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10 DE JANEIRO 
 
 
 
Petrobras Pra Torar 
Ciência de Dados 
Criado por: Guilherme Neves 
 
Álgebra Linear 
2022 
 
 
2 
 
Sumário 
Considerações Iniciais ................................................................................................ 4 
Vetores ..................................................................................................................... 4 
Adição de dois vetores ........................................................................................... 5 
Componentes de um vetor ..................................................................................... 7 
Produto de um Vetor por um Escalar ...................................................................... 8 
Vetores no R2 ............................................................................................................ 9 
Vetor definido por dois pontos ............................................................................. 10 
Produto Interno ....................................................................................................... 11 
Módulo de um vetor ............................................................................................ 11 
Propriedades do Produto Interno ......................................................................... 12 
Ângulo de dois vetores ............................................................................................ 13 
Paralelismo e ortogonalidade de dois vetores ...................................................... 13 
Vetores no R3 .......................................................................................................... 15 
Espaços vetoriais ..................................................................................................... 17 
Propriedades dos Espaços Vetoriais ..................................................................... 20 
Subespaços Vetoriais ............................................................................................... 21 
Propriedades dos Subespaços Vetoriais ................................................................ 24 
Combinação Linear .................................................................................................. 26 
Subespaços Gerados ................................................................................................ 28 
Dependência e Independência Linear ....................................................................... 30 
Propriedades da Dependência e Independência Linear ......................................... 32 
Base e Dimensão ..................................................................................................... 33 
Transformações Lineares ......................................................................................... 35 
Núcleo de uma Transformação Linear ...................................................................... 40 
Propriedades do núcleo ....................................................................................... 41 
Imagem de uma transformação linear ...................................................................... 43 
Teorema da Dimensão ............................................................................................. 44 
Matriz de uma transformação linear ........................................................................ 44 
 
 
3 
 
Autovetor e autovalor ............................................................................................. 48 
Propriedades dos autovalores e autovetores ........................................................ 52 
Exercícios ................................................................................................................ 54 
Considerações Finais................................................................................................ 62 
 
 
 
 
4 
 
Considerações Iniciais 
Esse é um material exclusivo do programa de ensino Pra Torar®! Oferecido como Bônus 
no curso Revisão Petrobras Pra Tora – Ciência de Dados, uma cortesia do Mestre 
Guilherme Neves. 
 
Você pode encontrá-lo no Instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente por email em: profguilhermeneves@gmail.com. 
Vetores 
A representação matemática de uma grandeza vetorial é o vetor representado 
graficamente pelo segmento de reta orientado, figura a seguir, que apresenta as 
seguintes características: 
 
 
 
• Módulo do vetor - é dado pelo comprimento do segmento em uma escala adequada. 
• Direção do vetor - é dada pela reta suporte do segmento. 
• Sentido do vetor - é dado pela seta colocada na extremidade do segmento. 
 
Exemplo de vetores: na figura a seguir, representa um cruzamento de ruas, tal que uma 
pessoa, situado em O, pode realizar os deslocamentos indicados pelos vetores 1d

, 2d

, 
3d

 e 4d

. 
 
 
 
 
 
mailto:profguilhermeneves@gmail.com
 
 
5 
 
Diferenciando estes vetores segundo suas características, tem-se que: 
Vetores deslocamento: 
Os vetores 1d

 e 3d

 têm a mesma direção, mesmo módulo, e sentidos opostos. 
Os vetores 2d

 e 4d

 têm a mesma direção, módulos diferentes e sentidos opostos. 
Os vetores 1d

 e 2d

 têm o mesmo módulo, direções e sentidos diferentes. 
Os vetores 3d

 e 4d

 têm módulos, direções e sentidos diferentes. 
Adição de dois vetores 
Considere que um móvel realizou os seguintes deslocamentos: 3,0 cm na direção 
vertical, no sentido de baixo para cima ( 1d

), e 4,0 cm na direção horizontal ( 2d

), no 
sentido da esquerda para a direita. 
 
O deslocamento resultante não é simplesmente uma soma algébrica (3 + 4), porque os 
dois vetores 1d

 e 2d

 têm direções e sentidos diferentes. 
 
Há dois métodos, geométricos, para realizar a adição dos dois vetores, 
rd

 = 1d

 + 2d

, que são: 
• Método da triangulação: consiste em colocar a origem do segundo vetor coincidente com 
a extremidade do primeiro vetor, e o vetor soma (ou vetor resultante) é o que fecha o 
triângulo (origem coincidente com a origem do primeiro e extremidade coincidente com 
a extremidade do segundo) (Fig. 1). 
 
Figura 1 - Método da triangulação 
• Método do paralelogramo: consiste em colocar as origens dos dois vetores coincidentes e 
construir um paralelogramo; o vetor soma (ou vetor resultante) será dado pela diagonal 
do paralelogramo cuja origem coincide com a dos dois vetores (Fig. 2). A outra diagonal 
será o vetor diferença. 
 
 
6 
 
 
Figura 2 - Método do paralelogramo 
O módulo do vetor resultante será dado por: 
𝑑𝑟
2 = 𝑑1
2 + 𝑑2
2 + 2𝑑1𝑑2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 
Onde θ é o ângulo entre 1d

 e 2d

 
 
No caso, para calcular o módulo do vetor diferença, utilizamos a seguinte fórmula: 
𝑑𝑑
2 = 𝑑1
2 + 𝑑2
2 − 2𝑑1𝑑2 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 
Casos particulares: 
 
A) Dois vetores de mesma direção e mesmo sentido (θ = 0°). 
 
Neste caso, o módulo da soma é igual à soma dos módulos. 
 
B) Dois vetores de mesma direção e sentidos opostos (θ = 180°). 
 
Neste caso, o módulo da soma é a diferença positiva dos módulos. 
 
C) Dois vetores perpendiculares entre si (θ = 90°). Pela regra do polígono tem-se: 
 
Geometricamente, aplica-se o método da triangulação ou do 
paralelogramo para determinar o vetor resultante dr. 
 
Determina-se o módulo do vetor resultante aplicando-se o teorema de 
Pitágoras para o triângulo ABC da figura. 
 
𝑑𝑟
2 = 𝑑1
2 + 𝑑2
2 
 
 
7 
 
Observação: O vetor diferença é obtido de modo análogo ao vetor soma; basta fazer a 
soma do primeiro vetor com o oposto do segundo vetor. 
 
𝑑 = 𝑑1 + (−𝑑2) 
 
Componentes de um vetor 
Considere o vetor deslocamento d

 como sendo o na figura abaixo. Para determinar as 
componentes do vetor, adota-se um sistema de eixos cartesianos. 
 
 
 
As componentes do vetor d

, segundo as direções x e y, são as projeções ortogonais do 
vetor nas duas direções. 
 
Notação:xd

: componente do vetor d

 na direção x 
yd

: componente do vetor d

 na direção y 
 
Vamos entender o que seriam estas projeções. Para projetar o vetor na direção x basta 
traçar uma perpendicular da extremidade do vetor até o eixo x e na direção y traça-se 
outra perpendicular da extremidade do vetor até o eixo y; estas projeções são as 
componentes retangulares xd

 e yd

 do vetor d

. 
 
 
 
 
 
 
8 
 
As componentes de um vetor significam que os dois vetores componentes atuando nas 
direções x e y podem substituir o vetor d

, produzindo o mesmo efeito. 
 
Para o triângulo OAB da figura, valem as relações: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑑𝑦
𝑑
 
 
Portanto, 𝑑𝑦 = 𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑑𝑥
𝑑
 
 
Portanto, 𝑑𝑥 = 𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
 
Produto de um Vetor por um Escalar 
O produto de um vetor por um escalar dá como resultado um vetor cujo é módulo é 
produto do escalar pelo módulo do vetor na figura. 
 
Se o número real for negativo, o sentido do vetor deverá ser invertido. 
 
 
 
9 
 
Vetores no R2 
Vetores são representados por segmentos orientados. Todos os segmentos orientados 
que têm a mesma direção, sentido e módulo representam o mesmo vetor. 
 
Assim, quando associamos um vetor a um segmento orientado AB estamos nos 
referindo ao segmento orientado de origem A e extremidade B. Porém, pelo que acabei 
de falar, qualquer outro segmento que tenha o mesmo comprimento, mesma direção 
e sentido de AB também será um representante do mesmo vetor. 
 
É importante notar ainda que qualquer ponto do espaço é um representante do vetor 
nulo (ou vetor zero), que é representado por 0. 
 
Um vetor é unitário se o seu módulo for igual a 1. Neste caso, o vetor é chamado de 
versor. 
 
Dois vetores são colineares sempre que tiverem a mesma direção. Ou seja, dois vetores 
são colineares se eles tiverem representantes apoiados na mesma reta suporte ou em 
retas suportes paralelas. 
 
Vetores coplanares são aqueles cujas retas suportes pertencem a um mesmo plano. 
 
Guilherme, o que significa R2? 
 
Ora, R2 é o produto cartesiano R x R, ou seja, é um conjunto de pares ordenados (x,y) 
em que a abscissa do par (x) é qualquer número real e a ordenada do par (y) também é 
qualquer número real. Assim, R2 é o conjunto de todos os pontos do plano cartesiano. 
Pois bem, quando iniciei o tópico “Vetores no R2” estava me referindo aos vetores no 
plano cartesiano. Qualquer vetor em R2, ou seja, no plano cartesiano, tem um 
representante cuja origem é a própria origem do plano cartesiano. Assim, quando 
colocamos a origem do vetor na origem do plano, o vetor será determinado pela sua 
extremidade. Destarte, o ponto P(x,y) determina o vetor OP cuja origem é o ponto (0,0) 
e cuja extremidade é o ponto P. Escrevemos v = (x,y). 
 
