Circuitos Elétricos 09- resposta de frequência

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CIRCUITOS 
ELÉTRICOS
Alfred Gimpel
Moreira Pinto
 
Resposta de frequência 
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Identificar as características da resposta de frequência.
  Representar a resposta de frequência por meio de diagramas.
  Analisar aplicações da resposta de frequência.
Introdução
A análise da resposta de frequência de circuitos elétricos quando subme-
tidos a uma fonte de excitação senoidal, na qual a amplitude permanece 
constante e a frequência sofre variações, possibilita determinar a resposta 
completa do circuito elétrico com componentes passivos e a resposta 
de amplitude e fase em função da frequência.
Ao utilizar uma ampla faixa de frequência na entrada e na escolha 
do ponto de saída do sinal, é possível projetar circuitos elétricos que 
possuem características específicas, como os filtros passivos. Esses filtros 
são amplamente utilizados em aplicações em sistemas de comunicações 
e de controle, pois são capazes de eliminar sinais indesejados.
Neste capítulo, você vai estudar as características da resposta de 
frequência dos circuitos elétricos lineares e verificar como são determi-
nadas as funções de transferência. Como o objetivo é que você conheça 
as respostas de circuitos elétricos em uma ampla faixa de frequência, 
você também vai verificar como representar de forma gráfica a resposta 
em amplitude e fase do circuito. Por fim, você vai analisar as principais 
configurações dos circuitos elétricos com elementos passivos, conhecidos 
como filtros passivos. Dessa forma, você vai ser capaz de projetar filtros 
de frequência para diversas aplicações. 
Características da resposta de frequência
Para analisar a resposta de frequência de um circuito elétrico, você precisa 
conhecer algumas ferramentas que são utilizadas. Vamos começar pela função 
de transferência H(ω), que é uma representação gráfi ca da resposta de um 
circuito elétrico comparando duas grandezas a partir da variação da frequência 
0 ≤ ω < ∞, conforme mostra a Figura 1.
Figura 1. Comparação entre os sinais de entrada e saída de um circuito elétrico para a 
análise da resposta de frequência. 
Na Figura 2, a função de transferência relaciona os sinais de entrada e saída 
de acordo com a frequência (ω). Essa relação é dada por (ALEXANDER; 
SADIKU, 2013):
A função de transferência H(ω) apresenta módulo H(ω) e fase ϕ, sendo repre-
sentada por H(ω) = H(ω) ∠ ϕ.
Resposta de frequência2
Figura 2. Função de transferência.
X (ω) Y (ω)H (ω)
Para estabelecer essa relação, você pode adotar a comparação entre as 
tensões e correntes elétricas de entrada e saída apresentada no Quadro 1 e 
obter a resposta que deseja analisar. 
Ganho de tensão Relação entre as tensões 
de saída e entrada.
Ganho de corrente Relação entre as 
correntes de saída 
e entrada.
Impedância de 
transferência
Relação entre a 
tensão de saída e a 
corrente de entrada.
Admitância de 
transferência
Relação entre a 
corrente de saída e a 
tensão de entrada.
 Quadro 1. Comparação entre tensões e correntes elétricas de entrada e saída 
Para as funções de transferência do Quadro 1, adotamos o subscrito i para 
o sinal de entrada (in) e o subscrito o para o sinal de saída (out).
Na Figura 3, você pode verificar a representação da resposta de frequência 
do ganho de tensão de um circuito.
3Resposta de frequência
Figura 3. Resposta de frequência: (a) módulo da resposta de frequência; (b) fase da resposta 
de frequência.
Observe que o aumento da frequência faz com que o módulo do ganho de 
tensão se aproxime de zero (Figura 3a), H → 0, e a fase se aproxime de − 90° 
(Figura 3b). Assim, a resposta de frequência apresenta uma razão entre gran-
dezas fasoriais do sinal senoidal de entrada e saída que são dependentes da 
frequência de alimentação.
