Resposta em Frequência

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Chagas – DEE / UFCG 
105 
 
Capítulo IV 
Resposta em Frequência 
Esta unidade trata do estudo de circuitos no domínio da frequência, em regime permanente, 
considerando um sinal senoidal na entrada, com a frequência variando no intervalo de zero a 
infinito. É estabelecido o conceito de função de transferência e sua aplicação na análise dos 
filtros elétricos. Também são descritas técnicas para o traçado de diagramas de Bode. 
1. Função de Transferência 
Num sistema linear e invariante com o tempo, com condições iniciais nulas, a equação 
diferencial que relaciona uma entrada x(t) a uma saída y(t) apresenta a seguinte forma: 
)(...)()()(...)()( 11
1
111
1
1 txadt
txda
dt
txdatyb
dt
tydb
dt
tydb m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n  




 
(4.1) 
A aplicação da transformada de Laplace a ambos os membros resulta em: 
)(
...
...
)(
1
1
1
1
1
1 sX
sbsbsb
sasasasY n
n
n
n
m
m
m
m







 
(4.2) 
Define-se função de transferência no domínio s, H(s), como sendo a razão entre Y(s) (saída) 
e X(s) (entrada), com as condições iniciais nulas (resposta ao estado zero); assim: 



 n
j
j
j
m
i
i
i
sb
sa
sX
sYsH
1
1
)(
)()(
 
(4.3) 
H(s) é uma função racional no domínio s =  + j . Os coeficientes a e b são números reais e 
m e n são inteiros positivos; H(s) pode também ser expressa na forma fatorada, ou seja: 
)(...)()(
)(...)()(
)(
)()(
21
21
n
m
n
m
pspsps
zszszs
b
a
sX
sYsH



 
(4.4) 
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
sQ
sPK
ps
zs
b
asH n
j
j
m
i
i
n
m 







 
(4.5) 
O fator K = am / bn é denominado ganho ou fator de escala. As raízes de P(s), zi, chamam-se 
zeros e as raízes de Q(s), pi, chamam-se polos. 
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106 
 
O conceito de função de transferência é muito importante em engenharia. Tal função é 
caracterizada pelos parâmetros a e b da equação (4.3) ou pelo ganho, zeros e polos (K, z, p) de 
(4.5). Assim, H(s) permite que se obtenha a resposta de um sistema dinâmico quando se aplica 
um sinal na sua entrada. 
É mostrada na Fig. 4.1 a representação gráfica usual da função de transferência, realizada na 
forma de diagrama de blocos. 
 
Fig. 4.1. Função de transferência representada por diagrama de blocos. 
2. Filtros Passivos 
2.1. Definições 
Denomina-se filtro elétrico um circuito capaz de permitir que sinais de certas faixas de 
frequência sejam transmitidos através de si e, ao mesmo tempo, de não permitir a passagem 
de sinais de outras faixas de frequência. 
Filtros elétricos passivos são circuitos compostos exclusivamente por elementos que não 
geram energia, como é o caso dos indutores e capacitores. 
A aplicação de filtros é realizada em engenharia elétrica nas áreas de instrumentação, 
telefonia, rádio, TV, eletrônica industrial e redes de energia elétrica. 
Um filtro pode ser representado de forma genérica por um circuito denominado quadripolo, 
mostrado na Fig. 4.2, o qual apresenta um par de terminais de entrada e outro par de saída. 
 
Fig. 4.2. Filtro elétrico passivo representado por um quadripolo. 
A caracterização de um filtro é feita através de sua função de transferência, definida por: 
)(
)()(


jV
jVjH
e
s
ENTRADA DE SINALDO FASOR
 SAÍDADE SINALDO FASOR (4.6) 
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107 
 
A função H(j) define a resposta em frequência do filtro, a qual é uma função complexa 
com a forma idêntica à expressão (4.3), fazendo-se  = 0 em s =  + j. 
As faixas de frequência que podem ser transmitidas através de um filtro chamam-se bandas 
de passagem. Já os sinais que estão fora destas faixas estão nas bandas de atenuação. 
Denomina-se diagrama de resposta em frequência o gráfico que permite analisar o 
desempenho de um filtro elétrico. O mesmo é composto por duas partes: o diagrama de 
amplitude e o diagrama do ângulo de fase, que fornecem, respectivamente, o módulo e o 
ângulo de H(j) em função de . Esses gráficos são mostrados na Fig. 4.3, para as quatro 
principais categorias de filtros. 
 
Fig. 4.3. Filtros ideais; (a) passa-baixas; (b) passa-altas; (c) passa-faixa; (d) rejeita-faixa. 
As regiões de passagem e de rejeição são definidas pelas frequências de corte, c. Na Fig. 
4.3(a) tem-se um filtro passa-baixas. Na Fig. 4.3(b) tem-se um filtro passa-altas. Na Fig. 4.3(c) 
são observadas duas frequências de corte, c1 e c2, que estabelecem uma faixa de passagem 
contínua e finita, caracterizando um filtro passa-faixa. Na Fig. 4.3(d), a faixa de passagem do 
filtro é interrompida por uma região de rejeição, delimitada pelas frequências de corte c1 e 
c2, de modo a se obter um filtro rejeita-faixa. 
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108 
 
Observa-se que os diagramas de ângulo de fase de um filtro ideal limitam-se às regiões de 
passagem, uma vez que, fora delas, a amplitude de H(j) é nula. Outro fato é que () varia 
linearmente. Isto é necessário para que não haja distorção de fase do sinal. 
2.2. Frequências de Corte em Filtros Não Ideais 
São mostrados na Fig. 4.4 os diagramas de amplitudes de filtros não ideais, mostrando que 
as transições das regiões de passagem para as regiões de rejeição não se realizam de modo 
abrupto, como foi mostrado na Fig. 4.3. Desta forma, é necessário estabelecer um critério 
preciso para as frequências de corte. 
A frequência de corte é definida como a frequência em que a amplitude da função de 
transferência apresenta um decréscimo em relação ao seu valor máximo, Hmax, determinado 
pelo fator 1/2; assim, tem-se: 
2
)( maxc
HH 
 
(4.7) 
 
Fig. 4.4. Características de filtros não ideais. 
Considera-se agora o filtro mostrado na Fig. 4.5, onde há uma fonte de tensão senoidal de 
amplitude constante e frequência variável na entrada, bem como uma carga resistiva na saída. 
A potência média fornecida à carga é: 
 
R
V
R
V
R
VP smsmRMS s
222
2
12/
 (4.8) 
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109 
 
A grandeza Vsm é a amplitude da tensão de saída e VsRMS é o valor eficaz da mesma. 
 