 
 
10 
 
 
 
A origem O(0,0) será o representante do vetor nulo. 
 
Além disso, dois vetores (x1,y1) e (x2,y2) serão iguais se e somente se x1 = x2 
e y1 = y2. 
 
E como somamos vetores em R2? 
 
Muito fácil! Para somar vetores em R2 devemos somar as suas coordenadas. 
 
Por exemplo, se u = (3, -2) e v = (4,5), então u + v = ( 7, 3 ). 
 
E para multiplicar um número real por um vetor? Devemos multiplicar as duas 
coordenadas pelo número real. Por exemplo, se u = (3, - 2), então 
4u = (12, -8). 
 
Vetor definido por dois pontos 
Muitas vezes, o vetor representado não tem origem na origem do plano. Por exemplo, 
um vetor AB com origem no ponto A(x1,y1) e extremidade no ponto B(x2,y2). 
 
Neste caso, se quisermos determinar o seu representante que tem origem no ponto 
(0,0), basta calcular a diferença entre as coordenadas de B e A. Assim, o representante 
deste vetor AB com origem no ponto (0,0) será o vetor (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1). 
 
Por exemplo, se A(-2,5) e B(2,8), então 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2,8) − (−2,5) = (4,3). 
 
Daqui para frente, quando falarmos que v = (x,y), consideraremos que v é um vetor com 
origem no ponto (0,0) e extremidade no ponto (x,y). 
 
 
 
11 
 
Produto Interno 
Considere dois vetores u=(x1,y1) e v(x2,y2). Definimos o produto interno (ou produto 
escalar) dos dois vetores o número real 
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 
 
Ou seja, multiplicamos as abscissas, multiplicamos as ordenadas e somamos. 
 
Também temos o costume de representar o produto interno de u por v por . Lê-
se “u escalar v”. 
 
Por exemplo, se u=(3,2) e v(-1,5), então = 3x(-1) + 2x5 = 7. 
 
Módulo de um vetor 
O módulo de um vetor v=(x,y) é o número real não-negativo 
 
|𝑣| = √𝑥2 + 𝑦2 
 
Observe que podemos dizer que o módulo é a raiz quadrada de “v escalar v”. 
 
De fato, 
|𝑣| = √= √(𝑥, 𝑦) ∙ (𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2 
 
Por exemplo, o módulo do vetor v=(6,-8) é: 
 
|𝑣| = √62 + (−8)2 = 10 
 
Se dividirmos um vetor pelo seu módulo, obteremos um vetor de mesma direção, 
mesmo sentido e módulo igual a 1 (vetor unitário, também chamado de versor). 
 
Ou seja, o vetor 𝑣/|𝑣| tem módulo igual a 1. 
 
No nosso caso, se dividirmos as coordenadas de v=(6,-8) por 10, obteremos um vetor 
de módulo 1. 
 
 
 
12 
 
E se o vetor não tiver origem no ponto (0,0)? 
 
Bom, se o vetor tiver origem no ponto A(x1,y1) e extremidade no ponto B(x2,y2), então 
seu módulo será dado por: 
 
|𝑣| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 
 
Propriedades do Produto Interno 
Vamos considerar três vetores quaisquer u,v e w. Considere ainda que k é um número 
real qualquer (constante). 
 
i) = 
 
Ou seja, o produto interno é uma operação comutativa. A ordem dos vetores não altera 
o produto interno. 
 
ii) =|u|2 
 
Já tinha até comentado esta propriedade. Como o módulo é a raiz quadrada do produto 
interno, então o produto interno é o quadrado do módulo. 
 
iii) =+ ou, simplesmente, u(v+w) = uv+uw. 
 
Assim, dizemos que o produto interno goza da propriedade distribuição em relação à 
adição de vetores. 
 
iv) ≥0, ou seja, “u escalar u” é sempre não-negativo. No caso, = 0 se, e 
somente se u for o vetor nulo. 
 
 
 
 
 
13 
 
Ângulo de dois vetores 
Vamos considerar dois vetores u e v, ambos com origem no ponto (0,0). O ângulo 
formado por u e v (vetores não-nulos) pode ser calculado pela seguinte fórmula: 
 
cos 𝜃 =
|𝑢| ∙ |𝑣|
 
 
Assim, sabendo o cosseno do ângulo, basta consultar uma tabela de cossenos para 
descobrir o ângulo. 
 
Por exemplo: Determine o ângulo formado pelos vetores u=(0,-3) e v(-3,-3). 
 
cos 𝜃 =
|𝑢| ∙ |𝑣|
=
(0,−3) ∙ (−3,−3)
√02 + (−3)2 × √(−3)2 + (−3)2
=
0 ∙ (−3) + (−3) ∙ (−3)
3 ∙ 3√2
 
 
cos 𝜃 =
9
9√2
=
1
√2
 
 
Racionalizando... 
 
cos 𝜃 =
1
√2
∙
√2
√2
=
√2
2
 
E assim, descobrimos que 𝜃 = 45°. 
 
Paralelismo e ortogonalidade de dois vetores 
Dois vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2) são colineares (ou paralelos) quando um é múltiplo 
do outro. Ou seja, eles têm a mesma direção, porém seus módulos e sentido podem 
diferir. E qual a condição para que dois vetores sejam paralelos, ou seja, para que 
tenham a mesma direção? 
 
Basta que suas componentes sejam proporcionais, ou seja: 
 
 
 
14 
 
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
 
 
Por exemplo, os vetores (3,-4) e (-9,12) são colineares, pois: 
 
3
−9
=
−4
12
 
 
É muito importante que você saiba identificar vetores colineares, porque, como 
veremos futuramente, dois vetores não-colineares serão linearmente independentes e 
formarão uma base desse espaço vetorial R2 (não se preocupem, estudaremos 
detalhadamente esses conceitos). 
 
Bom, e quando dois vetores são ortogonais, ou seja, quando é que o ângulo formado 
por eles é 90o? 
 
Sabemos que cos 90o = 0, portanto: 
 
cos 𝜃 =
|𝑢| ∙ |𝑣|
 
cos 90° =
|𝑢| ∙ |𝑣|
 
 
0 =
|𝑢| ∙ |𝑣|
 
 
 = 0 ∙ |𝑢| ∙ |𝑣| 
 
 = 0 
 
Assim, concluímos que dois vetores são ortogonais quando o produto interno deles é0. Ou seja: 
 
 = 0 
𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 = 0 
 
Representamos por 𝑢 ⊥ 𝑣 dois vetores ortogonais. 
 
 
15 
 
Vetores no R3 
O produto cartesiano R3, analogamente a R2, é interpretado geometricamente como 
sendo o espaço cartesiano tridimensional. 
Analogamente ao caso do plano, vamos considerar geralmente vetores representados 
por segmentos orientados com origem na origem do espaço cartesiano. Agora, o vetor 
será determinado pela sua extremidade. Assim, se a extremidade do vetor v for o ponto 
(x,y,z), escrevemos v=(x,y,z). 
 
 
 
A origem do espaço (0,0,0) representa o vetor nulo. 
 
As propriedades dos vetores em R2 podem ser “ampliadas” para vetores em R3. 
i) Dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2,, 𝑦2, 𝑧2) são iguais se, e somente se as três 
coordenadas forem respectivamente iguais, ou seja, 𝑥1 = 𝑥2, 𝑦1 = 𝑦2 e 𝑧1 = 𝑧2. 
 
ii) Se o vetor v tem origem no ponto 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e extremidade no ponto 𝐵(𝑥2,, 𝑦2, 𝑧2), 
então o seu representante com origem no ponto (0,0,0) será o vetor (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 −
𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1). 
 
iii) O produto interno dos vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2,, 𝑦2, 𝑧2) é dado por 
 = 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2. 
 
iv) O módulo do vetor v=(x,y,z) é dado por |𝑣| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2. 
 
 
16 
 
v) Se u e v são vetores não nulos, então o ângulo formado por eles pode ser calculado 
pela fórmula: 
 
cos 𝜃 =
|𝑢| ∙ |𝑣|
 
 
vi) Se 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2,, 𝑦2, 𝑧2), então eles serão paralelos se, e somente se, 
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
=
𝑧1
𝑧2
 
 
vii) Se 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2,, 𝑦2, 𝑧2), então eles serão ortogonais se, e somente se, 
 = 0. Ou seja, 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 = 0. 
 
 
 
 
 
 
17 
 
Espaços vetoriais 
Já falamos que o conjunto R2 é interpretado como sendo o plano cartesiano, assim 
como R3 é interpretado como sendo o espaço cartesiano. Assim, podemos encarar um 
par (x,y) como um ponto do plano ou como um vetor. 
 
Deixando de lado a visão geométrica, podemos estender essa ideia a espaço de 
dimensão acima de 3 como R4, R5, ... , Rn. 
 
Por exemplo, a quíntupla (3,2,-1,9,0) será interpretada como um ponto ou como um 
vetor no espaço R5 de dimensão 5. 
 
