FILTROS 3PassaBaixa (1)

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FILTROS PASSIVOS 
 
1. DEFINIÇÃO 
 
Os circuitos (ou redes) conhecidos como “filtros” são circuitos que tem como 
característica o fato de permitir que, por ele, passem sinais com determinados valores de 
freqüências, enquanto que sinais com outros valores são “cortados”, como mostrado na 
FIG. 1. 
 
 
FIG. 1 – Quadripolo representativo de um filtro. 
 
São formados basicamente por resistores, capacitores, indutores, amplificadores 
operacionais e transistores e seu comportamento depende dos valores e da forma de 
interligação desses elementos. 
Os filtros são classificados quanto à tecnologia e quanto à composição dos elementos 
que o compõem, da seguinte forma: 
 
• PASSIVOS: são os filtros construídos apenas com os elementos passivos, ou seja, 
resistores, indutores e capacitores; 
• ATIVOS: são os filtros que utilizam na sua construção, além dos elementos passivos, 
algum elemento ativo como o transistor e o amplificador operacional (AO); 
• DIGITAIS: são os filtros que utilizam os microprocessadores, através da sua 
programação. 
 
Além das características construtivas, os filtros também são classificados com relação à 
função que eles exercem no circuito. Assim, tem-se: 
 
• PASSA BAIXA: são os filtros que permitem a passagem de sinais cujas freqüências 
estão ABAIXO de uma freqüência específica denominada de “freqüência de corte” 
(fc
• PASSA ALTA: são os filtros que permitem a passagem de sinais cuja freqüência está 
ACIMA da freqüência de corte, bloqueando os demais; 
), bloqueando a passagem dos sinais cujas freqüências são superiores a esse 
valor; 
• PASSA FAIXA: são os filtros que permitem a passagem dos sinais cujas freqüências 
encontram-se DENTRO UMA FAIXA de freqüências, definida por um limite inferior 
denominado de freqüência de corte inferior e por um limite superior, denominado de 
freqüência de corte superior. Sinais com freqüências fora desta faixa são filtrados; 
 
Entrada Saída 
f1 
f2 
f3 
f2 
• 
• 
• 
• 
 
 
2 
 
Filtro 
+ 
 
- 
+ 
 
- 
Vin Vout 
• REJEITA FAIXA: são os filtros que permitem a passagem de freqüências situadas 
fora da faixa de corte inferior e superior. Sinais com freqüências dentro desta faixa 
são filtrados. 
 
 Os filtros acima são representados através da uma simbologia específica ou através do 
gráfico de resposta em freqüência ideal, mostrados na FIG. 2 abaixo. 
 
 
 
FIG. 2 – Simbologia e gráfico de resposta em freqüência dos tipos de filtro, ideais. 
 
 
 
2. GANHO DE UM FILTRO 
 
Sendo Vin a tensão do sinal de entrada e Vout 
 
a tensão do sinal de saída do filtro 
mostrado na FIG. 3 abaixo, o ganho de tensão do mesmo é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 3 - Circuito quadripolo. 
 
Colocando em decibéis, tem-se que: 





=
in
out
dBv V
VGA log.20 
FPB 
FPA 
FPF 
FRF 
 
in
out
v V
VA =
 
 
 
3 
 
3. FREQÜÊNCIA DE CORTE (fc) 
 
A “freqüência de corte” dos filtros é definida como sendo a freqüência na qual o valor da 
potência de saída do circuito é igual à metade do valor da potência de entrada, além de 
determinar o ponto a partir do qual o filtro dá início à passagem (ou bloqueio), das 
freqüências do sinal ao qual ele está submetido, como mostrado na FIG. 2, ou seja: 
 
5,0==
entrada
saída
P
PGP (1) 
 
Mas temos que: 
e
e
e R
VP
2
= (2) e 
s
s
s R
V
P
2
= (3) 
 
Substituindo (2) e (3) em (1) e considerando a condição de máxima transferência de 
potência, (casamento de impedâncias) tem-se: 
 
707,0
2
1
===
e
s
v V
VA (4) 
 
A equação (4) mostra que, na freqüência de corte, o valor da tensão de saída 
corresponde a 70,7% do valor da tensão de entrada. Observando a TABELA 1 (decibel) 
nota-se que, nessa freqüência, ocorre um ganho (atenuação), de potência e de tensão, 
relativo à - 3 dB. 
 
 
 
4. ANÁLISE DOS TIPOS DE FILTROS 
 
 
a) CARACTERÍSTICA DO FILTRO PASSA – BAIXA 
 
O filtro passa - baixa passivo é um circuito que permite a passagem de sinais de tensão e 
corrente com freqüências ABAIXO da freqüência de corte (fc), atenuando os sinais cuja 
freqüência esteja acima desse valor. As FIG. 4 e FIG. 5 abaixo mostram, respectivamente, a 
curva de resposta em freqüência, caracterizando o ganho do filtro e a simbologia utilizada 
para representá-lo. 
 
 
FIG. 4 – Curva de resposta em freqüência ideal. 
 
 
4 
 
Observando a FIG. 4 nota-se que, para freqüências abaixo da freqüência de corte, o 
ganho máximo desse tipo de filtro é unitário, ou seja, o valor do módulo da tensão de saída 
atinge, no máximo, o valor do módulo da tensão de entrada. A partir da freqüência de corte 
o ganho torna-se nulo. Lembrando que se trata de um filtro ideal, o que na prática não 
acontece. 
 