Fig. 4.5. Filtro elétrico passivo com excitação senoidal e carga resistiva. 
Se a frequência  da tensão de entrada V(j) for variada, mantendo-se sua amplitude Vem 
constante, a amplitude da tensão de saída Vsm() também varia, uma vez que, de (4.6), tem-se: 
)()()(  jVjHjV es  (4.9) 
Tomando o módulo: 
emsm VHV )()(   (4.10) 
A frequência  é ajustada para que Vsm seja máxima. Como Vem é constante, conclui-se que, 
nesta situação, H() apresenta valor máximo, Hmax; assim: 
emmaxmaxsm VHV , (4.11) 
De (4.8), tem-se para a potência máxima entregue à carga: 
R
V
P maxsmmax
2
,
2
1

 
(4.12) 
Na frequência de corte, tem-se de (4.10), (4.7) e (4.11): 
22
1)()( ,maxsmemmaxemccsm
V
VHVHV  
 
(4.13) 
De (4.8) e (4.13), tem-se para  = c: 









R
V
R
V
R
VP
2
maxsmmaxsmcsm
c
,
2
,
2
2
1
2
1)2/(
2
1)(
2
1)( 
 
(4.14) 
Combinando (4.12) e (4.14): 
2
)( maxc
PP 
 
(4.15) 
Esta expressão mostra que, na frequência de corte, a potência média fornecida à carga é 
igual à metade da máxima potência que lhe pode ser entregue. Por isso, c é também chamada 
de frequência de meia potência. Assim, na banda de passagem, o valor da potência fornecida à 
carga é, no mínimo, 50% da máxima potência que pode ser transmitida através do filtro. 
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110 
 
2.3. Filtros Passa-Baixas 
A função de transferência do circuito da Fig. 4.6(a) é: 


jLR
LR
LjR
R
jV
jVjH
e
s




/
/
)(
)()(
 
(4.16) 
22)/(
/)(




LR
LRH
 
(4.17) 
 RLtg /)( 1   (4.18) 
Variando  de 0 a  observa-se que: 
▪ para  = 0, tem-se XL= L = 0, ou seja, o indutor se comporta como um curto-circuito, a 
impedância total do circuito é puramente resistiva e toda a tensão da fonte é aplicada à 
carga; 
▪ à medida que  aumenta, XL cresce e a corrente se atrasa cada vez mais em relação à 
tensão, tornando-se o módulo da tensão na carga torna-se cada vez menor; 
▪ quando   , XL   e o indutor comporta-se como um circuito aberto; assim, a tensão 
na carga torna-se praticamente nula. 
A conclusão é que o circuito funciona como um filtro passa-baixas. 
 
Fig. 4.6. Filtro passa-baixas – Circuito RL em série. 
As variações de amplitude e ângulo de fase da função de transferência (4.17) são mostradas 
na Fig. 4.7. Para a frequência de corte, pode-se escrever: 
22)/(
/1.
2
1
2
1)(
c
maxc
LR
LRHH



 (4.19) 
Chagas – DEE / UFCG 
111 
 
 
Fig. 4.7. Diagramas de amplitude e de fase para um filtro passa-baixas tipo RL. 
Resolvendo para  = c, tem-se: 
L
R
c 
 
(4.20) 
O circuito da Fig. 4.8 também funciona como um filtro passa-baixas. Nesse caso, é tomada a 
tensão de saída sobre o capacitor. 
A função de transferência para este circuito é: 
C
jR
C
j
jV
jVjH
e
s



 1
1
)(
)()(



 
(4.21) 
 
Fig. 4.8. Filtro passa-baixas – Circuito RC em série. 
Multiplicando o numerador e o denominador por j/R, obtém-se: 


j
RC
RCjH

 1
1
)(
 
(4.22) 
2
21
1
)(









RC
RCH
 
(4.23) 
 RCtg  1)(  (4.24) 
A amplitude e a fase de(4.22) variam de forma semelhante às mostradas na Fig. 4.7. 
Chagas – DEE / UFCG 
112 
 
Para a frequência de corte, tem-se: 
2
21
1
1.
2
1
2
1)(
c
maxc
RC
RCHH









 
(4.25) 
Resolvendo para  = c, resulta: 
RCc
1

 
(4.26) 
Pode-se observar que, para as duas formas de filtro passa-baixas, a função de transferência 
no domínio s apresenta a seguinte forma: 
c
c
s
sH



)(
 
(4.27) 
2.4. Filtros Passa-Altas 
A função de transferência do circuito da Fig. 4.9(a) é a seguinte: 
C
jR
R
jV
jVjH
e
s


 1)(
)()(


 
(4.28) 
 
Fig. 4.9. Filtro passa-altas – Circuito RC em série. 
Multiplicando o numerador e o denominador por j/R: 


j
RC
jjH

 1)(
 
(4.29) 
221
)(









RC
H
 
(4.30) 
Chagas – DEE / UFCG 
113 
 
 RCtg  12/)(  (4.31) 
As variações dessas grandezas são mostradas na Fig. 4.10. 
 
Fig. 4.10. Diagramas de amplitude e de fase para um filtro passa-altas tipo RC. 
A frequência de corte é calculada a seguir. 
22)/(1
1.
2
1
2
1)(
c
c
maxc
RC
HH




 
(4.32) 
RCc
1

 
(4.33) 
O circuito RL da Fig. 4.11 também consiste num filtro passa-altas. 
 
Fig. 4.11. Filtro passa-altas – Circuito RL em série. 
Para este circuito, tem-se: 







jLR
j
LjR
Lj
jV
jVjH
e
s




/)(
)()(
 
(4.34) 
22)/(
)(




LR
H
 
(4.35) 
 L/Rtg  12/)(  (4.36) 
LRc / (4.37) 
H() e () variam de forma semelhante às mostradas na Fig. 4.10. 
Observando-se as equações (4.29) e (4.34), as funções de transferência dos filtros passa-
altas analisados no domínio s apresentam a seguinte forma: 
Chagas – DEE / UFCG 
114 
 
cs
ssH

)(
 
(4.38) 
Exemplo 1 – Para o circuito da Fig. 4.12, (a) classificar o tipo de filtro; (b) determinar a função 
de transferência; (c) esboçar os diagramas de amplitude e de fase. 
 
Fig. 4.12. Filtro do Exemplo 1. 
Solução – (a) Fazendo uma analogia com o circuito da Fig. 4.11, conclui-se que se trata de 
um filtro passa-altas, onde RL corresponde à resistência da carga ligada aos terminais de saída. 
(b) Aplicando o divisor de tensão e dividindo o numerador e o denominador por R + RL: 
LL
L
L
L
L
L
jXRjXRRR
jXR
jXR
jXRR
jXR
jXR
jH






.
.
.
)(  
Lj
RR
RR
Lj
RR
R
jX
RR
RR
jX
RR
R
jH
L
L
L
L
L
L
L
L











..
)( 
Multiplicando ambos os termos por 1/L e fazendo K = RL/(R + RL): 





j
L
RK
jK
j
RR
R
L
R
j
RR
R
jH
L
L
L
L











.
.
)( 
1)]/([)/(
)(
222 



LRK
K
LRK
KH


 





 
KR
Ltg  1 
2
)(
 
Neste caso, tem-se: 
H(0) = 0, H() = Hmax = K, H(c) = Hmax / 2 = K / 2 
L
RKK
LRK
K
c
c



 21)]/([ 2 
Chagas – DEE / UFCG 
115 
 
(c) Os diagramas de amplitude e de fase são mostrados na Fig. 4.13. 
 
Fig. 4.13. Diagramas de amplitude e de fase do filtro da Fig. 4.11. 
Verifica-se que o efeito da impedância ligada à saída do filtro consiste em reduzir o ganho de 
tensão. Esse ganho assume o valor máximo K = 1 para RL = . 
2.5. Filtros Passa-Faixa 
Esse filtro pode ser constituído por um circuito RLC em série, como é mostrado na Fig. 4.14. 
Vê-se que, nos casos extremos ( = 0 e  = ), não há passagem de corrente no circuito. Por 
outro lado, se  = o= (LC), as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam. Assim, a tensão 
da fonte é integralmente aplicada nos terminais do resistor de saída. A conclusão é que o 
circuito constitui um filtro passa-faixa. 
A função de transferência do circuito é dada por: 





 

C
LjR
RjH



1
)(
 
(4.39) 
 
Fig. 4.14. Filtro passa-faixa – Circuito RLC em série. 
Chagas – DEE / UFCG 
116 
 
2
2 1
)(





 

C
LR
RH



 
(4.40) 






 
CR
-LCtg

 1)(
2
1
 
(4.41) 
As variações de H() e () são mostradas na Fig. 4.15. 
 