Da mesma forma que estendemos os conceitos de vetores de R2 para R3, podemos 
estender os mesmos conceitos para Rn (espaço de dimensão n). 
 
Por exemplo, se 𝑢 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) e 𝑣 = (𝑦1,, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑛) são vetores em Rn, 
então: 
 
i) u e v são iguais se, e somente se as n coordenadas forem respectivamente iguais, ou 
seja, 𝑥1 = 𝑦1, 𝑥2 = 𝑦2 e assim por diante. 
ii) 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2, … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) 
iii) 𝑘𝑢 = (𝑘𝑥1, 𝑘𝑥2, … , 𝑘𝑥𝑛), onde k é um número real qualquer. 
iv) =𝑥1𝑦1 + 𝑥2𝑦2 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑦𝑛 
v) |𝑢| = √= √𝑥1
2 + 𝑥2
2 + ⋯+ 𝑥𝑛
2 
 
E, a partir de agora, vamos adotar uma notação muito importante. O vetor 𝑢 =
(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) poderá ser representado através de uma matriz coluna (matriz do 
tipo n x 1). Ou seja, 
 
𝑢 = [
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
] 
 
Você já deve ter observado que algumas propriedades matemáticas são válidas para 
diversas “estruturas diferentes”. Por exemplo a adição. A adição de dois números reais, 
a adição de dois vetores, a adição de dois vetores são todas operações comutativas. 
 
 
18 
 
Por exemplo: 
 
2 + 3 = 3 + 2 
 
[
1 3 2
2 4 5
] + [
0 4 7
1 −2 3
] = [
0 4 7
1 −2 3
] + [
1 3 2
2 4 5
] 
 
𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
 
É por essa razão que vamos estudar os espaços vetoriais, pois esse fato ocorre em vários 
e conjuntos e operações. 
 
Vamos considerar um conjunto V sobre o qual podemos definir as operações de adição 
e multiplicação por um número real (chamaremos, doravante, esta operação de 
multiplicação por escalar). 
 
i) Para todos u e v, elementos de V, temos que u + v também é elemento de V. Ou seja, 
se u e v são elementos de V, o resultado da adição u+v também será elemento de V. 
 
ii) Se k é um número real e v é um elemento de V, então kv também é um elemento de 
V. 
 
Pois bem, esse conjunto V será chamado de Espaço Vetorial sobre R (ou espaço vetorial 
real) se os 8 axiomas seguintes forem atendidos. 
 
Axiomas em relação à adição 
 
A1) (u+v)+w=u+(v+w) → propriedade associativa 
 
A2) u+v=v+u → propriedade comutativa 
 
A3) Existe o elemento 0 no conjunto V, tal que u + 0 = u, para todo u pertencente a V. 
→ Existência do elemento neutro da adição 
 
A4) Para todo elemento u, existe o elemento –u, tal que u+(-u) = 0. →Propriedade da 
existência do elemento simétrico ou oposto. 
 
 
 
19 
 
Axiomas em relação à multiplicação por escalar 
Vamos considerar duas constantes k1 e k2. Considere ainda que u e v são elementos de 
V. 
M1) (𝑘1𝑘2)𝑢 = 𝑘1(𝑘2𝑢) 
 
M2) (𝑘1 + 𝑘2)𝑢 = 𝑘1𝑢 + 𝑘2𝑢 
 
M3) 𝑘1(𝑢 + 𝑣) = 𝑘1𝑢 + 𝑘1𝑣 
 
M4) 1u = u 
 
São propriedades bem básicas e que vocês já devem estar acostumados com essas 
propriedades quando utilizadas com números reais. 
 
E quais são os “tipos” de elementos do conjunto V? 
 
Ora, o espaço vetorial V pode ser constituído de diversos entes matemáticos como 
matrizes, números, polinômios, vetores. Independentemente do tipo de elemento que 
o conjunto V será constituído, chamaremos esses elementos genericamente de 
VETORES. 
 
E por que faremos isso? Ora, as operações de adição e multiplicação por escalar se 
comportam de maneiras idênticas nesses diferentes tipos de conjuntos. Ou seja, os 
axiomas acima são válidos tanto para números, quanto para vetores, quanto para 
polinômios, quanto para matrizes. Ou seja, todos esses conjuntos se comportam de 
maneira idêntica como se estivéssemos trabalhando com vetores de R2, R3 ou Rn. 
 
Poderíamos estender esse conceito para definir o espaço vetorial complexo, ou seja, 
quando as constantes k1 e k2 fossem elementos do conjunto dos números complexos. 
Não faremos isso aqui. Daqui por diante, trabalharemos apenas com espaços vetoriais 
reais, ou seja, quando falarmos “espaço vetorial”, ficará implícito que se trata de um 
“espaço vetorial real”. 
 
 
 
20 
 
Propriedades dos Espaços Vetoriais 
i) Para quaisquer vetores u,v e w ∈ 𝑉, se u+w=v+w, então u = v (regra do cancelamento). 
 
ii) Existe um único vetor nulo 0 em V. 
 
iii) Para cada vetor u, existe apenas um vetor simétrico –u. 
 
iv) Para todo vetor v, temos que 0v=0 (o primeiro 0 é o número zero e o segundo 0 é o 
vetor nulo). 
 
v) Se u+v=w, então v=w-u. 
 
vi) Se multiplicarmos qualquer número real pelo vetor nulo, o resultado será o vetor 
nulo. 
 
vii) Para todo u, temos que –(-u) = u. 
 
viii) (-1)v= - v 
 
ix) (-k)v = k(-v) = -(kv) 
 
x) Se kv = 0, ou seja, se o produto do número k pelo vetor v é igual ao vetor nulo, então 
k = 0 ou v = 0, ou seja, k é igual a zero ou v é o vetor nulo. 
 
 
 
21 
 
Subespaços Vetoriais 
A ideia de subespaço vetorial é a seguinte: Considere que V é um espaço vetorial, ou 
seja, que atende os 8 axiomas supramencionados. Vamos escolher um subconjunto S 
desse conjunto V. Se S também for um espaço vetorial em relação à adição e à 
multiplicação por escalar definidas em V, então S será chamado de subespaço vetorial. 
 
A priori, deveríamos testar os 8 axiomas em S para verificar se ele é, de fato, um espaço 
vetorial. Só que algumas propriedades não têm necessidade de teste. Por exemplo, a 
propriedade comutativa da adição é válida para todos os elementos de V. Ora, se é 
válida para todos os elementos de V, então também será válida para todos os 
elementos de S. Não precisamos testar essa propriedade. 
 
Qualquer livro de Álgebra Linear demonstra o seguinte teorema: Considere que S, um 
subconjunto não-vazio de um espaço vetorial V, é um subespaço vetorial de V se forem 
satisfeitas APENAS 2 CONDIÇÕES: 
 
i) Para quaisquer dois vetores u, v pertencentes a S, temos que u+v também pertence 
a S. 
 
ii)Se k é um número real e v é um elemento de S, então kv também é um elemento de 
S. 
 
Ou seja, se o subconjunto S atender às duas propriedades que definem um espaço 
vetorial, teremos certeza que os 8 axiomas (da adição e da multiplicação por escalar) 
também serão atendidos. 
 
E uma observação importante: Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois 
subespaços vetoriais, a saber: o próprio espaço vetorial V (já que todo conjunto é 
subconjunto dele mesmo) e o subespaço nulo ou subespaço zero, definido por {0}. Esse 
0, no caso, é o vetor nulo. Esses são os chamados subespaços triviais de V. Os demais 
subespaços, se existirem, serão chamados de subespaços próprios de V. 
 
Exemplos: 
 
 
 
22 
 
a) Se V = R2, os subespaços triviais serão {(0,0)} e o próprio R2. Os subespaços próprios 
são todas as retas que passam pela origem do plano cartesiano. 
 
b) Se V = R3, os subespaços triviais serão {(0,0,0)} e o próprio R3. Os subespaços 
próprios serão todas as retas e os planos que passam pela origem do espaço. 
 
Uma observação importantíssima!! 
 
Eu falei que os subespaços próprios de R3 serão todas as retas e planos que passam 
pela origem do espaço, mas cuidado. Não podemos dizer que R2 é um subespaço de 
R3. Isto porque R2 não é um subconjunto de R3. Ora, os vetores de R2 têm apenas duas 
componentes, enquanto os vetores de R3 possuem três componentes. Devemos, neste 
caso, fazer uma “adaptação”. 
 
O conjunto 𝑆 = {(𝑎, 𝑏, 0); 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅} é um subconjunto de R3 que se “parece” e “age” 
como se fosse o próprio R2. Assim, S é um subespaço de R3. 
 
Vejamos mais exemplos: 
 
→ Sejam V=R2 e 𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅|𝑦 = 3𝑥} ou, simplesmente, 𝑆 = {(𝑥, 2𝑥); 𝑥 ∈ 𝑅}. 
Assim, S e o conjunto dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao 
triplo da primeira. 
 
Vamos verificar as duas condições: 
i) Para quaisquer dois vetores u, v pertencentes a S, temos que u+v também pertence 
a S. 
 
De fato, se u=(x1,3x1) e v=(x2,3x2) são elementos de S, então 
 
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 3𝑥1 + 3𝑥2) = (𝑥1 + 𝑥2, 3(𝑥1 + 𝑥2)) também é um elemento de S, já 
que a segunda componente de u+v é o triplo da primeira. 
 
ii) Se k é um número real e v é um elemento de S, então kv também é um elemento de 
S. 
 
