METODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS1

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

SOLUÇÕES NUMÉRICAS PARA SISTEMAS LINEARES
Introdução
Métodos Diretos
Métodos da Eliminação de Gauss
Estratégias de Pivoteamento
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Um sistema de equações lineares é definido como um conjunto “m” de equações que contêm “n” incógnitas, geralmente escrito na forma:
Este sistema de equações pode ser escrito em forma matricial como:
A.x=B
Ou então, em sua forma estendida:
Ou então, em sua forma de matriz estendida:
Já a matriz
é uma solução para o sistema de equações se, para cada xi=xi, tivermos uma identidade numérica para o sistema A.x=B
Definições:
Um sistema de equações algébricas lineares é dito homogêneo, se a matriz B do sistema é nula, isto é, os bj=0.
Um sistema de equações algébricas lineares é dito possível e determinado, quando apresenta uma solução, possível e indeterminado, quando não apresenta infinitas solução, e dito impossível quando não apresenta solução.
Quando o número de equações é igual ao número de incógnitas, o sistema de equações pode ser denotado por Snxn.
Um sistema de equações é dito triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal forem nulos, ou seja:
Um sistema de equações algébricas lineares é dito triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal forem nulos, ou seja:
Os sistemas triangulares têm solução trivial se os elementos da diagonal principal forem diferentes de zero.
Transformações elementares:
As transformações elementares são:
Trocar a ordem de duas equações do sistema
	Li ← Lj
	Lj ← Li
Multiplicar uma equação por uma constante não nula
	Lj ← C x Lj 
Adicionar duas equações, substituindo uma delas pelo resultado
	Lj ← Lj + C x Li 
Solução numérica para sistemas lineares:
Os métodos a serem mostrados são classificados como diretos e iterativos.
Os métodos diretos (Gauss, Pivotação e Jordan) determinam a solução em um número finito de passos.
Os métodos iterativos (Jacobi e Gauss Seidel) requerem em um número infinito de passos para fornecer a solução, devendo então existir critérios de interrupção
MÉTODOS DIRETOS
São métodos que produzem a solução exata de um sistema, a menos de erros de arredondamento, depois de um número finito de operações aritméticas. 
Com esses métodos é possível determinar, a priori, o tempo máximo gasto para resolver um sistema, uma vez que sua complexidade é conhecida.
A clássica Regra de Cramer, ensinada no ensino médio, é um método direto. 
Entretanto, pode-se mostrar que o número máximo de operações aritméticas envolvidas na resolução de um sistema 
n x n por este método é (n + 1)(n! n - 1) + n.
Método da Eliminação de Gauss
O método da Eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema linear original em um equivalente (de mesma solução) com a matriz dos coeficientes triangular superior, pois estes são de resolução imediata. 
Transf. Elem.
Diagonal Principal
Posição dos Pivôs
Exemplo: Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método da Eliminação de Gauss:
Método da Eliminação de Gauss
Cada iteração requer o cálculo dos multiplicadores:
Exemplo:
Precisamos Calcular:
Procedimento inviável
Originam números muito grandes podendo ocorrer erros de arredondamento. 
Qué isso aí papai. E quando isso acontecer, como é que faz?
Usa as Estratégias de Pivoteamento mô vey...
Resolva o sistema abaixo, utilizando o método de Pivoteamento