Fig. 4.15. Diagramas de amplitude e de fase para um filtro passa-faixa. 
Vê-se que Hmax =1. Na frequência de corte tem-se: 
1.
2
1
1
2
2








C
LR
R
c
c 

 
(4.42) 
Isto ocorre para: 
R
C
L
c
c  
 1
 
(4.43) 
Simplificando, são obtidas as seguintes equações: 
011
2
1  cc RCLC  (4.44) 
012
2
2  cc RCLC  (4.45) 
Para (4.44), obtém-se: 
LC
LCRCRC
c 2
4)( 2
1


 
(4.46) 
Como c1 > 0, considera-se apenas o sinal positivo: 
LCL
R
L
R
LC
LCRCRC
c
1
222
4)( 22
1 







 
(4.47) 
Chagas – DEE / UFCG 
117 
 
Para (4.45), obtém-se: 
LC
LCRCRC
c 2
4)( 2
2


 
(4.48) 
Como c2 > 0, tem-se: 
LCL
R
L
R
LC
LCRCRC
c
1
222
4)( 22
2 







 
(4.49) 
A largura de faixa ou banda de passagem é: 
LRcc /12   (4.50) 
O fator de qualidade do circuito é: 
C
L
RR
LQ 00 1 

 (4.51) 
Vê-se que quanto maior for o fator de qualidade, menor será a faixa de passagem. Isto quer 
dizer que o filtro torna-se cada vez mais seletivo. 
De (4.47) e (4.49), o produto c1.c2 vale: 
2
22
12
1
2
1
2
. 0cc LCL
R
LCL
R  










 
(4.52) 
Assim, a frequência de ressonância é a média geométrica das frequências de corte, como a 
seguir: 
21. cc0   (4.53) 
Para a frequência em Hz, tem-se: 
21. cc0 fff  (4.54) 
De (4.47), (4.49) e (4.50): 
2
2
1 22 0c
 





 
(4.55) 
2
2
2 22 0c
 





 
(4.56) 
A função de transferência no do filtro da Fig. 4.14(a) no domínio s é: 
LC
s
L
Rs
LsR
sRCLCs
sRC
sC
sLR
RsH 1
/
11
)(
2
2






 
(4.57) 
22)(
0ss
ssH



 
(4.58) 
Chagas – DEE / UFCG 
118 
 
Exemplo 2 – Considerando o circuito da Fig. 4.16, pede-se: (a) classificar o tipo de filtro; (b) 
calcular a função de transferência; (c) calcular as frequências de corte, a largura de faixa e o 
fator de qualidade. 
 
Fig. 4.16. Filtro do Exemplo 2. 
Solução – (a) Considerando os casos extremos ( = 0 e  = ), o capacitor ou o indutor 
estabelecem um curto-circuito na saída e a tensão Vs na saída é nula. A admitância do ramo LC 
é dada por: 





 
L
LCj
Lj
CjjY



 11)(
2
 
Se  = 0 = 1/(LC), tem-se Y(j)= 0, de modo a se ter um circuito aberto na saída; assim, 
Vs = Ve. A conclusão é que o circuito constitui um filtro passa-faixa. 
(b) A função de transferência do circuito é dada por: 












Cj
LjR
C
L
CL
Cj
Lj
Cj
Lj
R
Cj
Lj
Cj
Lj
jH











1
/
1
1.
1
1.
)(
 
2
2
2 1
/)(













C
LR
C
L
CLH



 
(c) H() é máxima quando L= 1/(C), ou quando  = 0 = 1/(LC); neste caso, Hmax = 1. 
Nas frequências de corte, tem-se: 
2
1
1
/
2
2
2













C
LR
C
L
CL
c
c 


22
2 1 











C
L
C
LR
c
c 
 
Chagas – DEE / UFCG 
119 
 
Assim, têm-se duas equações: 
02  RLRLC cc  
02  RLRLC cc  
Em ambas as equações são rejeitadas as raízes negativas; assim: 
LCRCRCRLC
LCRLL
c
1
2
1
2
1
2
4 222
1 






 
LCRCRCRLC
LCRLL
c
1
2
1
2
1
2
4 222
2 








 
RCcc
1
12   
)(/1
/1
RC
LCQ 0 


 
LCRQ / 
2.6. Filtros Rejeita-Faixa 
No circuito da Fig. 4.17 a tensão de saída é tomada nos terminais da associação LC. Vê-se 
que, nos casos extremos ( = 0 e  = ), esta associação constitui um circuito aberto e a 
tensão da fonte é integralmente aplicada nos seus terminais. Por outro lado, se  = 0 = (LC), 
as reatâncias indutiva e capacitiva se cancelam e Vs = 0. Assim, conclui-se que o circuito 
constitui um filtro rejeita-faixa. 
 
Fig. 4.17. Filtro rejeita-faixa – Circuito RLC em série. 
A função de transferência do circuito é: 





 


C
LjR
C
jLj
jH





1
1
)(
 
(4.59) 
Chagas – DEE / UFCG 
120 
 
Multiplicando o numerador e o denominador por j/L, obtém-se: 
L
Rj
LC
LCjH







2
2
1
1
)(
 
(4.60) 
22
2
2
1
1
)(










 


L
R
LC
LCH


 (4.61) 











 
2
1
1
/)(


LC
LRtg
 
(4.62) 
As curvas de H() e de () são mostradas na Fig. 4.18. 
 
Fig. 4.18. Diagramas de amplitude e de fase para um filtro rejeita-faixa. 
Neste caso, H() é mínima para  = o =1/(LC), sendo a frequência de corte calculada por: 
2
1
1
1
22
2
2











 

L
R
LC
LC
c
c
c


 
(4.63) 
Resolvendo (4.63), obtém-se: 
LCL
R
L
R
c
1
22
2
1 





 
(4.64) 
LCL
R
L
R
c
1
22
2
1 





 
(4.65) 
A largura de faixa e o fator de qualidade são: 
Chagas – DEE / UFCG 
121 
 
LRcc /12   (4.66) 
C
L
RLR
LCQ 0 1
/
/1



 
(4.67) 
A função de transferência no do filtro da Fig. 4.17 no domínio s é: 
LC
s
L
Rs
LC
s
sRCLCs
LCs
sC
sLR
sC
sL
sH 1
1
1
1
1
1
)(
2
2
2
2









 
(4.68) 
22
22
)(
0
0
ss
ssH





 
(4.69) 
3. Diagramas de Amplitude e de Fase Usando o Matlab 
Os gráficos das amplitudes e os ângulos de fase de uma função de transferência podem ser 
obtidos a partir da rotina freqs do Matlab. Como exemplo, considera-se uma função de 
transferência dada por: 
501025,4
25)( 23 

sss
ssH
 
(4.70)
 
Com os seguintes comandos, são obtidos os gráficos da Fig. 4.19. 
>>n = [25 0]; 
>>d = [1 4.5 102 50]; 
>>freqs(n,d) 
 
Fig. 4.19. Diagramas de amplitude e de fase gerados pelo Matlab. 
Chagas – DEE / UFCG 
122 
 
4. Diagramas de Bode 
4.1. Definição de Decibel 
A amplitude de H(j) é também expressa em decibéis. O decibel foi definido para medir 
perdas de potência em circuitos telefônicos ligados em cascata, como é mostrado na Fig. 4.20. 
 