 
 
23 
 
Dica: Para qualquer subconjunto S de um espaço vetorial V, se 0 ∉ 𝑆, então S não é um 
subespaço vetorial de V. Esta dica é muito útil para detectar, na grande maioria das 
vezes, imediatamente que um subconjunto S não é subespaço vetorial. Não estou 
dizendo que se 0 ∈ 𝑆, então é S é subespaço. Não é isso! O que estamos dizendo é que 
se 0 ∉ 𝑆, então S não é um subespaço vetorial de V. Assim, podemos ter o caso de 0 ∈
𝑆 e mesmo assim S não ser um subespaço. 
 
Vejamos um exemplo: O conjunto 𝑆 = {(𝑥, 2𝑥 + 5); 𝑥 ∈ 𝑅} não é um subespaço 
vetorial de R2. Rapidamente verificamos que o vetor (0,0) não é elemento de S e, assim, 
S não é um subespaço. 
 
Poderíamos ter verificado da seguinte maneira: 
 
Façamos x = 1 e x = 2. Assim, estamos escolhendo os vetores u=(1,7) e v=(2,9). 
 
O vetor u+v = (3,16) não pertence a S. Basta substituir x por 3 e verificar que quando x 
= 3, temos o vetor (3,11). 
 
Se S fosse um subespaço, u+v deveria ser também um elemento de S. Lembram as duas 
condições? 
 
i) Para quaisquer dois vetores u, v pertencentes a S, temos que u+v também pertence 
a S. 
 
ii) Se k é um número real e v é um elemento de S, então kv também é um elemento de 
S. 
 
Vejamos um exemplo em que o vetor nulo pertence ao subconjunto, mas não temos 
um subespaço. 
 
Considere o subconjunto de R2 definido por 𝑆 = {(𝑥, 2 ∙ |𝑥|); 𝑥 ∈ 𝑅}. 
 
Observe que se x=0, temos o vetor (0,2.|0|) = (0,0), ou seja o vetor nulo. Vamos agora 
escolher dois vetores e verificar que a soma deles não pertence a S. 
 
Colocando x = 1 e x = -2, temos: 
 
 
24 
 
 
𝑢 = (1,2 ∙ |1|) = (1,2) 
 
𝑣 = (−2,2 ∙ |−2|) = (−2,4) 
 
Vejamos agora o vetor soma 𝑢 + 𝑣 = (1 + (−2), 2 + 4) = (−1,6). 
 
Este vetor u+v não pertence a S, pois se substituirmos x por -1, teremos o vetor 
(−1,2 ∙ |−1|) = (−1,2). 
 
Propriedades dos Subespaços Vetoriais 
Vamos considerar S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V. A interseção 𝑆1⋂𝑆2 é o 
conjunto de todos os vetores que pertencem simultaneamente aos dois subespaços. É 
possível demonstrar que 𝑆1⋂𝑆2 é também um subespaço vetorial de V. 
Exemplo: Considere o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2. 
 
𝑉 = {[
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
] ; 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 ∈ 𝑅} 
 
Sejam S1 e S2 os seguintes subespaços vetoriais de V: 
 
𝑆1 = {[
𝑥 𝑦
0 0
] ; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅} 
 
𝑆2 = {[
𝑥 0
𝑧 0
] ; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅} 
 
A interseção 𝑆1⋂𝑆2 é um subespaço vetorial de V: 
 
𝑆1⋂𝑆2 = {[
𝑥 0
0 0
] ; 𝑥 ∈ 𝑅} 
 
Vamos agora falar da soma de dois subespaços vetoriais. 
 
Vamos ainda considerar o mesmo espaço vetorial V e os subespaços S1 e S2. 
 
𝑉 = {[
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
] ; 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 ∈ 𝑅} 
 
 
25 
 
 
𝑆1 = {[
𝑥 𝑦
0 0
] ; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅} 
 
𝑆2 = {[
𝑥 0
𝑧 0
] ; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅} 
 
Definimos a soma S = S1 + S2 o conjunto de todos os vetores u + v, em que 𝑢 ∈ 𝑆1 e 𝑣 ∈
𝑆2. É possível demonstrar que S = S1 + S2 é também um subespaço vetorial. 
 
No nosso exemplo: 
 
[
𝑥 𝑦
0 0
] + [
𝑥 0
𝑧 0
] = [
2𝑥 𝑦
𝑧 0
] 
 
𝑆1 + 𝑆2 = {[
2𝑥 𝑦
𝑧 0
] ; 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅} é um subespaço vetorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
Combinação Linear 
Na aula sobre determinantes, tivemos uma noção de combinação linear. Nós vimos que 
se uma fila de uma matriz fosse uma combinação linear de outras filas paralelas, o 
determinante seria nulo. 
 
Vamos voltar a falar em combinação linear agora, mas não de filas de matrizes e sim de 
vetores. 
 
Vamos considerar os vetores v1, v2, v3, ..., vn do espaço vetorial V. Vamos considerar 
os escalares (números reais ) k1, k2, k3, ..., kn. Qualquer vetor v que pertence ao espaço 
vetorial V que puder ser escrito na forma 
 
𝑣 = 𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2 + 𝑘3𝑣3 + ⋯+ 𝑘𝑛𝑣𝑛 
é uma combinação linear dos vetores v1, v2, v3, ..., vn. 
 
Para os exemplos a seguir, vamos considerar, em R3, os vetores v1 = (2,3,-1) e v2 = 
(1,2,0). 
 
→ Escrever o vetor v=(0, -2, -2) como combinação linear de v1 e v2. 
 
Qual o objetivo desta questão? 
 
Encontrar números a e b tais que v = av1 + bv2. 
 
𝑎 ∙ (2,3, −1) + 𝑏(1,2,0) = (0, −2,−2) 
(2𝑎, 3𝑎, −𝑎) + (𝑏, 2𝑏, 0) = (0, −2,−2) 
 
(2𝑎 + 𝑏, 3𝑎 + 2𝑏,−𝑎) = (0,−2,−2) 
 
Para que dois vetores sejam iguais, suas componentes devem ser respectivamente 
iguais. 
 
Ficamos com o seguinte sistema: 
 
 
 
27 
 
{
2𝑎 + 𝑏 = 0
3𝑎 + 2𝑏 = −2
−𝑎 = −2
 
 
Como -a = -2, então a = 2. Substituindo na primeira equação ou na segunda equação, 
encontramos b = -4. 
 
Portanto, 𝑣 = 2𝑣1 − 4𝑣2. 
 
→ Vamos agora mostrar que o vetor 𝑢 = (4,5,3) não é combinação linear de v1 e v2. 
 
Queremos mostrar que não existem números a e b tais que u = av1 + bv2 
 
𝑎 ∙ (2,3, −1) + 𝑏(1,2,0) = (4,5,3) 
 
(2𝑎, 3𝑎, −𝑎) + (𝑏, 2𝑏, 0) = (4,5,3) 
 
(2𝑎 + 𝑏, 3𝑎 + 2𝑏,−𝑎) = (4,5,3) 
 
Para que dois vetores sejam iguais, suas componentes devem ser respectivamente 
iguais. 
 
Ficamos com o seguinte sistema: 
 
{
2𝑎 + 𝑏 = 4
3𝑎 + 2𝑏 = 5
−𝑎 = 3
 
 
Da última equação, concluímos que a = -3. 
 
Substituindo na primeira equação, temos que b = 10. 
Substituindo na segunda equação temos que b = 7. 
 
Desta forma, o sistema acima é impossível e, portanto, o vetor u não pode ser escrito 
como uma combinação linear de v1 e v2. 
 
 
 
28 
 
 
Subespaços Gerados 
Vamos considerar um espaço vetorial V. Vamos considerar um subconjunto não-vazio 
deste espaço vetorial 𝑃 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛}. O conjunto S de todos os vetores de V que 
são combinações lineares dos vetores de P é um subespaço vetorial de V. 
 
Dizemos que esse subespaço S foi gerado pelos vetores 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ou gerado pelo 
conjunto P. Representamos esse subespaçopor: 
 
𝑆 = [𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛] 
 
Os vetores 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 são os geradores do subespaço S e o conjunto P é o conjunto 
gerador de S. 
 
Exemplo importante: Os vetores i = (1,0) e j = (0,1) geram o espaço vetorial R2, pois 
qualquer vetor (x,y) pode ser escrito como combinação linear de i e j. Basta verificar 
que x(1,0) + y(0,1) = (x,0) + (0,y) = (x,y). Futuramente chamaremos esses vetores i e j de 
base canônica de R2. 
 
Da mesma forma, os vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) geram o espaço vetorial 
R3, pois qualquer vetor (x,y,z) pode ser escrito como combinação linear de i,j e k. 
Analogamente, esses vetores formam a base canônica de R3. 
 
Depois veremos o que significa esse termo “base”... 
 
Agora uma informação importantíssima. 
 
Vamos considerar uma lista de vetores 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛. Considere ainda um vetor m que 
seja combinação linear de 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛, ou seja, 𝑚 = 𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2 + ⋯+ 𝑘𝑛𝑣𝑛. 
É possível demonstrar que o subespaço gerado por 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 é o mesmo subespaço 
gerado por 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛, 𝑚. Ou seja, [𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛] = [𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛, 𝑚]. 
 
