Tópico 3 – Combinação Linear, Vetores Linearmente Independentes (LI) e Vetores Dependentes (LD)

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática 
Álgebra Matricial – Profa. Daniela Rodrigues Ribas 
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v v
y
z
x
y
x
(v1, v2) (v1, v2, v3)
Tópico 3 – Combinação Linear, Vetores Linearmente Independentes (LI) e 
 Vetores Linearmente Dependentes (LD) 
 
Vetores em Sistemas de Coordenadas 
Os problemas envolvendo vetores são, freqüentemente, melhores resolvidos introduzindo o 
sistema de coordenadas retangulares. Se um vetor v está posicionado com seu ponto inicial na origem 
do sistema de coordenadas retangulares, então seu ponto terminal terá as coordenadas da forma 
(v1, v2) ou (v1, v2, v3), dependendo se estiver no IR2 ou no IR3.
Chamamos estas coordenadas de componentes de v e escrevemos v = (v1, v2), no IR2, ou 
v = (v1, v2, v3), no IR3. Em particular, o vetor zero é 0 = (0, 0) ou 0 = (0, 0, 0), dependendo se estiver no 
IR2 ou no IR3, respectivamente. 
Os componentes fornecem uma maneira simples de identificar vetores equivalentes. Por 
exemplo, consideremos o vetor v = (v1, v2) e w = (v1, v2), no espaço IR2. Se os vetores v e w são 
equivalentes, então eles possuem mesmo comprimento, direção e sentido, e isso significa que seus 
pontos terminais coincidem quando seus pontos iniciais são colocados na origem. 
 
• Igualdade de Vetores 
Dois vetores v = (v1, v2) e w = (w1, w2) são iguais se, e somente se, v1 = w1 e v2 = w2.
• Operações Aritméticas sobre Vetores 
Se v = (v1, v2) e w = (w1, w2) são vetores no IR2 e k é qualquer escalar, então: 
 
a) v + w = (v1 + w1, v2 + w2)
b) v – w = (v1 – w1, v2 – w2)
c) k.v = (k.v1, k.v2)
A igualdade de vetores bem como as operações em outras dimensões são análogas ao que 
temos no IR2.
Exemplos:
a) u = ( 2 , 3) e v = (4 , 7 ) 
 u + v = ( 2 + 4, 3 + 7 ) = ( 6 , 10 ) e 5u = ( 5*2, 5*3) = ( 10 , 15) 
 
b) u = ( 2 , 5, 0 ) e v = ( 1 , 0 , 3 )
u – v = ( 2 – 1, 5 – 0 , 0 – 3 ) = ( 1 , 5 , – 3) 
 
c) u = ( 2 , 5 ) e v = ( x+ 1, y + 7) 
 Se u = v , então: x + 1 = 2 e y + 7 = 5 , logo x = 1 e y = – 2. 
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Combinação Linear de Vetores 
Dado um conjunto de n vetores, {u1 , u2, ..., un} , dizemos que um vetor v é combinação linear dos 
vetores dados se existem números reais a1, a2, ..,an tais que 
 
v = a1u1 + a2u2 + ... + anun
Exemplos:
a) Dados {( 1, 0) , (0,1 )} e v = ( 3,4) então v é combinação linear dos vetores dados, pois ( 3,4 ) = 
3(1,0) + 4(0,1) , 
Isto é , se u1 = (1,0) e u2 = (0,1) , então v = 3u1 + 4u2 .
b) Dados {(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)} e v = ( 2,7,–4) , então v = 2u1+ 7u2–4u3, onde u1=(1,0,0) , u2 =
(0,1,0) e u3 = (0,0,1). 
 
c) O vetor v = ( 8,–2 ) é combinação linear dos vetores u1 = (1,1 ) e u2= ( 1,–1) ? 
 
( 8, –2) = a(1,1) + b(1,–1) = ( a + b , a – b ) Ou seja, 
�
�
�
�=�
=+
2
8
ba
ba
Solução: a = 3 e b = 5 .
Conclusão: O vetor ( 8,–2) é combinação linear dos vetores u1 = (1,1) e u2=(1,–1), pois (8, –2) = 3(1,1) 
+ 5(1,–1) . 
 
d) O vetor v = ( 1, 4 , 10 ) é combinação linear dos vetores u1 = (1,2,3 ) e u2= ( 4,5,6) e u3=(7,8,9) ? 
 