Fig. 4.20. Circuitos ligados em cascata. 
O ganho de potência de cada circuito é definido como sendo a razão entre a potência de 
saída e a potência de entrada, ou seja: 
eP
PG 11  , 
1
2
2 P
PG  , 
2
3 P
PG s (4.71) 
O ganho de potência total é o produto dos ganhos individuais. 
321
1
1
2
2
GGG
P
P
P
P
P
P
P
P
e
s
e
s 
 
(4.72) 
Tomando o logaritmo decimal: 
32110 G logG logG logP
Plog
e
s 
 
(4.73) 
Define-se bel como sendo o logaritmo decimal da razão entre as duas potências. Para 
calcular o ganho de potência total em béis, basta somar os ganhos de potência, também em 
béis, de todos os blocos que representam os estágios intermediários do sistema. Na prática, é 
mais conveniente usar uma unidade 10 vezes menor que o bel, o decibel (dB). Como 1 bel tem 
10 decibéis, o número de decibéis é 10 vezes maior que o número de béis, ou seja: 
e
s
P
Plog dB de Número 10
 
(4.74) 
No circuito da Fig. 4.21 a resistência de entrada é igual à resistência da carga (casamento de 
impedâncias); assim, Re = Rs = R: 
222
2
2
/
/





















e
s
e
s
e
s
e
s
e
s
V
V
RV
RV
I
I
IR
IR
P
P
 (4.75) 
Assim, de (4.74) e (4.75), o número de decibéis é: 
Chagas – DEE / UFCG 
123 
 
e
s
V
Vlog dB de Número 20 (4.76) 
 
Fig. 4.21. Circuito com impedâncias casadas. 
Considerando o módulo de uma função de transferência H(j), tem-se: 
 sHlog dB emGanho 20 (4.77) 
A vantagem do uso do decibel consiste no fato de tornar mais simples o traçado dos 
diagramas de amplitude das funções de transferência em faixas extensas de frequência. Assim, 
ao invés de traçar o gráfico de H() em escalas lineares, traça-se H(), expresso em dB, em 
função de , com o eixo horizontal em escala logarítmica. Este gráfico é conhecido como 
diagrama de Bode, o qual é descrito mais adiante. 
4.2. Propriedades do Decibel 
A Tabela 4.1 fornece a equivalência entre algumas grandezas de saída e de entrada, e os 
respectivos ganhos em decibéis. 
Tabela 4.1. Equivalência entre grandezas de saída e de entrada e os ganhos em decibéis. 
RAZÃO GANHO (dB) RAZÃO GANHO (dB) 
0,01 -40 10,0 20 
0,10 -20 31,6 30 
1,00 0 102 40 
1,41 3 103 60 
2,00 6 104 80 
3,16 10 105 100 
5,62 15 106 120 
Algumas das propriedades do decibel são descritas a seguir. 
▪ Os inversos das razões da Tabela 4.1 produzem valores em dB iguais em módulo aos 
indicados, porém com sinais opostos; por exemplo: 
    30,707201/1,4120  log log 
      xlogxloglog xloglog xlog 20-120-1201/20  
Chagas – DEE / UFCG 
124 
 
▪ Quando a razão dobra, o valor correspondente em dB aumenta de 6,02  6 dB. 
12420,6220,0120  log log log 
  x log x log log x log 20620220220  
▪ Quando a razão aumenta de um fator 10, o valor correspondente em dB aumenta de 20. 
4000120,201020,0120  log log log 
  xlogxloglog xlog 20202010201020  
Define-se como oitava a faixa de frequências entre f1 e f2 em que f2 / f1 = 2. O número de 
oitavas entre f1 e f2 é dado por: 
 







1
212 32,3
2
/
f
flog
log
fflog oitavas de Número
 
(4.78) 
Define-se como década a faixa de frequências entre f1 e f2 em que f2 / f1= 10. O número de 
décadas entre f1 e f2é dado por: 
 







1
212
10
/
f
flog
log
fflog décadas deNúmero
 
(4.79) 
4.3. Diagramas de Amplitude – Polos e Zeros Simples 
Sabe-se que a forma mais simples da função de transferência de um filtro passa-baixas é a 
seguinte: 
cc
c
ss
sH


/1
1)(




 
(4.80) 
Pode-se ainda escrever: 


 j
c
eH
j
jH 


/1
1)(
 
(4.81) 
 2/1
1)(
c
H




 
(4.82) 
 
 2
2
/120-
/1
12020 c
c
dB loglogHlogH 




 
(4.83) 
Para baixas frequências ( << c), tem-se 1 + (/c)2  1; assim: 
012020  logHlogHdB (4.84) 
Essa equação é uma reta horizontal. Como essa reta aproxima o ganho logarítmico para 
baixas frequências, ela é chamada de assíntota horizontal do diagrama de Bode. 
Para altas frequências ( >> c), tem-se 1 + (/c)2  (/c)2; logo: 
Chagas – DEE / UFCG 
125 
 
   logloglogHlogH ccdB 2020/2020 2  (4.85) 
Essa equação descreve a assíntota de alta frequência. O seu coeficiente angular pode ser 
dado em dB/década. A diferença entre os ganhos logarítmicos em uma década (2 / 1 = 10) 
para ( >> c) é: 
    2121 202020202020  loglogloglogHlogHlog cc  = 
  dBloglogloglog 20 0120/202020 1221   
O diagrama de Bode é mostrado na Fig. 4.22. Observa-se que para  > c, o filtro propor-
ciona uma taxa de atenuação de 20 dB/década. 
 
Fig. 4.22. Diagrama de amplitude de H(s). 
Na frequência c, também chamada frequência de quebra, o valor de H em dB é: 
 
dBloglogHlogH
c
dB 01,32
120-
/1
12020
2




 
Ou seja, o decréscimo de 1/2 corresponde a uma queda em dB de aproximadamente 3 dB. 
Outra função de transferência é mostrada a seguir. 
)(
)(
1
1
pss
zsKsH



 
(4.86) 
Fazendo s = j e colocando os polos e zeros em evidência: 
)/1(
/1)(
1
1
1
1
pjj
zj
p
zKjH





 
(4.87) 
Fazendo K0 = K z1/p1, tem-se: 
)/1(
/1)(
1
1
pjj
zjKjH 0 




 
(4.88) 
1
1
/1
/1
)(
pj
zj
KH 0 





 
(4.89) 
Chagas – DEE / UFCG 
126 
 
1
1
/1
/1
20
pj
zj
KlogH 0dB 




 
(4.90) 
11 /12020/12020 pjloglogzjlogKlogH 0dB   (4.91) 
Uma curva para cada termo é traçada separadamente em papel monolog, como é descrito a 
seguir. 
▪ 20 log K0 é uma reta horizontal, sendo: 
20 log K0 > 0 para K0 > 1; 
20 log K0 = 0 para K0 = 1; 
20 log K0 < 0 para K0 < 1. 
▪ 20 log  1 + j/z1é aproximado por duas retas, de modo que: 
- para  pequena:  1 + j/z1  1 , 20 log 1 + j/z1  0 quando  0; 
- para  grande:  1 + j/z1 /z1, 20 log 1 + j/z1  20 log (/z1). 
- 20 log (/z1) = 20 log - 20 log z1 é uma reta com inclinação de 20 dB/década; para 
 = z1 (frequência de quebra), tem-se HdB  0. 
▪ - 20 log corta o eixo  em  = 1, com inclinação de -20 dB/década. 
▪ - 20 log  1 + j/p1 é aproximado por duas retas, de modo que: 
- para  pequena:  1 + j/p1  1, - 20 log 1 + j/p1  0 quando  0; 
- para  grande:  1 + j/p1  /p1, - 20 log 1 + j/p1  - 20 log (/p1). 
Exemplo 3 – Na expressão (4.89), para K0 = 10, z1 = 0,1 rad/s e p1 = 5 rad/s, tem-se o 
diagrama de amplitudes da Fig. 4.23. 
 