Assim, ao introduzirmos vetores de S (vetores que foram obtidos através de uma 
combinação linear de 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛) a esse conjunto, o novo conjunto continuará 
 
 
29 
 
gerando o mesmo subespaço S. Assim, um subespaço S pode ser gerado por infinitos 
vetores, mas sempre existe uma quantidade mínima de vetores para gerá-lo. Esse 
número mínimo é a chamada dimensão de S. Futuramente vamos definir esse conceito 
com uma maior precisão. 
 
Vimos que qualquer vetor de R2 pode ser gerado a partir dos vetores i = (1,0) e j = (0,1), 
portanto, a dimensão de R2 é 2. Numa linguagem grosseira: 1 vetor é pouco para gerar 
R2, 3 vetores é demais, 2 é o suficiente e necessário. 
 
Vimos também que qualquer vetor de R3 pode ser gerado a partir dos vetores i = (1,0,0), 
j = (0,1,0) e k = (0,0,1), portanto, a dimensão de R3 é 3. Numa linguagem grosseira: 1 
vetor é pouco para gerar R3, 2 vetores também é pouco, 4 é demais. Três vetores é a 
quantidade suficiente e necessária. Observe que podemos gerar R3 com 4,5 ou mais 
vetores, mas não é necessário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
Dependência e Independência Linear 
Vimos que o espaço vetorial R2 é gerado por 2 vetores, ou por três, quatro, etc. 
Destarte, dois vetores é o número mínimo necessário para gerar R2. Da mesma forma, 
vimos que três vetores é o número mínimo para gerar R3. Até podemos gerar R3 com 
4 ou 5 vetores, mas não há a necessidade de serem usados mais de 3 vetores. 
Poderíamos dizer, neste caso, que há “vetores em demasia” no conjunto gerador. 
 
Estamos interessados na determinação do espaço gerador com o número mínimo de 
vetores necessários. Para tanto, precisamos ter uma boa noção sobre dependência e 
independência linear. 
 
Considere então um espaço vetorial V e um conjunto 𝑃 = {𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑛} e os escalares 
𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑛. 
 
Veja a seguinte equação homogênea (lembra de equação homogênea da aula de 
sistemas lineares?) 
 
𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2 + ⋯𝑘𝑛𝑣𝑛 = 0 
 
Pois bem, toda equação homogênea admite pelo menos a solução trivial. 
 
𝑘1 = 𝑘2 = ⋯ = 𝑘𝑛 = 0 
 
Se a equação admitir apenas a solução trivial, dizemos que o conjunto P é linearmente 
independente (LI) ou podemos também dizer que os vetores 𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑛 são LI. 
 
Se existirem outras soluções além da trivial, diremos que o conjunto P é linearmente 
dependente (LD) ou podemos também dizer que os vetores 𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑛 são LD. 
 
E o que isto significa? 
 
Podemos analisar de duas maneiras: 
 
i) O conjunto 𝑃 = {𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑛} é LD se, e somente se, pelo menos um dos vetores for 
combinação linear dos outros. 
 
 
31 
 
ii) O conjunto 𝑃 = {𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑛} é LI se, e somente se, nenhum dos vetores for 
combinação linear dos outros. 
 
Podemos analisar o caso particular para conjuntos com dois vetores: 
 
i) Dois vetores são LD se, e somente se, um vetor é múltiplo do outro. Ou seja, dois 
vetores são LD se eles são colineares. 
 
Exercícios 
 
Verificar se os seguintes conjuntos são LI ou LD. 
 
a) {(4,3), (2,5)} ⊂ 𝑅2 
 
Como um vetor não é múltiplo do outro, ou seja, eles não são colineares, os vetores 
(4,3) e (2,5) são LI. 
Poderíamos analisar a igualdade: 
 
𝑎(4,3) + 𝑏(2,5) = (0,0) 
 
(4𝑎, 3𝑎) + (2𝑏, 5𝑏) = (0,0) 
 
(4𝑎 + 2𝑏, 3𝑎 + 5𝑏) = (0,0) 
 
Assim, ficamos com o sistema: 
 
{
4𝑎 + 2𝑏 = 0
3𝑎 + 5𝑏 = 0
 
 
Este sistema só admite a solução trivial, pois o sistema é possível e determinado. Basta 
calcular D e verificar que 𝐷 ≠ 0. 
 
|
4 2
3 5
| = 4 × 5 − 2 × 3 = 14 ≠ 0 
 
Como o sistema admite apenas a solução trivial, o conjunto é LI. 
 
 
 
32 
 
b) {(−2,−4,0,6), (4, −2,0,0), (1,0,0,0)} ⊂ 𝑅4 
 
Vamos usar a própria definição de dependência e independência linear. 
 
𝑎(−2,−4,0,6) + 𝑏(4, −2,0,0) + 𝑐(1,0,0,0) = (0,0,0,0) 
 
(−2𝑎,−4𝑎, 0,6𝑎) + (4𝑏,−2𝑏, 0,0) + (𝑐, 0,0,0) = (0,0,0,0) 
 
(−2𝑎 + 4𝑏 + 𝑐,−4𝑎 − 2𝑏, 0,6𝑎) = (0,0,0,0) 
 
Ficamos com o seguinte sistema linear: 
 
{
−2𝑎 + 4𝑏 + 𝑐 = 0
−4𝑎 − 2𝑏 = 0
6𝑎 = 0
 
 
Da última equação, temos que a=0. Substituindo a=0 na segunda equação, temos que 
b=0. Substituindo esses valores na primeira equação, temos que c=0. Portanto, o 
sistema admite apenas a solução trivial e os vetores dados são LI. 
 
Propriedades da Dependência e Independência Linear 
i) Se u e v são vetores linearmente independentes, então também serão LI os vetores 
u+v e u-v. 
 
ii) Se um conjunto é formado por apenas um vetor não-nulo, então este conjunto é LI. 
 
iii) Por definição, o conjunto vazio é LI. Ou seja, um conjunto sem vetor algum é 
linearmente independente. 
 
iv) Se um conjunto P qualquer de vetores contém o vetor nulo, então automaticamente 
o conjunto P é LD. 
 
v) Se uma parte de um conjunto P é LD, então o conjunto P é LD. 
 
vi) Se um conjunto P é LI, então qualquer parte sua também será LI. 
 
 
33 
 
Base e Dimensão 
Vamos considerar um conjunto 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑛}, subconjunto do espaço vetorial V. 
Dizemos que esse conjunto B é uma base do espaço vetorial V se os vetores 𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑛 
forem LI e se o conjunto B gerar o espaço V. Em outras palavras, se todo e qualquer 
vetor de V puder ser escrito como combinação linear de 𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑛. 
 
Já vimos que dois vetores não-colineares são sempre LI. Se eles forem de R2, eles irão 
gerar R2. Portanto, dois vetores não-colineares quaisquer de R2 formam uma base de 
R2. 
 
Por exemplo: O conjunto 𝐵 = {(3,5), (−1,7)} é uma base de R2, pois os vetores são LI 
(um não é múltiplo do outro) e qualquer vetor de R2 é combinação linear deles. 
 
Observação: A base 𝐵 = {(1,0), (0,1)} é denominada base canônica de R2. Isso porque 
B é LI e B gera R2. Basta verificar que todo vetor (x,y) pode ser escrito como combinação 
linear de (1,0) e (0,1). Veja: 
 
(x,y) = x(1,0) + y(0,1) 
Analogamente, definimos: 
𝐵 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é a base canônica de R3. 
𝐵 = {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} é a base canônica de R4. 
 
E assim por diante. 
 
E agora um teorema importante: Se 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … 𝑣𝑛} for uma base de um espaço 
vetorial, então TODO CONJUNTO COM MAIS DE n VETORES será linearmente 
dependente. 
Assim, um conjunto com 3 ou mais vetores no R2 será, certamente, linearmente 
dependente. 
 
Analogamente, um conjunto com 4 ou mais vetores no R3 será linearmente 
dependente. 
 
E uma consequência desse teorema é que duas bases quaisquer de um espaço vetorial 
têm sempre o mesmo número de vetores. 
 
 
34 
 
 
Exemplo: A base canônica de R4 tem quatro vetores, então qualquer outra base de R4 
terá quatro vetores. 
 
Pois bem, esta quantidade de vetores que formam a base do espaço vetorial é 
denominada dimensão. 
 
Observação: Considere um espaço vetorial V de dimensão n.Se S é um subespaço de V, 
então a dimensão de S é no máximo igual a n. Se a dimensão de S for igual a n, então S 
= V. 
 
Por exemplo, vamos considerar R3. A dimensão de qualquer subespaço de R3 só 
poderá ter dimensão 0,1,2 ou 3. 
 
Se a dimensão de S for 0, então S é a origem do R3. 
 
Se a dimensão de S for 1, então S é uma reta que passa pela origem do espaço. 
Se a dimensão de S for 2, então S é um plano que passa pela origem. 
 
Se a dimensão de S for 3, então S = R3. 
 
 
 
35 
 
Transformações Lineares 
Vamos agora estudar funções onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais 
reais. Essas funções são chamadas de funções vetoriais. Vamos estudar as funções 
vetoriais lineares, chamadas de transformações lineares. 
 
Vamos considerar uma transformação T do espaço vetorial V no espaço vetorial W. 
Representamos essa transformação por 𝑇: 𝑉 → 𝑊. A imagem do vetor 𝑣 ∈ 𝑉 é o vetor 
𝑤 ∈ 𝑊 e indicaremos por T(v) = w. Estamos usando a mesma notação da aula sobre 
funções reais. 
 
