Pergunta 3 No estudo de espaços vetoriais, os conceitos de base e dimensão são fundamentais para compreender como um conjunto de vetores pode gerar um

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Pergunta 3 No estudo de espaços vetoriais, os conceitos de base e dimensão são fundamentais para compreender como um conjunto de vetores pode gerar um espaço vetorial sem redundâncias. Para que um conjunto de vetores seja considerado uma base de um espaço vetorial V, ele precisa ser linearmente independente e ser um conjunto gerador de V. Além disso, a dimensão do espaço vetorial é definida como o número de vetores em qualquer uma de suas bases. Com base nessas definições, considere as seguintes três afirmações: Se um conjunto de vetores em um espaço vetorial V é linearmente dependente, então ele não pode ser uma base para V. Se um conjunto de vetores gera um espaço vetorial V, então ele é linearmente independente. A dimensão de um subespaço vetorial W de um espaço vetorial V é sempre menor ou igual à dimensão de V. Assinale a alternativa correta. a. Apenas as afirmações I e II estão corretas. b. Todas as afirmações estão corretas. c. Apenas as afirmações I e III estão corretas. d. Apenas a afirmação I está correta. e. Apenas a afirmação II está correta.

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Vamos analisar cada uma das afirmações:

I. Se um conjunto de vetores em um espaço vetorial V é linearmente dependente, então ele não pode ser uma base para V. Verdadeiro, pois uma base deve ser linearmente independente.

II. Se um conjunto de vetores gera um espaço vetorial V, então ele é linearmente independente. Falso, um conjunto de vetores pode gerar um espaço vetorial e ainda ser linearmente dependente. Por exemplo, os vetores (1, 0) e (2, 0) geram o espaço unidimensional, mas são linearmente dependentes.

III. A dimensão de um subespaço vetorial W de um espaço vetorial V é sempre menor ou igual à dimensão de V. Verdadeiro, pois a dimensão de um subespaço não pode exceder a dimensão do espaço que o contém.

Com base nas análises:

- A afirmação I é verdadeira.
- A afirmação II é falsa.
- A afirmação III é verdadeira.

Portanto, as afirmações I e III estão corretas. A alternativa correta que contém todas as afirmações verdadeiras é: c) Apenas as afirmações I e III estão corretas.

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