 17 mm, o tubo maior temum diâmetro externo de 25 mm e um interno de 21,5 mm. 
Se o tubo é firmemente preso a parede em C, determine a 
maior tensão de cisalhamento em cada uma das seções do 
tubo para as forças aplicadas, como mostrado na imagem.
 
110INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
4. A viga mostrada na figura abaixo tem a área da seção trans-
versal com perfil em forma de U. Determinar a tensão de 
flexão máxima que ocorre na seção da viga. 
5. O elemento da seção transversal retangular foi projetado para 
resistir a um momento de 40 N.m. A fim de aumentar sua 
resistência e rigidez, propõe-se acrescentar duas pequenas 
nervuras na sua parte inferior. Determinar a tensão normal 
máxima no elemento para ambos os casos.
6. A peça retangular tem as dimensões mostrada na figura 
abaixo. Ela é usada para resistir a um momento de flexão 
de M = 2 kN.m. Determine a tensão máxima quando este 
momento é aplicado sobre o eixo z e sobre o eixo y.
111INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
REFERÊNCIAS
 BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, Elwood Russell. Resistência dos materiais. McGraw-Hill, 1982.
BEER, Ferdinand P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros-estática. AMGH Editora, 2012.
CALLISTER, William D. et al. Materials science and engineering: an introduction. New York: John wiley & sons, 2007.
HIBBELER, Russell C. et al. Mechanics of materials. Prentice Hall International, Inc, 1997
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