Fig. 4.23. Diagrama de amplitudes do Exemplo 3. 
Chagas – DEE / UFCG 
127 
 
Exemplo 4 – Para o circuito da Fig. 4.24, (a) determinar H(s); (b) construir o gráfico logarít-
mico de amplitudes; (c) calcular o valor de HdB para  = 50 rad/s e  = 1000 rad/s. 
 
Fig. 4.24. Circuito do Exemplo 4. 
Solução – (a) A função de transferência no do filtro da Fig. 4.24 no domínio s é: 
22)(
0ss
ssH



 
1000
101010100
11;110
10100
11
33
2
3   xxxLCxL
R
o 
)100()10(
110
1000110
110)( 2 



ss
s
ss
ssH 
(b) Para construir o diagrama da Fig. 4.25, faz-se s = j, sendo obtida: 
)100/1()10/1(
11,0
)100()10/1(
11
)100()10(
110)(






jj
j
jj
j
jj
jjH






 
100/110/1
11,0)(


jj
H


 
100/12010/120201120  jlogjlogloglogHdB  
 
Fig. 4.25. Diagrama de amplitudes do Exemplo 4. 
Chagas – DEE / UFCG 
128 
 
(c)
)5,01()51(
5,5
)100/501()10/501(
)5011,0)50(
jj
j
jj
xjjH




 
025,159648,0)50(  ejH
 
dBlogHlog 3116,09648,020)50(20  
)101()1001(
110
)100/10001()10/10001(
100011,0)1000(
jj
j
jj
xjjH




 
072.831094,0)1000(  ejH
 
dBlogHlog 22,191094,020)1000(20  
4.4. Diagramas de Amplitude – Polos e Zeros Múltiplos 
Considera-se a seguinte função de transferência: 
nq
m
0 pjj
zjKjH
)/1()(
)/1()(
1
1





 
(4.92) 
1
0
1 90.
1
1
/1
/1
)( 


 nqmnq
m
0 e
pj
zj
KjH 



 
(4.93) 
nq
m
0
pj
zj
KH
1
1
/1
/1
)(






 
(4.94) 
11 /12020/12020 pjlognlogqzjlogmKlogH 0dB   (4.95) 
Por exemplo, se m = 2, q = 3 e n = 4, tem-se retas de inclinações de 40 dB/década, -60 
dB/década e -80 dB/década. 
O procedimento é o mesmo do caso de polos reais simples. 
4.5. Diagramas de Amplitude – Polos e Zeros Complexos 
Os polos e zeros complexos sempre aparecem de forma conjugada, formando um único 
fator de segundo grau. 
))((
)(
 jsjs
KsH


 
(4.96) 
22)())((   sjsjs (4.97) 
22222 22 nn ssss   (4.98) 
 n (4.99) 
222  n (4.100) 
Chagas – DEE / UFCG 
129 
 
O parâmetron é a frequência de quebra e  é o coeficiente de amortecimento. 
Assim, tem-se a seguinte forma alternativa para H(s): 
22 2
)(
nnss
KsH
 

 
(4.101) 
A seguir, considera-se a equação do segundo grau: 
02 22  nn ss  (4.102) 
A solução da mesma é: 
1
2
442 2
222


 

nn
nnn ss
 
(4.103) 
Se   1, as raízes são reais, ou seja: 
))((2 21
22 pspsss nn   (4.104) 
Neste caso, o procedimento para o traçado dos diagramas é o mesmo dos polos simples de 
primeira ordem. Se  < 1, as equação apresentam raízes complexas. Em (4.101), para s = j : 
2222 2)(2
)(
nnnn jj
K
ss
KjH






 
(4.105) 
1)/(2)/(
/
2
)( 2
2
22 



nn
n
nn j
K
j
KjH




 
(4.106) 
Fazendo u =  / n e K0 = K / n2: 
uju
KjH 0


21
)( 2 

 
(4.107) 
uju
KH 0


21
)(
2 

 
(4.108) 
ujulogKlogH 0dB 212020
2 
 
(4.109) 
Considerando o segundo termo do segundo membro de (4.109), tem-se: 
  2/1224222222 421204)1(202120 uuuloguulogujulog   (4.110) 
 
  2/1224
2/12242
22222
1)12(210
42120
4)1(202120






uulog
uuulog
uulogujulog
 
(4.111) 
Se   0, u  0 e   2/1224 1)12(210  uulog  0. 
Se   ,   2/1224 1)12(210  uulog   nlogulogulog  /404010 4  
Chagas – DEE / UFCG 
130 
 
Assim, o diagrama de amplitudes da função de transferência (4.101) é mostrado na Fig. 4.26. 
 
Fig. 4.26. Diagrama de amplitudes do Exemplo 4. 
4.6. Diagramas de Bode Usando o Matlab 
No item 4 foi apresentada a função freqs do Matlab para a obtenção dos gráficos das 
amplitudes e os ângulos de fase de uma função de transferência. Uma alternativa é rotina 
bode, que fornece o gráfico de amplitudes em decibéis. Como exemplo, considera-se a função: 
501025,4
25)( 23 

sss
ssH (4.112) 
Assim, são obtidos os gráficos da Fig. 4.27. 
 
Fig. 4.27. Diagramas de Bode fornecidos pelo Matlab. 
Na obtenção desses diagramas, os seguintes comandos foram utilizados. 
Chagas – DEE / UFCG 
131 
 
>>n = [25 0]; 
>>d = [1 4.5 102 50]; 
>>bode(n,d,{0.01,100}) 
5. Filtros Ativos 
5.1. Considerações GeraisOs filtros passivos anteriormente considerados apresentam as seguintes limitações: 
▪ não apresentam ganho superior a 1, pois não acrescentam energia ao circuito; 
▪ necessitam de indutores volumosos, pesados e caros, especialmente em baixas frequências. 
Os filtros ativos são constituídos por resistores, capacitores e amp-ops. Em relação aos filtros 
passivos, apresentam as seguintes vantagens: 
▪ são menores, mais leves e mais baratos; 
▪ podem proporcionar ganho superior a 1; 
▪ no caso de filtros mais complexos, apresentam maior facilidade de projeto, mediante 
associação em cascata de estágios simples; 
▪ há possibilidade de associação de estágios mediante buffers, de modo a isolar cada estágio 
do filtro dos efeitos da impedância da fonte e da carga. 
Por outro lado, os filtros ativos apresentam as seguintes desvantagens: 
▪ necessitam de fonte de alimentação; 
▪ filtros baseados em amp-ops não podem ser aplicados em sistemas de potência elevada; 
▪ têm resposta em frequência limitada à capacidade de resposta dos amp-ops. 
5.2. Filtros Passa-Baixas 
Um filtro de primeira ordem é mostrado na Fig. 4.28. A escolha dos componentes Zf e Zi irá 
determinar se ele é do tipo passa-baixas ou passa-altas. 
 
