Aula 28: Integrais de linha de campos vetoriais

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Integrais de linha de campos vetoriais sobre R2
Se
−→
F é um campo vetorial contínuo sobre R2 cujo domínio contém uma curva lisa C dada pela
função vetorial −→r (t) = x(t)−→i + y(t)−→j , t ∈ [a, b]
então a integral de linha de
−→
F ao longo de C é∫
C
−→
F • d−→r =
∫ b
a
−→
F (x(t), y(t)) • −→r ′(t) dt =
∫
C
−→
F • −→T ds
onde T (x(t), y(t)) é o vetor tangente unitário à curva no ponto (x(t), y(t)).
Observe que
−→r ′(t) = x′(t)−→i + y′(t)−→j . Portanto, se −→F = P (x, y, z)−→i + Q(x, y, z)−→j , então a
integral de linha de
−→
F ao longo de C pode ser escrita como∫
C
−→
F • d−→r =
∫
C
[P (x(t), y(t))x′(t) +Q(x(t), y(t))y′(t)] dt
=
∫
C
P (x(t), y(t))x′(t) dt+
∫
C
Q(x(t), y(t))y′(t) dt
=
∫
C
P (x, y) dx+
∫
C
Q(x, y) dy
Ou seja,a integral de linha de um campo vetorial de R2 ao longo de uma curva C pode ser escrito
como a soma das integrais de linha das funções escalares componentes P e Q de
−→
F com relação à x
e y respectivamente, pela fórmula∫
C
−→
F • d−→r =
∫
C
P (x, y, z) dx+
∫
C
Q(x, y, z) dy
Se pensarmos no campo vetorial
−→
F como sendo um campo de força no R2, então a integral de
linha de
−→
F ao longo de C representa o trabalho total executado para mover uma partícula ao longo
da curva C.
Observação 1. A integral de linha de um campo vetorial depende da orientação da curva e∫
−C
−→
F • d−→r = −
∫
C
−→
F • d−→r
Ou seja, a integral de linha troca de sinal quando invertemos a orientação da curva.
Exemplo 1. Determine o trabalho feito pelo campo de força
−→
F (x, y) = x2
−→
i −xy−→j para mover uma
partícula no sentido anti-horário ao longo do um quarto de círculo x2+y2 = 1 localizado no primeiro
quadrante.
A curva C dada pelo um quarto de círculo x2 + y2 = 1 localizado no primeiro quadrante sendo
percorrido no sentido anti-horário pode ser parametrizada por
−→r (t) = cos t−→i + sen t−→j , t ∈
[
0,
pi
2
]
O trabalho realizado pela partícula é dado por∫
C
−→
F • d−→r
1
Temos que
• −→F (x(t), y(t)) = cos2 t−→i − cos t sen t−→j = (cos2 t,− cos t sen t)
• −→r ′(t) = − sen t−→i + cos t−→j = (− sen t, cos t)
Portanto,
−→
F (x(t), y(t)) • −→r ′(t) = (cos2 t,− cos t sen t) • (− sen t, cos t)
= − cos2 t sen t− cos2 t sen t
= −2 cos2 t sen t
e temos que ∫
C
−→
F • d−→r =
∫ pi
2
0
−2 cos2 t sen t dt =
[
2 cos3 t
3
]t=pi
2
t=0
= −2
3
Integrais de linha de campos vetoriais sobre R3
Se
−→
F é um campo vetorial contínuo sobre R3 cujo domínio contém uma curva lisa C dada pela
função vetorial
−→r (t) = x(t)−→i + y(t)−→j + z(t)−→k , t ∈ [a, b]
então a integral de linha de
−→
F ao longo de C é∫
C
−→
F • d−→r =
∫ b
a
−→
F (x(t), y(t), z(t)) • −→r ′(t) dt =
∫
C
−→
F • −→T ds
onde T (x(t), y(t), z(t)) é o vetor tangente unitário à curva no ponto (x(t), y(t), z(t)).
Se
−→
F = P (x, y, z)
−→
i +Q(x, y, z)
−→
k + R(x, y, z)
−→
j , então a integral de linha de
−→
F ao longo de C
pode ser escrita como∫
C
−→
F • d−→r =
∫
C
P (x, y, z) dx+
∫
C
Q(x, y, z) dy +
∫
C
R(x, y, z) dz
Ou seja, a integral de linha de um campo vetorial de R3 ao longo de uma curva C pode ser escrito
como a soma das integrais de linha das funções escalares componentes P , Q e R de
−→
F com relação
à x, y e z respectivamente.
Se pensarmos no campo vetorial
−→
F como sendo um campo de força no R3, então podemos pensar
na integral de linha de
−→
F ao longo de C como sendo o trabalho total executado para mover uma
partícula ao longo da curva C.
Nesse caso também, se invertermos a orientação da curva C trocamos o sinal da integral de linha.