(1,4,10) = a (1,2,3) + b(4,5,6) + c(7,8,9) Ou seja, 
�
�
�
�
�
=++
=++
=++
10963
4852
174
cba
cba
cba
Solução: o sistema acima não tem solução. 
Conclusão: o vetor v = (1, 4 , 10) não é combinação linear dos vetores u1 = (1,2,3 ) e u2= (4,5,6) e 
u3=(7,8,9). 
 
Vetores Linearmente Dependentes ( LD ) e Linearmente Independente ( LI ) 
Um conjunto de vetores dados { u1 , u2, ..., un } é Linearmente Dependente, ou simplesmente 
LD, se existir um deles que é combinação linear dos demais. Caso isto não ocorra, o conjunto de 
vetores é chamado de Linearmente Independente ( LI ). 
 
Exemplos
a) O conjunto {(1,2 ) , (2,4)} é LD, pois (2,4) = 2*(1,2) . 
 
b) O conjunto {(1,0) , (0,1)} é LI, pois (1,0) 	 k*(0,1) , para qualquer valor de k. 
 
c) O conjunto {(0,0) , ( 3,4)} é LD, pois (0,0) = 0*(3,4). 
 
d) O conjunto {(1,0,0) , (0,1,0), (3,4,0)} é LD, pois (3,4,0) = 3*(1,0,0) + 4*(0,1,0). 
 
Observação: a multiplicação 3*(1,0,0) será escrita daqui por diante como 3(1,0,0), por simplicidade. 
 
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Critério prático: para determinar se um conjunto de n vetores {u1,u2,...,un} do Rn é LI ou LD, usamos o 
determinante D = det(u1,u2,...,un). Se D 	 0 , então o conjunto é LI; do contrário, é LD, isto é, um deles 
é combinação linear dos demais. No caso particular de dois vetores, um conjunto {u1, u2} é LD se e 
somente se existe uma constante k tal que u1 = ku2.
Exemplos
a) {( 1,1), (–1,1)} é LI ou LD ? 
Solução:
11
11 � = 2 , logo, o conjunto {(1,1), (–1,1)} é LI. Nenhum dos dois vetores é múltiplo do 
outro. 
 
b) {(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)} é LI ou LD ? 
Solução:
963
852
741
= 0 , logo, o conjunto {(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)} é LD. Existe um vetor que é combinação 
linear dos demais: (7,8,9) = 2(4,5,6) – (1,2,3). 
 
Exercícios 
1) Em cada item, verifica se o vetor v é combinação linear dos vetores u1, u2 e u3.
a) v = (11, 9, 7) u1 = (1, 2, 3) u2 = (4, 3, 2) u3 = (6, 4, 2) 
b) v = (16, -5, 11) u1 = (2, 1, 3) u2 = (1, 3, 4) u3 = (7, 2, 9) 
c) v = (48, 57, 66) u1 = (1, 4, 7) u2 = (2, 5, 8) u3 = (3, 6, 9) 
 
2) Verifica se os conjuntos são LI ou LD. Caso o conjunto seja LD, tente identificar uma combinação 
linear entre os vetores, como no exemplo (b).
a) { ( 1, 1 ) , ( 5,5 ) } 
b) { ( 2, 3 ) , (–1, 4) } 
c) { ( 1,1,1) , (1,1,0) , (1,0,0) } 
d) { (1,1,4,6) , (5,6,8,9) , (–1,3,7,9) , (18,8,15,21)} 
 
Respostas dos exercícios 
1) Sim para todos os itens. 
2) a) { ( 1, 1 ) , ( 5,5 ) } é LD, pois (5,5) = 5(1,1). 
 
b) { ( 2, 3 ) , (–1, 4) } é LI, pois 
43
12 �
=11. 
 
c) { ( 1,1,1) , (1,1,0) , (1,0,0) } é LI, pois 
001
011
111
= – 1. 
 
d) { (1,1,4,6) , (5,6,8,9) , (–1,3,7,9) , (18,8,15,21)} é LD, pois 
 (18,8,15,21) = 5(1,1,4,6) + 2(5,6,8,9) – 3(–1,3,7,9)