Fig. 4.28. Filtro ativo de primeira ordem generalizado. 
Chagas – DEE / UFCG 
132 
 
A função de transferência desse filtro é: 
)(
)(
)(
)(
)(
sZ
sZ
sV
sVsH
i
f
i
o 
 
(4.113) 
A configuração mostrada na Fig. 4.29 constitui um filtro passa-baixas, onde o módulo de 
H(s) é dado pela expressão: 
sC
R
sC
R
R
R
sC
R
sC
R
sH
f
i
f
i
f
f
1
11
1.
)(




 
(4.114) 
 
Fig. 4.29. Filtro ativo passa-baixas de primeira ordem. 
Multiplicando o numerador e o denominador de (4.114) por s / Rf, resulta: 
c
c
f
f
i
f
s
G
CR
s
CR
R
R
sH





 1
1
)(
 
(4.115) 
Assim, tem-se um filtro passa-baixas com ganho e frequência de corte dados por: 
i
f
R
R
G 
 
(4.116) 
CR f
c
1

 
 (4.117) 
Observa-se que o ganho pode ser maior que 1, sendo este determinado de modo indepen-
dente em relação à frequência de corte. 
Considerando Rf = 10 kΩ, Ri = 5 kΩ e C = 100 nF, tem-se na Fig. 4.30 os diagramas de Bode 
desse filtro, fornecidos pelo Matlab. Nele, vê-se que G = 2, GdB  6 dB e c = 1000 rad/s. 
Chagas – DEE / UFCG 
133 
 
 
Fig. 4.30. Diagramas de Bode - Filtro passa-baixas da Fig. 4.29, com Rf = 10 kΩ, Ri = 5 kΩ, C = 100 nF. 
5.3. Filtros Passa-Altas 
Para o filtro passa-altas de primeira ordem mostrado na Fig. 4.31, pode ser escrito: 
)/(11
1
)/(1
)(
CsRR
R
sCR
R
sH
ii
f
i
f




 
(4.118) 
cii
f
s
sG
CRs
s
R
R
sH




)/(1
)(
 
(4.119) 
 
Fig. 4.31. Filtro ativo passa-altas de primeira ordem. 
Assim, o filtro passa-altas apresenta ganho e frequência de corte dados por: 
Chagas – DEE / UFCG 
134 
 
i
f
R
R
G 
 
(4.120) 
CRi
c
1

 
(4.121) 
Para Rf = 10 kΩ, Ri= 5 kΩ e C = 100 nF, tem-se os diagramas de Bode da Fig. 4.32. 
 
Fig. 4.32. Diagramas de Bode - Filtro passa-altas da Fig. 4.31, com Rf= 10 kΩ, Ri = 5 kΩ, C = 100 nF. 
Observa-se que, como no caso do filtro passa-baixas do item anterior, o ganho é superior a 1 
(G = 10 / 5 = 2). Vê-se também que, GdB  6 dB e c = 2000rad/s. 
5.4. Filtros Passa-Faixa 
A forma mais intuitiva de implementar um filtro ativo passa-faixa é descrita no diagrama de 
blocos em cascata da Fig. 4.33. 
 
Fig. 4.33. Diagrama de blocos de um filtro ativo passa-faixa. 
Chagas – DEE / UFCG 
135 
 
Os componentes desse filtro são os seguintes: 
▪ um filtro passa baixas de ganho unitário e frequência de corte cb; 
▪ um filtro passa altas de ganho unitário e frequência de corte ca < cb; 
▪ um amplificador que fornece o ganho desejado dentro da banda de passagem. 
O circuito usado para implementar esse tipo de filtro é mostrado na Fig. 4.34. 
 
Fig. 4.34. Filtro ativo passa-faixa. 
Devido à ligação em cascata, a função de transferência do filtro é obtida pelo produto das 
funções de transferência dos elementos individuais; assim, tem-se: 
  cbcacbca
cb
i
f
i
f
cacb
cb
i
o
ss
s
R
R
R
R
s
s
ssV
sVsH

























 2)(
)()(
 
(4.122) 
Partindo da suposição de que cb >> ca, tem-se ca + cbcb, e assim: 
cbcacb
cb
i
f
ss
s
R
R
sH



 2)(
 
(4.123) 
Verifica-se que expressão (4.123) apresenta a mesma forma da expressão (4.58), correspon-
dente à função de transferência de um filtro passa-faixa padrão. 
O projeto de um filtro passa-faixa é feito de acordo com o procedimento descrito a seguir. 
▪ Estabelecidas as frequências de corte inferior e superior, cb >> ca, calcula-se os valores de 
Ra, Rb, Ca e Cb mediante as seguintes expressões: 
aa
ca CR
1

 
(4.124) 
bb
cb CR
1

 
(4.125) 
Chagas – DEE / UFCG 
136 
 
▪ Os valores de Ri e Rf devem ser tais que o ganho do filtro na banda de passagem tenha o 
valor desejado; assim, na frequência central o, tem-se de (4.123): 
i
f
ccoco
oc
i
f
o R
R
jj
j
R
R
H 


212
2
2
)()(
)()(



 
(4.126) 
Exemplo 5 – Projetar um filtro passa-faixa que apresente ganho G = 2 e banda de passagem 
entre 100 Hz e 10 kHz. Usar capacitores de 100 nF. 
Solução – Como cb= 100 ca, pode-se calcular separadamente os estágios em cascata. 
  15915101001002
1
2
111
9xxxCfC
R
CR aaaca
a
aa
ca 
 
  15910100100002
1
2
111
9xxxCfC
R
CR bbbcb
b
bb
cb 
 
Para o amplificador inversor, fazendo Ri = 10 kΩ, tem-se de (4.120): 
.k20102  xRRGR fif
 
É importante lembrar que o módulo da função de transferência nas duas frequências de 
corte é igual ao valor no centro da banda de passagem dividido por √2 (verificar). O diagrama 
de Bode do filtro é mostrado na Fig. 4.35. 
 
Fig. 4.35. Diagramas de Bode do filtro passa-faixa do Exemplo 5. 
Chagas – DEE / UFCG 
137 
 
5.5. Filtros Rejeita-Faixa 
O diagrama da Fig. 4.36 descreve uma possível estrutura de um filtro ativo rejeita-faixa. 
 
Fig. 4.36. Diagrama de blocos de um filtro ativo rejeita--faixa. 
Os componentes desse filtro são os seguintes: 
▪ um filtro passa baixas de ganho unitário e frequência de corte cb; 
▪ um filtro passa altas de ganho unitário e frequência de corte ca > cb; 
▪ um amplificador somador que fornece o ganho desejado dentro da banda de rejeição. 
O circuito usado para implementar esse tipo de filtro é mostrado na Fig. 4.37. 
 
Fig. 4.37. Filtro ativo rejeita-faixa. 
Mais uma vez, é suposto que ca >> cb, de modo que os dois filtros em paralelo podem ser 
projetados separadamente. A função de transferência do filtro completo é a soma das funções 
dos filtros de primeira ordem, com um ganho proporcionado pelo amplificador somador. Assim, 
pode-se escrever: 
Chagas – DEE / UFCG 
138 
 
  
























cbcacbca
cbcacb
i
f
i
f
cacb
cb
i
o
ss
ss
R
R
R
R
s
s
ssV
sVsH




2
2 2
)(
)()(
 
(4.127) 
Como ca >> cb, (4.127) tende a assumir a mesma forma da expressão (4.69), que represen-
ta a função de transferência de um filtro rejeita-faixa padrão. 
O projeto de um filtro rejeita-faixa é feito segundo o modo descrito a seguir. 
▪ Estabelecidas as frequências de corte inferior e superior, cb << ca, calcula-se os valores de 
Ra, Rb, Ca e Cb mediante as seguintes expressões: 
aa
ca CR
1

 
(4.128) 
bb
cb CR
1

 
(4.129) 
▪ Fora da banda de rejeição (quando s → 0 ou s → ∞), vê-se de (4.127) que o ganho da função 
de transferência é igual a Rf / Ri.; assim, esses resistores são calculados a partir de: 
i
f
R
RG 
 