Exemplo 2. Calcule
∫
C
−→
F • d−→r , onde −→F (x, y, z) = xy−→i + yz−→j + zx−→k e C é a curva dada por
−→r (t) = t−→i + t2−→j + t3−→k , t ∈ [0, 1]
Temos que
• −→F (x(t), y(t), z(t)) = t3−→i + t5−→j + t4−→k
• −→r ′(t) = −→i + 2t−→j + 3t2−→k
2
Portanto,
−→
F (x(t), y(t), z(t)) • −→r ′(t) = (t3, t5, t4) • (1, 2t, 3t2) = t3 + 2t6 + 3t6 = t3 + 5t6
e, consequentemente,∫
C
−→
F • d−→r =
∫ 1
0
t3 + 5t6 dt =
[
t4
4
+
5t7
7
]t=1
t=0
=
1
4
+
5
7
=
27
28
Teorema fundamental das Integrais de linha
Dizemos que um campo vetorial
−→
F é conservativo se ele é o gradiente de alguma função escalar,
ou seja, se existe alguma função f tal que
−→
F = ∇f . Nesse caso, dizemos que f é uma função
potencial de
−→
F .
Teorema 1. Seja C uma curva lisa dada pela função vetorial −→r (t), t ∈ [a, b], e seja f uma função
diferenciável cujo vetor gradiente é contínuo em C. Então∫
C
∇f • d−→r = f(−→r (s))− f(−→r (b))
Em outras palavras, a integral de linha de um campo conservativo ao longo de uma curva lisa C
é a diferença entre o valor de uma de suas funções potenciais no ponto final e no ponto inicial de C.
Observação 2. O teorema fundamental das integrais de linha continua valendo se C for apenas lisa
por partes.
Observe que o teorema fundamental das integrais de linha implica que a integral de linha de um
campo conservativo ao longo de uma curva suave por partes conectando os pontos A e B depende
apenas do valor da função potencial nos pontos A e B. Logo, nesse caso, a integral de linha independe
do caminho ligando os pontos A e B. Ou seja, se C1 e C2 são dois caminhos suaves por partes distintos
conectando os pontos A e B e se
−→
F é um campo contínuo conservativo, então∫
C1
−→
F • d−→r =
∫
C2
−→
F • d−→r
Exemplo 3. Considere a função de três variáveis f(x, y, z) = 1√
x2+y2+z2
. Temos que
∇f(x, y, z) =
(
− x√
x2 + y2 + z2
,− y√
x2 + y2 + z2
,− z√
x2 + y2 + z2
)
Logo, o campo vetorial
−→
F = − x√
x2 + y2 + z2
−→
i − y√
x2 + y2 + z2
−→
j − z√
x2 + y2 + z2
−→
k
é um campo conservativo e se C é qualquer curva lisa por partes ligando os pontos (0, 2, 3) e (−1, 0, 2),
então ∫
C
−→
F • d−→r = f(−1, 0, 3)− f(0, 2, 3) = 1√
10
− 1√
13
3
Independência de caminhos
Se
−→
F é um campo vetorial contínuo, então dizemos que a integral de linha
∫
C
−→
F • d−→r independe
do caminho se ∫
C1
−→
F • d−→r =
∫
C2
−→
F • d−→r
para quaisquer dois caminhos C1, C2 ⊂ Dom(−→F ) cujos pontos iniciais e finais coincidam.
Já sabemos que as integrais de linha dos campos conservativos contínuos independem do caminho.
Uma curva C dada por −→r (t), t ∈ [a, b] é dita fechada se seu ponto final e seu ponto inicial
coincidem, ou seja, se
−→r (a) = −→r (b).
Observação 3. Cuidado para não confundir o fato de uma curva ser fechada com o fato do seu traço
ser fechado. O importante são os pontos inicial e final da curva e não o seu traço. Por exemplo, a
curva dada por
−→r (t) = cos t−→i + sen t−→j , t ∈ [0, 2pi] é uma curva fechada, enquanto a curva dada
por
−→r (t) = cos t−→i + sen t−→j , t ∈ [0, 3pi] não é fechada!
Suponha que a integral de linha
∫
C
−→
F •d−→r independe do caminho e que C seja uma curva fechada
contida no domínio de
−→
F . Sejam A e B dois pontos distintos sobre a curva C. Se vermos C = C1∪C2
onde C1 liga A a B e C2 liga B a A, então (lembrando que ao invertermos a orientação da curva
trocamos o sinal da integral de linha)∫
C
−→
F • d−→r =
∫
C1
−→
F • d−→r +
∫
C2
−→
F • d−→r =
∫
C1
−→
F • d−→r −
∫
−C2
−→
F • d−→r =
∫
C1
−→
F • d−→r −
∫
C1
−→
F • d−→r = 0
(uma vez que tanto C1 quanto C2 possuem os mesmos pontos iniciais e finais).
Por outro lado, suponha que
−→
F seja um campo vetorial contínuo tal que
∫
C
−→
F • d−→r = 0 para
qualquer caminho fechado C ⊂ Dom(−→F ). Se tomarmos dois caminhos distintos C1, C2 ∈ Dom(−→F )
conectando A a B e se C = C1 ∪ −C2, então C é uma curva fechada e
0 =
∫
C
−→
F • d−→r =
∫
C1
−→
F • d−→r +∫
−C2
−→
F • d−→r =
∫
C1
−→
F • d−→r −
∫
C2
−→
F • d−→r
Logo,
∫
C1
−→
F • d−→r = ∫
C2
−→
F • d−→r e concluímos que −→F independe do caminho.
Com isso, demonstramos o seguinte teorema:
Teorema 2.
∫
C
−→
F • d−→r independe do caminho em Dom(−→F ) se, e somente se, ∫
C
−→
F • d−→r = 0 para
todo caminho fechado C ∈ Dom(−→F ).
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