Resposta de frequência4
Em nossa análise de resposta de frequência, vamos utilizar os elementos 
passivos dos circuitos elétricos, ou seja, os elementos que consomem a po-
tência fornecida pela fonte. Esses elementos podem sofrer variações de seus 
valores de acordo com a frequência aplicada. Vamos, então, verificar como 
se comportam os resistores, capacitores e indutores em função da variação 
da frequência na análise fasorial.
O resistor é um elemento passivo que não sofre influência da frequência 
da fonte de alimentação, sendo sua resistência (R) uma relação de proporcio-
nalidade entre a tensão (V) e a intensidade da corrente (I) do circuito, dada 
pela lei de Ohm:
V = RI
Já os elementos reativos, os capacitores e indutores, têm sua reatância 
dependente da frequência aplicada, conforme mostra o Quadro 2.
Capacitor
Indutor
 Quadro 2. Reatâncias capacitiva (XC) e indutiva (XL) de capacitores e indutores, respecti-
vamente 
Veja que a reatância capacitiva (XC) é inversamente proporcional à fre-
quência, e a reatância indutiva (XL) é diretamente proporcional. A Figura 4 
5Resposta de frequência
relaciona a resistência, a reatância indutiva e a reatância capacitiva em função 
da frequência.
Figura 4. Resistência, reatância indutiva e reatância capacitiva em função da frequência.
Observe que a resistência do resistor não sofre variação em função da fre-
quência do sinal de alimentação, enquanto as reatâncias capacitiva e indutiva 
são afetadas pela frequência da senoide. Em regime permanente senoidal, 
quando a frequência do sinal de entrada é nula, o capacitor se comporta como 
um circuito aberto (impedância infinita), e o indutor, como um curto-circuito 
(impedância nula). Com o aumento da frequência do sinal senoidal, os com-
portamentos desses elementos se invertem, ou seja, em altas frequências, o 
capacitor é um curto-circuito (impedância nula) e o indutor, um circuito aberto 
(impedância infinita). Essas características desses elementos serão aplicadas 
no projeto de circuitos elétricos que tenham comportamento desejado em 
uma faixa de frequência.
Diagramas de representação
Ao projetar circuitos elétricos e analisar a sua resposta de frequência, você 
terá que realizar a representação gráfi ca do seu comportamento ao longo de 
uma ampla faixa de frequência. Normalmente, essa faixa de frequência é tão 
extensa que difi culta a visualização gráfi ca dos resultados. Dessa forma, para 
Resposta de frequência6
ajudar na representação, você deve utilizar as propriedades dos logaritmos e 
as escalas em decibéis (dB).
Vamos começar pelos logaritmos, que são operadores matemáticos que 
representam os expoentes:
Com a e b sendo números reais positivos, a leitura da expressão diz que 
o logaritmo de a na base b é igual a c, ou seja, se b for elevado a c, você terá 
como resultado c. Vamos ver algumas propriedades dos logaritmos:
1. log P1P2 = log P1 + log P2
2. log P1/P2 = log P1 − log P2
3. log Pn = n log P
4. log 1 = 0
Essas propriedades dos logaritmos são válidas para qualquer base, mas 
ao omitirmos o seu valor, por convenção, essa base é 10. Como as funções 
de transferência podem apresentar valores muitos baixos ou extremamente 
elevados, a medida em decibéis (dB) é utilizada nessas representações.
Vamos considerar um sistema que tenha uma potência de entrada Pi e uma 
potência de saída Po e o ganho de potência (GdB) representado pela relação 
entre essas duas grandezas.
Para você entender essa representação, deve considerar algumas relações 
entre os valores de entrada e saída para o ganho de potência de um circuito 
elétrico.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Veja que, quando o sistema não gerar nenhum ganho, temos a resposta 
na escala em decibéis de 0 dB, mas ao dobrarmos o sinal na saída, temos 
7Resposta de frequência
um ganho de 3 dB, e, ao atenuarmos pela metade, temos o ganho de − 3 dB. 