 
 
FIG. 5 – Simbologia representativa do filtro passa – baixa. 
 
 
a.1) FILTRO PASSA - BAIXA TIPO RL 
 
A FIG. 6 mostra um circuito RL que se comporta como um circuito filtro passa - baixa real. 
Sua análise se faz da seguinte forma: 
 
• em baixas freqüências – o indutor apresenta baixa reatância (XL
 
 << R) logo, o mesmo 
se comporta como um curto-circuito, como mostrado na FIG. 7(a). Desta forma, a maior 
parcela da tensão de entrada estará sobre o resistor de saída. Pode-se dizer então, que 
o circuito deixa passar sinais de entrada com baixas freqüências; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 6 – Circuito correspondente a um filtro passa – baixa RL, passivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 7 (a) - Circuito em baixa freqüência. 
 
Ve Vo ≈ Ve 
• Ve 
• • 
• 
• 
Vo 
 
 
5 
 
• em altas freqüências – o indutor apresenta alta reatância (XL
 
 >> R) logo ele se 
comporta como um circuito aberto, FIG. 7(b), assim, a maior parcela da tensão de 
entrada está sobre o indutor, sendo a tensão sobre o resistor de saída, muito baixa. 
Pode-se dizer então que o circuito “impede” a passagem de sinais de alta 
freqüência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 7 (b) – Circuito em alta freqüência. 
 
 
 
a.2) ANÁLISE DO GANHO E DEFASAMENTO 
 
Para esse tipo de filtro, a tensão de saída, em função da tensão de entrada, é dada pela 
seguinte expressão: 
L
e
o XjR
VR
V
+
=
•
• .
 (5) 
 
Rearranjando para a determinação do ganho tem-se: 
 
LjR
R
V
V
e
o
ω+
=
•
•
 (6) 
 
A expressão (6), escrita na forma complexa, representa o ganho de tensão do filtro bem 
como o defasamento do sinal em função da freqüência angular do mesmo. Dessa forma ela 
é denominada de função de transferência do circuito, sendo representada por H (ω). 
 
Assim, temos que: 
 
)()()( ωθωω ∠=
•
HH (7) 
 
Conhecendo-se os valores do módulo da função de transferência e os valores do 
defasamento (do sinal de saída Vo em relação ao sinal de entrada Vi
 
) é possível determinar 
os gráficos correspondentes desses valores em função dos valores da freqüência angular. 
Esses gráficos são denominados de “curva de resposta em freqüência” do filtro, como 
mostra a FIG. 8. 
Ve Vo ≈ 0 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 8 - Curvas de resposta em freqüência real. 
 
 
Para o filtro passivo passa – baixa RL em estudo, a função de transferência é dada por: 
 
LXjR
R
LjR
RH
+
=
+
=
•
ω
ω)( (8) 
 
Manipulando a equação (8) para se determinar os valores do módulo e do defasamento 
chega-se a: 
 
2
1
1)(





+
==
R
X
GAH
L
vω (9) 
 
que é a expressão do ganho de tensão, e: 
 





 ⋅−=
R
Ltgarc ωθ (10) 
 
queé a expressão do defasamento entre os sinais. 
 
 
a.3) FREQÜÊNCIA DE CORTE DO FILTRO 
 
Considere, para o circuito em estudo, a freqüência específica na qual: 
 
RX L = (11) 
 
 
 
 
│H (ω)│ 
│θ (ω)│ 
Θ1 
Θ2 
 
 
 
7 
Ganho: ω = 0 → GAv = 1 
 ω = ωc → GAv = 0,707 
 ω → ∞ → GAv = 0 
Defasamento: ω = 0 → θ = 0° 
 ω = ωc → θ = - 45° 
ω → ∞ → θ = - 90° 
Substituindo a equação (11) na equação (9), temos: 
 
 
2
1
11
1
1
1
2 =+
=





+
R
X L (12) 
 
 
Observando a equação (12) percebe-se que ela é igual à equação (4) acima, ou seja, trata-
se da freqüência de corte (ou crítica) do circuito. Portanto, para o circuito em questão, essa 
freqüência é dada por: 
 
L
RfRL cc π
ω
2
. =→= (13) 
 
Assim sendo, na equação (10), o defasamento é dado por: 
 





 ⋅−=
R
Ltgarc cC ωθ (14) 
 
Resolvendo tem-se que, na freqüência de corte, o defasamento é dado por: 
 
o
c 45−=θ 
 
Assim, definidos: a expressão do ganho, a freqüência de corte e o defasamento, as 
curvas características de resposta em freqüência, do filtro em questão, são representadas 
pelas FIG. 9 e FIG. 10, que são definidas pelos seguintes valores particulares: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A curva do ganho de tensão do filtro também pode ser representada através da escala 
logarítmica com o eixo do ganho em dB. Na a freqüência de corte, o ganho de tensão é 
igual a 0,707, que corresponde a uma atenuação de 3dB, na escala logarítmica. 
Fazendo-se uma inspeção na equação (9) pode verificar que, a cada aumento de dez 
vezes na freqüência do sinal, provoca-se uma queda no ganho do circuito de 20 dBs. Diz-se 
então que há no circuito uma atenuação de 20 dBs/década. Assim, o gráfico do ganho do 
filtro (em dB), na escala logarítmica pode ser representado pela FIG. 11. 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 9 - Curva de resposta em freqüência do ganho de tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 10 - Curva de resposta em freqüência do defasamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 11 – Curva de resposta em freqüência do ganho, em dB. 
Θ (V0 atrasada em relação a Vi )