Aula 27: Campos vetoriais

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Campos vetoriais
Um campo vetorial sobre R2 é uma função
−→
F que associa a cada ponto (x, y) de um conjunto
D ⊂ R2 um único vetor bidimensional −→F (x, y). O conjunto D é o domínio do campo vetorial −→F .
Usualmente representamos os campos vetoriais desenhando os representantes dos vetores
−→
F (x, y)
cujo ponto inicial é o próprio ponto (x, y) para alguns pontos de D (claro que não conseguimos
desenhar todos os vetores associados aos pontos de D, uma vez que D é um conjunto infinito de
pontos). Com isso, temos uma viualização geométrica do comportamento do campo vetorial
−→
F em
D.
Podemos escrever os vetores
−→
F (x, y) em termos de suas componentes P e Q como
−→
F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) = P (x, y)
−→
i +Q(x, y)
−→
j
onde P e Q são funções escalares de duas variáveis. Chamamos P e Q de funções componentes do
campo vetorial.
Se o domínio do campo vetorial não for dado, o consideramos como sendo o maior conjunto
possível do plano no qual ambas as funções componentes P e Q estão definidas.
Dizemos que o campo vetorial é contínuo se, e somente se, suas funções componentes P e Q são
contínuas.
Às vezes identificamos o ponto (x, y) ∈ D com o vetor −→x de coordenadas (x, y). Nesse caso,
escrevemos
−→
F (−→x ) ao invés de −→F (x, y) e enxergamos o campo vetorial −→F como uma função que
associa a cada vetor bidimensional
−→x um único vetor bidimensional −→F (−→x ).
Exemplo 1. Desenhe o campo vetorial do R2 dado por
−→
F (x, y) = (x,−y) = x−→i − y−→j .
Observamos que o campo vetorial
−→
F está definido em todo o R2. Vamos fazer uma tabela com
alguns pontos do plano e suas imagens.
(x, y)
−→
F = (x, y)
(0, 0) (0, 0)
(1, 1) (1,−1)
(1, 2) (1,−2)
(2, 1) (2,−1)
(1,−1) (1, 1)
(1,−2) (1, 2)
(−2, 1) (−2,−1)
(−1,−1) (−1, 1)
(−1,−2) (−1, 2)
(−2,−1) (−2, 1)
1
Desenhando estes pontos e analisando o padrão de comportamento, observamos que o campo
vetorial contínuo
−→
F pode ser representado pela figura
De forma completamente análoga, definimos um campo vetorial sobre R3 como sendo uma função−→
F que associa a cada ponto (x, y, z) de um conjunto E ⊂ R3 um único vetor tridimensional−→F (x, y, z).
O conjunto E é o domínio do campo vetorial
−→
F .
Representamos estes campos vetoriais desenhando os representantes dos vetores
−→
F (x, y, z) cujo
ponto inicial é o próprio ponto (x, y, z) para alguns pontos de E e, com isso, conseguimos uma
viualização geométrica do comportamento do campo vetorial
−→
F em E.
Podemos escrever os vetores
−→
F (x, y, z) em termos de suas componentes P , Q e R como
−→
F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = P (x, y, z)
−→
i +Q(x, y, z)
−→
j +R(x, y, z)
−→
k
onde P, Q e R são funções escalares de três variáveis. Chamamos P , Q e R de funções componentes
do campo vetorial.
Se o domínio do campo vetorial não for dado, o consideramos como sendo o maior conjunto
possível do plano no qual ambas as funções componentes P , Q e R estão definidas.
Dizemos que o campo vetorial é contínuo se, e somente se, suas funções componentes P , Q e R
são contínuas.
Às vezes identificamos o ponto (x, y, z) ∈ E com o vetor −→x de coordenadas (x, y, z). Nesse caso,
escrevemos
−→
F (−→x ) ao invés de −→F (x, y, z) e enxergamos o campo vetorial −→F como uma função que
associa a cada vetor tridimensional
−→x um único vetor tridimensional −→F (−→x ).
Exemplo 2. Desenhe o campo vetorial do R3 dado por
−→
F (x, y, z) = z
−→
k .
Observe que o campo vetorial está definido em todo R3 e que ele associa a cada ponto (x, y, z) ∈ R3 o
vetor
−→
F (x, y, z) = (0, 0, z), que é sempre perpendicular ao plano z = 0 (ou seja, ao plano xy). Além
disso, a magnitude do vetor depende diretamente da altura do ponto com relação ao plano xy. Logo,
à medida que nos afastamos do plano xy os vetores aumentam de comprimento. No plano xy temos
z = 0 e, portanto, o campo vetorial associa o vetor nulo a cada ponto do plano xy. Concluímos assim
que o campo vetorial contínuo
−→
F pode ser desenhado como
2
Campos gradientes
Um campo vetorial particularmente importante é o que chamamos de campo gradiente.
Lembramos que se f é uma função escalar de duas variáveis, então para cada ponto (x, y) no qual
a função possui derivadas parciais, podemos associar um vetor gradiente que é dado por
∇f(x, y) = fx(x, y) −→i + fy(x, y) −→j
Assim, podemos ver ∇f como sendo um campo vetorial. Este campo vetorial é chamado de campo
gradiente.
De forma análoga, se f é uma função escalar de três variáveis, então para cada ponto (x, y, z) no
qual a função possui derivadas parciais, podemos associar um vetor gradiente que é dado por
∇f(x, y, z) = fx(x, y, z) −→i + fy(x, y, z) −→j + fz(x, y, z) −→k
Assim, podemos ver ∇f como sendo um campo vetorial, que é chamado de campo gradiente.
Exemplo 3. Determine e desenhe o campo gradiente da função f(x, y) = x2 + y2.
Temos que
∇f(x, y) = (2x, 2y)
e o campo está definido em todo R2. Vamos fazer uma tabela com alguns pontos do plano e suas
imagens.
(x, y)
−→
F = (x, y)
(0, 0) (0, 0)
(1, 1) (2, 2)
(1, 2) (2, 4)
(2, 1) (4, 2)
(1,−1) (−2, 2)
(1,−2) (2,−4)
(−2, 1) (−4, 2)
(−1,−1) (−2,−2)
(−1,−2) (−2,−4)
(−2,−1) (−4,−2)
Desenhando estes pontos e analisando o padrão de comportamento, observamos que o campo
vetorial contínuo ∇f pode ser representado pela figura
3
Exemplo 4. Determine e desenhe o campo gradiente da função f(x, y) =
√
x2 + y2.
Temos que
∇f(x, y) =
(
x√
x2 + y2
,
y√
x2 + y2
)
e o campo está definido em R2 \ {(0, 0)}. Observe que os vetores gradientes da função f são todos
unitários e, portanto, todos tem comprimento 1. Vamos fazer uma tabela com alguns pontos do plano
e suas imagens.
(x, y)
−→
F = (x, y)
(1, 1)
(
1√
2
, 1√
2
)
(1, 2)
(
1√
5
, 2√
5
)
(2, 1)
(
2√
5
, 1√
5
)
(1,−1)
(
1√
2
,− 1√
2
)
(1,−2)
(
1√
5
,− 2√
5
)
(−2, 1)
(
− 2√
5
, 1√
5
)
(−1,−1)
(
− 1√
2
,− 1√
2
)
(−1,−2)
(
− 1√
5
,− 2√
5
)
(−2,−1)
(
− 2√
5
,− 1√
5
)
Desenhando estes pontos e analisando o padrão de comportamento, observamos que o campo
vetorial contínuo ∇f pode ser representado pela figura
4