Essas representações apresentam números em escala muito menores do que 
se fossemos representá-los em uma escala linear.
Caso você esteja realizando a representação do ganho em função das tensões 
ou das correntes, a escala em decibéis é multiplicada por 20, em vez de 10.
Ganho de tensão
Ganho decorrente
Ao analisar uma função de transferência, você deve utilizar uma ampla 
faixa de frequência para obter a resposta completa. Portanto, o uso da escala 
logarítmica é fundamental para uma melhor representação dos resultados. Além 
disso, como estamos analisando circuitos elétricos na presença de elementos 
reativos, que geram defasagem entre os sinais de entrada e saída, temos que 
completar a nossa avaliação não somente com o ganho, mas também com a 
defasagem gerada ao variar a frequência. Essa representação, conhecida como 
diagrama de Bode, é muito importante e deve ser gerada em conjunto para 
cada função de transferência em escala semilogarítmica. 
A função de transferência é um fasor em que o módulo e a amplitude são 
dependentes da frequência senoidal. A representação no digrama de Bode é 
feita por meio de dois gráficos em escala semilogarítmica, sendo a magnitude 
representada em dB e a fase, em graus.
Vamos construir o diagrama de Bode da seguinte função de transferência:
Essa função de transferência apresenta a amplitude e a fase implícitas 
na expressão. Então, vamos reescrevê-la de tal forma que essas duas partes 
fiquem explicitadas.
Resposta de frequência8
Agora que a função de transferência está representada com o módulo e 
a fase, vamos representar a amplitude (HdB) em decibéis e a fase em graus.
Para traçar o diagrama de Bode, você deve realizar a influência de cada 
termo das expressões separadamente. Vamos começar pelo comportamento 
da amplitude: observe que ela é composta por quatro termos, que devem ser 
traçados individualmente por linhas pontilhadas, conforme mostra a Figura 5.
Figura 5. Amplitude da função de transferência.
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 556).
20
0
0,1 0,2
H(dB) 20 log1010
1 2 10 20 100 200 ω
20 log10
20 log10
20 log10
jω
1 + jω/2 1 + jω/10
11
Aumenta com a frequência
É constante e independente
da frequência
Para ω = 2 rad/s (frequência de
corte) esse termo é nulo e
diminui com o aumento da
frequência
Para ω = 10 rad/s (frequência de
corte) esse termo é nulo e
diminui com o aumento da
frequência
Digrama de
amplitude
Na Figura 5, você pode acompanhar o traçado de cada um dos termos da 
amplitude e, ao final, traçar o comportamento da amplitude em função da 
frequência. Os termos apresentam frequências de corte isoladamente; você 
deve iniciar o traçado a partir delas.
9Resposta de frequência
Agora que você já traçou a amplitude da função de transferência, deve 
analisar o comportamento da fase, que é composta de três termos, conforme 
mostra a Figura 6. 
Figura 6. Fase da função de transferência.
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 556). 
90º
0º
-90º
0,1 0,2 1 2 10 20 100 200
90º
ω
-tg ω
2
ω
10
-tg-1
-1
Ø
É sempre negativo e atinge o
valor de -45º na frequência
de corte ω = 2 rad/s
É sempre negativo e atinge o valor de -45º
na frequência de corte ω = 10 rad/sc c
Diagrama de fase É constante e independente
da frequência
Na Figura 6 estão representados os termos de fase isoladamente por linhas 
pontilhadas. Observe que o decaimento de cada termo é de − 45° por década; 
considere a fase nula para todas as frequências menores que ωc/10. De forma 
semelhante, para traçar o comportamento, considere que a fase de − 90° é 
atingida quando ω = 10 ωc.