(4.130) 
Exemplo 6 – Projetar um filtro rejeita-faixa que apresente ganho fora da banda de rejeição 
igual a 3, com frequências de corte iguais a 20 Hz e 400 Hz. Usar capacitores de 200 nF. 
Solução – Como ca= 20cb, pode-se calcular separadamente os estágios. 
  1989102004002
1
2
111
9xxxCfC
R
CR aaaca
a
aa
ca 
 
  3978910200202
1
2
111
9xxxCfC
R
CR bbbcb
b
bb
cb 
 
Para o amplificador somador, fazendo Ri = 10 kΩ, tem-se de (4.130): 
.k30103  xRRGR fif
 
O diagrama de Bode do filtro é mostrado na Fig. 4.38. 
5.6. Filtros Butterworth Passa-Baixas 
Para a frequência de corte c = 1 rad/s, as funções de transferência de um filtro passa-
baixas de Butterworth são dadas por: 
)(
1)(
sP
sH 
 
(4.131) 
A ordem do filtro e a frequência de corte são estabelecidas pelo polinômio P(s), os quais são 
mostrados na Tabela 4.2. 
Chagas – DEE / UFCG 
139 
 
 
Fig. 4.38. Diagramas de Bode do filtro rejeita-faixa do Exemplo 6. 
Tabela 4.2. Polinômios de Butterworth, para a frequência de corte c = 1 rad/s. 
ORDEM POLINÔMIO, P(s) 
1 s + 1 
2 s2 + 1,414 s + 1 
3 (s + 1)(s2 + s + 1) 
4 (s2 + 0,765 s + 1) (s2 + 1,848 s + 1) 
5 (s + 1) (s2 + 0,618 s + 1) (s2 + 1,618 s + 1) 
6 (s2 + 0,518 s + 1) (s2 + 1,414 s + 1) (s2 + 1,932 s + 1) 
7 (s + 1)(s2 + 0,445 s + 1) (s2 + 1,247 s + 1) (s2 + 1,802 s + 1) 
8 (s2 + 0,390 s + 1) (s2 + 1,111s + 1) (s2 + 1,663s + 1) (s2 + 1,962s + 1) 
9 (s + 1) (s2 + 0,347 s + 1) (s2 + 1 s + 1) (s2 + 1,532s + 1) (s2 + 1,879s + 1) 
10 (s2 + 0,313 s + 1) (s2 + 0,908 s + 1) (s2 + 1,414 s + 1) (s2 + 1,782 s + 1) (s2 + 1,975 s + 1) 
Os filtros de Butterworth apresentam desempenho mais próximo do ideal à medida que a 
ordem do filtro aumenta; porém, isto acarreta maior complexidade e custo. 
Uma técnica chamada escalonamento de frequências permite que sejam obtidas funções de 
transferência para frequências de corte c diferentes de 1 rad/s. A mesma consiste em 
substituir cada s em H(s) por s / c. Considerando um filtro de segunda ordem com frequência 
de corte de 1 rad/s, sua função de transferência, de acordo com a Tabela 4.2, é dada por: 
1
1)( 2 

sks
sH n (4.132) 
Chagas – DEE / UFCG 
140 
 
Para uma frequência de corte c, tem-se: 
    22
2
2 1//
1)(
cc
c
cc skssks
sH


 



 
(4.133) 
Exemplo 7 – Determinar a função de transferência de um filtro Butterworth passa-baixas de 
terceira ordem que possua frequência de corte igual a 500 rad/s. 
Solução – De (4.131) e da Tabela 4.2, tem-se a seguinte função normalizada em 1rad/s: 
)1)(1(
1)( 2 

sss
sH n 
Para c = 500rad/s, tem-se: 
)250000500)(500(
500
]1)500/()500/[(]1)500/[(
1)( 2
3
2 



ssssss
sH 
323
3
5005000001000
500)(


sss
sH 
Os diagramas de Bode correspondentes a essa função acham-se mostrados na Fig. 4.39, a 
seguir. 
 
Fig. 4.39. Diagramas de Bode do filtro Butterworth passa-baixas de terceira ordem do Exemplo 7. 
O problema agora consiste em projetar um circuito que reproduza as características de um 
Chagas – DEE / UFCG 
141 
 
filtro passa-baixas de Butterworth. Observa-se na Tabela 4.2 que os filtros de ordem par são 
compostos por termos de segunda ordem, e que os filtros de ordem ímpar apresentam um 
termo adicional de primeira ordem, o qual é fácil de projetar (ver filtro da Fig. 4.29). Assim, só 
resta caracterizar um circuito que apresente a função de transferência dada pela expressão 
(4.133). Para isso, considera-se o circuito da Fig. 4.40. 
 
Fig. 4.40. Circuito empregado como filtro Butterworth passa-baixas de ordem 2. 
Para os nós a e b, pode-se escrever, respectivamente: 
  01 



R
VVVVsC
R
VV oa
oa
ia
 
(4.134) 
02 


R
VVVCs aoo
 
(4.135) 
Simplificando, obtém-se: 
    ioa VVsRCVsRC  11 12 (4.136) 
  01 2  oa VsRCV (4.137) 
Eliminando Va, obtém-se a seguinte função de transferência para o filtro: 
21
2
1
2
21
2
12
1
)(
CCR
s
RC
s
CCR
V
VsH
i
o


 
(4.138) 
Comparando (4.133) e (4.138), são obtidas as seguintes relações: 
2
21
2
1
cCCR

 
(4.139) 
ckCR

1
2
 
(4.140) 
Assim, com os valores de k e c, arbitra-se um valor para R e determinam-se os valores de 
C1 e C2 através de (4.139) e (4.140). 
Chagas – DEE / UFCG 
142 
 
Exemplo 8 – Projetar um filtro de Butterworth passa-baixas de quarta ordem com uma 
frequência de corte de 960 Hz e ganho máximo de 10. 
Solução – De acordo com a Tabela 4.2, o polinômio de Butterworth é o seguinte: 
(s2 + 0,765 s + 1) (s2 + 1,848 s + 1) 
Assim, são necessários dois filtros de segunda ordem para obter a função de transferência 
de quarta ordem, mais um amplificador inversor para proporcionar o ganho igual a 10, todos 
ligados em cascata. O circuito completo é mostrado na Fig. 4.41. 
 
Fig. 4.41. Circuito do filtro Butterworth passa-baixas de quarta ordem do Exemplo 8. 
Inicialmente, é implementado o primeiro estágio do filtro, relacionado ao polinômio s2 + 
0,765 s + 1. O valor de R é arbitrado em 1 kΩ. De acordo com (4.140) e (4.139), tem-se: 
nF433
10009602765,0
22
1
1
1  CxxxRk
C
c  
nF63
)9602(104331000
11
22922
1
22   CxxxxCR
C
c 
 
Para o estágio relacionado ao polinômio s2 + 1,848 s + 1, tem-se: 
nF179
10009602848,1
22
3
2
3  CxxxRk
C
c  
nF153
)9602(101791000
11
22922
3
24   CxxxxCR
C
c 
 
Em relação ao amplificador inversor, arbitra-se Ri = 1 kΩ; assim, Rf = 10Ri = 10 kΩ. 
A função de transferência do filtro é a seguinte: 
     
432234
4
43
21
22
21
3
21
4
4
2
2
2
2
2
1
2
2
86,603186,6031613,286,6031414,386,6031613,2
86,603110
2
)(






sxsxsxs
x
skkskkskks
G
skssks
GsH
cccc
c
cc
c
cc
c






 
Chagas – DEE / UFCG 
143 
 
Os diagramas de Bode desse filtro são mostrados na Fig. 4.42. 
 