Vejamos um exemplo de uma transformação 𝑇: 𝑅2 ⟶ 𝑅3 que associa vetores 𝑣 =
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 com vetores 𝑤 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3. Vamos considerar a seguinte lei de 
formação. 
 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (4𝑦, 2𝑥, 𝑥 + 𝑦) 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Colocando x = 2 e y= -3, temos: 
 
𝑇(2,−3) = (−12,4,−1) 
 
Vejamos outro exemplo. Façamos x = 0 e y = 5. 
 
𝑇(0,5) = (20,0,5) 
 
Podemos representar esta transformação com o diagrama de Venn. 
 
 
 
36 
 
Vamos agora definir as transformações lineares (ou aplicações lineares ou 
homomorfismos de espaços vetoriais). 
 
Considerando que V e W são espaços vetoriais e que T é uma função de V em W, ou 
seja, 𝑇: 𝑉 → 𝑊. Dizemos que T é uma transformação linear de V em W se: 
 
i) T(u+v) = T(u) + T(v) 
ii) T(ku) = k T(u) 
 
Para quaisquer u,v vetores de V e k uma constante real. 
 
Quando temos uma transformação linear de V em V, dizemos que esta transformação 
é um operador linear em V. 
 
A transformação que utilizei no exemplo inicial é uma transformação linear? 
𝑇: 𝑅2 ⟶ 𝑅3 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (4𝑦, 2𝑥, 𝑥 + 𝑦) 
 
Para verificar, vamos considerar dois vetores genéricos u = (x1,y1) e 
v = (x2,y2). 
 
Vamos calcular T(u+v) e verificar se é igual a T(u)+T(v). 
 
𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)
= ( 4(𝑦1 + 𝑦2), 2(𝑥1 + 𝑥2), 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2) 
 
𝑇(𝑢 + 𝑣) = ( 4𝑦1 + 4𝑦2, 2𝑥1 + 2𝑥2, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2) 
 
Vamos agora calcular T(u) + T(v). 
 
𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) = 𝑇(𝑥1, 𝑦1) + 𝑇(𝑥2, 𝑦2) 
 
𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) = (4𝑦1, 2𝑥1, 𝑥1 + 𝑦1) + (4𝑦2, 2𝑥2, 𝑥2 + 𝑦2) 
 
𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) = ( 4𝑦1 + 4𝑦2, 2𝑥1 + 2𝑥2, 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑦1 + 𝑦2) 
 
 
 
37 
 
Portanto, 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣). 
 
Precisamos ainda verificar a segunda parte, ou seja, verificar se T(ku) = k T(u). 
 
𝑇(𝑘𝑢) = 𝑇(𝑘𝑥1, 𝑘𝑦1) = (4𝑘𝑦1, 2𝑘𝑥1, 𝑘𝑥1 + 𝑘𝑦1) 
 
Vamos agora calcular k T(u). 
 
𝑘𝑇(𝑢) = 𝑘𝑇(𝑥1, 𝑦1) = 𝑘(4𝑦1, 2𝑥1, 𝑥1 + 𝑦1)
= (4𝑘𝑦1, 2𝑘𝑥1, 𝑘𝑥1 + 𝑘𝑦1) 
 
Portanto, T(ku) = k T(u). Concluímos então que a nossa transformação t é linear. 
 
Dica importante para identificar transformações que não são lineares 
 
Em toda transformação linear 𝑇: 𝑉 → 𝑊, a imagem do vetor nulo de V é o vetor nulo 
de W. Assim, temos sempre que T(0) = 0. 
 
Porém, a recíproca não é verdadeira. Há transformações não-lineares em que T(0) = 0. 
 
Então como usar esta dica? 
 
Calcule T(0). Se o resultado não for o vetor nulo, então a transformação não é linear. 
 
Por exemplo, a transformação 𝑇: 𝑅3 → 𝑅2 definida por 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥, 3𝑦, 2𝑧 + 𝑥 + 1) 
 
não é linear. Basta substituir x,y e z por 0. 
 
𝑇(0,0,0) = (0,0,1) 
 
Exemplo: Sabendo que 𝑇: 𝑅2 → 𝑅3 é uma transformação linear e que 𝑇(1,−1) =
(3,2, −2) e 𝑇(−1,2) = (1,−1,3), Determine a lei de formação T(x,y). 
Resolução 
Os vetores (1,-1) e (-1,2) não são colineares e, portanto, formam um base de R2. 
 
 
 
38 
 
Assim, vamos escrever o vetor genérico (x,y) como combinação linear dos vetores (1,-
1) e (-1,2). 
 
(x,y) = a(1,-1) + b(-1,2) 
 
(x,y) = (a,-a) + (-b,2b) 
 
(x,y) = (a-b, -a+2b) 
 
Temos o seguinte sistema: 
 
{
𝑎 − 𝑏 = 𝑥
−𝑎 + 2𝑏 = 𝑦
 
 
Somando as duas equações, temos: 
 
𝑎 − 𝑎 − 𝑏 + 2𝑏 = 𝑥 + 𝑦 
 
𝑏 = 𝑥 + 𝑦 
Substituindo na primeira equação, encontramos 𝑎 = 2𝑥 + 𝑦 . 
 
(𝑥, 𝑦) = 𝑎(1,−1) + 𝑏(−1,2) 
 
Aplicando T, temos: 
 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑇(1,−1) + 𝑏𝑇(−1,2) 
 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 𝑦)(3,2, −2) + (𝑥 + 𝑦)(1, −1,3) 
 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (6𝑥 + 3𝑦, 4𝑥 + 2𝑦,−4𝑥 − 2𝑦) + (𝑥 + 𝑦,−𝑥
− 𝑦, 3𝑥 + 3𝑦) 
 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (7𝑥 + 4𝑦, 3𝑥 + 𝑦,−𝑥 + 𝑦) 
 
Exemplo: Um operador linear em R2 é tal que: T(1,0) = (3,4) e T(0,1) = (2,-3). Determine 
T(x,y). 
 
 
39 
 
Resolução 
Operador linear em R2, como já falei, é uma transformação linear de R2 em R2. 
 
Observe que os vetores (1,0) e (0,1) formam a base canônica de R2. 
 
Neste caso é muito fácil escrever um vetor (x,y) como combinação linear desses 
vetores. 
 
(𝑥, 𝑦) = 𝑥(1,0) + 𝑦(0,1) 
 
Aplicando T, temos: 
 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑇(1,0) + 𝑦𝑇(0,1) 
 
𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥(3,4) + 𝑦(2,−3) 
 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥, 4𝑥) + (2𝑦,−3𝑦) 
 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 + 2𝑦, 4𝑥 − 3𝑦) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Núcleo de uma Transformação Linear 
Quando estudamos funções, aprendemos a calcular as raízes. Raiz de uma função é um 
número k tal que f(k)=0. Ou seja, é o elemento de domínio que “envia uma flecha” para 
o zero. 
 
Aqui teremos algo parecido. 
 
Chamamos de núcleo (ou kernel) de uma transformação linear 𝑇: 𝑉 → 𝑊 o conjunto de 
todos os vetores de V que são transformados no vetor nulo pertencente a W. Indicamos 
esse conjunto por N(T) ou ker(T). 
 
 
Observe que o vetor nulo sempre será elemento do núcleo, pois em toda 
transformação linear temos T(0)=0. 
 
Exemplo: Considere uma transformação linear 𝑇: 𝑅3 → 𝑅2 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(𝑥 − 𝑦 + 2𝑧, 2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧) 
 
O núcleo é o conjunto de vetores (x,y,z) de R3 tal que T(x,y,z)=(0,0). 
 
Ou seja, um vetor (x,y,z) pertence ao núcleo se e somente se: 
 
(𝑥 − 𝑦 + 2𝑧, 2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧) = (0,0) 
 
Ou, na forma de sistema linear: 
 
{
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 0
 
 
 
41 
 
 
Somando as duas equações, temos: 
3𝑥 + 6𝑧 = 0 
𝑥 = −2𝑧 
Substituindo na primeira equação, temos y=0. 
 
Assim, o nosso núcleo é o conjunto de vetores (-2z,0,z). 
 
𝑁(𝑇) = {(−2𝑧, 0, 𝑧)|𝑧 ∈ 𝑅} 
 
𝑁(𝑇) = {𝑧(−2,0,1)|𝑧 ∈ 𝑅} 
 
Ou seja, todos os múltiplos do vetor (-2,0,1). Assim, podemos dizer que o núcleo de T é 
o subespaço gerado pelo vetor (-2,0,1). Em símbolos 
 
𝑁(𝑇) = [(−2,0,1)] 
 
Propriedades do núcleo 
Pelo exemplo anterior, vimos que o núcleo era o subespaço gerado pelo vetor (-2,0,1). 
 
i) O núcleo de uma transformação linear 𝑇: 𝑉 → 𝑊 é um subespaço vetorial de V. 
 
ii) Uma transformação linear 𝑇: 𝑉 → 𝑊 é injetora se, e somente se, 𝑁(𝑇) = {0}. 
 
Ou seja, se uma transformação linear é injetora, então o seu núcleo contém apenas o 
vetor nulo e se o núcleo contém apenas o vetor nulo, então a transformação linear é 
injetora. 
 