Os resultados dos diagramas de Bode apresentam um traçado composto por 
linhas retas. Na Figura 7, porém, você observa as curvas do diagrama de Bode 
com traçado mais suavizado. Esse resultado é obtido quando não realizamos 
as aproximações para o traçado dos gráficos e calculamos a amplitude e a 
fase para cada frequência. A escala semilogarítmica possibilita que façamos 
o traçado em uma ampla faixa de frequência.
Resposta de frequência10
Figura 7. Diagrama de Bode para uma ampla faixa de frequência.
Diagrama de Bode
30
20
10
0
-10
-20
90
45
0
-45
-90
10-1 100 101 102 103
H
(d
B)
ø(
de
g)
Frequência (rad/s)
Utilizamos no traçado do diagrama de Bode a frequência de corte da função de 
transferência. Essa frequência também é conhecida como frequência de meia potência 
e determina o valor da frequência em que o sinal de saída é reduzido à metade do 
sinal de entrada. Na escala de decibéis, esse valor de atenuação é medido em − 3 
dB. Quando o ganho é de tensão ou corrente, o valor correspondente é de 1/√2, que 
equivale a uma atenuação do sinal de entrada de 70,71%.
Aplicações da resposta de frequência
Ao utilizar os elementos reativos, capacitores e indutores, pode-se realizar 
o projeto de circuitos elétricos ao combinar esses elementos com resistores. 
Essa combinação permite que você aproveite a resposta de frequência desses 
elementos para projetar fi ltros de frequências dentro de uma faixa preesta-
belecida. Esses fi ltros são conhecidos como fi ltros passivos, pois utilizam 
somente elementos passivos entre os sinais de entrada e saída. De acordo com 
o resultado esperado, você pode ter as seguintes confi gurações:
11Resposta de frequência
  Filtro passa-baixas — é um filtro passivo projetado para atenuar todas 
as frequências superiores à frequência de corte.
  Filtro passa-altas — é um filtro passivo projetado para atenuar todas 
as frequências inferiores à frequência de corte.
  Filtro passa-faixa — nesse filtro, há duas frequências de corte, ωc1 < 
ω < ωc2; todo sinal fora dessa faixa será atenuado.
  Filtro rejeita-faixa — nesse filtro, há duas frequências de corte ωc1 < 
ω < ωc2; todo sinal dentro dessa faixa será atenuado.
Você deve conhecer o comportamento da função de transferência para 
cada um desses circuitos, conforme apresenta o Quadro 3.
Filtro passivo H(0) H(∞) H(ωc)
Passa-baixas 1 0 1/√2
Passa-altas 0 1 1/√2
Passa-faixa 0 0 1
Rejeita-faixa 1 1 0
 Quadro 3. Valor da função de transferência para as frequências do sinal de entrada 
A seguir, vamos analisar um filtro passa-baixas projetado por meio de um 
circuito RC, em que o sinal é retirado sobre o capacitor, conforme mostra a 
Figura 8.
Figura 8. Circuito RC como filtro passa-baixas.
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 569).
Na Figura 8, o circuito RC é um filtro passivo passa-baixas, pois o capacitor 
tem como característica se comportar como um circuito aberto para baixas 
Resposta de frequência12
frequências e como um curto-circuito para altas frequências. A função de 
transferência desse circuito é dada por:
 
Determina-se a frequência ωc ao fazer com que o módulo da função de 
transferência de corte seja igual a 1/√2:
A partir da equação acima, deve-se isolar o termo ωc:
Caso você construa o filtro por meio de um circuito RL, para que se permita 
a passagem de todas as frequências inferiores à frequência de corte, o sinal 
de saída deve ser retirado sobre o resistor.
No caso do filtro passa-altas projetado por meio de um circuito RC, você 
deve inverter o ponto em que o sinal é retirado, conforme mostra a Figura 9. 
Agora, você deve escolher esse ponto sobre o resistor.
Figura 9. Circuito RC como filtro passa-altas.
Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 570).