Fig. 4.42. Diagramas de Bode do filtro Butterworth passa-baixas de quarta ordem do Exemplo 8. 
5.7. Filtros Butterworth Passa-Altas 
Considerando a frequência de corte de 1 rad/s, as funções de transferência de um filtro 
passa-altas de Butterworth são dadas pela seguinte expressão: 
)(
)(
sP
ssH
n

 
(4.141) 
onde n é a ordem do filtro e P(s) é um dos polinômios da Tabela 4.2. 
Como no caso dos filtros passa-baixas, são normalmente utilizados filtros de segunda ordem 
isolados ou em cascata. Assim, considera-se um circuito que apresenta a seguinte função de 
transferência: 
1
)( 2
2


sks
ssH n (4.142) 
Neste caso, a frequência de corte é 1 rad/s. Para uma frequência de corte c, tem-se: 
 
    22
2
2
2
1//
/)(
cccc
c
sks
s
sks
ssH






 
(4.143) 
Um circuito que pode ser usado para implementar esse filtro é mostrado na Fig. 4.43. 
Chagas – DEE / UFCG 
144 
 
 
Fig. 4.43. Circuito empregado como filtro Butterworth passa-altas de ordem 2. 
A função de transferência desse filtro é (verificar): 
2
212
2
2
12)(
CRR
s
CR
s
ssH


 
(4.144) 
Comparando (4.143) e (4.144), são obtidas as seguintes relações: 
ckCR

2
2
 
(4.145) 
2
2
21
1
cCRR

 
(4.146) 
Assim, com os valores de k e c, arbitra-se um valor para C e determinam-se os valores de 
R1 e R2 através de (4.145) e (4.146). 
5.8. Filtros Butterworth Passa-Faixa e Rejeita-Faixa 
Foi visto que um filtro passa-faixa pode ser obtido associando-se em cascata um filtro passa-
baixas, um filtro passa-altas e um amplificador inversor. Também foi visto que as saídas de dois 
desses filtros podem ser ligadas às entradas de um amplificador somador, de modo a se obter 
um filtro rejeita-faixa. 
Pode-se constatar que os filtrosde Butterworth têm melhor desempenho que os anterior-
mente estudados. Apresentam comportamento mais próximo do filtro ideal, pois a resposta é 
mais plana na banda de passagem e a queda do ganho é mais abrupta nas regiões de transição. 
5.9. Filtro Passa-Faixa de Alto Fator de Qualidade 
Um circuito capaz de funcionar como filtro passa-faixa de alto fator de qualidade (banda 
passagem estreita) é mostrado na Fig. 4.44. 
Chagas – DEE / UFCG 
145 
 
 
Fig. 4.44. Circuito empregado como filtro passa-faixa de alto fator de qualidade. 
Para este circuito, pode-se escrever para os nós a e b, respectivamente: 
0
3

R
VVsC ob
 
(4.147) 
  0
21


bob
bib VsCVVsC
R
V
R
VV
 
(4.148) 
Eliminando Vb, chega-se à seguinte função de transferência (verificar): 
2
33
2
1
12)(
CRR
s
CR
s
CR
s
sH
e



 
(4.149) 
21
21
RR
RRRe 

 
(4.150) 
A expressão (4.149) apresenta a mesma forma da função de transferência padrão de um 
filtro passa-faixa, ou seja: 
22)(
oss
sGsH




 
(4.151) 
Comparando (4.149) com (4.151), é possível determinar os parâmetros do filtro através de: 
CR
G
1
1

 
(4.152) 
CR3
2

 
(4.153) 
2
3
2 1
CRRe
o 
 
(4.154) 
Exemplo 9 – Projetar um filtro passa-faixa com fator de qualidade igual a 20, frequência 
central de 8 kHz e ganho na banda de passagem de 40 dB. Usar capacitores de 300 pF. 
Chagas – DEE / UFCG 
146 
 
Solução – De acordo com o exposto, tem-se: 
1004020 10  GGlog
 
 80020/80002/  xQ o
 
  1326310300800100
11
1121 RxxxCG
R
 
  132629110300800
22
1123 RxxC
R
 
      331610300132629180002
11
21222
3
2 e
o
e R
xxxxCR
R
 
De (4.150), R2  4421 Ω. Assim, os diagramas de Bode são mostrados na Fig.4.45. 
 
Fig. 4.45. Diagramas de Bode do passa-faixa de segunda ordem do Exemplo 9. 
5.10. Filtro Rejeita-Faixa de Alto Fator de Qualidade 
O circuito da Fig. 4.46 constitui um filtro rejeita-faixa de alto fator de qualidade, o qual é 
conhecido como filtro duplo T. Para os nós a, b e c, pode-se escrever: 
      02 
R
VVVVsCVVsC oaoaia

 
(4.155) 
Chagas – DEE / UFCG 
147 
 
  02  obobib VVsCR
VV
R
VV

 
(4.156) 
  0
R
VVVVsC boao
 
(4.157) 
Ordenando as equações, chega-se ao seguinte sistema: 
    ioa sRCVVRCsVRCs  212 (4.158) 
    iob VVRCsVRCs  2112 (4.159) 
  01  oba VRCsVRCsV (4.160) 
 
Fig. 4.46. Circuito empregado como filtro rejeita-faixa de alto fator de qualidade ou filtro duplo T. 
Aplicando a regra de Cramer, obtém-se a seguinte solução: 
 
1)1(4
1
222
222



sRCsCR
VsCRV io  
(4.161) 
Assim, a função de transferência é dada por: 
  22
2
2
114
1
)(















RC
s
RC
s
RC
s
V
VsH
i
o

 
(4.162) 
Essa expressão tem a forma da função de transferência padrão de um filtro rejeita-faixa, 
dada por: 
Chagas – DEE / UFCG 
148 
 
22
22
)(
o
o
ss
ssH





 
(4.163) 
Comparando (4.162) e (4.163), são obtidas as expressões que fornecem os parâmetros do 
filtro, ou seja: 
2
2 1







CRo

 
(4.164) 
 
CR
  14
 
(4.165) 
Exemplo 10 – Projetar um filtro rejeita-faixa com frequência central de 5000 rad/s e banda 
de rejeição de 1000 rad/s. Usar capacitores de 1 µF. 
Solução – De acordo com (4.164) e (4.165), tem-se: 
  2001015000
1
6xx
R 
95,0
4
10120010001
4
1
6

xxxRC 
Os diagramas de Bode são mostrados na Fig. 4.47. 
 
Fig. 4.47. Diagramas de Bode do rejeita-faixa de segunda ordem do Exemplo 10. 
Chagas – DEE / UFCG 
149 
 
Bibliografia 
[ 1 ] Alexander, C. K.; Sadiku, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos, 5ª ed., McGraw-Hill, 
2008. 
[ 2 ] Desoer, C. A.; Kuh, E. S. Basic Circuit Theory, McGraw-Hill, 1969. 
[ 3 ] Dorf, R. C.; Svoboda, J. A. Introdução aos Circuitos Elétricos - 5ª ed., LTC, 2003. 
[ 4 ] Hayt Jr., W. H.; Kemmerly, J. C. Análise de Circuitos em Engenharia, McGraw-Hill, 1975. 
[ 5 ] Irwin, J. D. Análise Básica de Circuitos para Engenharia, LTC, 2003. 
[ 6 ] Nahvi, M.; Edminister, J. A. Circuitos Elétricos, Coleção Schaum, 5ª ed., Bookman, 2003. 
[ 7 ] Nilsson, J. W.; Riedel, S. Circuitos Elétricos, 5ª ed., Addison-Wesley, 1996.