Lista de exercícios 7: Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas

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Lista de exercícios 7
1. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫∫∫
E
√
x2 + y2 dV , onde E é o sólido contido dentro do cilindro x2 + y2 = 16 e entre os planos
z = −5 e z = 4.
(b)
∫∫∫
E
x3 + xy2 dV , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do parabolóide z =
1− x2 − y2.
(c)
∫∫∫
E
x2 + y2 + z2 dV , onde E é a bola unitária x2 + y2 + z2 ≤ 1.
(d)
∫∫∫
E
ez dV , onde E é o sólido limitado pelo parabolóide z = 1+x2+y2, pelo cilindro x2+y2 = 5
e pelo plano xy.
(e)
∫∫∫
E
x2 + y2 dV , onde E é o sólido entre o plano xy e a esfera x2 + y2 + z2 = 1.
(f)
∫∫∫
E
x dV , onde E é o sólido limitado pelos planos z = 0 e z = x + y + 3 e pelos cilindros
x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.
(g)
∫∫∫
E
x2 dV , onde E é o sólido contido dentro do cilindro x2 + y2 = 1, acima do plano z = 0 e
abaixo do cone z2 = 4x2 + 4y2.
(h)
∫∫∫
E
z dV , onde E é o sólido que está contido entre as esferas x2+y2+z2 = 1 e x2+y2+z2 = 4
no primeiro octante.
(i)
∫∫∫
E
√
x2 + y2 + z2 dV , onde E é o sólido delimitado pela esfera x2 + y2 + z2 = 9 no primeiro
octante.
(j)
∫∫∫
E
x2 dV , onde E é o sólido limitado pelo plano xz e pelos hemisférios y =
√
9− x2 − z2 e
y =
√
16− x2 − z2.
(k)
∫∫∫
E
xyz dV , onde E é o sólido que está entre as esferas ρ = 2 e ρ = 4 e acima do cone φ = pi
3
.
(l)
∫ 1
−1
∫ √1−x2
−√1−x2
∫ 2−x2−y2
x2+y2
(x2 + y2)
3
2 dz dy dx
(m)
∫ 1
0
∫ √1−y2
0
∫ √x2+y2
x2+y2
xyz dz dx dy
(n)
∫ 3
−3
∫ √9−x2
−√9−x2
∫ √9−x2−y2
0
z
√
x2 + y2 + z2 dz dy dx
(o)
∫ 3
0
∫ √9−y2
0
∫ √18−x2−y2
√
x2+y2
(x2 + y2 + z2) dz dx dy
1
2. Determine o volume do sólido que está acima do cone φ = pi
3
e abaixo da esfera ρ = 4 cosφ.
3. Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x2+ y2+ z2 = 4, acima do plano xy e abaixo
do cone z =
√
x2 + y2.
2