A função de transferência é obtida de forma similar ao filtro passa-baixas, 
sendo que a frequência de corte apresenta o mesmo valor. No entanto, o que 
os diferencia é o local de retirada do sinal de saída, que, nesse caso, é sobre 
o resistor.
13Resposta de frequência
Portanto, no projeto de um circuito passa-altas por meio de um circuito 
RL, o sinal de saída deve ser retirado sobre o indutor.
Vamos agora estudar os filtros passivos passa-faixa e rejeita-faixa, que são 
construídos por meio de um circuito ressonante série RLC. A classificação do 
filtro depende do ponto em que o sinal de saída é retirado. Para o primeiro, 
o sinal é retirado sobre o resistor; para o segundo, sobre os elementos LC. 
Na Figura 10, temos o circuito ressonante série RLC, que se comporta como 
um filtro passa-faixa ou rejeita-faixa, de acordo com a escolha do local de 
retirada do sinal de saída. 
Figura 10. Circuitos ressonantes série RLC: (a) filtro passa-faixa; (b) filtro rejeita-faixa.Fonte: Alexander e Sadiku (2013, p. 570–571).
(a) (b)
Na Figura 10a, quando o circuito é submetido a baixas frequências, o 
capacitor se comportará como um circuito aberto, e não haverá sinal sobre 
o resistor; para as altas frequências, o indutor será um circuito aberto, e, de 
forma semelhante, não haverá sinal sobre o resistor. Para que haja sinal sobre o 
resistor, os componentes LC devem entrar em ressonância, ou seja, a reatância 
indutiva deve ser igual à reatância capacitiva. Nessa frequência, esses dois 
elementos não consomem potência do sinal de entrada, e toda a potência é 
percebida sobre o resistor. A faixa de passagem é determinada por meio da 
função de transferência para a meia-potência. 
Para alterar o filtro para rejeita-faixa, você deve escolher a retirada do sinal 
de saída sobre os elementos LC, sendo que, na frequência de ressonância, não 
há sinal sobre esses elementos. Portanto, o sinal somente será obtido quando 
cada um dos elementos se comportar como um circuito aberto, o que somente 
ocorre acima ou abaixo da frequência de ressonância. O Quadro 4 resume as 
principais formulações para os filtros passa-faixa e rejeita-faixa.
Resposta de frequência14
 Fonte das imagens: Alexander e Sadiku (2013, p. 571). 
Filtro passa-faixa Filtro rejeita-faixa
Função de 
transferência
Amplitude
Fase
Frequência de 
ressonância
Frequência de 
corte inferior
Frequência de 
corte superior
Resposta de 
frequência 
ideal e real
 Quadro 4. Principais formulações para os filtros passa-faixa e rejeita-faixa 
15Resposta de frequência
Considere um circuito série RLC com R = 100 Ω, L = 0,5 H e C = 0,4 μF, em que o sinal 
de saída é retirado sobre o resistor. Determine a característica do filtro, a função de 
transferência, as frequências de corte e o diagrama de Bode.
Solução:
Como o sinal está sendo retirado sobre o resistor, o circuito é um filtro passa-faixa, 
e a função de transferência é dada por:
A frequência central na ressonância é dada por:
As frequências de corte são dadas por:
 
e
A banda de passagem é:
 
Os diagramas de Bode resultam conforme mostrado abaixo:
Resposta de frequência16
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2013.
NAHVI, M.; EDMINISTER, J. A. Circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: Bookmann, 2014. 
(Coleção Schaum).
Leituras recomendadas
SADIKU, M. N. O; MUSA, S. M.; ALEXANDER, C. K. Análise de circuitos elétricos com apli-
cações [recurso eletrônico]. Porto Alegre: AMGH, 2014.
THOMAS, R. E.; ROSA, A. J.; TOUSSAINT, G. J. Análise e projeto de circuitos elétricos lineares. 
6. ed. Porto Alegre : Bookman, 2011. 
17Resposta de frequência
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.