INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
DEPARTAMENTO DE EXATAS
CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
ENGENHARIA CIVIL 2017.2
PROFESSORA: JOSEMILLER FELIX
INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS 
Feira de Santana
Fevereiro de 2018
INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS 
Trabalho apresentado à disciplina Cálculo de funções de várias variáveis do curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual de Feira de Santana, sob orientação da Professora Josemiller Rodrigues Amorim Felix. 
Feira de Santana
Fevereiro de 2018
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO -----------------------------------------------------------------------------------4 
COORDENADAS CILINDRICAS-------------------------------------------------------------4 
INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS CILINDRICAS-------------------------5
EXERCICIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------6
COORDENADAS ESFÉRICAS --------------------------------------------------------------6
REFERÊNCIAS------------------------------------------------------------------------------------
INTRODUÇÃO: 
O sistema de coordenadas cilíndricas é muito importante, ele pode ser usado para simplificar os nossos estudos sobre integração múltipla. Este sistema foi concebido a partir da definição das coordenadas polares, em segunda instância, pode – se pensar nele como uma evolução do modelo polar adaptado para o espaço tridimensional. As coordenadas polares são um sistema de coordenadas bidimensional em que cada ponto no plano é determinado por uma distância e um ângulo em relação a um ponto fixo de referência. Elas são de suma importância na engenharia civil, sobretudo em casos de levantamentos topográficos. 
O sistema esférico de coordenadas é um sistema de referenciamento mais próximo na ideia de coordenadas polares planas, ele permite a localização de um ponto qualquer em um conjunto de três valores, a localização será dada por um ponto na esfera e usamos dois ângulos para descrever a direção parecidos com os ângulos de latitude e longitude que usamos geograficamente. 
COORDENADAS CILÍNDRICAS: 
No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P é representado pela tripla ordenada (r,θ,z), em que r e θ são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy e z é a distância orientada do plano xy ao ponto P. 
Conversão entre sistema de coordenadas: 
Cilíndricas para cartesianas: 
 A conversão de coordenadas cilíndricas (r,θ,z) para coordenadas cartesianas (x,y,z) é dada pelas equações: 
x = r cosθ, y = r senθ e z = z.
Cartesianas para cilíndricas: 
 A conversão de coordenadas cartesianas (x,y,z) para cilíndricas (r,θ,z) é dada através das equações:
r² = x² +y², tanθ = y/x e z = z.
INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS: 
Suponha que desejamos calcular a integral tripla em que f é uma função contínua e Se D pode ser escrito em coordenadas polares como então: 
 
Portanto, a fórmula para integração tripla usando coordenadas cilíndricas é dada pelo teorema:
EXERCICIOS PROPOSTOS:
EXEMPLO 1 : 
COORDENADAS ESFÉRICAS: 
No sistema de coordenadas esféricas, um ponto P é representado pela tripla ordenada (ρ,θ,φ), em que ρ é a distância da origem O ao ponto P, θ é mesmo ângulo das coordenadas cilíndricas e φ é o ângulo entre o eixo z e o seguimento de reta OP
A conversão de coordenadas esféricas (ρ,θ,φ) para coordenadas cartesianas (x,y,z) é dada pelas equações
x = ρsenφcosθ
y = ρsenφsenθ 
z = ρcosφ
Respeitando os intervalos 
ρ ϵ [0, ∞]
θ ϵ [0, 2π]
φ ϵ [0, π]
Onde:
 r (raio): a distância entre o ponto P e a origem [0, ∞].
φ (colatitude, ângulo zenital ou ângulo polar) de 0 a π é o ângulo entre o eixo e a linha que une a origem e ponto P (x, y, z) 
 θ (azimute ou longitude) de 0 a 2π é o ângulo entre o eixo positivo e a linha que une a origem com a projeção do ponto P (x, y, z) no plano xy. 
Aplicação ao cálculo de integral 
No cálculo integral, podemos usar o sistema de coordenadas esféricas para fazer uma mudança de variáveis, alterando do sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) para (ρ,θ,φ) . Neste caso há que inserir no integral o módulo do Jacobiano (determinante da matriz Jacobiana) da transformação, que neste caso dá ρ² sin φ . Vale notar que, independentemente da convenção utilizada, o módulo do Jacobiano sempre permanecerá idêntico: mudanças na ordem das linhas ou colunas apenas invertem o sinal algébrico. Então:
REFERÊNCIAS: 
Carvalho,A.N.;Nunes, W. V.; Zani, S.L. (2001). <CálculoIII> (PDF). ICMC – Universidade de São Paulo. 
 Calculo III – Pesquisado em: http://www.mat.ufmg.br/~tcunha/CalcIII08/05IntTriplaPolares.pdf.