Exemplo: Mostre que a transformação linear 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 +
𝑦, 2𝑥 − 𝑦) é injetora. 
Resolução 
Para classificar uma transformação linear em relação à injetividade, devemos calcular 
o seu núcleo. 
 
(𝑥 + 𝑦, 2𝑥 − 𝑦) = (0,0) 
 
 
42 
 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 0
2𝑥 − 𝑦 = 0
 
 
Somando as duas equações, temos: 
 
3x=0 
 
x=0 
 
Assim, como x =0, temos que y=0. 
 
𝑁(𝑇) = {(0,0)} 
 
Como o núcleo é formado apenas pelo vetor nulo, então a transformação linear dada é 
injetora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
Imagem de uma transformação linear 
Seja T uma transformação linear de V em W. Chamamos de imagem o conjunto de 
vetores 𝑤 ∈ 𝑊 que são imagens de pelo menos um vetor 𝑣 ∈ 𝑉. Podemos fazer a 
analogiacom o conjunto imagem de uma função real. No nosso caso, a imagem é o 
conjunto dos vetores que “recebem” as flechas. 
 
Dizemos que esta transformação é sobrejetora se todo elemento de W receber uma 
flecha, ou seja, se para todo vetor 𝑤 ∈ 𝑊, existir pelo menos um vetor 𝑣 ∈ 𝑉 tal que 
T(v)=w. 
 
Assim como o núcleo, a imagem de uma transformação linear também é um subespaço 
de W. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
Teorema da Dimensão 
Este teorema é muito interessante. Ele afirma que a dimensão de V é igual a dimensão 
do núcleo mais a dimensão da imagem. 
Matriz de uma transformação linear 
Novamente, seja T uma transformação linear de V em W. Vamos considerar que A é 
uma base de V e B é uma base de W. Vejamos, por exemplo, o caso em que a dimensão 
de V é 2 e a dimensão de W é 3. 
Assim, o conjunto A (base de V) é formado pelos vetores v1 e v2, enquanto o conjunto 
B (base de W) é formado pelos vetores w1, w2 e w3. 
Como v1 e v2 formam a base de V, então qualquer vetor 𝑣 ∈ 𝑉 pode ser escrito como 
uma combinação linear de v1 e v2. Assim, 𝑣 = 𝑥1𝑣1 + 𝑥2𝑣2. 
A imagem de v será um vetor 𝑤 ∈ 𝑊, que pode ser escrito como combinação linear de 
w1, w2 e w3. Assim, 
𝑇(𝑣) = 𝑤 
𝑻(𝒗) = 𝒚𝟏𝒘𝟏 + 𝒚𝟐𝒘𝟐 + 𝒚𝟑𝒘𝟑 
Por outro lado... 
𝑇(𝑣) = 𝑇(𝑥1𝑣1 + 𝑥2𝑣2) 
𝑇(𝑣) = 𝑇(𝑥1𝑣1) + 𝑇(𝑥2𝑣2) 
𝑇(𝑣) = 𝑥1𝑇(𝑣1) + 𝑥2𝑇(𝑣2) (𝐼) 
Como T(v1) e T(v2) são as imagens de v1 e v2, então eles são elementos de W. Como 
são elementos de W, eles podem ser escritos como combinação linear de w1, w2 e w3. 
𝑇(𝑣1) = 𝑎11𝑤1 + 𝑎21𝑤2 + 𝑎31𝑤3 
𝑇(𝑣2) = 𝑎12𝑤1 + 𝑎22𝑤2 + 𝑎32𝑤3 
 
 
 
45 
 
Substituindo esses vetores em (I), temos: 
𝑇(𝑣) = 𝑥1𝑇(𝑣1) + 𝑥2𝑇(𝑣2) (𝐼) 
𝑇(𝑣) = 𝑥1(𝑎11𝑤1 + 𝑎21𝑤2 + 𝑎31𝑤3) + 𝑥2(𝑎12𝑤1 + 𝑎22𝑤2
+ 𝑎32𝑤3) 
𝑇(𝑣) = (𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2)𝑤1 + (𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2)𝑤2 + (𝑎31𝑥1
+ 𝑎32𝑥2)𝑤3 
Só que nós sabíamos que 𝑻(𝒗) = 𝒚𝟏𝒘𝟏 + 𝒚𝟐𝒘𝟐 + 𝒚𝟑𝒘𝟑. 
Comparando as duas expressões, concluímos que: 
{
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 = 𝑦1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 = 𝑦2
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 = 𝑦3
 
Podemos escrever esse sistema na forma matricial. 
[
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
] ∙ [
𝑥1
𝑥2
] = [
𝑦1
𝑦2
𝑦3
] 
Vamos usar as seguintes notações. 
[𝑇(𝑣)]𝐵 = [
𝑦1
𝑦2
𝑦3
] 
Ou seja, esta é a matriz formada pelos números que multiplicarão os vetores da base B 
de W. 
[𝑇]𝐵
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
] 
Esta matriz é chamada de matriz de T em relação às bases A e B. 
[𝑣]𝐴 = [
𝑥1
𝑥2
] 
Esta é a matriz formada pelos números que multiplicam os vetores da base A de V. 
 
 
46 
 
Observe que quando a dimensão de V é 2 e a dimensão de W é 3, a matriz [𝑇]𝐵
𝐴 é do 
tipo 3 x 2. 
 
Observe ainda que as colunas da matriz [𝑇]𝐵
𝐴 são as componentes das imagens da base 
A escritas como combinação linear dos vetores da base B. 
𝑇(𝑣1) = 𝒂𝟏𝟏𝑤1 + 𝒂𝟐𝟏𝑤2 + 𝒂𝟑𝟏𝑤3 
𝑇(𝑣2) = 𝒂𝟏𝟐𝑤1 + 𝒂𝟐𝟐𝑤2 + 𝒂𝟑𝟐𝑤3 
[𝑇]𝐵
𝐴 = [
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐
𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐
] 
Vamos a um exemplo: Considere a transformação linear T de R3 em R2 definida por 
T(x,y,z) = (x-y, x+2z). Determine a matriz de T em relação à base canônica de R3 e a base 
B = {(1,1), (1, −1)} de R2. 
Resolução 
A base canônica de R3 é 𝐴 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. Vamos aplicar esses três vetores 
pela transformação linear T. 
𝑇(1,0,0) = (1,1) 
𝑇(0,1,0) = (−1,0) 
𝑇(0,0,1) = (0,2) 
O próximo passo é escrever cada vetor como combinação linear da base B. 
(1,1) = 𝑎(1,1) + 𝑏(1,−1) 
(−1,0) = 𝑐(1,1) + 𝑑(1,−1) 
(0,2) = 𝑒(1,1) + 𝑓(1,−1) 
Cada equação acima gera um sistema linear. Por exemplo a primeira equação: 
(1,1) = 𝑎(1,1) + 𝑏(1,−1) 
(1,1) = (𝑎, 𝑎) + (𝑏,−𝑏) 
 
 
47 
 
(1,1) = (𝑎 + 𝑏, 𝑎 − 𝑏) 
{
𝑎 + 𝑏 = 1
𝑎 − 𝑏 = 1
 
Somando as duas equações, encontramos 2a = 2, donde a = 1. Substituindo na primeira 
equação encontramos b=0. 
Desta forma, a combinação linear que queríamos é a seguinte: 
(1,1) = 1 × (1,1) + 0 × (1,−1) 
Fazendo o mesmo com as outras equações, ficamos com o seguinte resultado: 
(1,1) = 1 × (1,1) + 0 × (1,−1) 
(−1,0) = −
1
2
× (1,1) −
1
2
× (1,−1) 
(0,2) = 1 × (1,1) − 1 × (1,−1) 
Lembre-se que que as colunas da matriz [𝑇]𝐵
𝐴 são as componentes das imagens da base 
A escritas como combinação linear dos vetores da base B. 
Portanto: 
[𝑇]𝐵
𝐴 = [
1 −1/2 1
0 −1/2 −1
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
Autovetor e autovalor 
Vimos que uma transformação T de V em V, pode ser chamado de operador linear em 
V. Então vamos considerar uma transformação linear T de V em V, que é um operador 
linear em V. Um vetor 𝑣 ∈ 𝑉 é um autovetor (ou vetor próprio) deste operador T, se 
existir um número 𝜆 ∈ 𝑅 tal que 𝑇(𝑣) = 𝜆𝑣. Ou seja, um vetor v é um autovetor se a 
sua imagem T(v) for um múltiplo escalar seu. Se estivermos trabalhando em R2 ou R3, 
diríamos que os vetores têm a mesma direção ou que são colineares. Este número 𝜆 é 
chamado de autovalor (ou valor próprio) do operador T associado ao vetor v. 
 
Na figura acima, v não é um autovetor, mas u é um autovetor. 
Por exemplo, o vetor v=(1,2) é autovetor do operador linear 
𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥, 8𝑥 − 𝑦) 
associado ao autovalor 𝜆 = 3, pois: 
𝑇(1,2) = (3,6) = 3 ∙ (1,2) 
A pergunta é: como determinar os autovalores e autovetores de um operador linear? 
Vamos mostrar através de um exemplo. 
 
 
49 
 
Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores do operador linear 
𝑇: 𝑅3 → 𝑅3 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 3𝑧) 
Resolução 
O primeiro passo é montar a matriz canônica do operador T, ou seja, a matriz formada 
pelos coeficientes das variáveis x,y e z. 
𝐴 = [
1 1 1
0 2 1
0 2 3
] 
Para calcular os autovalores, devemos resolver a equação det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0, que é 
chamada de equação característica do operador T. A letra I representa a matriz 
identidade. 
𝐴 − 𝜆𝐼 = [
1 1 1
0 2 1
0 2 3
] − 𝜆 [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
𝐴 − 𝜆𝐼 = [
1 1 1
0 2 1
0 2 3
] − [
𝜆 0 0
0 𝜆 0
0 0 𝜆
] 
𝐴 − 𝜆𝐼 = [
1 − 𝜆 1 1
0 2 − 𝜆 1
0 2 3 − 𝜆
] 
Resumindo: Devemos subtrair 𝜆 de todos os elementos da diagonal principal da matriz 
canônica, calcular o determinante e igualar a 0. 
det(𝐴 − 𝜆𝐼) = |
1 − 𝜆 1 1
0 2 − 𝜆 1
0 2 3 − 𝜆
| = 0 
Devemos repetir as duas primeiras colunas e aplicar a regra de Sarrus. 
det (𝐴 − 𝜆𝐼) = |
1 − 𝜆 1 1
0 2 − 𝜆 1
0 2 3 − 𝜆
|
1 − 𝜆 1
0 2 − 𝜆
0 2
 
(1 − 𝜆)(2 − 𝜆)(3 − 𝜆) + 0 + 0 − 0 − (1 − 𝜆) ∙ 1 ∙ 2 − 0 = 0 
 
 
50 
 
(1 − 𝜆)(2 − 𝜆)(3 − 𝜆) − 2(1 − 𝜆) = 0 
Vamos desenvolver o produto (2 − 𝜆)(3 − 𝜆) = 6 − 2𝜆 − 3𝜆 + 𝜆2 = 𝜆2 − 5𝜆 + 6. 
(1 − 𝜆)(𝜆2 − 5𝜆 + 6) − 𝟐(1 − 𝜆) = 0 
Vamos colocar (1 − 𝜆) em evidência. 
(1 − 𝜆)(𝜆2 − 5𝜆 + 6 − 𝟐) = 0 
(1 − 𝜆)(𝜆2 − 5𝜆 + 4) = 0 
Este polinômio (1 − 𝜆)(𝜆2 − 5𝜆 + 4) é chamado de polinômio característico. 
Devemos igualar os dois fatores a 0. 
1 − 𝜆 = 0 
𝜆 = 1 
Agora o segundo fator: 
𝜆2 − 5𝜆 + 4 = 0 
Resolvendo esta equação do segundo grau, encontramos os valores 𝜆 = 1 ou 𝜆 = 4. 
Assim, os autovalores do operador T são 𝜆 = 1, 𝜆 = 4. 
E como determinar os autovetores? 
Vamos aplicar a própria definição. 
𝑇(𝑣) = 𝜆𝑣 
Substituindo 𝜆 = 1, temos: 
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 3𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
Ou, na forma de sistema linear: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥
2𝑦 + 𝑧 = 𝑦
2𝑦 + 3𝑧 = 𝑧
 
Simplificando: 
 
 
51 
 
{
𝑦 + 𝑧 = 0
𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑦 + 2𝑧 = 0
 
Neste caso, o sistema homogêneo é possível e indeterminado, pois admite infinitas 
soluções (já que a coluna de x é toda nula, temos que D=0). 
Assim, x pode assumir qualquer valor, e y e z são tais que z= -y. 
Assim, os autovetores associados a 𝜆 = 1 são vetores da forma (x,y,-y). 
Verifique, por exemplo, que 𝑇(5,8,−8) = (5,8, −8). 
Vamos fazer o mesmo agora com 𝜆 = 4. 
𝑇(𝑣) = 4𝑣 
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 3𝑧) = 4(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
(𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 3𝑧) =(4𝑥, 4𝑦, 4𝑧) 
Ou, na forma de sistema linear: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4𝑥
2𝑦 + 𝑧 = 4𝑦
2𝑦 + 3𝑧 = 4𝑧
 
Simplificando: 
{
−3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑧 = 2𝑦
2𝑦 = 𝑧
 
Substituindo z por 2y na primeira equação: 
−3𝑥 + 𝑦 + 2𝑦 = 0 
−3𝑥 = −3𝑦 
𝑥 = 𝑦 
Assim, os autovetores associados a 𝜆 = 4 são vetores da forma (x,x,2x) = x(1,1,2) ou, 
simplesmente, todos os múltiplos de (1,1,2). 
Observe que: 
 
 
52 
 
𝑇(1,1,2) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 3𝑧) = (4,4,8)
= 4 ∙ (1,1,2) 
Propriedades dos autovalores e autovetores 
i) Se v é um autovetor de um operador T associado ao autovalor 𝜆, então qualquer 
múltiplo de v também será um autovetor associado a 𝜆. 
ii) O conjunto de todos os autovetores associados ao mesmo 𝜆 (incluindo o vetor nulo) 
é um subespaço vetorial de V. Esse subespaço é chamado de subespaço associado ao 
autovalor 𝜆 ou espaço característico de T ou auto-espaço associado a 𝜆. 
Exemplo: Os autovalores de um operador linear 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 são 𝜆1 = 2 e 𝜆2 = −3, 
sendo os vetores u = (1,-1) e v = (-1,0) os respectivos autovetores associados. Determine 
T(x,y). 
Resolução 
O primeiro passo é escrever o vetor (x,y) como combinação linear dos autovetores (1,-
1) e (-1,0). 
(𝑥, 𝑦) = 𝑎(1,−1) + 𝑏(−1,0) 
(𝑥, 𝑦) = (𝑎,−𝑎) + (−𝑏, 0) 
(𝑥, 𝑦) = (𝑎 − 𝑏,−𝑎) 
Ficamos com o seguinte sistema: 
{
𝑥 = 𝑎 − 𝑏
𝑦 = −𝑎
 
Assim, concluímos que a= -y e b = -y – x. 
(𝑥, 𝑦) = −𝑦(1,−1) + (−𝑦 − 𝑥)(−1,0) 
Vamos agora aplicar o operador T. 
𝑇(𝑥, 𝑦) = −𝑦𝑇(1,−1) + (−𝑦 − 𝑥)𝑇(−1,0) 
Só que T(1,-1) = 2 (1,-1) = (2,-2) e T(-1,0) = -3(-1,0) = (3,0), pela própria definição de 
autovalor e autovetor. Lembra que 𝑇(𝑣) = 𝜆𝑣? 
 
 
53 
 
Continuando... 
𝑇(𝑥, 𝑦) = −𝑦(2, −2) + (−𝑦 − 𝑥)(3,0) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (−2𝑦, 2𝑦) + (−3𝑥 − 3𝑦, 0) 
𝑇(𝑥, 𝑦) = (−3𝑥 − 5𝑦, 2𝑦) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
Exercícios 
1. (ANPEC 2013) Considere 𝜷 = {𝒗𝟏, … , 𝒗𝒎} um conjunto de vetores de Rn . Julgue as 
seguintes afirmativas: 
0 Se m > n , então os vetores do conjunto 𝛽 são linearmente dependentes. 
1 Se muma base, ele deve ser 
LI. 
Vamos usar a própria definição de dependência e independência linear. 
 
𝑎(1,2,3) + 𝑏(4,5,12) + 𝑐(0,8,0) = (0,0,0) 
 
(𝑎, 2𝑎, 3𝑎) + (4𝑏, 5𝑏, 12𝑏) + (0,8𝑐, 0) = (0,0,0) 
 
Na forma de sistema: 
 
 
 
61 
 
{
𝑎 + 4𝑏 = 0
2𝑎 + 5𝑏 + 8𝑐 = 0
3𝑎 + 12𝑏 = 0
 
 
O sistema será LI se o sistema homogêneo acima admitir apenas a solução trivial. 
 
Não precisamos resolver o sistema. Basta calcular D, o determinante da matriz formado 
pelos coeficientes dos incógnitas e descobrir se o sistema é possível e determinado ou 
possível e indeterminado. Se D = 0, então o sistema admitirá soluções não triviais e os 
vetores serão LD. Se 𝐷 ≠ 0, o sistema será possível e determinado e admitirá apenas a 
solução trivial. Neste caso, os vetores serão LI. 
 
|
1 4 0
2 5 8
3 12 0
| = 0 
 
Facilmente percebemos que o determinante acima é 0, já que a terceira linha é o triplo da 
primeira. 
Assim, o sistema admite soluções não triviais e os vetores são LD. Concluímos que os 
vetores do enunciado não formam uma base de R3. A frase 1 é falsa. 
2 Se S é um subconjunto de R3 formado por vetores linearmente dependentes, então 
podemos afirmar que S tem 4 elementos ou mais. 
R3 é um espaço vetorial de dimensão 3. Destarte, sua base é formada por 3 vetores 
linearmente independentes. Qualquer conjunto com mais de 3 vetores será LD. A recíproca 
não é verdadeira. Podemos ter um conjunto com menos de 3 vetores que seja LD. Basta 
pensar, por exemplo, em um conjunto formado por 2 vetores, tais que um seja o múltiplo do 
outro. 
A frase 2 está errada. 
 
 
 
62 
 
Considerações Finais 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. Lembrem-se que 
estamos juntos nesta sua caminhada!! 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves